Múltiplos, divisores e resolução de problemas
Os múltiplos e os divisores aparecem em muitas situações do cotidiano. Eles podem ser utilizados para organizar objetos em grupos iguais, distribuir quantidades sem deixar sobras, planejar acontecimentos que se repetem e descobrir quando dois ou mais eventos voltarão a ocorrer ao mesmo tempo.
No 6º ano, você conheceu os conceitos de múltiplo, divisor, mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum. Agora, retomaremos esses conhecimentos e aprenderemos a utilizá-los na resolução de problemas mais elaborados.
Habilidades da BNCC
EF07MA01: resolver e elaborar problemas com números naturais envolvendo múltiplos e divisores, incluindo situações com MDC e MMC, utilizando diferentes estratégias.
EF07MA05: resolver um mesmo problema utilizando diferentes procedimentos ou algoritmos.
EF07MA06: reconhecer estruturas semelhantes em diferentes problemas.
EF07MA07: representar em fluxograma os passos utilizados na resolução de problemas.
1. Retomando os múltiplos e os divisores
Os múltiplos de um número natural são obtidos quando multiplicamos esse número por \(0,1,2,3,4,\ldots\)
Vamos determinar alguns múltiplos de 7:
Portanto:
As reticências indicam que a sequência continua indefinidamente.
Algumas observações importantes
- Todo número natural possui infinitos múltiplos.
- O zero é múltiplo de qualquer número natural.
- Todo número natural é múltiplo de 1.
- Todo número natural diferente de zero é múltiplo de si mesmo.
Como verificar se um número é múltiplo de outro?
Podemos realizar uma divisão. Se a divisão for exata, o dividendo será múltiplo do divisor.
Por exemplo, vamos verificar se 156 é múltiplo de 12:
Como a divisão é exata, podemos afirmar que:
Portanto, 156 é múltiplo de 12.
Exemplo resolvido 1. Uma gráfica organiza os convites que produz em pacotes com 25 unidades. É possível formar pacotes completos utilizando 325 convites?
A divisão é exata. Portanto, 325 é múltiplo de 25.
Resposta: Sim. A gráfica poderá formar 13 pacotes completos.
Retomando os divisores
Um número natural é divisor de outro número quando a divisão entre eles é exata, isto é, quando o resto da divisão é igual a zero.
Vamos determinar os divisores de 24 procurando multiplicações cujo resultado seja 24:
Assim:
Algumas observações importantes
- O número 1 é divisor de qualquer número natural.
- Todo número natural diferente de zero é divisor de si mesmo.
- Os divisores de um número diferente de zero formam um conjunto finito.
- O zero não pode ser divisor, pois não existe divisão por zero.
A relação entre múltiplos e divisores
Como \(8\cdot9=72\), podemos afirmar que 72 é múltiplo de 8 e de 9, enquanto 8 e 9 são divisores de 72.
De modo geral, se um número é múltiplo de outro, então o segundo número é divisor do primeiro.
Exemplo resolvido 2. Uma professora possui 96 cartões e deseja separá-los em grupos com 6 cartões, sem deixar sobras.
Resposta: Sim. Ela poderá formar 16 grupos com 6 cartões em cada um.
Exemplo resolvido 3. Uma empresa recebeu 154 garrafas reutilizáveis e pretende colocá-las em caixas com 12 unidades.
A divisão \(154\div12\) produz quociente 12 e resto 10. Portanto, 12 não é divisor de 154.
Resposta: Serão formadas 12 caixas completas e ainda restarão 10 garrafas.
2. Critérios de divisibilidade
Os critérios de divisibilidade permitem verificar se um número é divisível por outro sem precisar efetuar a divisão completa.
Esses critérios facilitam cálculos, ajudam na decomposição em fatores primos e são úteis na determinação do MMC e do MDC.
| Divisor | Critério |
|---|---|
| 2 | O número termina em 0, 2, 4, 6 ou 8. |
| 3 | A soma dos algarismos é divisível por 3. |
| 4 | O número formado pelos dois últimos algarismos é divisível por 4. |
| 5 | O número termina em 0 ou 5. |
| 6 | O número é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. |
| 8 | O número formado pelos três últimos algarismos é divisível por 8. |
| 9 | A soma dos algarismos é divisível por 9. |
| 10 | O número termina em 0. |
Divisibilidade por 2
Um número natural é divisível por 2 quando é par, isto é, quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8. Por exemplo, 1.438 é divisível por 2 porque termina em 8.
