MATEMÁTICAFC

MatemáticaFC

Atividade - 9º ano

Produtos notáveis e fatoração

Baixar atividade em PDF

Orientação: Resolva as situações utilizando produtos notáveis e técnicas de fatoração. Sempre que possível, relacione a expressão algébrica às dimensões ou áreas apresentadas e verifique os resultados pelo desenvolvimento.

1. Ampliação de um jardim quadrado

Quadrado de lado a + b

a

b

a

b

a²

ab

ab

b²

Um jardim quadrado possui lado x metros. Em um projeto de ampliação, cada lado será aumentado em 4 m, passando a medir x + 4.

1. Escreva a expressão que representa a nova área.
2. Desenvolva a expressão usando o quadrado da soma.
3. Identifique, na expressão desenvolvida, a área original e as parcelas acrescentadas pela ampliação.
4. Explique por que a nova área não pode ser representada apenas por \(x^2+16\).

2. Redução de uma placa quadrada

Uma placa quadrada tinha lado x metros. Para um novo projeto, cada lado será reduzido em 3 m.

1. Escreva a expressão da nova área.
2. Desenvolva \((x-3)^2\).
3. Se x = 10 m, determine a área da placa após a redução.
4. Compare o resultado com o cálculo direto \(7^2\).

3. Cálculo mental em uma obra

Um engenheiro precisa calcular rapidamente \(51^2\) para estimar uma área.

1. Escreva 51 como 50 + 1.
2. Use o produto notável \((a+b)^2\) para calcular \(51^2\).
3. Mostre os três termos obtidos no desenvolvimento.
4. Explique por que o produto notável facilita esse cálculo.

4. Área entre dois quadrados

Uma praça quadrada maior possui lado x metros e uma região quadrada interna possui lado 5 m. A área restante é representada por \(x^2-25\).

1. Reconheça o tipo de expressão.
2. Fatore \(x^2-25\).
3. Verifique a fatoração desenvolvendo o produto obtido.
4. Se x = 12, calcule a área restante.

5. Retângulo com medidas conjugadas

Um painel retangular possui dimensões x + 7 e x − 7.

1. Escreva a expressão de sua área.
2. Desenvolva usando o produto da soma pela diferença.
3. Se x = 10, determine as dimensões e a área numérica.
4. Confirme que o resultado coincide com o valor obtido pela expressão desenvolvida.

6. Piso modular

Quadrado de lado a + b

a

b

a

b

a²

ab

ab

b²

Um piso quadrado foi dividido em quatro regiões conforme o modelo geométrico apresentado. O lado total mede a + b.

1. Escreva a área total como produto.
2. Some as quatro áreas indicadas na figura.
3. Mostre que as duas representações são equivalentes.
4. Qual termo costuma ser esquecido quando alguém escreve incorretamente \((a+b)^2=a^2+b^2\)?

7. Escolhendo a técnica de fatoração

Painel de estratégias de fatoração

Expressão	Pista principal
\(6x^2+12x\)	fator comum
\(x^2-49\)	diferença de quadrados
\(x^2+8x+16\)	trinômio quadrado perfeito
\(ax+ay+3x+3y\)	agrupamento

Observe o painel de estratégias.

1. Fatore \(6x^2+12x\).
2. Fatore \(x^2-49\).
3. Fatore \(x^2+8x+16\).
4. Fatore \(ax+ay+3x+3y\).
5. Explique qual característica de cada expressão indica a técnica mais adequada.

8. Dimensões de um canteiro

A área de um canteiro retangular é representada por \(x^2+5x\) metros quadrados.

1. Coloque o fator comum em evidência.
2. Indique duas expressões que podem representar as dimensões do canteiro.
3. Se x = 8, determine as dimensões numéricas.
4. Calcule a área e confira usando a expressão original.

9. Organização de caixas

Uma empresa representa a quantidade total de itens por \(12a^3-8a^2\).

