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Atividade - 8º ano

Números racionais, dízimas periódicas e números reais

Orientação: Leia atentamente cada questão, registre os cálculos necessários e justifique suas respostas quando solicitado. Nas questões com números decimais, observe se a representação é exata ou infinita e, quando necessário, utilize aproximações.

1. Diferentes representações

Os números racionais podem ser representados de diferentes maneiras. Considere:

$ \frac{3}{4},\ -2,\ 0,25,\ 1,333\ldots,\ -\frac{7}{5} $

Escreva os números fracionários na forma decimal.
Escreva $0,25$ na forma de fração irredutível.
Quais representações acima correspondem a decimais exatos?
Qual delas corresponde a uma dízima periódica?

2. A medida na oficina

Em uma oficina, uma barra metálica de 7 metros será dividida igualmente em 4 partes.

Qual será o comprimento de cada parte?
Escreva o resultado na forma de fração e na forma decimal.
A representação decimal obtida é exata ou periódica?

3. Decimal exato ou dízima?

Sem utilizar calculadora, classifique os resultados das divisões abaixo em decimal exato ou dízima periódica.

$3\div8$
$5\div6$
$7\div20$
$11\div9$
$13\div25$

Depois, efetue as divisões para confirmar suas respostas.

4. Uma divisão que não termina

Três amigos dividiram igualmente uma despesa de R$ 100,00.

Qual é o valor matematicamente correspondente à parte de cada um?
O resultado da divisão $100\div3$ é um decimal exato ou uma dízima periódica?
Qual é o período dessa dízima?
Na prática, seria possível dividir exatamente R$ 100,00 entre os três utilizando apenas moedas de centavos? Explique.

5. Identificando o período

Determine o período de cada dízima.

$0,7777\ldots$
$0,252525\ldots$
$1,363636\ldots$
$2,145145145\ldots$
$0,083083083\ldots$

6. Da dízima para a fração

Transforme as dízimas periódicas simples em frações irredutíveis.

$0,333\ldots$
$0,777\ldots$
$0,121212\ldots$
$0,454545\ldots$

Em seguida, explique por que uma dízima periódica pertence ao conjunto dos números racionais.

7. O resultado da calculadora

Ao calcular $2\div3$, uma calculadora exibiu $0,66666667$.

João afirmou: “Esse é o valor exato de $2/3$.”

A afirmação está correta? Explique por que a calculadora apresentou esse resultado e escreva uma representação mais adequada para o valor exato.

8. O caso de 0,999...

Considere:

$x=0,999\ldots$

Multiplicando por 10:

$10x=9,999\ldots$

Subtraia a primeira igualdade da segunda.
Determine o valor de $x$.
O que podemos concluir sobre $0,999\ldots$ e $1$?

9. Racional ou irracional?

Classifique cada número como racional ou irracional.

$\frac{7}{8}$
$\sqrt2$
$0,125$
$\pi$
$-4$
$0,121212\ldots$
$\sqrt{49}$
$\sqrt{10}$

Justifique pelo menos duas de suas classificações.

10. A diagonal do piso

Uma peça quadrada possui lado de 1 metro. Pelo teorema de Pitágoras, sua diagonal mede:

$d=\sqrt2$

Sabendo que $\sqrt2\approx1,4142$:

A diagonal possui medida racional ou irracional?
Entre quais dois números inteiros consecutivos está $\sqrt2$?
Qual é sua aproximação com duas casas decimais?
Se alguém afirmar que a diagonal mede exatamente 1,41 m, essa afirmação estará correta? Explique.

11. Localização na reta numérica

Sem desenhar uma reta em escala perfeita, coloque os números abaixo em ordem crescente:

$-2,\ -\sqrt3,\ -1,\ 0,\ \frac32,\ \sqrt3,\ 2$

Considere $\sqrt3\approx1,73$.

