Estatística e probabilidade

Tabelas e gráficos aparecem em pesquisas, notícias e situações escolares. A Estatística ajuda a coletar, organizar, representar e interpretar dados. A Probabilidade estuda as possibilidades de ocorrência de resultados.

1. Pesquisa estatística

Uma pesquisa começa com um objetivo claro, seguido da escolha de quem participará, elaboração das perguntas, coleta, organização, representação, interpretação e conclusão.

Definir objetivo Elaborar perguntas Coletar Organizar Representar dados Interpretar Concluir

População e amostra

A população é o conjunto completo que desejamos estudar. A amostra é uma parte desse conjunto. Quando todos participam, a pesquisa é censitária; quando apenas uma parte participa, é por amostragem.

Uma escola com 800 estudantes entrevista 200 de diferentes anos e turnos: população de 800, amostra de 200 e pesquisa por amostragem.

Frequência absoluta

A frequência absoluta indica quantas vezes cada resposta aparece. A soma das frequências deve ser igual ao total de respostas.

Fruta Frequência
Banana 8
Maçã 6
Laranja 3
Uva 3
Total 20
Pratique pesquisa e frequência
  1. Explique o que é uma pesquisa estatística.
  2. Ordene: interpretar, coletar, definir objetivo, organizar, elaborar perguntas e concluir.
  3. Uma escola tem 750 estudantes e entrevista 150. Identifique população, amostra e tipo.
  4. Todos os 32 estudantes de uma turma responderam. Classifique a pesquisa.
  5. Explique por que entrevistar somente uma equipe pode não representar a escola.
  6. Reescreva sem influência: “Você concorda que futebol é o esporte mais interessante?”
  7. Construa uma tabela para: azul, verde, azul, vermelho, azul, verde, amarelo, azul, vermelho, verde, azul, amarelo, verde, azul, vermelho.
  8. Com esses dados, identifique maior, menor, frequência de verde e total.
  9. Numa pesquisa com 40 estudantes: leitura 12, música 15, teatro 8 e dança ?. Determine dança.
  10. Some as frequências 9, 7, 5 e 4.

2. Gráficos de colunas e barras

Um gráfico deve apresentar título, categorias, escala, valores, legenda quando necessária e fonte quando informada. No gráfico de colunas, as categorias aparecem geralmente no eixo horizontal.

Livros lidos pelas turmas 0 5 10 15 20 25 18 25 15 22 A B C D

A escala precisa manter intervalos iguais. Um eixo recortado pode ampliar visualmente uma diferença; por isso, observe sempre onde a escala começa.

Colunas agrupadas

Duas colunas por categoria permitem comparar dois grupos e exigem uma legenda. No exemplo, as colunas azuis representam a Turma A e as verdes representam a Turma B.

Pictogramas

Um pictograma usa símbolos. A legenda é indispensável: se uma muda representa 5 árvores, quatro mudas representam 20 árvores.

Livros lidos em dois meses 0 5 10 15 20 25 Março Abril Maio Turma A: 12, 18, 20 Turma B: 15, 16, 22 Árvores plantadas Equipe A Equipe B Equipe C Equipe D ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ Legenda: ♣ = 5 árvores
Pratique gráficos de colunas, barras e pictogramas
  1. Liste os elementos necessários para interpretar um gráfico.
  2. Construa um gráfico para 12, 18, 15 e 25 kg coletados em quatro semanas.
  3. Determine maior semana, menor, diferença e total.
  4. Leia o gráfico esportivo abaixo.
  5. Explique por que os intervalos da escala devem ser iguais.
  6. Escolha uma escala para 20, 40, 60, 80 e 100.
  7. Explique o efeito de eixos começando em 0 e 85 para valores 90 e 100.
  8. Compare as equipes do gráfico agrupado abaixo.
  9. Se um símbolo representa 4 livros, calcule 3, 5, 2,5 e 6 símbolos.
  10. Crie pictograma para 12, 8, 16 e 20 caixas, com 1 símbolo = 4 caixas.
Preferências esportivas Futebol Vôlei Natação Atletismo Outros 18 12 8 5 7 Pontos por rodada 0 5 10 15 20 1 2 3 Equipe azul: 8, 12 e 7 Equipe verde: 10, 9 e 11

3. Gráficos de linhas, setores e média

O gráfico de linhas mostra mudanças ao longo do tempo. Pontos representam os valores e são ligados para evidenciar aumentos e diminuições.

Água no reservatório Seg Ter Qua Qui Sex 600 750 700 900 850

Gráfico de setores

O círculo representa \(100\%\) ou \(360^\circ\). Em 40 respostas, 20 correspondem a metade, 10 a um quarto e 5 a um oitavo.

