Operações e expressões com números inteiros
Introdução
Na postagem anterior, estudamos como representar, comparar, adicionar e subtrair números inteiros. Agora, ampliaremos esses conhecimentos com a multiplicação, a divisão, a potenciação e a raiz quadrada exata.
Também resolveremos expressões numéricas nas quais aparecem diferentes operações. Para obter o resultado correto, será necessário observar a ordem em que os cálculos devem ser realizados.
Essas operações aparecem em situações envolvendo variações repetidas de temperatura, pontuações, penalidades, deslocamentos, saldos, níveis acima ou abaixo de uma referência e organização de quantidades em grupos iguais.
Habilidades da BNCC
EF07MA04: resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.
EF07MA05: resolver um mesmo problema utilizando diferentes algoritmos.
Organização pedagógica
- Multiplicação de números inteiros.
- Propriedades da multiplicação.
- Divisão exata de números inteiros.
- Potenciação com base inteira.
- Diferença entre \((-a)^n\) e \(-a^n\).
- Raiz quadrada exata de números inteiros.
- Expressões numéricas.
- Ordem das operações.
- Uso de parênteses, colchetes e chaves.
- Resolução de problemas.
1. Multiplicação de números inteiros
No 6º ano, aprendemos que uma multiplicação pode representar uma adição de parcelas iguais.
Por exemplo:
Essa ideia também pode ser utilizada para compreender a multiplicação envolvendo números inteiros.
Número positivo multiplicado por número negativo
Observe:
Essa multiplicação representa quatro parcelas iguais a \(-3\):
Portanto:
Quando um número positivo é multiplicado por um número negativo, o resultado é negativo.
Exemplo resolvido 1
Em um jogo, uma equipe recebeu quatro penalidades de 3 pontos cada. Qual foi a alteração total na pontuação?
Cada penalidade é representada por \(-3\):
Resposta: a equipe perdeu 12 pontos.
Exemplo resolvido 2
A temperatura no interior de uma câmara diminuiu \(2\ ^\circ\text{C}\) por hora durante cinco horas. Qual foi a variação total da temperatura?
Cada diminuição é representada por \(-2\):
A variação foi de \(-10\ ^\circ\text{C}\).
Resposta: a temperatura diminuiu \(10\ ^\circ\text{C}\) durante o período.
Número negativo multiplicado por número positivo
Considere:
Os fatores possuem sinais diferentes. Por isso, o resultado é negativo:
A ordem dos fatores não altera o produto:
Exemplo resolvido 3
Um equipamento subaquático desceu 6 metros em cada etapa. Depois de quatro etapas, qual foi a variação total de sua posição?
Cada descida é representada por \(-6\):
Resposta: a posição do equipamento variou \(-24\) metros, o que corresponde a uma descida de 24 metros.
Número negativo multiplicado por número negativo
Para compreender o produto de dois números negativos, observe a sequência:
Na coluna da esquerda, o primeiro fator diminui uma unidade em cada linha:
Na coluna da direita, os produtos aumentam quatro unidades:
O segundo fator permanece igual a \(-4\) durante toda a sequência.
Portanto, o produto de dois números negativos é positivo.
Regra dos sinais na multiplicação
| Sinal do primeiro fator | Sinal do segundo fator | Sinal do produto |
|---|---|---|
| Positivo | Positivo | Positivo |
| Positivo | Negativo | Negativo |
| Negativo | Positivo | Negativo |
| Negativo | Negativo | Positivo |
De forma resumida:
Fatores com sinais iguais produzem resultado positivo. Fatores com sinais diferentes produzem resultado negativo.
Exemplo resolvido 4
Calcule:
Os fatores possuem sinais iguais. Portanto, o produto será positivo.
Logo:
Exemplo resolvido 5
Calcule:
Os fatores possuem sinais diferentes. Portanto, o produto será negativo.
Logo:
Multiplicação por zero
O produto de qualquer número inteiro por zero é igual a zero.
Multiplicação por 1 e por \(-1\)
Multiplicar um número inteiro por \(+1\) não altera o número:
Multiplicar por \(-1\) produz o número oposto:
Exemplo resolvido 6
Uma regra de um jogo determina que uma penalidade deve ter seu sinal invertido quando uma jogada é anulada. Uma equipe havia recebido uma penalidade de \(-8\) pontos. Qual valor representa a anulação dessa penalidade?
