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Estatística e probabilidade

Tabelas e gráficos aparecem em pesquisas, notícias e situações escolares. A Estatística ajuda a coletar, organizar, representar e interpretar dados. A Probabilidade estuda as possibilidades de ocorrência de resultados.

Habilidades da BNCC relacionadas

EF06MA30: Calcular a probabilidade de um evento aleatório, expressando-a por número racional (forma fracionária, decimal e percentual) e comparar esse número com a probabilidade obtida por meio de experimentos sucessivos.

EF06MA31: Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico.

EF06MA32: Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões.

EF06MA33: Planejar e coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais escolhidas pelos alunos e fazer uso de planilhas eletrônicas para registro, representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de gráficos e texto.

Nesta postagem, você aprenderá a: planejar pesquisas; diferenciar população e amostra; organizar frequências; interpretar tabelas e gráficos; calcular média aritmética; identificar espaços amostrais; e calcular probabilidades.

1. Pesquisa estatística

Uma pesquisa começa com um objetivo claro, seguido da escolha de quem participará, elaboração das perguntas, coleta, organização, representação, interpretação e conclusão.

Definir objetivo Elaborar perguntas Coletar Organizar Representar dados Interpretar Concluir

População e amostra

A população é o conjunto completo que desejamos estudar. A amostra é uma parte desse conjunto. Quando todos participam, a pesquisa é censitária; quando apenas uma parte participa, é por amostragem.

Uma escola com 800 estudantes entrevista 200 de diferentes anos e turnos: população de 800, amostra de 200 e pesquisa por amostragem.

Frequência absoluta

A frequência absoluta indica quantas vezes cada resposta aparece. A soma das frequências deve ser igual ao total de respostas.

Fruta Frequência
Banana 8
Maçã 6
Laranja 3
Uva 3
Total 20

Situação-problema: pesquisa sobre transporte escolar. Em uma turma de 40 estudantes, 16 vão à escola de ônibus, 10 de carro, 8 a pé e os demais de bicicleta. Quantos utilizam bicicleta e qual é a categoria mais frequente?

Somamos as frequências conhecidas: $16+10+8=34$. Como participaram 40 estudantes, $40-34=6$ utilizam bicicleta. A maior frequência é 16, portanto o ônibus é a categoria mais frequente.

Pratique pesquisa e frequência
  1. Explique o que é uma pesquisa estatística.
  2. Ordene: interpretar, coletar, definir objetivo, organizar, elaborar perguntas e concluir.
  3. Uma escola tem 750 estudantes e entrevista 150. Identifique população, amostra e tipo.
  4. Todos os 32 estudantes de uma turma responderam. Classifique a pesquisa.
  5. Explique por que entrevistar somente uma equipe pode não representar a escola.
  6. Reescreva sem influência: “Você concorda que futebol é o esporte mais interessante?”
  7. Construa uma tabela para: azul, verde, azul, vermelho, azul, verde, amarelo, azul, vermelho, verde, azul, amarelo, verde, azul, vermelho.
  8. Com esses dados, identifique maior, menor, frequência de verde e total.
  9. Numa pesquisa com 40 estudantes: leitura 12, música 15, teatro 8 e dança ?. Determine dança.
  10. Some as frequências 9, 7, 5 e 4.

2. Gráficos de colunas e barras

Um gráfico deve apresentar título, categorias, escala, valores, legenda quando necessária e fonte quando informada. No gráfico de colunas, as categorias aparecem geralmente no eixo horizontal.

Livros lidos pelas turmas 0 5 10 15 20 25 18 25 15 22 A B C D

A escala precisa manter intervalos iguais. Um eixo recortado pode ampliar visualmente uma diferença; por isso, observe sempre onde a escala começa.

Colunas agrupadas

Duas colunas por categoria permitem comparar dois grupos e exigem uma legenda. No exemplo, as colunas azuis representam a Turma A e as verdes representam a Turma B.

Pictogramas

Um pictograma usa símbolos. A legenda é indispensável: se uma muda representa 5 árvores, quatro mudas representam 20 árvores.

