MatemáticaFC
Atividade - 9º ano
Potências, radicais e operações com números reais
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Orientação: Resolva as situações apresentadas registrando os cálculos. Quando houver números irracionais, mantenha o valor exato em radical quando solicitado e use aproximações apenas quando o contexto exigir.

1. Armazenamento de dados

Um sistema de backup organiza seus arquivos em blocos. A quantidade de arquivos em cada bloco é representada por \(2^5\), e o sistema possui \(2^3\) blocos iguais.

  1. Quantos arquivos há em cada bloco?
  2. Usando uma propriedade das potências, represente o total de arquivos por uma única potência de base 2.
  3. Determine o total de arquivos armazenados.

2. Redução de uma imagem digital

Ao reduzir sucessivamente uma imagem, um programa utiliza o fator \(2^{-3}\) em relação ao tamanho original.

  1. Escreva \(2^{-3}\) na forma de fração.
  2. Que fração do tamanho original permanece após a redução?
  3. Se a imagem original possui 800 pixels de largura, qual será a nova largura?

3. Escala de uma maquete

Em uma maquete, uma medida foi representada pelo fator \(\left(\frac23\right)^{-2}\).

  1. Reescreva a potência usando expoente positivo.
  2. Calcule seu valor.
  3. Explique, com base nesse exemplo, o efeito de um expoente negativo sobre uma base não nula.

4. Área de uma praça quadrada

Uma praça quadrada possui área de 225 m². Para determinar o lado, o engenheiro escreveu \(225^{1/2}\).

  1. Reescreva a potência na forma de radical.
  2. Determine a medida do lado.
  3. Explique a relação entre o expoente \(\frac12\) e a raiz quadrada.

5. Volume de um reservatório cúbico

Um reservatório em forma de cubo possui volume de 216 m³. A medida da aresta pode ser representada por \(216^{1/3}\).

  1. Escreva essa potência na forma de radical.
  2. Determine a aresta do reservatório.
  3. Se a aresta fosse representada por \(a^{1/3}\), qual operação estaria sendo indicada?

6. Projeto de uma peça

Em um projeto, uma medida é dada por \(64^{2/3}\) cm.

  1. Escreva a expressão na forma de radical.
  2. Calcule primeiro a raiz cúbica e depois a potência indicada.
  3. Determine a medida da peça.
  4. Explique por que o expoente \(\frac23\) não significa dividir 64 por 3 e multiplicar por 2.

7. Moldura quadrada

Uma moldura quadrada possui lado \(\sqrt{48}\) cm. Para facilitar o cálculo do perímetro, o marceneiro quer simplificar essa medida.

  1. Fatore 48 destacando um quadrado perfeito.
  2. Simplifique \(\sqrt{48}\).
  3. Determine o perímetro exato da moldura.
  4. Usando \(\sqrt3\approx1,732\), obtenha o perímetro aproximado.

8. Duas barras metálicas

Uma oficina precisa unir duas barras de comprimentos \(\sqrt{12}\) m e \(\sqrt{27}\) m.

  1. Simplifique as duas medidas.
  2. Mostre que os radicais obtidos são semelhantes.
  3. Determine o comprimento total exato das barras.
  4. Usando \(\sqrt3\approx1,732\), obtenha uma aproximação decimal do comprimento total.

9. Ajuste de uma estrutura

Uma estrutura tinha comprimento \(9\sqrt5\) cm e precisou ser reduzida em \(2\sqrt5\) cm.

  1. Por que os dois termos podem ser subtraídos diretamente?
  2. Determine o novo comprimento exato.
  3. Usando \(\sqrt5\approx2,236\), determine o comprimento aproximado.

10. Piso retangular

Um piso retangular possui lados \(\sqrt8\) m e \(\sqrt{18}\) m.

  1. Simplifique as medidas dos lados.
  2. Calcule a área exata do piso usando a multiplicação de radicais.
  3. Determine a área em metros quadrados.
  4. O resultado final é racional ou irracional?

11. Divisão de uma peça

Uma peça de comprimento \(\sqrt{75}\) cm será comparada com uma unidade de referência de \(\sqrt3\) cm. A razão entre as medidas é \(\frac{\sqrt{75}}{\sqrt3}\).

  1. Use a propriedade da divisão de radicais para simplificar a expressão.
  2. Determine o resultado.
  3. Interprete o resultado no contexto da situação.

12. Medida exata e aproximação

Um cabo tem comprimento exato de \(5\sqrt3\) m. Para comprar uma proteção, o técnico precisa de uma aproximação decimal.

  1. Qual é o valor exato do comprimento?
  2. Usando \(\sqrt3\approx1,732\), calcule uma aproximação.
  3. Qual símbolo deve ser usado entre \(5\sqrt3\) e 8,66: = ou ≈?
  4. Explique a diferença entre os dois registros.

13. Distância astronômica

A distância aproximada entre dois corpos celestes foi registrada como 580 000 000 km.

  1. Escreva essa distância em notação científica.
  2. Identifique o coeficiente e o expoente de 10.
  3. Explique por que o coeficiente obtido está de acordo com a forma padrão da notação científica.

14. Espessura microscópica

A espessura de uma estrutura microscópica é 0,0000042 m.

  1. Escreva a medida em notação científica.
  2. O expoente de 10 é positivo ou negativo?
  3. Explique por que números muito pequenos são representados com expoentes negativos na notação científica.

15. Produção de componentes

Uma fábrica produz \(3\times10^4\) componentes por lote e fabrica \(2\times10^5\) lotes em determinado período.