Podemos multiplicar a penalidade por \(-1\):
Resposta: a anulação da penalidade corresponde a um acréscimo de 8 pontos.
2. Propriedades da multiplicação
As propriedades da multiplicação ajudam a organizar e simplificar os cálculos.
Propriedade comutativa
A ordem dos fatores não altera o produto.
De modo geral:
Propriedade associativa
Em uma multiplicação com três ou mais fatores, podemos modificar o agrupamento sem alterar o resultado.
Calculando primeiro o que está entre colchetes:
Também podemos agrupar os dois últimos fatores:
Nos dois casos, o resultado foi \(+30\).
De modo geral:
Elemento neutro
O número 1 é o elemento neutro da multiplicação.
Por exemplo:
Propriedade distributiva
A multiplicação pode ser distribuída em relação à adição ou à subtração.
Observe:
Primeiro, resolvendo o que está entre colchetes:
Agora, utilizando a propriedade distributiva:
Os dois procedimentos produziram o mesmo resultado.
Exemplo resolvido 7
Calcule mentalmente:
Podemos escrever 19 como \(20-1\):
Aplicando a propriedade distributiva:
Portanto:
3. Produto de três ou mais números inteiros
Quando uma multiplicação possui três ou mais fatores, podemos calcular os produtos na ordem em que aparecem.
Também podemos determinar previamente o sinal do resultado.
Quantidade de fatores negativos
Em uma multiplicação sem fatores iguais a zero:
- uma quantidade par de fatores negativos produz resultado positivo;
- uma quantidade ímpar de fatores negativos produz resultado negativo.
Exemplo resolvido 8
Calcule:
Existem dois fatores negativos. Como essa quantidade é par, o resultado será positivo.
Multiplicando os módulos:
Portanto:
Exemplo resolvido 9
Calcule:
Existem três fatores negativos. Como essa quantidade é ímpar, o resultado será negativo.
Portanto:
Presença de um fator igual a zero
Se pelo menos um dos fatores for igual a zero, o produto será zero, independentemente dos sinais dos demais fatores.
Exemplo resolvido 10
Determine o produto:
Existem quatro fatores negativos. Como quatro é uma quantidade par, o produto será positivo.
Logo:
4. Divisão exata de números inteiros
A divisão pode ser compreendida como a operação inversa da multiplicação.
Considere:
Procuramos o número que, multiplicado por \(+6\), resulta em \(+24\):
Portanto:
Dividendo negativo e divisor positivo
Como:
temos:
Dividendo positivo e divisor negativo
Como:
temos:
Dividendo e divisor negativos
Como:
temos:
Regra dos sinais na divisão
| Sinal do dividendo | Sinal do divisor | Sinal do quociente |
|---|---|---|
| Positivo | Positivo | Positivo |
| Positivo | Negativo | Negativo |
| Negativo | Positivo | Negativo |
| Negativo | Negativo | Positivo |
Dividendo e divisor com sinais iguais produzem quociente positivo. Dividendo e divisor com sinais diferentes produzem quociente negativo.
Exemplo resolvido 11
Calcule:
Os números possuem sinais diferentes. Portanto, o quociente será negativo.
Logo:
Exemplo resolvido 12
Calcule:
Os números possuem sinais iguais. Portanto, o quociente será positivo.
Logo:
Exemplo resolvido 13
Durante seis rodadas, uma equipe acumulou uma variação total de \(-42\) pontos. Se a variação foi a mesma em cada rodada, qual foi a alteração por rodada?
Resposta: a equipe perdeu 7 pontos em cada rodada.
Exemplo resolvido 14
A temperatura de um equipamento apresentou uma variação total de \(-24\ ^\circ\text{C}\) durante oito intervalos iguais. Qual foi a variação em cada intervalo?
Resposta: a temperatura diminuiu \(3\ ^\circ\text{C}\) em cada intervalo.
Divisão envolvendo o zero
Zero dividido por um número diferente de zero resulta em zero:
Não existe divisão por zero.
não possui resultado definido.
A expressão:
também não possui valor definido.
Atenção: zero pode ser o dividendo, desde que o divisor seja diferente de zero. O zero nunca pode ser utilizado como divisor.
Divisões não exatas
Neste momento, estamos trabalhando com divisões exatas de números inteiros.
O resultado é inteiro.
Entretanto:
O resultado não é inteiro. Portanto, essa divisão não é exata no conjunto dos números inteiros.