1. Identifique o maior fator comum aos dois termos.
2. Fatore a expressão.
3. Verifique a resposta pela propriedade distributiva.
4. Se a = 2, compare o valor da expressão original com o da forma fatorada.

10. Agrupando setores de uma feira

A área combinada de quatro setores é representada por \(ax+ay+bx+by\).

1. Agrupe os termos de modo conveniente.
2. Coloque o fator comum em evidência em cada grupo.
3. Fatore completamente.
4. Explique por que o agrupamento funciona mesmo não havendo um único fator comum evidente nos quatro termos no início.

11. Reconhecendo um quadrado perfeito

Uma região quadrada tem área \(x^2+10x+25\).

1. Mostre que o primeiro e o último termos são quadrados perfeitos.
2. Verifique se o termo central é o dobro do produto das bases.
3. Fatore a expressão.
4. Qual expressão representa o lado da região?

12. Projeto com área \(x^2-12x+36\)

Um projeto apresenta uma região quadrada cuja área é \(x^2-12x+36\).

1. Verifique se a expressão é um trinômio quadrado perfeito.
2. Fatore a expressão.
3. Qual expressão pode representar o lado?
4. Se x = 10, determine o lado e a área.

13. Encontrando dimensões pela fatoração

Uma região retangular possui área \(3x^2+12x\).

1. Fatore a expressão colocando o fator comum em evidência.
2. Indique duas possíveis dimensões algébricas.
3. Para x = 5, determine essas dimensões.
4. Calcule a área numérica.

14. Conferindo um erro de desenvolvimento

Durante uma atividade, um estudante escreveu \((x-5)^2=x^2-25\).

1. Desenvolva corretamente \((x-5)^2\).
2. Identifique o termo que foi omitido.
3. Explique a diferença entre o quadrado da diferença e a diferença de dois quadrados.
4. Fatore corretamente \(x^2-25\).

15. Fatoração em duas etapas

Uma expressão usada em um modelo é \(2x^3-18x\).

1. Identifique e coloque o fator comum em evidência.
2. Reconheça a expressão que permanece entre parênteses.
3. Fatore completamente.
4. Verifique o resultado desenvolvendo os fatores.

16. Área representada de duas formas

x + 6

x + 4

região interna

O esquema mostra uma região retangular de dimensões algébricas. Em outro registro, sua área aparece na forma desenvolvida.

1. Se as dimensões forem x + 6 e x + 4, escreva a área como produto.
2. Desenvolva o produto.
3. Para x = 4, determine as dimensões e a área.
4. Explique como a forma fatorada ajuda a identificar dimensões de uma figura.

17. Equação a partir de uma diferença de quadrados

A área algébrica de uma situação leva à equação \(x^2-36=0\).

1. Fatore o primeiro membro.
2. Aplique a propriedade do produto nulo.
3. Determine os valores de x.
4. Se x representar uma medida de comprimento, qual das soluções pode ser utilizada? Justifique.

18. Equação com trinômio quadrado perfeito

Em outro modelo, aparece a equação \(x^2+8x+16=0\).

1. Reconheça o trinômio quadrado perfeito.
2. Escreva a forma fatorada.
3. Resolva a equação.
4. Verifique a solução substituindo-a na expressão original.

19. Analisando duas representações

Um estudante afirma que desenvolver e fatorar são processos sem relação entre si. Para discutir a afirmação, considere \((x+4)^2\) e \(x^2+8x+16\).

1. Desenvolva \((x+4)^2\).
2. Fatore \(x^2+8x+16\).
3. Compare os dois caminhos.
4. Explique por que multiplicar e fatorar podem ser considerados processos inversos.

20. Desafio final — projeto de uma praça

Uma praça possui uma região quadrada de lado x + 6 e outra região cuja área é \(x^2-36\). O projeto também apresenta a expressão \(2x^3-72x\) para representar uma quantidade associada à obra.