Esporte: 50% Música: 25% Leitura: 12,5% Jogos: 12,5%

Média aritmética

Somamos os valores e dividimos pela quantidade de dados. Para 12, 18, 10 e 20 páginas:

\[(12+18+10+20)\div4=15\]

A média pode não aparecer entre os valores originais e não informa sozinha como os dados estão distribuídos.

Pratique linhas, setores e média
  1. Para quais situações o gráfico de linhas é adequado?
  2. Use a tabela: visitantes 40, 55, 50, 70 e 65 de segunda a sexta. Determine maior, menor, variações e total.
  3. Explique por que linhas não são ideais para sabores preferidos.
  4. Em 40 pessoas: 20 esporte, 10 música, 5 leitura e 5 teatro. Determine frações e porcentagens.
  5. Num gráfico: metade A, um quarto B e um quarto C. Para 60 pessoas, determine frequências.
  6. Complete 1/2, 1/4, 3/4, 1/5 e 1/10 em porcentagem.
  7. Calcule médias de (6,8,10), (12,15,9,16) e (20,25,15,10,30).
  8. Uma equipe marcou 14, 18, 12 e 16. Calcule total e média.
  9. Calcule a capacidade média de 2 L, 4 L, 3 L e 7 L.
  10. Compare as médias de (4,4,4,4) e (1,3,5,7).

4. Probabilidade

Um experimento aleatório tem resultado desconhecido antes da realização. No dado comum, \(S=\{1,2,3,4,5,6\}\); na moeda, \(S=\{\text{cara},\text{coroa}\}\).

Quando os resultados são igualmente possíveis:

\[P(A)=\frac{\text{resultados favoráveis}}{\text{resultados possíveis}}\]

No dado, os números pares são \(\{2,4,6\}\). Existem três resultados favoráveis entre seis possíveis:

\[P(\text{par})=\frac{3}{6}=\frac12=50\%\]

Evento impossível, possível e certo

Evento no lançamento
de um dado comum		 Resultados favoráveis Probabilidade Classificação
Obter o número 8 nenhum \(0\) impossível
Obter um número par \(\{2,4,6\}\) \(3/6=1/2\) possível
Obter um número de 1 a 6 \(\{1,2,3,4,5,6\}\) \(6/6=1\) certo
Impossível obter 8 P = 0 Possível obter número par P = 1/2 Certo obter de 1 a 6 P = 1
Roleta Sacola: 10 fichas

A frequência observada pode diferir da probabilidade teórica. Em 20 lançamentos de uma moeda, 12 caras correspondem a \(12/20=60\%\), embora a probabilidade teórica seja \(50\%\).

Pratique probabilidade
  1. Defina experimento aleatório e dê exemplo.
  2. Classifique lançamento de dado, 7+8, sorteio sem olhar, caixa só verde e roleta.
  3. Escreva espaços amostrais de moeda, dado e fichas de 1 a 8.
  4. No dado, escreva resultados de ímpar, menor que 4, maior que 2 e múltiplo de 3.
  5. Calcule probabilidades de 5, par, menor que 3, 9 e número de 1 a 6.
  6. Numa sacola há 6 fichas vermelhas, 4 azuis e 2 amarelas. Ao retirar uma ficha ao acaso, calcule a probabilidade de ela ser vermelha, azul, amarela ou verde.
  7. Ao girar a roleta abaixo, calcule a probabilidade de o ponteiro parar em cada uma das cores.
  8. Com 5 brancas, 3 pretas e 2 cinzas, compare e calcule probabilidades.
  9. Classifique eventos impossível, possível ou certo no dado.
  10. Em 30 lançamentos, cara apareceu 18 vezes. Compare teoria e frequência observada.