Exemplo resolvido 15
Quais divisões são exatas no conjunto dos números inteiros?
Essa divisão é exata.
Essa divisão não é exata no conjunto dos números inteiros.
Essa divisão é exata.
Pratique 1: multiplicação e divisão de números inteiros
- Calcule:
- Determine o sinal de cada produto antes de calcular:
- Calcule os produtos:
- Calcule utilizando a propriedade distributiva:
- Calcule as divisões exatas:
- Uma equipe recebeu cinco penalidades de 4 pontos cada. Represente a situação por meio de uma multiplicação e determine a alteração total.
- A temperatura de uma câmara diminuiu \(3\ ^\circ\text{C}\) por hora durante seis horas. Qual foi a variação total?
- Um equipamento subaquático realizou oito descidas de 5 metros cada. Represente cada descida com um número negativo e determine a variação total.
- Uma equipe acumulou uma variação de \(-54\) pontos em nove rodadas, com a mesma variação em cada uma. Quantos pontos ela perdeu por rodada?
- Um elevador de carga deslocou-se um total de \(-36\) andares durante seis viagens iguais. Qual foi o deslocamento em cada viagem?
5. Potenciação com base inteira
A potenciação é uma forma abreviada de representar uma multiplicação de fatores iguais.
Portanto:
Na potência \(a^n\), \(a\) é a base, \(n\) é o expoente e o resultado é a potência. O expoente indica quantas vezes a base aparece como fator.
Base positiva
Quando a base é positiva, o resultado também é positivo.
Base negativa e expoente par
Quando a base é negativa e o expoente é par, o resultado é positivo.
Isso acontece porque uma quantidade par de fatores negativos produz resultado positivo.
Base negativa e expoente ímpar
Quando a base é negativa e o expoente é ímpar, o resultado é negativo.
Isso acontece porque uma quantidade ímpar de fatores negativos produz resultado negativo.
| Base | Expoente | Sinal da potência |
|---|---|---|
| Negativa | Par | Positivo |
| Negativa | Ímpar | Negativo |
Exemplo resolvido 16
Calcule:
A base é negativa e o expoente é ímpar. Portanto, o resultado será negativo.
Logo:
Exemplo resolvido 17
Calcule:
A base é negativa e o expoente é par. Portanto, o resultado será positivo.
Logo:
Potências com expoente 1
Todo número elevado ao expoente 1 é igual à própria base.
Potências com expoente zero
Todo número diferente de zero elevado ao expoente zero é igual a 1.
A expressão \(0^0\) não possui valor definido nesse contexto.
Potências de zero
Quando o expoente é natural positivo:
Potências de 1 e de \(-1\)
Nas potências de base \(-1\), o resultado depende do expoente:
Expoente par produz \(+1\) e expoente ímpar produz \(-1\).
A importância dos parênteses
Compare:
e:
Na primeira expressão, os parênteses indicam que a base é \(-3\):
Na segunda expressão, a base é apenas 3. O sinal negativo está fora da potência:
Portanto:
Exemplo resolvido 18
Entretanto:
Os parênteses determinam se o sinal negativo faz ou não parte da base.
O oposto de uma potência
Na expressão:
resolvemos primeiro:
Depois:
Exemplo resolvido 19
Calcule:
Primeiro:
Depois:
Portanto:
Exemplo resolvido 20
Em uma atividade, o valor inicial é 1 e cada etapa multiplica o valor anterior por \(-2\). Qual será o valor depois de quatro multiplicações?
Resposta: depois de quatro multiplicações, o valor será \(+16\).
Exemplo resolvido 21
Em um jogo matemático, uma regra aplica o fator \(-3\) três vezes consecutivas a um valor inicial igual a 1.
Resposta: o resultado será \(-27\).
6. Raiz quadrada exata de números inteiros
A raiz quadrada é utilizada para descobrir qual número não negativo, multiplicado por ele mesmo, produz o número indicado.
Por isso:
O símbolo \(\sqrt{\phantom{x}}\) é chamado de radical. O número colocado dentro dele é chamado de radicando.