Divisibilidade por 3
Somamos os algarismos. Em 2.451, temos \(2+4+5+1=12\). Como 12 é divisível por 3, 2.451 também é.
Divisibilidade por 4
Observamos os dois últimos algarismos. Em 3.716, eles formam 16. Como \(16\div4=4\), 3.716 é divisível por 4.
Divisibilidade por 5
O número deve terminar em 0 ou 5. Assim, 1.230 e 4.815 são divisíveis por 5.
Divisibilidade por 6
O número precisa ser divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. O número 1.242 termina em 2 e \(1+2+4+2=9\). Logo, é divisível por 6.
Divisibilidade por 8
Observamos os três últimos algarismos. Em 5.624, eles formam 624. Como \(624\div8=78\), 5.624 é divisível por 8.
Divisibilidade por 9
Somamos os algarismos. Em 7.542, temos \(7+5+4+2=18\). Como 18 é divisível por 9, 7.542 também é.
Divisibilidade por 10
Um número é divisível por 10 quando termina em zero. Por exemplo, 70, 340, 1.280 e 25.000.
Exemplo resolvido 4. Sem realizar as divisões completas, determine por quais números entre 2, 3, 4, 5, 6, 9 e 10 o número 3.780 é divisível.
- Termina em 0, portanto é divisível por 2, 5 e 10.
- A soma dos algarismos é \(3+7+8+0=18\), portanto é divisível por 3 e 9.
- Os dois últimos algarismos formam 80, que é divisível por 4.
- Como é divisível por 2 e por 3, também é divisível por 6.
Resposta: 3.780 é divisível por 2, 3, 4, 5, 6, 9 e 10.
Situação-problema. Uma cooperativa recebeu 1.350 mudas de árvores e deseja distribuí-las em grupos iguais. Pelos critérios, 1.350 é divisível por 2, 3, 5, 6, 9 e 10. Essas informações ajudam a planejar diferentes organizações sem deixar mudas fora dos grupos.
Pratique 1 — Múltiplos, divisores e critérios de divisibilidade
1. Escreva os oito primeiros múltiplos positivos de 6.
2. Determine todos os divisores naturais de 48.
3. Verifique se 156 é múltiplo de 12 e se 12 é divisor de 156.
4. Sem realizar todas as divisões, determine por quais números entre 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 e 10 o número 2.160 é divisível. Justifique.
5. Entre 4, 5, 6, 8, 9, 10 e 12, indique os divisores de 360.
6. Uma gráfica embala 375 convites em pacotes com 25 unidades. Quantos pacotes completos serão formados?
7. Uma escola possui 144 cartões e deseja formar grupos com 9 cartões, sem sobras. Isso é possível? Quantos grupos serão formados?
8. Uma cooperativa recebeu 1.260 mudas. Verifique, pelos critérios de divisibilidade, se elas podem ser organizadas em grupos de 6, 8, 9 e 10, sem sobras.
9. Uma coleção com 238 peças será guardada em caixas com 14 unidades. Todas as caixas ficarão completas? Informe o quociente e o resto.
10. Um auditório tem 420 cadeiras. Indique quais organizações são possíveis sem sobras: fileiras com 6, 8, 10, 12 ou 15 cadeiras.
3. Números primos e números compostos
Os números naturais maiores que 1 podem ser classificados como primos ou compostos, de acordo com a quantidade de divisores que possuem.
Números primos
Um número natural maior que 1 é primo quando possui exatamente dois divisores naturais: o número 1 e ele mesmo.
Por exemplo:
Como 7 possui exatamente dois divisores, ele é primo. Os primeiros números primos são:
O número 2 é o único número primo par.
Números compostos
Um número natural maior que 1 é composto quando possui mais de dois divisores.
Como 12 possui mais de dois divisores, ele é composto.
E os números 0 e 1?
Os números 0 e 1 não são classificados como primos nem como compostos. O número 1 possui apenas um divisor natural e, para ser primo, precisaria ter exatamente dois.
Exemplo resolvido 5. Classifique 17, 25 e 31.
\(D(17)=\{1,17\}\), portanto 17 é primo.
