MatemáticaFC
Atividade - 9º ano
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
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Orientação: Em cada situação, identifique primeiro o ângulo de referência e os lados envolvidos. Depois escolha seno, cosseno ou tangente. Quando necessário, use calculadora científica no modo DEG.

1. Identificando os lados em uma estrutura

7,2 m 5,4 m 9 m α

Observe o triângulo retângulo da figura e considere o ângulo α indicado.

  1. Qual lado é a hipotenusa?
  2. Em relação a α, qual é o cateto oposto e qual é o cateto adjacente?
  3. Escreva \(\operatorname{sen}\alpha\), \(\cos\alpha\) e \(\tan\alpha\) usando as medidas indicadas.
  4. Calcule os valores decimais das três razões.

2. Cabo de sustentação

Um cabo de 13 m liga o topo de um poste ao solo. A base do cabo está a 5 m do poste.

  1. Use o Teorema de Pitágoras para determinar a altura em que o cabo está preso.
  2. Em relação ao ângulo que o cabo forma com o solo, determine seno, cosseno e tangente.
  3. Qual dessas razões utiliza apenas a altura e a distância horizontal?

3. Telhado de uma residência

A seção transversal de um telhado forma um triângulo retângulo com catetos de 9 m e 12 m.

  1. Determine a hipotenusa.
  2. Para o ângulo oposto ao cateto de 9 m, calcule seno, cosseno e tangente.
  3. Para o outro ângulo agudo, quais valores de seno e cosseno se invertem? Explique.

4. Ângulos notáveis em uma peça triangular

Uma peça possui a forma de um triângulo retângulo com um ângulo de 30°.

  1. Escreva os valores exatos de \(\operatorname{sen}30^\circ\), \(\cos30^\circ\) e \(\tan30^\circ\).
  2. Determine os valores exatos de \(\operatorname{sen}60^\circ\), \(\cos60^\circ\) e \(\tan60^\circ\).
  3. Explique a relação entre \(\operatorname{sen}30^\circ\) e \(\cos60^\circ\).

5. Piso quadrado e diagonal

Uma placa quadrada tem lado de 6 m. Uma diagonal divide a placa em dois triângulos retângulos isósceles.

  1. Qual é a medida de cada ângulo agudo desses triângulos?
  2. Determine a diagonal da placa.
  3. Usando um dos triângulos, escreva \(\operatorname{sen}45^\circ\), \(\cos45^\circ\) e \(\tan45^\circ\).
  4. Explique por que os dois catetos têm o mesmo papel na tangente de 45°.

6. Escada apoiada na parede

8 m 60° h

Uma escada de 8 m forma um ângulo de 60° com o chão.

  1. Qual razão trigonométrica relaciona a altura h com o comprimento da escada?
  2. Determine a altura alcançada na parede em forma exata.
  3. Dê uma aproximação decimal.
  4. Determine também a distância entre a base da escada e a parede.

7. Rampa de acesso

Uma rampa de 10 m de comprimento forma 30° com o chão.

  1. Determine a altura vencida pela rampa.
  2. Determine o avanço horizontal em forma exata.
  3. Qual razão trigonométrica você usou em cada cálculo?
  4. Verifique os resultados pelo Teorema de Pitágoras.

8. Cabo preso a uma torre

Um cabo de 20 m forma um ângulo de 50° com o chão.

  1. Escreva a equação trigonométrica para determinar a altura h.
  2. Usando \(\operatorname{sen}50^\circ\approx0,766\), calcule h.
  3. Usando \(\cos50^\circ\approx0,643\), determine a distância horizontal da base da torre ao ponto de fixação do cabo no solo.
  4. Os dois resultados são coerentes com uma hipotenusa de 20 m? Justifique.

9. Altura de uma árvore

45° 15 m 1,7 m H

Uma pessoa observa o topo de uma árvore conforme a figura.

  1. Qual razão trigonométrica relaciona a diferença de altura entre os olhos e o topo com a distância horizontal?
  2. Determine essa diferença de altura.
  3. Determine a altura total da árvore.
  4. Explique por que é necessário acrescentar 1,7 m ao resultado trigonométrico.

10. Altura de um prédio

Uma estudante está a 25 m de um prédio e observa o topo sob ângulo de elevação de 45°. Seus olhos estão a 1,6 m do chão.

  1. Determine a diferença de altura entre os olhos da estudante e o topo.
  2. Determine a altura total do prédio.
  3. Se ela se afastar mantendo o mesmo nível dos olhos, o ângulo de elevação aumentará ou diminuirá? Justifique.