Para lembrar

População é o conjunto completo; amostra é uma parte. A soma das frequências é o total. Gráficos precisam de escala e título. Média é soma dividida pela quantidade. Probabilidade varia de 0 a 1.
Atividades de revisão e aprofundamento
  1. Diferencie população e amostra.
  2. Escola com 900 estudantes entrevista 180: identifique população, amostra e tipo.
  3. Ordene as etapas da pesquisa.
  4. Monte tabela para: ônibus 8, a pé 5, carro 4, bicicleta 3.
  5. Identifique maior, menor, total e quantos não usam ônibus.
  6. Interprete 24, 30, 18 e 36 kg coletados de março a junho.
  7. Construa gráfico com escala de 6 em 6.
  8. Para barras 15, 25, 20 e 30, determine maior, menor, diferença e soma.
  9. Explique título e escala.
  10. Explique eixos iniciando em 0 e 80 para valores 85 e 100.
  11. Com 1 símbolo=6 objetos, calcule 2, 4, 3,5 e 5 símbolos.
  12. Para visitantes 35,50,45,65,55, determine extremos, variações e total.
  13. Em 80 pessoas: 40 A,20 B,12 C,8 D. Calcule porcentagens.
  14. De 60 pessoas: 50%,25%,15%,10%. Calcule frequências.
  15. Calcule médias de (7,9,11,13), (14,10,16,12) e (5,8,6,9,12).
  16. Calcule total e média de 18,12,20,14,16.
  17. Compare médias de (6,6,6,6) e (2,4,8,10).
  18. Escreva espaços amostrais de moeda, dado e fichas 1 a 6.
  19. No dado, calcule ímpar, maior que 4, múltiplo de 2, número 8 e menor que 7.
  20. Uma sacola contém 7 fichas azuis, 5 verdes e 3 amarelas. Ao retirar uma ficha ao acaso, calcule a probabilidade de obter cada uma das cores.
  21. Indique mais provável, menos provável e não azul.
  22. Roleta com 5 vermelhos,3 azuis,2 amarelos: calcule.
  23. Classifique eventos impossível, possível e certo.
  24. Em 40 lançamentos: 22 caras e 18 coroas. Calcule teoria e frequências.
  25. Em 60 lançamentos do dado, saiu 6 oito vezes. Compare teoria e observação.
Gabaritos

Pratique 1

  1. Investigação para responder a um objetivo.
  2. Objetivo, perguntas, coleta, organização, interpretação e conclusão.
  3. 750; 150; amostragem.
  4. Censitária.
  5. Pode não representar os demais.
  6. “Qual esporte você prefere?”
  7. Azul 6, verde 4, vermelho 3, amarelo 2.
  8. Azul; amarelo; 4; 15.
  9. 5.
  10. 25.

Pratique 2

  1. Título, categorias, escala, valores, legenda e fonte.
  2. Colunas 12,18,15,25.
  3. 4ª; 1ª; 13 kg; 70 kg.
  4. Futebol; atletismo; 20; 32.
  5. Distâncias iguais representam variações iguais.
  6. 0,20,40,60,80,100.
  7. O recorte amplia a diferença.
  8. Verde; Azul; totais 27 e 30; Verde.
  9. 12,20,10,24.
  10. 3,2,4,5 símbolos.

Pratique 3

  1. Mudanças ao longo do tempo.
  2. Quinta; segunda; 20; 5; total 280.
  3. São categorias sem ordem temporal.
  4. 1/2=50%; 1/4=25%; 1/8=12,5%; 1/8=12,5%.
  5. 30,15,15.
  6. 50%,25%,75%,20%,10%.
  7. 8;13;20.
  8. Total 60; média 15.
  9. 4 L.
  10. Ambas 4.

Pratique 4

  1. Resultado não conhecido antecipadamente.
  2. Aleatório, determinístico, aleatório, determinístico, aleatório.
  3. {cara,coroa}; {1,2,3,4,5,6}; {1,2,3,4,5,6,7,8}.
  4. {1,3,5}; {1,2,3}; {3,4,5,6}; {3,6}.
  5. 1/6;1/2;1/3;0;1.
  6. 1/2;1/3;1/6;0.
  7. 1/2;1/4;1/8;1/8.
  8. Branca; cinza; 1/2,3/10,1/5; não branca 1/2.
  9. Impossível, possível, certo, possível.
  10. Teoria 50%; observada 60%; não precisam coincidir.

Revisão

  1. Conjunto completo e parte.
  2. 900;180;amostragem.
  3. Objetivo, perguntas, coleta, organização, representação, interpretação, conclusão.
  4. Conforme dados.
  5. Ônibus; bicicleta;20;12.
  6. Junho; maio;18 kg;108 kg.
  7. Colunas 24,30,18,36.
  8. 30;15;15;90.
  9. Identificam assunto e valores.
  10. O recorte amplia a diferença.
  11. 12;24;21;30.
  12. Quinta; segunda;20;10;250.
  13. 50%,25%,15%,10%.
  14. 30,15,9,6.
  15. 10;13;8.
  16. Total 80; média 16.
  17. Ambas 6.
  18. {cara,coroa}; {1,...,6}; {1,...,6}.
  19. 1/2;1/3;1/2;0;1.
  20. 7/15;1/3;1/5.
  21. Azul; amarela;8/15.
  22. 1/2;3/10;1/5.
  23. Impossível, possível, certo, possível.
  24. 50%;55%;45%.
  25. 1/6;2/15; podem variar.
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