\(D(25)=\{1,5,25\}\), portanto 25 é composto.
\(D(31)=\{1,31\}\), portanto 31 é primo.
Como investigar se um número é primo?
Para números pequenos, podemos procurar seus divisores e utilizar os critérios de divisibilidade. No número 53, verificamos que ele não é divisível por 2, 3, 5 ou 7. Como não encontramos divisor natural diferente de 1 e 53, concluímos que 53 é primo.
4. Decomposição em fatores primos
Todo número composto pode ser escrito como uma multiplicação de números primos. Esse processo é chamado de decomposição em fatores primos ou fatoração.
Vamos decompor o número 60:
Como 30 ainda é composto:
E:
Portanto:
Utilizando a potenciação, podemos escrever:
Decomposição por divisões sucessivas
Também podemos dividir o número, sucessivamente, por fatores primos:
Logo:
Como escolher os divisores?
Podemos começar pelo menor número primo que divide exatamente o número analisado:
Enquanto a divisão for exata, podemos continuar utilizando o mesmo fator primo.
Exemplo resolvido 6. Vamos decompor 360 em fatores primos.
Os fatores encontrados foram 2, 2, 2, 3, 3 e 5. Assim:
Verificando a decomposição
Podemos conferir o resultado efetuando a multiplicação:
A decomposição está correta.
Por que estudar a decomposição em fatores primos?
A decomposição ajuda a:
- reconhecer a estrutura multiplicativa de um número;
- determinar seus divisores;
- simplificar frações;
- calcular o mínimo múltiplo comum;
- calcular o máximo divisor comum;
- resolver problemas envolvendo agrupamentos e repetições.
Pratique 2 — Números primos e fatoração
1. Classifique como primo ou composto: 19, 21, 31, 39, 43 e 51.
2. Explique por que o número 1 não é primo nem composto.
3. Determine todos os números primos entre 20 e 40.
4. Decomponha 180 e 294 em fatores primos.
5. Escreva na forma usual: a) \(2^3\cdot3^2\); b) \(2^2\cdot5\cdot7\).
6. Uma organização possui 210 itens. Decomponha 210 em fatores primos e use o resultado para indicar três divisores diferentes de 1 e 210.
7. Uma senha numérica utiliza um número primo entre 50 e 60. Quais possibilidades existem?
8. Um depósito recebeu 360 caixas. Faça a fatoração e verifique se a quantidade pode ser dividida exatamente em grupos de 8, 9 e 15.
9. Um código é formado pelo menor número primo maior que 40 multiplicado pelo menor primo maior que 10. Qual é o código?
10. Uma turma analisou 91 e 97. Determine qual é primo e justifique a classificação do outro por uma multiplicação.
5. Máximo divisor comum
Dois ou mais números podem possuir divisores em comum. Vamos determinar os divisores de 18 e 30:
Os divisores comuns são 1, 2, 3 e 6. O maior deles é 6. Por isso:
O máximo divisor comum, representado por MDC, é o maior número natural que divide exatamente dois ou mais números.
O MDC aparece principalmente quando precisamos:
- dividir quantidades em grupos iguais;
- formar a maior quantidade possível de grupos iguais;
- cortar materiais em partes iguais com a maior medida possível;
- organizar objetos sem deixar sobras;
- distribuir diferentes quantidades mantendo a mesma composição.
Estratégia 1: listar os divisores
Vamos calcular \(\operatorname{MDC}(24,36)\):
Os divisores comuns são 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Portanto:
Essa estratégia é útil quando os números são pequenos e seus divisores podem ser identificados facilmente.
Estratégia 2: decomposição em fatores primos
Para formar o maior divisor comum, utilizamos cada fator comum com o menor expoente:
Utilizamos o menor expoente porque um divisor comum não pode conter um fator mais vezes do que ele aparece em uma das decomposições.
Estratégia 3: divisões sucessivas
Colocamos os números lado a lado e procuramos um número primo que divida todos eles ao mesmo tempo.
Quando chegamos a 2 e 3, não existe outro divisor primo comum. Multiplicamos os fatores utilizados:
No cálculo do MDC por divisões sucessivas, só podemos colocar à direita um fator primo que divida todos os números daquela linha.
Exemplo com três números
Podemos verificar: \(72\div36=2\), \(108\div36=3\) e \(180\div36=5\).