Livros lidos em dois meses 0 5 10 15 20 25 Março Abril Maio Turma A: 12, 18, 20 Turma B: 15, 16, 22 Árvores plantadas Equipe A Equipe B Equipe C Equipe D ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ Legenda: ♣ = 5 árvores

Situação-problema: análise de uma coleta seletiva. Uma escola recolheu 18 kg de material reciclável na primeira semana, 24 kg na segunda, 30 kg na terceira e 21 kg na quarta. Qual foi o total coletado, em qual semana ocorreu a maior coleta e qual foi a diferença entre a maior e a menor quantidade?

O total foi $18+24+30+21=93\text{ kg}$. A maior coleta ocorreu na terceira semana, com 30 kg. A menor ocorreu na primeira, com 18 kg. A diferença foi $30-18=12\text{ kg}$.

Pratique gráficos de colunas, barras e pictogramas
  1. Liste os elementos necessários para interpretar um gráfico.
  2. Construa um gráfico para 12, 18, 15 e 25 kg coletados em quatro semanas.
  3. Determine maior semana, menor, diferença e total.
  4. Leia o gráfico esportivo abaixo.
  5. Explique por que os intervalos da escala devem ser iguais.
  6. Escolha uma escala para 20, 40, 60, 80 e 100.
  7. Explique o efeito de eixos começando em 0 e 85 para valores 90 e 100.
  8. Compare as equipes do gráfico agrupado abaixo.
  9. Se um símbolo representa 4 livros, calcule 3, 5, 2,5 e 6 símbolos.
  10. Crie pictograma para 12, 8, 16 e 20 caixas, com 1 símbolo = 4 caixas.
Preferências esportivas Futebol Vôlei Natação Atletismo Outros 18 12 8 5 7 Pontos por rodada 0 5 10 15 20 1 2 3 Equipe azul: 8, 12 e 7 Equipe verde: 10, 9 e 11

3. Gráficos de linhas, setores e média

O gráfico de linhas mostra mudanças ao longo do tempo. Pontos representam os valores e são ligados para evidenciar aumentos e diminuições.

Água no reservatório Seg Ter Qua Qui Sex 600 750 700 900 850

Gráfico de setores

O círculo representa \(100\%\) ou \(360^\circ\). Em 40 respostas, 20 correspondem a metade, 10 a um quarto e 5 a um oitavo.

Esporte: 50% Música: 25% Leitura: 12,5% Jogos: 12,5%

Média aritmética

Somamos os valores e dividimos pela quantidade de dados. Para 12, 18, 10 e 20 páginas:

\[(12+18+10+20)\div4=15\]

A média pode não aparecer entre os valores originais e não informa sozinha como os dados estão distribuídos.

Situação-problema: média de páginas lidas. Durante cinco dias, uma estudante leu 12, 18, 15, 20 e 10 páginas. Qual foi a média diária de páginas lidas?

Primeiro, somamos os valores: $12+18+15+20+10=75$. Depois, dividimos pela quantidade de dias: $75\div5=15$. Portanto, a média foi de 15 páginas por dia.

Pratique linhas, setores e média
  1. Para quais situações o gráfico de linhas é adequado?
  2. Use a tabela: visitantes 40, 55, 50, 70 e 65 de segunda a sexta. Determine maior, menor, variações e total.
  3. Explique por que linhas não são ideais para sabores preferidos.
  4. Em 40 pessoas: 20 esporte, 10 música, 5 leitura e 5 teatro. Determine frações e porcentagens.
  5. Num gráfico: metade A, um quarto B e um quarto C. Para 60 pessoas, determine frequências.
  6. Complete 1/2, 1/4, 3/4, 1/5 e 1/10 em porcentagem.
  7. Calcule médias de (6,8,10), (12,15,9,16) e (20,25,15,10,30).
  8. Uma equipe marcou 14, 18, 12 e 16. Calcule total e média.
  9. Calcule a capacidade média de 2 L, 4 L, 3 L e 7 L.
  10. Compare as médias de (4,4,4,4) e (1,3,5,7).

4. Probabilidade

Um experimento aleatório tem resultado desconhecido antes da realização. No dado comum, \(S=\{1,2,3,4,5,6\}\); na moeda, \(S=\{\text{cara},\text{coroa}\}\).

