MATEMÁTICAFC

MatemáticaFC

Atividade - 9º ano

Funções e suas representações

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Orientação: Analise as relações entre as grandezas e represente-as, quando solicitado, por descrição, tabela, lei de formação, pares ordenados ou gráfico. Identifique as variáveis e interprete os resultados de acordo com cada situação.

1. Compra de cadernos

Uma papelaria vende cada caderno por R$ 9,00. O valor total pago depende da quantidade comprada.

1. Identifique a variável independente e a variável dependente.
2. Escreva a lei de formação \(V(x)\).
3. Calcule \(V(7)\).
4. Escreva o par ordenado correspondente à compra de 7 cadernos.
5. Explique por que essa relação pode ser considerada uma função.

2. Corrida de aplicativo

Uma corrida cobra uma taxa inicial de R$ 6,00 e mais R$ 3,50 por quilômetro percorrido.

1. Escreva a função \(C(x)\) que representa o custo.
2. Determine \(C(8)\).
3. Interprete o número 6 na lei de formação.
4. Interprete o número 3,5.
5. Qual variável depende da outra nessa situação?

3. Reservatório sendo abastecido

Um reservatório contém inicialmente 120 litros e recebe 25 litros de água por minuto.

1. Escreva \(V(t)\).
2. Calcule \(V(6)\).
3. Complete os valores de V para t = 0, 2, 4 e 6 minutos.
4. Escreva os quatro pares ordenados.
5. A função é crescente ou decrescente? Justifique pelo contexto.

4. Viagem em velocidade constante

Um veículo percorre uma estrada mantendo 60 km/h. Observe também o gráfico.

1. Escreva a função \(d(t)\).
2. Determine a distância após 2,5 horas.
3. Qual grandeza é independente?
4. O gráfico deve ser formado apenas por pontos isolados ou pode ser representado por uma linha contínua? Justifique.
5. O comportamento é crescente ou decrescente?

5. Perímetro de um quadrado

O perímetro P de um quadrado depende da medida l de seu lado.

1. Escreva \(P(l)\).
2. Determine \(P(7)\).
3. Escreva o par ordenado correspondente.
4. Se o perímetro for 48 cm, determine a medida do lado.
5. Explique o significado de \(P(l)\) e por que essa notação não representa P multiplicado por l.

6. Plano de internet

Um plano cobra R$ 45,00 de mensalidade e R$ 4,00 por pacote adicional utilizado.

1. Escreva \(C(x)\).
2. Calcule \(C(0)\), \(C(2)\), \(C(5)\) e \(C(8)\).
3. Organize os resultados em pares ordenados.
4. Qual é o valor mínimo da conta?
5. Qual parte da função representa o custo variável?

7. Uma relação é sempre função?

Uma ficha registra as associações 1 → 4, 2 → 6, 3 → 8 e 4 → 10.

1. Essa relação representa uma função? Justifique.
2. Qual é o domínio?
3. Qual é a imagem?
4. Encontre uma lei de formação compatível com os dados.
5. Use a lei encontrada para prever a saída correspondente a x = 10.

8. Quando a relação não é função

Observe os pontos representados no plano cartesiano.

1. Escreva os pares ordenados mostrados.
2. Essa relação representa uma função de x? Justifique.
3. Qual valor de x causa o problema?
4. Que condição uma relação precisa satisfazer para ser função?
5. Se o ponto (2,6) fosse retirado, a relação restante poderia representar uma função?

9. Temperatura em resfriamento

A temperatura de um equipamento é dada por \(T(t)=90-5t\), com t em minutos e T em graus Celsius.

1. Determine \(T(0)\), \(T(4)\), \(T(8)\) e \(T(12)\).
2. A função é crescente ou decrescente?
3. Qual é a temperatura inicial?
4. O que representa o número −5?
5. Em quanto tempo a temperatura chegará a 40 °C?

10. Quantidade de ingressos

Cada ingresso de uma apresentação custa R$ 18,00. Observe o gráfico, que representa algumas possibilidades de compra.

1. Escreva a função \(V(x)\).
2. Determine o valor de 5 ingressos.
3. Por que os pontos do gráfico aparecem isolados?
4. Faria sentido considerar x = 2,5 ingressos nesse contexto?
5. Qual restrição do domínio é imposta pela situação?

