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Atividade - 8º ano

Construções geométricas: mediatriz, bissetriz e outros procedimentos geométricos

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Orientação: Leia atentamente cada situação. Nas construções geométricas, não basta obter uma figura que apenas pareça correta: é importante compreender por que o procedimento funciona, quais propriedades estão sendo utilizadas e quais instrumentos são adequados. Nas figuras destinadas à construção, complete os traçados com régua e compasso quando solicitado.

1. Encontrando o ponto médio sem medir

Durante uma aula, a professora desenhou um segmento AB e propôs um desafio: encontrar exatamente seu ponto médio utilizando apenas régua não graduada e compasso. Um estudante sugeriu medir o segmento e dividir seu comprimento por 2. A professora explicou que o objetivo era realizar uma construção geométrica sem depender de medidas numéricas.

1. O que significa dizer que um ponto M é o ponto médio de AB?
2. Que relação deve existir entre AM e MB?
3. Descreva como utilizar o compasso para traçar arcos com centros em A e B.
4. Por que a abertura do compasso deve ser a mesma nos dois centros?
5. O que deve ser feito com os dois pontos de encontro dos arcos?
6. Como a reta obtida permite localizar o ponto médio de AB?
7. Explique por que esse procedimento não depende de conhecer numericamente o comprimento do segmento.

2. Construindo a mediatriz

Em um terreno há dois pontos de iluminação, representados por A e B. Um equipamento deve ser instalado em uma posição que fique exatamente à mesma distância dos dois pontos. Um técnico afirmou que a mediatriz do segmento AB pode ajudar a determinar possíveis posições.

1. O que é a mediatriz de um segmento?
2. Qual ângulo a mediatriz forma com o segmento AB?
3. Em qual ponto do segmento ela deve passar?
4. Observe os arcos indicados na figura e descreva como concluir a construção da mediatriz.
5. Se um ponto P pertence à mediatriz de AB, qual relação existe entre PA e PB?
6. Existe apenas uma posição possível para o equipamento? Justifique.
7. Explique por que a mediatriz é considerada um lugar geométrico.

3. Onde instalar o bebedouro?

Em uma praça escolar existem duas áreas de recreação, representadas pelos pontos A e B. A direção pretende instalar um bebedouro que fique à mesma distância das duas áreas. Na figura, três posições P, Q e R foram analisadas.

1. Qual dos três pontos atende à condição estabelecida?
2. Que igualdade de distâncias pode ser escrita para esse ponto?
3. Se P estiver mais próximo de A do que de B, ele poderá pertencer à mediatriz?
4. Um ponto localizado muito distante de AB, mas ainda sobre sua mediatriz, continuará equidistante de A e B?
5. Quantos pontos do plano satisfazem a condição de serem equidistantes de A e B?
6. O que o problema mostra sobre a diferença entre procurar um ponto e determinar um lugar geométrico?

4. Verificando uma construção

Lucas tentou construir a mediatriz de um segmento. Para isso, colocou a ponta seca do compasso em A, abriu-o em determinada medida e traçou dois arcos. Depois colocou a ponta em B, mas modificou a abertura do compasso antes de traçar os novos arcos. Mesmo assim, conseguiu desenhar uma reta que visualmente parecia passar próximo ao meio do segmento.

1. O procedimento realizado por Lucas garante uma mediatriz correta?
2. Qual foi o erro cometido?
3. Por que a mesma abertura deve ser utilizada nos arcos com centros em A e B?
4. O fato de a reta “parecer” perpendicular é suficiente para validar a construção?
5. Como Lucas poderia verificar se a reta construída é realmente uma mediatriz?
6. Explique por que a precisão do procedimento é mais importante do que uma avaliação apenas visual.

5. Dividindo um ângulo em duas partes iguais

Uma estudante desenhou um ângulo de 70° e precisa construir uma semirreta que o divida em duas partes de mesma medida.

1. Como se chama a semirreta que divide um ângulo em duas partes congruentes?
2. Qual deverá ser a medida de cada ângulo formado?
3. Descreva o primeiro arco que deve ser traçado com centro no vértice do ângulo.
4. Depois que esse arco interceptar os dois lados do ângulo, onde deverá ser posicionada a ponta seca do compasso?
5. Como é determinado o ponto por onde passará a bissetriz?
6. É necessário medir 35° com um transferidor para realizar essa construção?
7. Explique por que o procedimento garante duas partes congruentes.