  1. Represente a quantidade total como um produto em notação científica.
  2. Multiplique os coeficientes e as potências de 10.
  3. Escreva o resultado na forma padrão da notação científica.

16. Distribuição de dados

Um centro de dados possui \(8\times10^9\) bytes e cada grupo de armazenamento corresponde a \(2\times10^3\) bytes.

  1. Escreva a divisão correspondente.
  2. Divida os coeficientes e as potências de 10.
  3. Determine quantos grupos podem ser formados.

17. Medida de uma bactéria

Uma bactéria mede aproximadamente \(2,5\times10^{-6}\) m. Em uma imagem didática, deseja-se representar o comprimento ocupado por 1000 bactérias alinhadas.

  1. Escreva 1000 como potência de 10.
  2. Monte o produto em notação científica.
  3. Determine o comprimento total em metros.
  4. Escreva também o resultado na forma decimal.

18. Viagem de uma nave

Uma nave percorre \(3\times10^5\) km por dia durante \(2\times10^2\) dias.

  1. Represente a distância total por uma multiplicação.
  2. Calcule o resultado em notação científica.
  3. Escreva a distância na forma decimal.
  4. Explique a vantagem da notação científica nesse tipo de situação.

19. Painel de controle

Um painel apresenta a expressão \(\sqrt{36}+2^3-\sqrt{16}\) para calcular um índice de funcionamento.

  1. Resolva primeiro as potências e raízes.
  2. Determine o valor do índice.
  3. Indique quais operações devem ser efetuadas antes da adição e da subtração.
  4. Explique por que respeitar a ordem das operações é importante.

20. Desafio final - reforma de um laboratório

Em uma reforma, duas barras têm comprimentos \(2\sqrt8\) m e \(\sqrt{18}\) m. Após o corte, deve-se retirar \(\sqrt2\) m do comprimento total. No mesmo projeto, uma peça microscópica mede \(4\times10^{-9}\) m e serão utilizadas \(5\times10^6\) peças alinhadas.

  1. Simplifique \(2\sqrt8+\sqrt{18}-\sqrt2\) e determine o comprimento exato das barras após o corte.
  2. Usando \(\sqrt2\approx1,414\), obtenha uma aproximação decimal desse comprimento.
  3. Calcule o comprimento total das peças microscópicas em notação científica.
  4. Escreva esse resultado na forma decimal.
  5. Identifique, nas duas partes do problema, quando foi mais adequado manter um valor exato e quando foi mais adequado usar notação científica.
Gabarito

1. a) 32. b) \(2^5\cdot2^3=2^8\). c) 256 arquivos.

2. a) \(\frac18\). b) \(\frac18\). c) 100 pixels.

3. a) \(\left(\frac32\right)^2\). b) \(\frac94\). c) O expoente negativo indica o inverso da base elevado ao expoente positivo correspondente.

4. a) \(\sqrt{225}\). b) 15 m. c) \(a^{1/2}=\sqrt a\).

5. a) \(\sqrt[3]{216}\). b) 6 m. c) Raiz cúbica.

6. a) \(\sqrt[3]{64^2}\) ou \((\sqrt[3]{64})^2\). b) \(4^2\). c) 16 cm. d) O denominador indica a raiz e o numerador, a potência.

7. a) \(48=16\cdot3\). b) \(4\sqrt3\) cm. c) \(16\sqrt3\) cm. d) ≈ 27,71 cm.

8. a) \(2\sqrt3\) m e \(3\sqrt3\) m. b) Mesmo índice e mesmo radicando. c) \(5\sqrt3\) m. d) ≈ 8,66 m.

9. a) São radicais semelhantes. b) \(7\sqrt5\) cm. c) ≈ 15,65 cm.

10. a) \(2\sqrt2\) m e \(3\sqrt2\) m. b) \((2\sqrt2)(3\sqrt2)=12\). c) 12 m². d) Racional.

11. a) \(\sqrt{\frac{75}{3}}=\sqrt{25}\). b) 5. c) \(\sqrt{75}\) corresponde a cinco vezes \(\sqrt3\).

12. a) \(5\sqrt3\) m. b) ≈ 8,66 m. c) ≈. d) \(5\sqrt3\) é exato; 8,66 é aproximado.

13. a) \(5,8\times10^8\) km. b) Coeficiente 5,8 e expoente 8. c) \(1\le5,8<10\).

14. a) \(4,2\times10^{-6}\) m. b) Negativo. c) A forma padrão desloca a vírgula para obter coeficiente entre 1 e 10, resultando em potência negativa para números menores que 1.

15. a) \((3\times10^4)(2\times10^5)\). b) \(6\times10^9\). c) \(6\times10^9\) componentes.

16. a) \(\frac{8\times10^9}{2\times10^3}\). b) \(4\times10^6\). c) \(4\times10^6\) grupos.

17. a) \(10^3\). b) \((2,5\times10^{-6})(10^3)\). c) \(2,5\times10^{-3}\) m. d) 0,0025 m.

18. a) \((3\times10^5)(2\times10^2)\). b) \(6\times10^7\) km. c) 60 000 000 km. d) Facilita a escrita e os cálculos com números muito grandes.

19. a) 6, 8 e 4. b) 10. c) Potenciação e radiciação. d) A ordem das operações garante um resultado correto e não ambíguo.

20. a) \(6\sqrt2\) m. b) ≈ 8,484 m. c) \(2\times10^{-2}\) m. d) 0,02 m. e) O radical preserva o valor exato das barras; a notação científica facilita representar e operar com a medida extremamente pequena.

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