Quadrados perfeitos
Os números que possuem raiz quadrada exata inteira não negativa são chamados de quadrados perfeitos.
| Número | Potência | Raiz quadrada |
|---|---|---|
| 0 | \(0^2=0\) | \(\sqrt{0}=0\) |
| 1 | \(1^2=1\) | \(\sqrt{1}=1\) |
| 4 | \(2^2=4\) | \(\sqrt{4}=2\) |
| 9 | \(3^2=9\) | \(\sqrt{9}=3\) |
| 16 | \(4^2=16\) | \(\sqrt{16}=4\) |
| 25 | \(5^2=25\) | \(\sqrt{25}=5\) |
| 36 | \(6^2=36\) | \(\sqrt{36}=6\) |
| 49 | \(7^2=49\) | \(\sqrt{49}=7\) |
| 64 | \(8^2=64\) | \(\sqrt{64}=8\) |
| 81 | \(9^2=81\) | \(\sqrt{81}=9\) |
| 100 | \(10^2=100\) | \(\sqrt{100}=10\) |
| 121 | \(11^2=121\) | \(\sqrt{121}=11\) |
| 144 | \(12^2=144\) | \(\sqrt{144}=12\) |
| 169 | \(13^2=169\) | \(\sqrt{169}=13\) |
| 196 | \(14^2=196\) | \(\sqrt{196}=14\) |
| 225 | \(15^2=225\) | \(\sqrt{225}=15\) |
Exemplo resolvido 22
Calcule:
Como:
temos:
Exemplo resolvido 23
Calcule:
Primeiro:
Depois, aplicamos o sinal negativo que está fora do radical:
Raiz quadrada de número negativo
No conjunto dos números inteiros, não existe raiz quadrada de um número negativo.
não representa um número inteiro.
Isso acontece porque:
Da mesma forma:
O quadrado de um número inteiro nunca é negativo.
Atenção: \(-\sqrt{25}=-5\), mas \(\sqrt{-25}\) não representa um número inteiro.
Exemplo resolvido 24
não possui resultado no conjunto dos números inteiros.
Entretanto:
existe, pois o sinal negativo está fora do radical.
Raiz quadrada e medida do lado de um quadrado
A área de um quadrado é:
Quando conhecemos a área, podemos determinar o lado por:
Exemplo resolvido 25
Uma placa quadrada possui área de \(196\text{ cm}^2\). Qual é a medida de cada lado?
Resposta: cada lado mede 14 cm.
Pratique 2: potenciação e raiz quadrada exata
- Calcule:
- Determine apenas o sinal:
- Calcule:
- Calcule e compare:
- Calcule:
- Em uma sequência, o valor inicial é 1 e cada novo valor é obtido multiplicando o anterior por \(-2\). Qual será o valor depois de cinco multiplicações?
- Em um jogo matemático, o valor inicial 1 foi multiplicado quatro vezes consecutivas por \(-3\). Represente utilizando uma potência e determine o resultado.
- Uma placa quadrada possui área de \(144\text{ cm}^2\). Qual é a medida de cada lado?
- Um jardim quadrado ocupa uma área de \(225\text{ m}^2\). Determine a medida de seu lado e de seu perímetro.
- Um painel quadrado possui lado medindo 13 cm.
7. Expressões numéricas com números inteiros
Uma expressão numérica é uma sequência de números ligados por sinais de operações e, em alguns casos, por sinais de associação.
Observe:
Não podemos realizar as operações apenas na ordem em que aparecem. É necessário respeitar uma ordem de resolução.
Ordem das operações
Quando uma expressão apresenta operações diferentes, seguimos esta ordem:
1. potenciações e raízes quadradas;
2. multiplicações e divisões, na ordem em que aparecem;
3. adições e subtrações, na ordem em que aparecem.
Se houver sinais de associação, resolvemos primeiro as operações que estão dentro deles.
Exemplo resolvido 26
Calcule:
Primeiro:
Depois:
Portanto:
Multiplicações e divisões na mesma expressão
Quando uma expressão apresenta apenas multiplicações e divisões, efetuamos as operações na ordem em que aparecem, da esquerda para a direita.
Exemplo resolvido 27
Primeiro:
Depois:
Portanto:
Atenção: multiplicação e divisão possuem a mesma prioridade. Quando aparecem juntas, seguimos a ordem da esquerda para a direita.
Exemplo resolvido 28
Primeiro:
Depois:
Adições e subtrações na mesma expressão
Quando aparecem apenas adições e subtrações, realizamos as operações da esquerda para a direita.
Exemplo resolvido 29
Portanto:
Potenciação em uma expressão numérica
As potências devem ser calculadas antes das multiplicações, divisões, adições e subtrações.