6. A propriedade da bissetriz

Duas paredes de uma sala encontram-se formando um ângulo. Um arquiteto deseja instalar uma luminária em um ponto que fique à mesma distância das duas paredes. A solução proposta foi posicioná-la sobre a bissetriz do ângulo formado pelas paredes.

1. Qual propriedade da bissetriz justifica essa escolha?
2. O que significa dizer que um ponto é equidistante dos lados de um ângulo?
3. Se um ponto P pertence à bissetriz, como devem ser comparadas suas distâncias perpendiculares aos dois lados do ângulo?
4. Um ponto fora da bissetriz pode, em geral, satisfazer essa condição?
5. Existem vários pontos que podem atender ao projeto?
6. Explique por que a bissetriz também pode ser interpretada como um lugar geométrico.

7. Mediatriz ou bissetriz?

Durante uma atividade, quatro problemas foram apresentados:

I. Encontrar pontos que estejam à mesma distância de duas árvores representadas por pontos A e B.
II. Dividir um ângulo de 80° em duas partes congruentes.
III. Encontrar pontos equidistantes dos lados de um corredor que formam um ângulo.
IV. Traçar uma reta perpendicular a um segmento exatamente em seu ponto médio.

1. Em quais situações deve ser utilizada a mediatriz?
2. Em quais situações deve ser utilizada a bissetriz?
3. Que propriedade é utilizada na situação I?
4. Que propriedade é utilizada na situação III?
5. Qual é a principal diferença entre aquilo que a mediatriz divide e aquilo que a bissetriz divide?
6. Explique por que confundir essas duas construções pode levar a uma solução geometricamente incorreta.

8. Construindo uma perpendicular

Uma rua reta é representada pela reta r da figura. Um novo acesso deverá sair do ponto P, pertencente a r, formando um ângulo reto com a rua.

1. Qual deve ser a medida do ângulo entre o novo acesso e a rua?
2. Que tipo de reta deve ser construída passando por P?
3. Descreva um procedimento com régua e compasso para marcar dois pontos de r equidistantes de P.
4. Como esses dois pontos podem ser utilizados para construir uma reta perpendicular?
5. Qual relação essa construção possui com a mediatriz?
6. Explique por que os ângulos formados serão de 90°.

9. Uma perpendicular por um ponto externo

Considere a reta r e o ponto P, que não pertence a ela, mostrados na figura. Deseja-se construir uma reta que passe por P e seja perpendicular a r.

1. Com centro em P, como um arco pode ser utilizado para determinar dois pontos A e B sobre r?
2. Qual relação existe entre PA e PB?
3. O que isso permite afirmar sobre a posição de P em relação à mediatriz de AB?
4. Como construir essa mediatriz?
5. Por que a reta construída passará necessariamente por P?
6. Por que ela será perpendicular a r?
7. Explique como uma propriedade estudada inicialmente para segmentos pode ser utilizada para resolver um problema envolvendo retas.

10. Construindo uma paralela

Em um desenho técnico há uma reta r e um ponto P localizado fora dela. É necessário traçar por P uma reta s paralela a r. Uma estratégia consiste em utilizar construções de retas perpendiculares.

1. Construa mentalmente uma reta t passando por P e perpendicular a r.
2. Em seguida, que tipo de reta deve ser construída passando por P em relação a t?
3. Qual será a relação entre a nova reta s e r?
4. Que propriedade envolvendo duas retas perpendiculares a uma mesma reta justifica a construção?
5. As retas r e s poderão se encontrar em algum ponto do plano?
6. Explique como construções geométricas mais simples podem ser combinadas para produzir uma construção mais complexa.

11. Dividindo um segmento em partes iguais

Uma faixa retangular de 18 cm de comprimento precisa ser dividida geometricamente em 6 partes iguais. O professor pediu que os estudantes realizassem o procedimento utilizando uma semirreta auxiliar e retas paralelas, em vez de simplesmente marcar intervalos de 3 cm com a régua.