Quando os resultados são igualmente possíveis:

\[P(A)=\frac{\text{resultados favoráveis}}{\text{resultados possíveis}}\]

No dado, os números pares são \(\{2,4,6\}\). Existem três resultados favoráveis entre seis possíveis:

\[P(\text{par})=\frac{3}{6}=\frac12=50\%\]

Evento impossível, possível e certo

Evento no lançamento
de um dado comum		 Resultados favoráveis Probabilidade Classificação
Obter o número 8 nenhum \(0\) impossível
Obter um número par \(\{2,4,6\}\) \(3/6=1/2\) possível
Obter um número de 1 a 6 \(\{1,2,3,4,5,6\}\) \(6/6=1\) certo
Impossível obter 8 P = 0 Possível obter número par P = 1/2 Certo obter de 1 a 6 P = 1
Roleta Sacola: 10 fichas

A frequência observada pode diferir da probabilidade teórica. Em 20 lançamentos de uma moeda, 12 caras correspondem a \(12/20=60\%\), embora a probabilidade teórica seja \(50\%\).

Situação-problema: sorteio de uma ficha. Uma caixa contém 5 fichas azuis, 3 verdes e 2 amarelas. Retirando uma ficha ao acaso, qual é a probabilidade de ela ser azul? E de não ser azul?

Há $5+3+2=10$ fichas. A probabilidade de retirar uma azul é $\frac{5}{10}=\frac12=50\%$. Existem 5 fichas que não são azuis, então a probabilidade de não obter azul também é $\frac{5}{10}=50\%$.

Pratique probabilidade
  1. Defina experimento aleatório e dê exemplo.
  2. Classifique lançamento de dado, 7+8, sorteio sem olhar, caixa só verde e roleta.
  3. Escreva espaços amostrais de moeda, dado e fichas de 1 a 8.
  4. No dado, escreva resultados de ímpar, menor que 4, maior que 2 e múltiplo de 3.
  5. Calcule probabilidades de 5, par, menor que 3, 9 e número de 1 a 6.
  6. Numa sacola há 6 fichas vermelhas, 4 azuis e 2 amarelas. Ao retirar uma ficha ao acaso, calcule a probabilidade de ela ser vermelha, azul, amarela ou verde.
  7. Ao girar a roleta abaixo, calcule a probabilidade de o ponteiro parar em cada uma das cores.
  8. Com 5 brancas, 3 pretas e 2 cinzas, compare e calcule probabilidades.
  9. Classifique eventos impossível, possível ou certo no dado.
  10. Em 30 lançamentos, cara apareceu 18 vezes. Compare teoria e frequência observada.

Para lembrar

População é o conjunto completo; amostra é uma parte. A soma das frequências é o total. Gráficos precisam de escala e título. Média é soma dividida pela quantidade. Probabilidade varia de 0 a 1.
Atividades de revisão e aprofundamento
  1. Diferencie população e amostra.
  2. Escola com 900 estudantes entrevista 180: identifique população, amostra e tipo.
  3. Ordene as etapas da pesquisa.
  4. Monte tabela para: ônibus 8, a pé 5, carro 4, bicicleta 3.
  5. Identifique maior, menor, total e quantos não usam ônibus.
  6. Interprete 24, 30, 18 e 36 kg coletados de março a junho.
  7. Construa gráfico com escala de 6 em 6.
  8. Para barras 15, 25, 20 e 30, determine maior, menor, diferença e soma.
  9. Explique título e escala.
  10. Explique eixos iniciando em 0 e 80 para valores 85 e 100.
  11. Com 1 símbolo=6 objetos, calcule 2, 4, 3,5 e 5 símbolos.
  12. Para visitantes 35,50,45,65,55, determine extremos, variações e total.
  13. Em 80 pessoas: 40 A,20 B,12 C,8 D. Calcule porcentagens.
  14. De 60 pessoas: 50%,25%,15%,10%. Calcule frequências.
  15. Calcule médias de (7,9,11,13), (14,10,16,12) e (5,8,6,9,12).
  16. Calcule total e média de 18,12,20,14,16.
  17. Compare médias de (6,6,6,6) e (2,4,8,10).
  18. Escreva espaços amostrais de moeda, dado e fichas 1 a 6.
  19. No dado, calcule ímpar, maior que 4, múltiplo de 2, número 8 e menor que 7.
  20. Uma sacola contém 7 fichas azuis, 5 verdes e 3 amarelas. Ao retirar uma ficha ao acaso, calcule a probabilidade de obter cada uma das cores.
  21. Indique mais provável, menos provável e não azul.
  22. Roleta com 5 vermelhos,3 azuis,2 amarelos: calcule.
  23. Classifique eventos impossível, possível e certo.
  24. Em 40 lançamentos: 22 caras e 18 coroas. Calcule teoria e frequências.
  25. Em 60 lançamentos do dado, saiu 6 oito vezes. Compare teoria e observação.

