1. Triângulos no projeto de uma cobertura
Uma estrutura triangular possui lados medindo 5 m, 5 m e 8 m. Classifique o triângulo quanto aos lados. Se outra estrutura tiver lados 6 m, 7 m e 8 m, qual será sua classificação? Explique o critério utilizado.
2. Classificação pelos ângulos
Um arquiteto desenhou três peças triangulares. A primeira possui ângulos de 60°, 60° e 60°; a segunda, 35°, 55° e 90°; e a terceira, 25°, 40° e 115°. Classifique cada triângulo quanto aos ângulos.
3. A soma dos ângulos internos
Em um triângulo, dois ângulos medem 48° e 67°. Determine a medida do terceiro ângulo. Depois, explique qual propriedade dos triângulos permite encontrar a resposta.
4. Ângulo desconhecido
Uma placa triangular possui ângulos internos medindo x, 2x e 3x. Determine x e as medidas dos três ângulos. Classifique o triângulo quanto aos ângulos.
5. É possível construir?
Um estudante dispõe de três hastes com 4 cm, 6 cm e 11 cm. Ele afirma que pode formar um triângulo com elas. Verifique a afirmação usando a condição de existência de um triângulo. Depois, analise se hastes de 5 cm, 7 cm e 9 cm formariam um triângulo.
6. Construção com régua e compasso
Descreva como construir um triângulo cujos lados medem 5 cm, 6 cm e 7 cm usando régua e compasso. Explique por que os arcos traçados pelo compasso determinam a posição do terceiro vértice.
7. Triângulo isósceles
Uma peça triangular isósceles possui um ângulo do vértice medindo 44°. Determine a medida de cada ângulo da base. Que propriedade do triângulo isósceles foi utilizada?
8. Ângulo externo
Em um triângulo, dois ângulos internos não adjacentes a um ângulo externo medem 52° e 71°. Qual é a medida desse ângulo externo? Determine também o ângulo interno adjacente a ele.
9. Polígonos no piso
Um piso decorativo utiliza peças em forma de triângulo, quadrilátero, pentágono, hexágono e octógono. Indique o número de lados e de vértices de cada polígono. Qual deles possui o maior número de diagonais partindo de um único vértice?
10. Regular ou não regular?
Uma praça possui formato hexagonal com todos os lados iguais, mas seus ângulos internos não têm todos a mesma medida. Ela pode ser classificada como um hexágono regular? Explique quais condições um polígono deve satisfazer para ser regular.
11. Diagonais de um polígono
De um único vértice de um octógono, quantas diagonais podem ser traçadas? E de um decágono? Explique por que não podemos ligar o vértice escolhido a ele mesmo nem aos dois vértices vizinhos para formar diagonais.
12. Soma dos ângulos de um quadrilátero
Os ângulos internos de um quadrilátero medem 85°, 110°, 72° e x. Determine x. Explique como a divisão do quadrilátero em triângulos ajuda a compreender a soma de seus ângulos internos.
13. Dividindo polígonos em triângulos
Ao traçar diagonais a partir de um único vértice, um pentágono pode ser dividido em quantos triângulos? E um hexágono? Use essa regularidade para determinar em quantos triângulos um decágono pode ser dividido.
14. Soma dos ângulos internos
Utilizando a decomposição em triângulos, determine a soma dos ângulos internos de:
a) um pentágono;
b) um hexágono;
c) um octógono.
Mostre a relação entre o número de lados e o número de triângulos formados.
15. Ângulos de um polígono regular
Uma peça decorativa tem a forma de um hexágono regular. Determine a medida de cada ângulo interno. Depois, determine cada ângulo interno de um octógono regular e compare os resultados.
16. Construindo a mediatriz
Um segmento AB representa a distância entre duas casas. Deseja-se localizar todos os pontos que ficam à mesma distância de A e B. Que reta representa esse conjunto de pontos? Descreva como construí-la usando régua e compasso.
