1. Paralelas e transversal — leitura da figura
Na figura, \(r\parallel s\) e t é transversal. Considere que o ângulo 1 mede 68°.
- Determine as medidas dos ângulos 2, 3 e 4.
- Determine as medidas dos ângulos 5, 6, 7 e 8.
- Identifique um par de ângulos correspondentes, um par de alternos internos e um par de colaterais internos.
2. Ângulos em uma avenida
Duas ruas paralelas são cortadas por uma avenida transversal. Um dos ângulos obtusos mede 128°.
- Determine a medida dos quatro ângulos obtusos.
- Determine a medida dos quatro ângulos agudos.
- Explique por que os ângulos colaterais internos são suplementares.
3. Triângulos semelhantes — lados correspondentes
Observe os dois triângulos.
- Considerando \(AB\leftrightarrow DE\) e \(AC\leftrightarrow DF\), compare as razões dos lados indicados.
- Determine a medida de EF se BC = 8 cm.
- Qual é a razão de semelhança do primeiro para o segundo?
- Identifique o caso de semelhança quando todos os três pares de lados são proporcionais.
4. Caso AA em telhados
Dois telhados triangulares têm ângulos de 50°, 60° e 70°.
- Justifique que os triângulos são semelhantes.
- Qual caso de semelhança foi usado?
- Se um lado de 8 m corresponde a outro de 12 m, qual é a razão de semelhança?
- Um lado de 10 m no menor corresponde a quanto no maior?
5. Caso LAL em uma estrutura
Uma estrutura triangular tem dois lados de 4 m e 6 m formando 55°. Outra tem os lados correspondentes de 10 m e 15 m, também formando 55°.
- Compare as razões dos lados.
- Os triângulos são semelhantes?
- Qual caso garante a semelhança?
- Se o terceiro lado do menor mede 7 m, determine o correspondente no maior.
6. Caso LLL em placas
Uma placa triangular tem lados 5, 7 e 9 cm. Outra tem lados 10, 14 e 18 cm.
- Verifique as três razões.
- Conclua se os triângulos são semelhantes.
- Determine a razão de semelhança.
- Explique por que eles não são congruentes.
7. Teorema de Tales — feixe de paralelas
Na figura, três retas paralelas são cortadas por duas transversais.
- Monte a proporção entre os segmentos correspondentes.
- Determine x.
- Explique por que 80 m corresponde a 100 m e 120 m corresponde a x.
8. Tales em um loteamento
Três ruas paralelas são cortadas por duas avenidas. Em uma avenida, os trechos consecutivos medem 90 m e 150 m. Na outra, o primeiro mede 120 m.
- Represente a proporção de Tales.
- Determine o segundo trecho.
- Se a soma dos dois trechos da segunda avenida fosse pedida, qual seria o resultado?
9. Tales com soma dos segmentos
Três paralelas são cortadas por duas transversais. Em uma delas, os segmentos são 80 m e 120 m. Na outra, os dois segmentos somam 250 m.
- Chame os segmentos da segunda transversal de x e \(250-x\).
- Monte a proporção.
- Determine os dois segmentos.
10. Tales no triângulo
No triângulo ABC da figura, \(DE\parallel BC\).
- Determine EC.
- Determine AB e AC.
- Mostre a proporção \(AD/DB=AE/EC\).
- Explique por que os triângulos ADE e ABC são semelhantes.
11. Paralela à base e semelhança
No triângulo ABC, \(DE\parallel BC\), AD = 6 cm, AB = 15 cm e DE = 8 cm.
- Identifique os triângulos semelhantes.
- Escreva \(AD/AB=DE/BC\).
- Determine BC.
- Qual é a razão entre o triângulo menor e o maior?
12. Segmentos que formam o lado inteiro
No triângulo ABC, \(DE\parallel BC\). AD = 5 cm, DB = 3 cm e AE = 10 cm.
- Determine AB.
- Use \(AD/AB=AE/AC\) para encontrar AC.
- Determine EC.
- Explique a diferença entre usar AD/DB e AD/AB nas proporções.
13. Identificando correspondências
Os triângulos ABC e DEF são semelhantes, com \(A\leftrightarrow D\), \(B\leftrightarrow E\) e \(C\leftrightarrow F\). Sabe-se que AB = 9 cm, BC = 12 cm, AC = 15 cm e DE = 15 cm.
- Liste os três pares de lados correspondentes.
- Determine a razão de semelhança.
- Calcule EF e DF.
14. Triângulos formados por sombras
Observe a situação representada.
- Explique por que os dois triângulos são semelhantes.
- Monte a proporção entre altura e sombra.
- Determine a altura h da árvore.
- Qual caso de semelhança pode justificar a comparação?
15. Altura de um prédio
Uma haste vertical de 2 m projeta sombra de 1,6 m. No mesmo instante, um prédio projeta sombra de 24 m.
- Desenhe dois triângulos retângulos representando a situação.
- Monte a proporção.
- Determine a altura do prédio.
- Explique por que as medições precisam ser feitas no mesmo instante.
16. Distância inacessível
Para medir a largura de um rio, foram construídos dois triângulos semelhantes. Um lado de 5 m corresponde a 20 m, e um segmento de 7 m corresponde à largura x.
- Monte a proporção correta.
- Determine x.
- Indique a razão de semelhança.
- Explique como a semelhança permite medir sem atravessar o rio.
17. Perímetros de triângulos semelhantes
Dois triângulos semelhantes têm razão de semelhança 2,5. O menor tem lados 6 cm, 8 cm e 10 cm.
- Determine os lados do maior.
- Calcule os dois perímetros.
- Compare a razão entre os perímetros com a razão de semelhança.
18. Áreas de triângulos semelhantes
Dois triângulos semelhantes têm razão entre os lados igual a 3. A área do menor é 20 cm².
- Qual é a razão entre as áreas?
- Determine a área do maior.
- Se a razão entre as áreas fosse 25, qual seria a razão entre os lados?
19. Semelhança, paralelas e AA
No triângulo ABC, uma reta DE paralela a BC corta AB e AC.
- Quais ângulos de ADE e ABC são congruentes por causa do paralelismo?
- Qual ângulo é comum aos dois triângulos?
- Conclua, pelo caso AA, por que \(ADE\sim ABC\).
- Escreva uma cadeia de razões entre lados correspondentes.
20. Desafio — integrando paralelas, Tales e triângulos
Em um projeto, três linhas paralelas são cortadas por duas transversais. Na primeira, os segmentos são 12 cm e 18 cm; na segunda, o primeiro mede 20 cm. Em outra parte do projeto, um triângulo ABC é cortado por \(DE\parallel BC\), com AD = 8 cm, AB = 20 cm e DE = 12 cm.
- Pelo Teorema de Tales, determine o segundo segmento da segunda transversal.
- No triângulo, justifique a semelhança entre ADE e ABC.
- Determine BC.
- Determine a razão de semelhança do menor para o maior.
- Se a área de ADE for 48 cm², determine a área de ABC.