Situação-problema resolvida 1: formação de grupos. Uma escola separou 84 folhas azuis e 126 folhas verdes. Todas serão distribuídas no maior número possível de kits iguais, sem sobras.
Resposta: Serão formados 42 kits, cada um com \(84\div42=2\) folhas azuis e \(126\div42=3\) folhas verdes.
Situação-problema resolvida 2: cortes de maior comprimento. Duas fitas medem 168 cm e 252 cm. Elas serão cortadas em pedaços iguais, sem desperdício, com o maior comprimento possível.
Resposta: Cada pedaço medirá 84 cm. Serão obtidos 2 pedaços da primeira fita e 3 da segunda, totalizando 5.
Situação-problema resolvida 3: diferentes estratégias. Uma associação recebeu 48 garrafas de água e 60 barras de cereal para formar o maior número de conjuntos iguais, sem sobras.
Pela listagem dos divisores ou pela fatoração, obtemos \(\operatorname{MDC}(48,60)=12\).
Resposta: Serão 12 conjuntos, cada um com 4 garrafas e 5 barras de cereal.
Como reconhecer uma situação que pode envolver o MDC?
O MDC pode ser adequado quando as quantidades precisam ser divididas em grupos iguais, não pode haver sobras e procuramos o maior número de grupos ou o maior tamanho possível. Entretanto, não devemos escolher a operação apenas procurando palavras no enunciado.
Pratique 3 — MDC e resolução de problemas
1. Calcule \(\operatorname{MDC}(36,60)\) pela listagem dos divisores.
2. Calcule \(\operatorname{MDC}(84,126)\) por divisões sucessivas.
3. Determine \(\operatorname{MDC}(72,108,180)\).
4. Decomponha 96 e 144 e calcule o MDC pelos menores expoentes.
5. Verifique se 18 é divisor comum de 90 e 126 e explique se ele é o MDC.
6. Uma escola possui 96 cadernos e 144 estojos para formar o maior número de kits iguais. Quantos kits e quantos itens de cada tipo?
7. Cordas de 210 cm e 294 cm serão cortadas em partes iguais com a maior medida possível. Determine a medida e a quantidade de partes.
8. Uma associação distribuirá 120 garrafas, 168 frutas e 216 barras no maior número de conjuntos iguais. Determine a quantidade de conjuntos e sua composição.
9. Um piso de 360 cm por 480 cm será coberto com as maiores placas quadradas possíveis, sem cortes. Determine o lado e o número de placas.
10. Uma biblioteca possui 132 livros de Matemática e 180 de Ciências. Os livros serão colocados em caixas com a mesma quantidade, sem misturar as áreas e sem deixar sobras. Cada caixa deverá receber o maior número possível de livros. Quantos livros haverá em cada caixa e quantas caixas serão usadas para cada área?
6. Mínimo múltiplo comum
Dois ou mais números podem possuir múltiplos em comum:
Entre os múltiplos positivos apresentados, 24 é o menor que aparece nos dois conjuntos. Assim, \(\operatorname{MMC}(6,8)=24\).
O mínimo múltiplo comum é o menor múltiplo positivo comum a dois ou mais números. O MMC aparece em acontecimentos periódicos, coincidências de ciclos e na procura da menor quantidade que pode ser organizada de diferentes maneiras.
Estratégia 1: listar os múltiplos
O primeiro múltiplo positivo comum é 36. Portanto, \(\operatorname{MMC}(12,18)=36\).
Estratégia 2: decomposição em fatores primos
No MMC, utilizamos todos os fatores com os maiores expoentes:
Estratégia 3: divisões sucessivas
No MMC, o fator primo escolhido precisa dividir pelo menos um dos números daquela linha.
Quando um número não é divisível pelo fator escolhido, ele deve ser repetido na linha seguinte.
Exemplo com três números
Verificando: \(60\div12=5\), \(60\div15=4\) e \(60\div20=3\).
Situação-problema resolvida 4: horários de transporte. Uma linha parte a cada 18 minutos e outra a cada 24 minutos. Às 7h, partiram juntas.
Como 72 minutos correspondem a 1 hora e 12 minutos, voltarão a partir juntas às 8h12.
Situação-problema resolvida 5: treinamento em uma pista. Dois atletas completam uma volta em 40 e 60 segundos.