Gabarito

Abra cada parte somente depois de resolver as atividades.

Gabarito do Pratique 1
  1. Investigação para responder a um objetivo.
  2. Objetivo, perguntas, coleta, organização, interpretação e conclusão.
  3. 750; 150; amostragem.
  4. Censitária.
  5. Pode não representar os demais.
  6. “Qual esporte você prefere?”
  7. Azul 6, verde 4, vermelho 3, amarelo 2.
  8. Azul; amarelo; 4; 15.
  9. 5.
  10. 25.
Gabarito do Pratique 2
  1. Título, categorias, escala, valores, legenda e fonte.
  2. Colunas 12,18,15,25.
  3. 4ª; 1ª; 13 kg; 70 kg.
  4. Futebol; atletismo; 20; 32.
  5. Distâncias iguais representam variações iguais.
  6. 0,20,40,60,80,100.
  7. O recorte amplia a diferença.
  8. Verde; Azul; totais 27 e 30; Verde.
  9. 12,20,10,24.
  10. 3,2,4,5 símbolos.
Gabarito do Pratique 3
  1. Mudanças ao longo do tempo.
  2. Quinta; segunda; 20; 5; total 280.
  3. São categorias sem ordem temporal.
  4. 1/2=50%; 1/4=25%; 1/8=12,5%; 1/8=12,5%.
  5. 30,15,15.
  6. 50%,25%,75%,20%,10%.
  7. 8;13;20.
  8. Total 60; média 15.
  9. 4 L.
  10. Ambas 4.
Gabarito do Pratique 4
  1. Resultado não conhecido antecipadamente.
  2. Aleatório, determinístico, aleatório, determinístico, aleatório.
  3. {cara,coroa}; {1,2,3,4,5,6}; {1,2,3,4,5,6,7,8}.
  4. {1,3,5}; {1,2,3}; {3,4,5,6}; {3,6}.
  5. 1/6;1/2;1/3;0;1.
  6. 1/2;1/3;1/6;0.
  7. 1/2;1/4;1/8;1/8.
  8. Branca; cinza; 1/2,3/10,1/5; não branca 1/2.
  9. Impossível, possível, certo, possível.
  10. Teoria 50%; observada 60%; não precisam coincidir.
Gabarito da revisão e do aprofundamento
  1. Conjunto completo e parte.
  2. 900;180;amostragem.
  3. Objetivo, perguntas, coleta, organização, representação, interpretação, conclusão.
  4. Conforme dados.
  5. Ônibus; bicicleta;20;12.
  6. Junho; maio;18 kg;108 kg.
  7. Colunas 24,30,18,36.
  8. 30;15;15;90.
  9. Identificam assunto e valores.
  10. O recorte amplia a diferença.
  11. 12;24;21;30.
  12. Quinta; segunda;20;10;250.
  13. 50%,25%,15%,10%.
  14. 30,15,9,6.
  15. 10;13;8.
  16. Total 80; média 16.
  17. Ambas 6.
  18. {cara,coroa}; {1,...,6}; {1,...,6}.
  19. 1/2;1/3;1/2;0;1.
  20. 7/15;1/3;1/5.
  21. Azul; amarela;8/15.
  22. 1/2;3/10;1/5.
  23. Impossível, possível, certo, possível.
  24. 50%;55%;45%.
  25. 1/6;2/15; podem variar.