11. Ângulo de depressão

45° 40 m x

Do alto de um prédio de 40 m, um veículo é observado sob ângulo de depressão de 45°.

  1. Explique por que o ângulo de depressão pode ser usado no triângulo retângulo formado.
  2. Determine a distância horizontal x entre o prédio e o veículo.
  3. Qual razão trigonométrica é mais direta para resolver o problema?

12. Torre observada a 60°

Uma pessoa está a 12 m da base de uma torre e observa seu topo sob ângulo de elevação de 60°.

  1. Determine a altura da torre em forma exata.
  2. Use \(\sqrt3\approx1,732\) para obter uma aproximação.
  3. Se a distância horizontal fosse duplicada e o ângulo permanecesse 60°, o que aconteceria com a altura calculada?

13. Determinando um ângulo

Uma rampa vence uma altura de 6 m em um avanço horizontal de 8 m.

  1. Determine \(\tan\alpha\).
  2. Use a função inversa da tangente para determinar α aproximadamente.
  3. O resultado é maior ou menor que 45°? Relacione isso ao valor da tangente.
  4. Determine o comprimento da rampa pelo Teorema de Pitágoras.

14. Inclinação de uma rampa

Uma rampa vence 3 m de altura em 12 m de avanço horizontal.

  1. Determine \(\tan\alpha\).
  2. Determine α aproximadamente.
  3. Compare essa inclinação com a de uma rampa cuja tangente seja 0,50.
  4. Para o mesmo avanço horizontal, qual delas alcança maior altura?

15. Duas pessoas observam a mesma torre

Uma pessoa A está a 10 m da base de uma torre e observa seu topo sob 60°. Uma pessoa B, na mesma linha horizontal e mais distante, observa o topo sob 30°.

  1. Determine a altura da torre usando a posição de A.
  2. Determine a distância de B até a torre.
  3. Determine a distância entre A e B.
  4. Explique por que o menor ângulo de elevação corresponde ao observador mais distante.

16. Distância inacessível

Para estimar a largura de um rio, um observador escolhe um ponto na margem e mede um ângulo de 40° em relação a uma linha perpendicular à margem. Ele caminha 30 m ao longo da margem até outro ponto, formando um triângulo retângulo no esquema de medição.

  1. Considerando a largura x como cateto oposto ao ângulo de 40° e 30 m como cateto adjacente, escreva a relação trigonométrica.
  2. Use \(\tan40^\circ\approx0,839\) para estimar x.
  3. Explique por que a tangente é adequada nesse tipo de medição.

17. Seno, cosseno e semelhança

Dois triângulos retângulos possuem o mesmo ângulo agudo α. No primeiro, CO = 3, CA = 4 e H = 5. No segundo, CO = 6, CA = 8 e H = 10.

  1. Calcule \(\operatorname{sen}\alpha\) nos dois triângulos.
  2. Calcule \(\cos\alpha\) nos dois triângulos.
  3. Calcule \(\tan\alpha\) nos dois triângulos.
  4. Explique, usando semelhança, por que as razões são iguais.

18. Escolhendo a razão adequada

Em cada situação, indique a razão trigonométrica mais direta antes de calcular.

  1. Conhecem-se o cateto oposto e a hipotenusa.
  2. Conhecem-se o cateto adjacente e a hipotenusa.
  3. Conhecem-se os dois catetos.
  4. Uma escada de 10 m forma 30° com o chão e deseja-se a altura alcançada. Calcule-a.
  5. Uma escada forma 60° com o chão e sua base está a 2 m da parede. Determine o comprimento da escada.

19. Conferindo a coerência de resultados

Um aluno afirmou que, para um ângulo agudo α de um triângulo retângulo, \(\operatorname{sen}\alpha=1,2\) e \(\cos\alpha=0,6\).

  1. Qual dos valores é impossível? Justifique.
  2. Outro aluno encontrou \(\tan\beta=1,5\). Esse valor pode ocorrer para um ângulo agudo? Explique.
  3. Para um triângulo 5-12-13 e o ângulo oposto ao cateto 5, determine seno, cosseno e tangente e verifique se os valores são coerentes.

20. Desafio final — torre e cabo

Um poste vertical é sustentado por um cabo preso ao seu topo. O cabo forma 60° com o chão e o ponto de fixação no solo está a 10 m da base do poste. Um observador de 1,7 m de altura está a 20 m do poste.