1. Desenvolva a área da região de lado x + 6.
2. Fatore \(x^2-36\).
3. Fatore completamente \(2x^3-72x\).
4. Resolva por fatoração a equação \(x^2-36=0\).
5. Se x representar comprimento, indique a solução admissível.
6. Explique quais produtos notáveis ou técnicas de fatoração foram utilizados em cada etapa.

Gabarito

1. a) \((x+4)^2\). b) \(x^2+8x+16\). c) \(x^2\) é a área original; \(8x+16\) corresponde ao acréscimo. d) Falta o termo \(2\cdot x\cdot4=8x\).

2. a) \((x-3)^2\). b) \(x^2-6x+9\). c) 49 m². d) \(7^2=49\).

3. a) 50 + 1. b) \((50+1)^2=50^2+2\cdot50\cdot1+1^2\). c) 2500 + 100 + 1. d) 2601; o padrão reduz o cálculo a operações simples.

4. a) Diferença de dois quadrados. b) \((x+5)(x-5)\). c) O desenvolvimento resulta em \(x^2-25\). d) 119 m².

5. a) \((x+7)(x-7)\). b) \(x^2-49\). c) 17 e 3; área 51. d) \(10^2-49=51\).

6. a) \((a+b)^2\). b) \(a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2\). c) São equivalentes. d) \(2ab\).

7. a) \(6x(x+2)\). b) \((x+7)(x-7)\). c) \((x+4)^2\). d) \((a+3)(x+y)\). e) Respectivamente: fator comum, diferença de quadrados, trinômio quadrado perfeito e agrupamento.

8. a) \(x(x+5)\). b) x e x + 5. c) 8 e 13. d) 104 m².

9. a) \(4a^2\). b) \(4a^2(3a-2)\). c) Pela distributiva retorna-se a \(12a^3-8a^2\). d) Ambos valem 64.

10. a) \((ax+ay)+(bx+by)\). b) \(a(x+y)+b(x+y)\). c) \((a+b)(x+y)\). d) O primeiro agrupamento cria um fator binomial comum.

11. a) \(x^2\) e \(25=5^2\). b) \(2\cdot x\cdot5=10x\). c) \((x+5)^2\). d) x + 5.

12. a) Sim. b) \((x-6)^2\). c) x − 6. d) Lado 4 e área 16.

13. a) \(3x(x+4)\). b) \(3x\) e \(x+4\). c) 15 e 9. d) 135.

14. a) \(x^2-10x+25\). b) \(-10x\). c) \((x-5)^2\) é trinômio quadrado perfeito; \(x^2-25\) é diferença de quadrados. d) \((x+5)(x-5)\).

15. a) \(2x(x^2-9)\). b) Diferença de quadrados. c) \(2x(x+3)(x-3)\). d) O desenvolvimento retorna a \(2x^3-18x\).

16. a) \((x+6)(x+4)\). b) \(x^2+10x+24\). c) 10 e 8; área 80. d) A forma fatorada mostra diretamente fatores que podem representar os lados.

17. a) \((x+6)(x-6)=0\). b) \(x+6=0\) ou \(x-6=0\). c) \(x=-6\) ou \(x=6\). d) \(x=6\), pois comprimento não pode ser negativo.

18. a) \(x^2+8x+16\). b) \((x+4)^2=0\). c) \(x=-4\). d) \(16-32+16=0\).

19. a) \(x^2+8x+16\). b) \((x+4)^2\). c) Um caminho transforma produto em soma; o outro faz o inverso. d) A fatoração recupera os fatores de uma expressão desenvolvida.

20. a) \(x^2+12x+36\). b) \((x+6)(x-6)\). c) \(2x(x^2-36)=2x(x+6)(x-6)\). d) \(x=-6\) ou \(x=6\). e) \(x=6\). f) Quadrado da soma, diferença de dois quadrados, fator comum em evidência e propriedade do produto nulo.

www.matematicafc.com - material autoral para estudo e prática.