17. Construindo a bissetriz
Duas ruas formam um ângulo de 80°. Uma ciclovia será construída exatamente na direção que divide esse ângulo em duas partes iguais. Qual será a medida de cada parte? Como essa direção pode ser construída com régua e compasso?
18. O erro na construção
Para construir a mediatriz de um segmento, um estudante marcou visualmente o ponto que parecia ser o meio e traçou uma reta perpendicular. Explique por que esse procedimento não garante uma construção geométrica precisa e descreva como o compasso resolve o problema.
19. Projeto de um jardim regular
Um jardim terá formato de pentágono regular.
a) Quantos lados, vértices e diagonais ele possui?
b) Qual é a soma dos ângulos internos?
c) Qual é a medida de cada ângulo interno?
d) Explique o significado da palavra “regular” nesse projeto.
20. Desafio integrado
Uma estrutura é formada por um hexágono regular e, sobre um de seus lados, será construído externamente um triângulo equilátero.
a) Qual é a medida de cada ângulo interno do hexágono?
b) Qual é a medida de cada ângulo do triângulo?
c) Quantos graus somam todos os ângulos internos das duas figuras separadamente?
d) Quais instrumentos geométricos podem ser usados para construir as duas figuras com precisão? Explique o papel de cada instrumento.
Gabarito ⌄
1. 5, 5 e 8: isósceles. 6, 7 e 8: escaleno. O critério é a comparação das medidas dos lados.
2. 60°,60°,60°: acutângulo; 35°,55°,90°: retângulo; 25°,40°,115°: obtusângulo.
3. 180° − 48° − 67° = 65°. A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°.
4. x+2x+3x=180°; 6x=180°; x=30°. Ângulos: 30°, 60° e 90°. Triângulo retângulo.
5. 4+6=10<11, portanto não forma triângulo. Já 5, 7 e 9 satisfazem a condição de existência e formam um triângulo.
6. Traça-se um lado de 7 cm; com centro em uma extremidade, arco de raio 5 cm; com centro na outra, arco de raio 6 cm. A interseção dos arcos determina o terceiro vértice.
7. Os dois ângulos da base são iguais: (180°−44°)/2 = 68°.
8. Ângulo externo = 52°+71°=123°. Ângulo interno adjacente = 180°−123°=57°.
9. Triângulo: 3 lados/3 vértices; quadrilátero: 4/4; pentágono: 5/5; hexágono: 6/6; octógono: 8/8. O octógono possui 5 diagonais partindo de um vértice.
10. Não. Um polígono regular deve possuir todos os lados e todos os ângulos internos congruentes.
11. Octógono: 8−3=5 diagonais de um vértice. Decágono: 10−3=7.
12. x=360°−(85°+110°+72°)=93°. Um quadrilátero pode ser dividido em dois triângulos, totalizando 360°.
13. Pentágono: 3 triângulos; hexágono: 4; decágono: 8. Regra: n−2 triângulos.
14. Pentágono: 540°; hexágono: 720°; octógono: 1080°. Soma = (n−2)×180°.
15. Hexágono regular: 720°/6=120°. Octógono regular: 1080°/8=135°.
16. A reta é a mediatriz. Com o compasso, traçam-se arcos de mesmo raio, maior que metade de AB, com centros em A e B; a reta pelos pontos de interseção dos arcos é a mediatriz.
17. 40° em cada parte. A bissetriz pode ser construída com arcos de mesmo raio a partir do vértice e depois a partir dos pontos de interseção com os lados do ângulo.
18. A marcação visual pode não identificar exatamente o ponto médio nem garantir perpendicularidade. O compasso produz pontos equidistantes de A e B, permitindo traçar a mediatriz com precisão.
19. 5 lados, 5 vértices e 5 diagonais. Soma = 540°. Cada ângulo = 108°. Regular significa lados e ângulos internos iguais.
20. Hexágono: 120° por ângulo e soma 720°. Triângulo equilátero: 60° por ângulo e soma 180°. Soma das duas figuras separadamente = 900°. Régua mede e traça segmentos; compasso transporta medidas e constrói arcos; transferidor pode conferir ou construir ângulos.