12. Entre quais inteiros?

Sem calcular a raiz com muitas casas decimais, determine entre quais números inteiros consecutivos estão:

$\sqrt5$
$\sqrt{15}$
$\sqrt{30}$
$\sqrt{70}$

Explique como os quadrados perfeitos podem ser usados para responder.

13. Aproximações em uma construção

Um projeto indica uma peça de comprimento $\sqrt{50}$ cm.

Como $7^2=49$ e $8^2=64$:

Entre quais inteiros está $\sqrt{50}$?
$\sqrt{50}$ está mais próximo de 7 ou de 8?
Usando $\sqrt{50}\approx7,071$, escreva a medida com duas casas decimais.
Explique a diferença entre escrever $\sqrt{50}=7,07$ e $\sqrt{50}\approx7,07$.

14. Organizando os conjuntos numéricos

Considere os números:

$-5,\ 0,\ \frac23,\ 4,\ \sqrt9,\ \sqrt7,\ \pi,\ -1,5$

Classifique-os considerando os conjuntos:

• naturais ($\mathbb N$);
• inteiros ($\mathbb Z$);
• racionais ($\mathbb Q$);
• irracionais;
• reais ($\mathbb R$).

Quando um número pertencer a mais de um conjunto, indique essa relação.

15. Verdadeiro ou falso

Classifique cada afirmação como V ou F. Corrija as falsas.

Todo número inteiro é racional.
Todo número racional é inteiro.
Toda dízima periódica é racional.
Todo número irracional possui representação decimal infinita e não periódica.
Toda raiz quadrada é irracional.
Todo número racional é real.
Existem números reais que não são racionais.

16. Quem cometeu o erro?

Três estudantes classificaram $\sqrt{36}$:

Ana: “É irracional porque aparece uma raiz quadrada.”

Bruno: “É racional porque $\sqrt{36}=6$.”

Carla: “Além de racional, é inteiro e natural.”

Quem está correto?
Qual foi o erro de Ana?
A presença do símbolo de raiz é suficiente para afirmar que um número é irracional? Dê um exemplo que justifique sua resposta.

17. Comparando sem calculadora

Compare utilizando $>$, $<$ ou $=$.

$\sqrt{25}\ \_\_\_\ 5$
$\sqrt{10}\ \_\_\_\ 3$
$\sqrt{10}\ \_\_\_\ 4$
$\frac13\ \_\_\_\ 0,333$
$0,999\ldots\ \_\_\_\ 1$
$\sqrt2\ \_\_\_\ 1,5$

Justifique os itens d, e e f.

18. Precisão em uma medição

Um aplicativo informou que determinada distância é de 3,14159265 km. Em um relatório, três estudantes registraram:

Pedro: 3 km
Luísa: 3,14 km
Rafael: 3,142 km

Qual registro apresenta maior precisão?
Qual deles corresponde à aproximação para duas casas decimais?
Qual é o erro aproximado cometido ao utilizar 3,14 km em lugar de 3,14159265 km?
Uma aproximação é necessariamente um valor incorreto? Explique.

19. Desafio dos conjuntos

Determine se cada afirmação é sempre verdadeira, às vezes verdadeira ou nunca verdadeira.

Um número natural é inteiro.
Um número inteiro é natural.
Um número racional é uma dízima periódica.
Um número real é racional.
A raiz quadrada de um número natural é natural.

Para cada resposta, apresente um exemplo ou contraexemplo.

20. Desafio final - construindo os números reais

Considere:

$A=\frac79,\quad B=\sqrt{16},\quad C=\sqrt5,\quad D=0,875,\quad E=\pi$

Escreva $A$ na forma decimal.
Escreva $D$ como fração irredutível.
Calcule $B$.
Classifique $A$, $B$, $C$, $D$ e $E$ como racionais ou irracionais.
Coloque os cinco números em ordem crescente, usando $\sqrt5\approx2,236$ e $\pi\approx3,142$.
Explique por que todos eles, apesar de terem características diferentes, pertencem ao conjunto dos números reais.