11. Obtendo a lei a partir de uma tabela

Uma empresa registrou: para x = 0, 1, 2, 3 e 4, os custos foram, respectivamente, R$ 20,00, R$ 27,00, R$ 34,00, R$ 41,00 e R$ 48,00.

1. Qual é a variação do custo quando x aumenta uma unidade?
2. Qual é o custo quando x = 0?
3. Escreva a lei \(C(x)\).
4. Determine \(C(10)\).
5. Explique como a tabela permite identificar a lei de formação.

12. Domínio e imagem

Uma máquina aceita somente as entradas \(D=\{0,1,2,3,4\}\) e opera segundo \(f(x)=2x+3\).

1. Calcule a saída para cada entrada.
2. Determine a imagem da função.
3. Escreva os pares ordenados.
4. Qual é a diferença entre domínio e imagem nesse exemplo?

13. Área de um quadrado como função

A área A de um quadrado depende da medida l de seu lado e é dada por \(A(l)=l^2\).

1. Calcule \(A(1)\), \(A(2)\), \(A(3)\), \(A(4)\) e \(A(5)\).
2. Escreva os pares ordenados.
3. A relação entre lado e área é funcional? Justifique.
4. A função cresce à medida que l aumenta nos valores considerados?
5. Se \(A(l)=81\), qual medida positiva pode ter o lado?

14. Distância restante até uma cidade

Um motorista está a 300 km de seu destino e se aproxima dele a 75 km/h.

1. Escreva a função \(D(t)\) que representa a distância restante.
2. Determine \(D(1)\), \(D(2)\) e \(D(3)\).
3. Em quanto tempo ele chegará ao destino?
4. A função é crescente ou decrescente?
5. Qual intervalo de tempo faz sentido como domínio no contexto da viagem?

15. Interpretando uma parada

Observe o gráfico de distância em função do tempo.

1. Entre quais instantes a distância permanece constante?
2. O que esse trecho horizontal pode representar?
3. Depois da parada, a pessoa volta a se deslocar?
4. Qual distância foi percorrida até o final do gráfico?
5. Explique por que um gráfico pode comunicar informações que não aparecem imediatamente em uma fórmula isolada.

16. Custo de produção

Uma pequena empresa possui custo fixo de R$ 800,00 e gasta R$ 25,00 por unidade produzida.

1. Escreva a função \(C(x)\).
2. Determine \(C(20)\) e \(C(50)\).
3. Qual valor da função corresponde ao custo fixo?
4. Se o custo total foi R$ 2.050,00, quantas unidades foram produzidas?
5. Identifique as variáveis independente e dependente.

17. Comparando duas representações

Uma academia cobra R$ 80,00 de taxa fixa mais R$ 12,00 por aula. Um estudante escreveu \(C(x)=12x+80\) e outro construiu a tabela: (0,80), (1,92), (2,104), (3,116).

1. As duas representações descrevem a mesma relação? Justifique.
2. Use a expressão para determinar \(C(6)\).
3. Acrescente à tabela o par correspondente a 6 aulas.
4. Explique por que expressão, tabela e pares ordenados podem representar a mesma função.

18. Descobrindo a entrada

Uma transportadora calcula o preço de uma entrega por \(C(x)=5x+18\), em que x é a distância em quilômetros.

1. Se a entrega custou R$ 68,00, determine x.
2. Qual foi a distância percorrida?
3. Calcule \(C(4)\).
4. Escreva os pares correspondentes aos dois casos.
5. Explique a diferença entre calcular a saída conhecendo a entrada e descobrir a entrada conhecendo a saída.

19. Analisando o domínio no contexto

Uma locadora cobra \(C(h)=40+15h\) pelo uso de um equipamento durante h horas.

1. Determine \(C(2)\) e \(C(5)\).
2. Matematicamente, a expressão pode ser calculada para h = −3. Esse valor faz sentido no contexto? Por quê?
3. Se a cobrança for feita por horas completas, h = 2,5 pertence ao domínio contextual?
4. Dê uma descrição adequada do domínio considerando horas completas de uso.
5. Explique por que o contexto pode restringir o domínio de uma função.

20. Desafio final — diferentes representações

Uma empresa de entregas cobra R$ 10,00 de taxa fixa e R$ 6,00 por quilômetro percorrido.