Resposta: Passarão juntos novamente pelo ponto de partida após 120 segundos, ou 2 minutos. O primeiro terá completado 3 voltas e o segundo, 2.
Situação-problema resolvida 6: organização de equipes. Os participantes podem ser organizados em equipes de 6 ou de 8, sem sobras.
Resposta: A menor quantidade possível é 24 participantes, formando 4 equipes de 6 ou 3 equipes de 8.
Como reconhecer uma situação que pode envolver o MMC?
O MMC pode ser adequado quando acontecimentos se repetem, começaram juntos e voltarão a coincidir, ou quando procuramos a menor quantidade que pode ser organizada de diferentes maneiras. Ainda assim, devemos analisar toda a situação, e não apenas palavras isoladas.
7. Comparando MMC e MDC
A escolha entre MMC e MDC deve ser feita depois da compreensão do problema. Não é suficiente procurar uma palavra específica no enunciado.
| Características da situação | Estratégia que pode ser adequada |
|---|---|
| Acontecimentos repetem-se em intervalos regulares. | MMC |
| Eventos começaram juntos e voltarão a coincidir. | MMC |
| Procura-se a menor quantidade que pode ser organizada de diferentes maneiras. | MMC |
| Quantidades serão divididas em grupos iguais. | MDC |
| Não pode haver sobras na distribuição. | MDC |
| Procura-se o maior número possível de grupos com a mesma composição. | MDC |
| Materiais serão cortados em partes iguais com a maior medida possível. | MDC |
Comparando duas situações
Situação A. Uma escola possui 48 coletes azuis e 72 amarelos. Eles serão distribuídos no maior número de conjuntos iguais, sem sobras.
Resposta: Serão formados 24 conjuntos, cada um com 2 coletes azuis e 3 amarelos.
Situação B. Um aviso sonoro é emitido a cada 48 minutos e um aviso luminoso a cada 72 minutos. Eles foram acionados juntos no início.
Resposta: Os avisos voltarão a coincidir após 144 minutos, isto é, 2 horas e 24 minutos.
Os números são os mesmos, mas as estruturas são diferentes: na primeira situação, dividimos quantidades; na segunda, procuramos a coincidência entre acontecimentos periódicos.
Perguntas que ajudam a interpretar
- O que está acontecendo: divisão, agrupamento, corte ou repetição?
- O problema pede o maior número de grupos, o maior tamanho, o menor tempo ou a menor quantidade?
- O resultado encontrado responde à pergunta e atende a todas as condições?
- A unidade da resposta está correta?
Problemas com estruturas semelhantes
Uma floricultura organiza 60 rosas e 90 margaridas no maior número de arranjos iguais. Um centro esportivo distribui 60 garrafas e 90 toalhas no maior número de conjuntos iguais. Embora os contextos sejam diferentes, a estrutura matemática é a mesma:
No primeiro caso, serão 30 arranjos. No segundo, serão 30 conjuntos. Reconhecer estruturas semelhantes permite aproveitar estratégias já utilizadas.
Um mesmo problema, diferentes estratégias
Um painel apresenta uma informação a cada 14 minutos e outra a cada 21 minutos. As duas foram exibidas juntas às 9h.
Listagem: os primeiros múltiplos comuns positivos são encontrados em \(M(14)\) e \(M(21)\); o menor é 42.
Fatoração: \(14=2\cdot7\), \(21=3\cdot7\) e \(2\cdot3\cdot7=42\).
Divisões sucessivas:
As três estratégias conduzem a \(\operatorname{MMC}(14,21)=42\). Portanto, as informações voltarão a aparecer juntas às 9h42.
8. Organizando a resolução
Um fluxograma representa uma sequência de ações ou decisões e pode ajudar a organizar a resolução.
Início
↓
Ler atentamente o problema
↓
Identificar os dados e o que está sendo solicitado
↓
A situação envolve agrupamentos ou acontecimentos que se repetem?
Se envolver divisão em grupos iguais, sem sobras, procurando o maior número de grupos ou o maior tamanho, considere o MDC.
Se envolver acontecimentos periódicos e a primeira coincidência, considere o MMC.
↓
Calcular, verificar, interpretar e escrever a resposta completa
↓
Fim
Um procedimento geral em seis etapas
- Compreender: ler o enunciado e identificar a pergunta.