Gabarito

1. a) $\frac34=0,75$; $-\frac75=-1,4$. b) $0,25=\frac14$. c) $\frac34$, $-2$, $0,25$ e $-\frac75$. d) $1,333\ldots$

2. a) 1,75 m. b) $\frac74=1,75$. c) Decimal exato.

3. a) 0,375: exato. b) 0,8333...: periódico. c) 0,35: exato. d) 1,2222...: periódico. e) 0,52: exato.

4. a) $\frac{100}{3}=33,333\ldots$. b) Dízima periódica. c) Período 3. d) Não exatamente, pois não existe uma fração de centavo que represente $33,333\ldots$ para cada pessoa.

5. a) 7. b) 25. c) 36. d) 145. e) 083.

6. a) $\frac13$. b) $\frac79$. c) $\frac{12}{99}=\frac4{33}$. d) $\frac{45}{99}=\frac5{11}$. Uma dízima periódica pode ser escrita como razão entre dois números inteiros; portanto, é racional.

7. Não. O valor exato é $0,666\ldots=\frac23$. A calculadora apresentou uma aproximação arredondada por exibir uma quantidade limitada de algarismos.

8. $10x-x=9,999\ldots-0,999\ldots$; $9x=9$; $x=1$. Logo, $0,999\ldots=1$.

9. Racionais: $\frac78$, $0,125$, $-4$, $0,121212\ldots$ e $\sqrt{49}=7$. Irracionais: $\sqrt2$, $\pi$ e $\sqrt{10}$.

10. a) Irracional. b) Entre 1 e 2. c) 1,41. d) Não; 1,41 é uma aproximação de $\sqrt2$.

11. $-2<-\sqrt3<-1<0<\frac32<\sqrt3<2$.

12. a) $2<\sqrt5<3$. b) $3<\sqrt{15}<4$. c) $5<\sqrt{30}<6$. d) $8<\sqrt{70}<9$.

13. a) Entre 7 e 8. b) Mais próximo de 7. c) 7,07 cm. d) O sinal $=$ indica igualdade exata; $\approx$ indica aproximação.

14. Considerando $\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}$: $-5$: inteiro, racional e real; $0$: natural, inteiro, racional e real; $\frac23$: racional e real; $4$: natural, inteiro, racional e real; $\sqrt9=3$: natural, inteiro, racional e real; $\sqrt7$: irracional e real; $\pi$: irracional e real; $-1,5$: racional e real.

15. a) V. b) F. Ex.: $\frac12$ é racional e não inteiro. c) V. d) V. e) F. Ex.: $\sqrt9=3$. f) V. g) V.

16. a) Bruno e Carla. b) Ana considerou que toda raiz quadrada é irracional. c) Não. Ex.: $\sqrt{36}=6$.

17. a) $=$. b) $>$. c) $<$. d) $>$. e) $=$. f) $<$. Em d, $\frac13=0,3333\ldots$, enquanto 0,333 termina; em e, $0,999\ldots=1$; em f, $\sqrt2\approx1,414$.

18. a) Rafael. b) Luísa. c) Aproximadamente 0,00159265 km, ou cerca de 1,59 m. d) Não; uma aproximação representa o valor com determinada precisão e pode ser adequada ao contexto.

19. a) Sempre verdadeira. b) Às vezes verdadeira: 3 é natural; −3 não é. c) Às vezes verdadeira: $\frac13$ gera dízima periódica; $\frac12=0,5$ é decimal exato. d) Às vezes verdadeira: 2 é racional; $\sqrt2$ não. e) Às vezes verdadeira: $\sqrt9=3$, mas $\sqrt2$ é irracional.

20. a) $A=0,777\ldots$. b) $D=\frac{875}{1000}=\frac78$. c) $B=4$. d) $A$, $B$ e $D$ são racionais; $C$ e $E$ são irracionais. e) $\frac79<0,875<\sqrt5<\pi<4$. f) Racionais e irracionais, em conjunto, formam os números reais.

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