Exemplo resolvido 30
Exemplo resolvido 31
Raiz quadrada em uma expressão numérica
A raiz quadrada deve ser calculada antes das quatro operações fundamentais.
Exemplo resolvido 32
Exemplo resolvido 33
8. Sinais de associação
Utilizamos:
- parênteses: \((\ )\);
- colchetes: \([\ ]\);
- chaves: \(\{\ \}\).
Quando aparecem sinais de associação, geralmente resolvemos nesta ordem:
1. parênteses;
2. colchetes;
3. chaves.
O mais importante é iniciar pela operação que está no agrupamento mais interno.
Exemplo resolvido 34
Exemplo resolvido 35
Primeiro:
Depois:
Finalmente:
Exemplo resolvido 36
Estratégia para resolver expressões numéricas
Antes de iniciar os cálculos:
1. identifique os sinais de associação;
2. localize as potências e as raízes;
3. verifique as multiplicações e as divisões;
4. deixe as adições e as subtrações para o final;
5. registre uma transformação por linha;
6. confira os sinais dos resultados.
Exemplo resolvido 37
Importância de registrar as etapas
Um registro organizado é:
Cada linha apresenta uma etapa e facilita a conferência.
Erros que devem ser evitados
Desrespeitar a ordem das operações
A multiplicação deve ser realizada primeiro:
O cálculo \(5+3=8\) seguido de \(8\cdot4=32\) está incorreto.
Ignorar os parênteses da base
mas:
Aplicar a regra dos sinais à adição
A regra dos sinais pertence à multiplicação e à divisão. Ela não pode ser aplicada diretamente à adição.
Resolver multiplicação e divisão fora da ordem
Resolvendo da esquerda para a direita:
Expressões em situações contextualizadas
Exemplo resolvido 38
A temperatura inicial de uma câmara era de \(-4\ ^\circ\text{C}\). Durante três horas, diminuiu \(2\ ^\circ\text{C}\) por hora. Depois, aumentou \(5\ ^\circ\text{C}\).
Resposta: a temperatura final foi de \(-5\ ^\circ\text{C}\).
Exemplo resolvido 39
Uma equipe iniciou uma rodada com 15 pontos. Recebeu quatro penalidades de 6 pontos e depois ganhou um bônus de 10 pontos.
Resposta: a equipe terminou com \(+1\) ponto.
Exemplo resolvido 40
Uma conta apresentava saldo devedor de 60 reais. Foram realizados três depósitos de 25 reais e duas retiradas de 12 reais.
Resposta: a conta terminou com saldo devedor de 9 reais.
Pratique 3: expressões numéricas
1. Resolva:
2. Resolva da esquerda para a direita:
3. Resolva:
4. Calcule:
5. Compare utilizando \(<\), \(>\) ou \(=\):
6. A temperatura inicial de uma câmara era de \(-6\ ^\circ\text{C}\). Durante quatro horas, diminuiu \(3\ ^\circ\text{C}\) por hora. Depois, aumentou \(5\ ^\circ\text{C}\).
7. Uma equipe iniciou uma fase com 12 pontos. Recebeu três penalidades de 5 pontos e ganhou um bônus de 8 pontos.
8. Um elevador partiu do segundo subsolo. Realizou quatro deslocamentos de 3 andares para cima e depois desceu 5 andares.
9. Uma conta apresentava saldo devedor de 40 reais. Foram realizados três depósitos de 25 reais e duas retiradas de 18 reais.
10. Um equipamento estava a 10 metros abaixo do nível do mar. Depois, realizou duas descidas de 6 metros e uma subida correspondente a \(\sqrt{81}\) metros.
9. Diferentes estratégias de resolução
Uma expressão numérica pode ser resolvida por estratégias diferentes, desde que todas respeitem a ordem das operações.
Em alguns casos, podemos calcular diretamente. Em outros, uma propriedade pode tornar o cálculo mais simples.
Cálculo direto
Considere:
Primeiro, resolvemos a operação que está entre colchetes:
Depois:
Uso da propriedade distributiva
A mesma expressão pode ser resolvida por meio da propriedade distributiva:
As duas estratégias produziram o mesmo resultado.
Exemplo resolvido 41
Resolva de duas maneiras:
Primeira maneira, calculando inicialmente o que está entre colchetes:
Segunda maneira, utilizando a propriedade distributiva:
Portanto:
Decomposição de números
Também podemos decompor um número para facilitar uma multiplicação.