- Selecionar os dados: registrar as informações necessárias e suas unidades.
- Planejar: escolher listagem, fatoração, divisões sucessivas, tabela, esquema ou cálculo mental.
- Resolver: realizar e registrar os cálculos com organização.
- Verificar: conferir os cálculos e as condições do problema.
- Responder: escrever uma frase completa com a unidade adequada.
Erros que devemos evitar
- Confundir múltiplo com divisor: em \(7\cdot8=56\), 56 é múltiplo de 7 e 8; 7 e 8 são divisores de 56.
- Considerar o zero como MMC: o MMC é o menor múltiplo positivo comum.
- Usar no MDC um fator que não divide todos os números: o fator precisa ser comum a toda a linha.
- Alterar no MMC um número que não foi dividido: ele deve ser repetido na linha seguinte.
- Escolher MMC ou MDC por uma palavra isolada: é necessário analisar toda a situação.
- Encerrar sem interpretar: o resultado precisa ser relacionado ao contexto.
Pratique 4 — MMC, comparação e estratégias
1. Liste múltiplos e determine \(\operatorname{MMC}(12,18)\).
2. Calcule \(\operatorname{MMC}(28,42)\) por divisões sucessivas.
3. Determine \(\operatorname{MMC}(16,24,40)\).
4. Calcule o MMC e o MDC de 45 e 75 e explique a diferença entre os resultados.
5. Para cada situação, indique se a estratégia adequada é MMC ou MDC: coincidência de horários; maior número de grupos iguais; menor quantidade divisível por três números; maior medida de cortes iguais.
6. Dois equipamentos funcionam a cada 45 e 60 minutos. Se funcionaram juntos às 14h, quando voltarão a coincidir e quantos ciclos cada um completará?
7. Três equipes retornam a uma área a cada 12, 18 e 30 dias. Se estiveram juntas hoje, quando voltarão a coincidir e quantos ciclos completarão?
8. Uma quantidade de livros pode ser organizada, sem sobras, em grupos de 8, 12 ou 18. Determine a menor quantidade e os grupos de cada tamanho.
9. Um painel exibe mensagens a cada 14 e 21 minutos. Se apareceram juntas às 9h, determine a próxima coincidência por duas estratégias.
10. Crie um pequeno fluxograma para decidir entre MMC e MDC e aplique-o a uma situação de agrupamento e outra de repetição.
Revisão e aprofundamento — 20 questões
1. Determine todos os divisores naturais de 54.
2. Escreva os oito primeiros múltiplos positivos de 14.
3. Utilizando os critérios de divisibilidade, determine por quais números entre 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 e 10 o número 7.560 é divisível. Justifique.
4. Classifique como primo ou composto:
a) 23 b) 27 c) 37 d) 49 e) 53
5. Decomponha em fatores primos:
a) 420 b) 693
6. Calcule, por divisões sucessivas, \(\operatorname{MDC}(72,120)\).
7. Calcule, por divisões sucessivas, \(\operatorname{MMC}(28,42)\).
8. Determine \(\operatorname{MDC}(90,150,210)\).
9. Determine \(\operatorname{MMC}(16,24,40)\).
10. Calcule o MMC e o MDC de 45 e 75. Depois, explique por que os resultados são diferentes.
11. Organização de materiais
Uma escola possui 132 cadernos e 180 lápis de cor. Eles serão distribuídos no maior número de conjuntos iguais, sem sobras.
a) Quantos conjuntos serão formados?
b) Quantos cadernos haverá em cada um?
c) Quantos lápis de cor?
12. Corte de fitas
Duas fitas medem 240 cm e 336 cm e serão cortadas em pedaços iguais, com o maior comprimento possível.
a) Qual será o comprimento?
b) Quantos pedaços serão obtidos de cada fita?
c) Quantos ao todo?
13. Sinais sonoros
Dois sinais são emitidos a cada 32 e 48 minutos. Eles tocaram juntos às 10h.
a) Depois de quantos minutos coincidirão?
b) Em que horário?
14. Partidas de ônibus
Três linhas partem a cada 20, 30 e 45 minutos. Elas partiram juntas às 6h30.
a) Depois de quanto tempo coincidirão?
b) Em que horário?