1. Identifique as variáveis independente e dependente.
2. Escreva a lei \(C(x)\).
3. Construa os valores para x = 0, 1, 2, 3 e 4.
4. Escreva os pares ordenados correspondentes.
5. Determine \(C(12)\).
6. Se uma entrega custou R$ 58,00, determine a distância.
7. A função é crescente ou decrescente? Justifique.
8. Explique como a descrição verbal, a tabela, os pares ordenados e a expressão algébrica representam a mesma relação.

Gabarito

1. a) Independente: quantidade x; dependente: valor V. b) \(V(x)=9x\). c) R$ 63,00. d) (7,63). e) Cada quantidade determina um único valor.

2. a) \(C(x)=3,5x+6\). b) R$ 34,00. c) Taxa inicial. d) Valor por quilômetro. e) O custo depende da distância.

3. a) \(V(t)=120+25t\). b) 270 L. c) 120, 170, 220 e 270. d) (0,120), (2,170), (4,220), (6,270). e) Crescente.

4. a) \(d(t)=60t\). b) 150 km. c) Tempo. d) Linha contínua, pois o tempo e a distância podem variar continuamente. e) Crescente.

5. a) \(P(l)=4l\). b) 28 cm. c) (7,28). d) 12 cm. e) \(P(l)\) indica o valor da função perímetro para a entrada l.

6. a) \(C(x)=45+4x\). b) 45, 53, 65 e 77. c) (0,45), (2,53), (5,65), (8,77). d) R$ 45,00. e) \(4x\).

7. a) Sim. b) {1,2,3,4}. c) {4,6,8,10}. d) \(y=2x+2\). e) 22.

8. a) (1,2), (2,4), (2,6), (3,8). b) Não. c) x = 2. d) Cada entrada deve ter uma única saída. e) Sim.

9. a) 90, 70, 50 e 30 °C. b) Decrescente. c) 90 °C. d) Queda de 5 °C por minuto. e) 10 min.

10. a) \(V(x)=18x\). b) R$ 90,00. c) Ingressos são contados em unidades inteiras. d) Não. e) Inteiros não negativos, dentro da quantidade disponível.

11. a) R$ 7,00. b) R$ 20,00. c) \(C(x)=7x+20\). d) R$ 90,00. e) A diferença constante fornece a taxa e x = 0 fornece o termo fixo.

12. a) 3, 5, 7, 9, 11. b) {3,5,7,9,11}. c) (0,3), (1,5), (2,7), (3,9), (4,11). d) Domínio são entradas; imagem são saídas obtidas.

13. a) 1, 4, 9, 16, 25. b) (1,1), (2,4), (3,9), (4,16), (5,25). c) Sim. d) Sim. e) 9.

14. a) \(D(t)=300-75t\). b) 225, 150, 75 km. c) 4 h. d) Decrescente. e) \(0\le t\le4\).

15. a) De 4 a 6 min. b) A pessoa permaneceu parada. c) Sim. d) 120 m. e) O gráfico evidencia visualmente variações, constâncias e intervalos.

16. a) \(C(x)=800+25x\). b) R$ 1.300,00 e R$ 2.050,00. c) \(C(0)=800\). d) 50 unidades. e) Independente: unidades; dependente: custo.

17. a) Sim. b) R$ 152,00. c) (6,152). d) São formas diferentes de registrar as mesmas correspondências.

18. a) \(68=5x+18\), logo x = 10. b) 10 km. c) R$ 38,00. d) (10,68) e (4,38). e) No primeiro caso aplica-se a lei; no segundo resolve-se uma equação para encontrar a entrada.

19. a) R$ 70,00 e R$ 115,00. b) Não; tempo de uso negativo não faz sentido. c) Não, se a cobrança é por horas completas. d) Inteiros não negativos compatíveis com o período de locação. e) A situação real determina quais entradas são admissíveis.

20. a) Independente: distância; dependente: custo. b) \(C(x)=6x+10\). c) 10, 16, 22, 28, 34. d) (0,10), (1,16), (2,22), (3,28), (4,34). e) R$ 82,00. f) 8 km. g) Crescente. h) Todas registram as mesmas correspondências entre distância e custo.

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