Exemplo resolvido 42
Calcule:
Podemos escrever 19 como \(20-1\):
Aplicando a propriedade distributiva:
Portanto:
Estimativa do sinal
Antes de efetuar os cálculos, é importante prever se o resultado será positivo, negativo ou igual a zero.
Considere:
A potência possui base negativa e expoente ímpar. Portanto, seu resultado é negativo.
O produto de um número positivo por um número negativo também é negativo.
Assim, antes mesmo de calcular, sabemos que a soma dos dois resultados será negativa.
Exemplo resolvido 43
Determine inicialmente o sinal e depois calcule:
A potência \((-4)^3\) é negativa:
O produto \(3\cdot(-6)\) também é negativo:
Substituindo os resultados:
Resposta: o resultado é negativo e igual a \(-46\).
10. Da situação-problema para a expressão numérica
Em muitas situações, precisamos transformar as informações apresentadas no texto em uma expressão numérica.
Para isso, devemos identificar:
1. o valor inicial;
2. as variações positivas e negativas;
3. as repetições de uma mesma variação;
4. a ordem em que os acontecimentos ocorreram;
5. a pergunta que deverá ser respondida.
Variações repetidas
Quando uma mesma alteração ocorre várias vezes, podemos representá-la por meio de uma multiplicação.
Por exemplo, quatro diminuições de 3 unidades podem ser representadas por:
Exemplo resolvido 44
Um mergulhador estava a 8 metros abaixo do nível do mar. Em seguida, realizou três descidas de 5 metros cada e duas subidas de 4 metros cada. Qual foi sua posição final?
A posição inicial é representada por \(-8\).
Cada descida corresponde a \(-5\), e cada subida corresponde a \(+4\).
A expressão que representa a situação é:
Primeiro, calculamos as multiplicações:
Depois:
Resposta: o mergulhador terminou a 15 metros abaixo do nível do mar.
Exemplo resolvido 45
Uma equipe iniciou uma etapa com \(-6\) pontos. Conquistou cinco bônus de 4 pontos cada e recebeu duas penalidades de 7 pontos cada. Qual foi sua pontuação final?
A expressão é:
Resolvendo as multiplicações:
Agora:
Resposta: a equipe terminou a etapa com 0 ponto.
Exemplo resolvido 46
Um elevador estava no terceiro subsolo, representado por \(-3\). Subiu quatro vezes 5 andares, desceu três vezes 4 andares e, por fim, subiu uma quantidade de andares correspondente a \(\sqrt{25}\). Em qual andar o elevador parou?
A expressão é:
Calculando a raiz e as multiplicações:
Substituindo:
Resposta: o elevador parou no décimo andar.
Pratique 4: estratégias, análise de erros e situações-problema
1. Resolva cada expressão de duas maneiras: calculando primeiro o que está entre os sinais de associação e utilizando a propriedade distributiva.
2. Um estudante afirmou que:
Explique o erro e apresente o resultado correto.
3. Um estudante registrou:
Explique por que o resultado está incorreto e apresente o cálculo correto.
4. Para resolver:
um estudante multiplicou \(6\cdot2\) e depois calculou \(24\div12=2\).
Explique o erro e determine o resultado correto.
5. Insira parênteses somente quando forem necessários para que as igualdades sejam verdadeiras.
6. Uma equipe começou uma etapa com \(-10\) pontos. Depois, obteve quatro ganhos de 7 pontos cada e recebeu três penalidades de 6 pontos cada.
7. A temperatura inicial de uma câmara era de \(+5\ ^\circ\text{C}\). Durante cinco intervalos, a temperatura diminuiu \(4\ ^\circ\text{C}\) em cada um. Depois, aumentou uma quantidade correspondente a \(\sqrt{81}\ ^\circ\text{C}\).
8. Um equipamento estava 12 metros acima do nível do mar. Em seguida, realizou quatro descidas de 8 metros cada e duas subidas de 5 metros cada.
9. Uma conta apresentava saldo devedor de 90 reais. Foram realizados quatro depósitos de 30 reais e três retiradas de 15 reais.
10. Um elevador estava no quarto subsolo. Depois, realizou três deslocamentos de 6 andares para cima, dois deslocamentos de 5 andares para baixo e, por fim, subiu uma quantidade de andares correspondente a \(\sqrt{16}\).