15. Formação de equipes
Os participantes de um evento podem ser organizados, sem sobras, em equipes de 14, 21 ou 28 pessoas. Qual é a menor quantidade possível?
16. Organização de álbuns
Um projeto possui 168 fotografias de paisagens e 252 de animais. Elas serão organizadas no maior número possível de álbuns iguais, sem sobras.
a) Quantos álbuns?
b) Quantas fotografias de paisagens em cada um?
c) Quantas de animais?
17. Manutenção programada
Três máquinas passam por manutenção a cada 18, 24 e 30 dias. Hoje, as três receberam manutenção.
a) Depois de quantos dias coincidirão?
b) Quantos ciclos cada uma completará?
18. Revestimento de uma parede
Uma parede mede 360 cm de altura e 480 cm de largura. Ela será coberta com placas quadradas iguais, sem cortes, com a maior medida possível.
a) Qual será o lado da placa?
b) Quantas placas na altura?
c) Quantas na largura?
d) Quantas ao todo?
19. Luzes decorativas
Duas luzes acendem a cada 8 e 12 segundos. Elas acenderam juntas no início.
a) De quantos em quantos segundos coincidirão?
b) Quantas vezes voltarão a coincidir nos 4 minutos seguintes, sem contar o instante inicial?
20. Distribuição de doações
Uma instituição recebeu 96 pacotes de arroz, 144 de feijão e 240 caixas de leite. Eles serão distribuídos igualmente entre o maior número possível de famílias.
a) Quantas famílias?
b) Quantos pacotes de arroz para cada uma?
c) Quantos de feijão?
d) Quantas caixas de leite?
Gabarito do Pratique 1
1. 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42 e 48.
2. \(D(48)=\{1,2,3,4,6,8,12,16,24,48\}\).
3. Sim. \(156\div12=13\), portanto 156 é múltiplo de 12 e 12 é divisor de 156.
4. 2.160 é divisível por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 e 10.
5. Todos os números apresentados dividem 360 exatamente.
6. \(375\div25=15\): 15 pacotes.
7. Sim. \(144\div9=16\): 16 grupos.
8. É divisível por 6, 9 e 10; não é divisível por 8.
9. \(238\div14=17\), resto zero. Todas as caixas ficarão completas.
10. São possíveis fileiras com 6, 10, 12 ou 15 cadeiras; 420 não é divisível por 8.
Gabarito do Pratique 2
1. Primos: 19, 31 e 43. Compostos: 21, 39 e 51.
2. O número 1 possui apenas um divisor; um primo precisa ter dois e um composto, mais de dois.
3. 23, 29, 31 e 37.
4. \(180=2^2\cdot3^2\cdot5\) e \(294=2\cdot3\cdot7^2\).
5. a) 72; b) 140.
6. \(210=2\cdot3\cdot5\cdot7\). Exemplos de divisores: 2, 3 e 5.
7. 53 e 59.
8. \(360=2^3\cdot3^2\cdot5\); é divisível por 8, 9 e 15.
9. \(41\cdot11=451\).
10. \(91=7\cdot13\), portanto é composto; 97 é primo.
Gabarito do Pratique 3
1. Os divisores comuns de 36 e 60 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Portanto, \(\operatorname{MDC}(36,60)=12\).
2.
3.
4. \(96=2^5\cdot3\) e \(144=2^4\cdot3^2\). Utilizando os fatores comuns com os menores expoentes: \(2^4\cdot3=48\).
5. \(90\div18=5\) e \(126\div18=7\). Como \(90=2\cdot3^2\cdot5\) e \(126=2\cdot3^2\cdot7\), o maior fator comum é \(2\cdot3^2=18\). Portanto, 18 é o MDC.
6. \(\operatorname{MDC}(96,144)=48\). Serão 48 kits, cada um com \(96\div48=2\) cadernos e \(144\div48=3\) estojos.
7. \(\operatorname{MDC}(210,294)=42\). Cada parte medirá 42 cm; serão \(210\div42=5\) e \(294\div42=7\) partes.
8. \(\operatorname{MDC}(120,168,216)=24\). Serão 24 conjuntos, cada um com 5 garrafas, 7 frutas e 9 barras.
9. \(\operatorname{MDC}(360,480)=120\). As placas terão 120 cm de lado: 3 na altura e 4 na largura, totalizando \(3\cdot4=12\).