  1. Determine a altura do poste em forma exata e aproximada.
  2. Determine o comprimento do cabo.
  3. Determine a tangente do ângulo de elevação sob o qual o observador vê o topo do poste, considerando a altura dos olhos.
  4. Determine aproximadamente esse ângulo de elevação.
  5. Explique por que o ângulo encontrado pelo observador é diferente dos 60° formados pelo cabo com o chão.
Gabarito

1. H = 9 m; CO = 5,4 m; CA = 7,2 m. \(\operatorname{sen}\alpha=0,6\), \(\cos\alpha=0,8\), \(\tan\alpha=0,75\).

2. Altura = 12 m. \(\operatorname{sen}\alpha=12/13\), \(\cos\alpha=5/13\), \(\tan\alpha=12/5\). A tangente usa apenas os catetos.

3. H = 15 m. Para o ângulo oposto a 9: \(\operatorname{sen}\alpha=3/5\), \(\cos\alpha=4/5\), \(\tan\alpha=3/4\). Nos ângulos complementares, seno e cosseno trocam de valor.

4. 30°: \(\operatorname{sen}30^\circ=1/2\), \(\cos30^\circ=\sqrt3/2\), \(\tan30^\circ=\sqrt3/3\). 60°: \(\operatorname{sen}60^\circ=\sqrt3/2\), \(\cos60^\circ=1/2\), \(\tan60^\circ=\sqrt3\). \(\operatorname{sen}30^\circ=\cos60^\circ=1/2\).

5. Ângulos agudos de 45°. Diagonal = \(6\sqrt2\) m. \(\operatorname{sen}45^\circ=\cos45^\circ=\sqrt2/2\) e \(\tan45^\circ=1\).

6. \(\operatorname{sen}60^\circ=h/8\). \(h=4\sqrt3\approx6,93\) m. Distância horizontal = 4 m.

7. Altura = 5 m. Avanço horizontal = \(5\sqrt3\approx8,66\) m. Seno para a altura e cosseno para o avanço. A verificação dá 10 m.

8. \(h=20\cdot\operatorname{sen}50^\circ\approx15,32\) m. Distância \(\approx20\cdot\cos50^\circ\approx12,86\) m. Os valores satisfazem aproximadamente o Teorema de Pitágoras.

9. Tangente. Diferença de altura = 15 m. Altura total = 16,7 m. Soma-se 1,7 m porque o triângulo parte da altura dos olhos.

10. Diferença = 25 m. Altura total = 26,6 m. Ao se afastar, o ângulo diminui.

11. O ângulo de depressão é igual ao ângulo de elevação correspondente por paralelismo das horizontais. \(x=40\) m. Usa-se a tangente.

12. \(h=12\sqrt3\) m \(\approx20,78\) m. Mantendo 60°, ao duplicar a distância horizontal, a altura correspondente também duplicaria.

13. \(\tan\alpha=6/8=0,75\). \(\alpha\approx36,9^\circ\). Menor que 45°, pois \(\tan\alpha<1\). Comprimento = 10 m.

14. \(\tan\alpha=3/12=0,25\). \(\alpha\approx14,0^\circ\). A rampa de tangente 0,50 é mais inclinada e, para o mesmo avanço, alcança maior altura.

15. Altura = \(10\sqrt3\) m. Distância de B = 30 m. Distância entre A e B = 20 m. Quanto maior a distância horizontal, menor o ângulo de elevação para a mesma altura.

16. \(\tan40^\circ=x/30\). \(x\approx25,17\) m. A tangente relaciona diretamente largura e deslocamento horizontal.

17. Nos dois triângulos: \(\operatorname{sen}\alpha=3/5\), \(\cos\alpha=4/5\) e \(\tan\alpha=3/4\). As razões são iguais porque os triângulos são semelhantes.

18. a) seno. b) cosseno. c) tangente. d) 5 m. e) 4 m.

19. \(\operatorname{sen}\alpha=1,2\) é impossível para ângulo agudo, pois seno deve estar entre 0 e 1. \(\tan\beta=1,5\) é possível. No triângulo 5-12-13: \(\operatorname{sen}\alpha=5/13\), \(\cos\alpha=12/13\), \(\tan\alpha=5/12\).

20. Altura = \(10\sqrt3\approx17,32\) m. Cabo = 20 m. Diferença entre topo e olhos \(\approx15,62\) m; \(\tan\theta\approx15,62/20\approx0,781\); \(\theta\approx38^\circ\). O observador forma outro triângulo, com distância e altura diferentes das do cabo.

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