Revisão e aprofundamento
1. Calcule as multiplicações:
2. Calcule as divisões exatas:
3. Calcule os produtos:
4. Calcule as potências:
5. Compare utilizando \(<\), \(>\) ou \(=\):
6. Calcule as raízes quadradas exatas:
7. Resolva as expressões:
8. Resolva:
9. Determine o número inteiro que deve substituir o quadrado:
10. Analise as afirmações:
Indique quais afirmações estão corretas e corrija as incorretas.
11. A temperatura inicial de uma câmara era de \(-8\ ^\circ\text{C}\). Durante cinco intervalos, diminuiu \(2\ ^\circ\text{C}\) em cada um. Depois, aumentou uma quantidade correspondente a \(\sqrt{64}\ ^\circ\text{C}\).
12. Uma equipe começou uma fase com 20 pontos. Recebeu quatro penalidades de 7 pontos e conquistou três bônus de 5 pontos. Escreva uma expressão e determine a pontuação final.
13. Um equipamento estava a 15 metros abaixo do nível do mar. Em seguida, realizou três descidas de 12 metros e quatro subidas de 8 metros. Escreva uma expressão e determine sua posição final.
14. Uma conta apresentava saldo devedor de 120 reais. Foram realizados cinco depósitos de 35 reais e quatro retiradas de 20 reais. Escreva uma expressão e determine o saldo final.
15. Um elevador estava no terceiro subsolo. Depois, subiu quatro vezes 5 andares, desceu três vezes 4 andares e, por fim, subiu uma quantidade de andares correspondente a \(\sqrt{25}\). Escreva uma expressão e determine o andar final.
16. Uma praça quadrada possui área de \(196\text{ m}^2\).
17. Em uma sequência, o primeiro termo é 1 e cada termo seguinte é obtido multiplicando o anterior por \(-2\).
18. Durante sete rodadas, uma equipe apresentou uma variação total de \(-42\) pontos, com a mesma variação em cada rodada.
19. Um jogo matemático utiliza a expressão:
20. Duas equipes participaram de um desafio.
A equipe A iniciou com 0 ponto, recebeu três penalidades de 8 pontos e conquistou dois bônus de 5 pontos.
A equipe B iniciou com 0 ponto, recebeu duas penalidades de 9 pontos e conquistou um bônus correspondente a \(\sqrt{16}\) pontos.
Gabarito do Pratique 1
1. a) \(+56\); b) \(-54\); c) \(-60\); d) \(+44\); e) \(0\).
2. a) positivo, \(+56\); b) negativo, \(-54\); c) negativo, \(-45\); d) positivo, \(+70\); e) zero.
3. a) \(+30\); b) \(-48\); c) \(-30\); d) \(-56\); e) \(0\).
4. a) \(-48\); b) \(+102\); c) \(-30\); d) \(-77\); e) \(+72\).
5. a) \(+9\); b) \(-9\); c) \(-8\); d) \(+14\); e) \(0\).
6. A expressão é \(5\cdot(-4)\). A alteração total foi de \(-20\) pontos, ou seja, a equipe perdeu 20 pontos.
7. A expressão é \(6\cdot(-3)\). A variação total foi de \(-18\ ^\circ\text{C}\), ou seja, a temperatura diminuiu \(18\ ^\circ\text{C}\).
8. A expressão é \(8\cdot(-5)\). A variação total foi de \(-40\) metros, correspondente a uma descida de 40 metros.
9. \((-54)\div(+9)=-6\). A equipe perdeu 6 pontos por rodada.
10. \((-36)\div(+6)=-6\). O deslocamento em cada viagem foi de \(-6\) andares, correspondente a uma descida de 6 andares.
Gabarito do Pratique 2
1. a) \(81\); b) \(-32\); c) \(25\); d) \(-64\); e) \(1000\).
2. a) positivo; b) negativo; c) positivo; d) negativo; e) positivo.
3. a) \(-8\); b) \(1\); c) \(0\); d) \(+1\); e) \(-1\).
4. a) \((-4)^2=+16\) e \(-4^2=-16\).
5. a) \(7\); b) \(10\); c) \(13\); d) \(-11\); e) \(15\).
6. \(1\cdot(-2)^5=-32\). Depois de cinco multiplicações, o valor será \(-32\).
7. \(1\cdot(-3)^4=+81\). O resultado será \(+81\).
8. \(\sqrt{144}=12\). Cada lado mede 12 cm.