10. \(\operatorname{MDC}(132,180)=12\). Cada caixa receberá 12 livros. Serão \(132\div12=11\) caixas de Matemática e \(180\div12=15\) de Ciências.
Gabarito do Pratique 4
1. \(M(12)=\{12,24,36,48,\ldots\}\) e \(M(18)=\{18,36,54,\ldots\}\). O primeiro múltiplo positivo comum é 36.
2.
3.
4. \(\operatorname{MDC}(45,75)=15\) e \(\operatorname{MMC}(45,75)=225\). O primeiro é o maior divisor comum; o segundo, o menor múltiplo positivo comum.
5. MMC; MDC; MMC; MDC, respectivamente.
6. Após 180 minutos, às 17h; 4 e 3 ciclos.
7. Após 180 dias; 15, 10 e 6 ciclos.
8. 72 livros; 9 grupos de 8, 6 de 12 ou 4 de 18.
9. Após 42 minutos, às 9h42. Pode-se usar listagem ou fatoração/divisões sucessivas.
10. Resposta pessoal. O fluxograma deve diferenciar agrupamento sem sobras, associado ao MDC, de repetição e coincidência, associada ao MMC.
Gabarito da revisão e do aprofundamento
1. Divisores de 54
Os pares de fatores são \(1\cdot54\), \(2\cdot27\), \(3\cdot18\) e \(6\cdot9\).
2. Múltiplos de 14
Calculando \(14\cdot1\) até \(14\cdot8\), obtemos:
Resposta: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98 e 112.
3. Divisibilidade de 7.560
Termina em 0: divisível por 2, 5 e 10. A soma \(7+5+6+0=18\): divisível por 3 e 9. Os dois últimos algarismos formam 60: divisível por 4. Os três últimos formam 560 e \(560\div8=70\). Como é divisível por 2 e 3, também é divisível por 6.
Resposta: é divisível por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 e 10.
4. Primos e compostos
23, 37 e 53 possuem apenas dois divisores e são primos. \(27=3\cdot9\) e \(49=7\cdot7\), portanto são compostos.
5. Decomposição em fatores primos
a) 420
b) 693
6. MDC de 72 e 120
Verificação: \(72\div24=3\) e \(120\div24=5\).
7. MMC de 28 e 42
Verificação: \(84\div28=3\) e \(84\div42=2\).
8. MDC de 90, 150 e 210
9. MMC de 16, 24 e 40
10. MMC e MDC de 45 e 75
MDC:
MMC:
O MDC é o maior divisor comum, enquanto o MMC é o menor múltiplo positivo comum.
11. Organização de materiais
Resposta: 12 conjuntos, cada um com \(132\div12=11\) cadernos e \(180\div12=15\) lápis de cor.
12. Corte de fitas
Resposta: pedaços de 48 cm; \(240\div48=5\) da primeira fita e \(336\div48=7\) da segunda, totalizando 12.
13. Sinais sonoros
96 minutos correspondem a 1 hora e 36 minutos. Resposta: os sinais coincidirão às 11h36.
14. Partidas de ônibus
180 minutos correspondem a 3 horas. Resposta: voltarão a partir juntas às 9h30.
15. Formação de equipes
Resposta: a menor quantidade possível é 84 participantes.
16. Organização de álbuns
Resposta: 84 álbuns, cada um com \(168\div84=2\) fotos de paisagens e \(252\div84=3\) fotos de animais.
17. Manutenção programada
Resposta: coincidirão após 360 dias. As máquinas completarão \(360\div18=20\), \(360\div24=15\) e \(360\div30=12\) ciclos.
18. Revestimento de uma parede
Cada placa terá 120 cm de lado. Na altura: \(360\div120=3\). Na largura: \(480\div120=4\). Total: \(3\cdot4=12\).
Resposta: serão utilizadas 12 placas.
19. Luzes decorativas
As luzes coincidem a cada 24 segundos. Quatro minutos correspondem a \(4\cdot60=240\) segundos e \(240\div24=10\).
Resposta: voltarão a acender juntas 10 vezes, sem contar o instante inicial.
20. Distribuição de doações
Resposta: 48 famílias. Cada uma receberá \(96\div48=2\) pacotes de arroz, \(144\div48=3\) de feijão e \(240\div48=5\) caixas de leite.