9. \(\sqrt{225}=15\). O lado mede 15 m e o perímetro é \(4\cdot15=60\) m.
10. a) \(13^2=169\). A área é \(169\text{ cm}^2\).
Gabarito do Pratique 3
1. a) \(30\); b) \(3\); c) \(7\); d) \(3\); e) \(-18\).
2. a) \(24\); b) \(-18\); c) \(6\); d) \(2\); e) \(-14\).
3. a) \(12\); b) \(6\); c) \(24\); d) \(6\); e) \(18\).
4. a) \(4\); b) \(24\); c) \(-18\); d) \(13\); e) \(3\).
5. a) \(>\); b) \(=\); c) \(=\); d) \(<\); e) \(>\).
6. a) \((-6)+4\cdot(-3)+(+5)\).
7. a) \(12+3\cdot(-5)+8\).
8. a) \((-2)+4\cdot(+3)+(-5)\).
9. a) \((-40)+3\cdot(+25)+2\cdot(-18)\).
10. a) \((-10)+2\cdot(-6)+\sqrt{81}\).
Gabarito do Pratique 4
1. a) \(-20\); b) \(48\); c) \(-80\); d) \(-70\); e) \(80\).
Em cada item, é possível calcular inicialmente o que está entre os sinais de associação ou aplicar a propriedade distributiva.
2. O produto de dois números negativos é positivo. Portanto:
3. Os parênteses indicam que a base é \(-3\). Como o expoente é par:
4. Multiplicação e divisão possuem a mesma prioridade e devem ser realizadas da esquerda para a direita:
5. a) \((-3)^2=+9\). Os parênteses são necessários.
6. a) \((-10)+4\cdot(+7)+3\cdot(-6)\).
7. a) \(5+5\cdot(-4)+\sqrt{81}\).
8. a) \(12+4\cdot(-8)+2\cdot(+5)\).
9. a) \((-90)+4\cdot(+30)+3\cdot(-15)\).
10. a) \((-4)+3\cdot(+6)+2\cdot(-5)+\sqrt{16}\).
Gabarito da revisão e do aprofundamento
1. a) \(+56\); b) \(-54\); c) \(-48\); d) \(+45\); e) \(0\); f) \(+18\).
2. a) \(+9\); b) \(-9\); c) \(-8\); d) \(+7\); e) \(0\); f) \(-12\).
3. a) \(+30\); b) \(-48\); c) \(-60\); d) \(+24\); e) \(0\).
4. a) \(81\); b) \(-64\); c) \(64\); d) \(-5\); e) \(1\); f) \(-1\).
5. a) \(>\); b) \(=\); c) \(<\); d) \(>\); e) \(<\).
6. a) \(6\); b) \(11\); c) \(14\); d) \(-12\); e) \(15\); f) \(0\).
7. a) \(-9\); b) \(-5\); c) \(-11\); d) \(18\); e) \(-7\).
8. a) \(20\); b) \(8\); c) \(12\); d) \(-4\); e) \(-30\).
9. a) \(-6\); b) \(-48\); c) \(-40\); d) \(-7\); e) \(+12\).
10. Somente a afirmação V está correta.
11. a) \((-8)+5\cdot(-2)+\sqrt{64}\).
12. \(20+4\cdot(-7)+3\cdot(+5)=20-28+15=7\). A equipe terminou com \(+7\) pontos.
13. \((-15)+3\cdot(-12)+4\cdot(+8)=-15-36+32=-19\). O equipamento terminou a 19 metros abaixo do nível do mar.
14. \((-120)+5\cdot(+35)+4\cdot(-20)=-120+175-80=-25\). A conta terminou com saldo devedor de 25 reais.
15. \((-3)+4\cdot(+5)+3\cdot(-4)+\sqrt{25}=-3+20-12+5=10\). O elevador parou no décimo andar.
16. a) \(\sqrt{196}=14\). Cada lado mede 14 m.
17. a) \(1,\ -2,\ 4,\ -8,\ 16,\ -32\).
18. a) \((-42)\div7=-6\). A variação foi de \(-6\) pontos por rodada.
19. a) \((-3)^2=9\), \(4\cdot(-5)=-20\) e \(\sqrt{144}=12\).
20. a) Equipe A: \(3\cdot(-8)+2\cdot(+5)\).
Equipe B: \(2\cdot(-9)+\sqrt{16}\).
Equipe B: \(-18+4=-14\) pontos.