1. Qual deverá ser o comprimento de cada parte, apenas para conferência?
2. Quantos intervalos iguais devem ser marcados na semirreta auxiliar?
3. Depois de ligar a última marca à outra extremidade do segmento original, o que deve ser traçado pelas demais marcas?
4. Qual propriedade geométrica garante que o segmento original será dividido em partes iguais?
5. Quantos pontos internos de divisão aparecerão no segmento?
6. Explique uma vantagem desse procedimento quando o comprimento do segmento não é facilmente divisível utilizando uma régua graduada.

12. Dividindo um ângulo novamente

Um ângulo de 120° foi dividido por sua bissetriz. Depois, cada um dos dois ângulos obtidos também foi dividido por sua própria bissetriz.

1. Qual é a medida dos dois ângulos após a primeira construção?
2. Quantos ângulos existirão após a segunda etapa?
3. Qual será a medida de cada um deles?
4. Se cada um desses ângulos fosse novamente dividido ao meio, quantas partes seriam obtidas?
5. Qual seria a medida de cada parte?
6. É possível realizar todo esse procedimento apenas com régua e compasso, sem medir cada novo ângulo?
7. Explique como a repetição de uma construção conhecida permite produzir novas divisões.

13. O centro de uma circunferência desapareceu

Uma circunferência foi desenhada em uma folha, mas seu centro não está marcado. Um estudante precisa recuperá-lo utilizando construções geométricas. Na figura estão marcadas duas cordas diferentes, AB e CD.

1. O que deve ser construído em relação à corda AB?
2. O que deve ser feito com CD?
3. O que representa o ponto de encontro dessas duas retas?
4. Por que o centro da circunferência pertence à mediatriz de qualquer corda?
5. Uma única corda seria suficiente para localizar exatamente o centro? Justifique.
6. Por que é importante que as duas cordas escolhidas não produzam a mesma mediatriz?
7. Explique como a propriedade da mediatriz resolve esse problema.

14. Onde construir um posto de atendimento?

Três comunidades são representadas pelos pontos não alinhados A, B e C. Deseja-se construir um posto de atendimento que fique à mesma distância das três comunidades.

1. Que construção pode ser realizada no segmento AB?
2. E no segmento BC?
3. O que representa o ponto de encontro dessas duas construções?
4. Se esse ponto for chamado de O, qual relação deverá existir entre OA, OB e OC?
5. Seria necessário construir também a mediatriz de AC para localizar O?
6. Se ela for construída, por qual ponto deverá passar?
7. Qual conhecido ponto notável do triângulo está sendo determinado?
8. Explique por que esse problema é uma aplicação prática da propriedade da mediatriz.

15. Um ponto equidistante de três lados

A praça triangular representada na figura deverá receber um pequeno elemento decorativo em um ponto que fique à mesma distância dos três lados.

1. Deve-se utilizar mediatrizes ou bissetrizes dos ângulos do triângulo?
2. Construa conceitualmente a bissetriz de dois ângulos internos.
3. O que representa o ponto de encontro dessas bissetrizes?
4. Qual relação existe entre as distâncias desse ponto aos três lados?
5. Se a terceira bissetriz for construída, por onde deverá passar?
6. Como se chama esse ponto notável do triângulo?
7. Explique a diferença entre procurar um ponto equidistante dos vértices e procurar um ponto equidistante dos lados de um triângulo.

16. Analisando um procedimento incorreto

Para construir a bissetriz de um ângulo, uma estudante realizou as seguintes etapas: traçou um arco com centro no vértice que interceptou os dois lados; a partir de um dos pontos de interseção traçou novo arco; no outro ponto, porém, aumentou bastante a abertura do compasso antes de traçar o segundo arco; por fim, ligou o vértice ao encontro desses arcos.

1. Qual etapa comprometeu a construção?
2. Por que as aberturas utilizadas nos dois últimos arcos devem ser iguais?
3. A semirreta obtida necessariamente dividirá o ângulo ao meio?
4. Como o procedimento deve ser corrigido?
5. Depois da correção, que relação existirá entre os dois ângulos formados?
6. Explique por que construções com compasso dependem não apenas dos centros escolhidos, mas também da preservação de determinadas distâncias.

17. Um projeto de jardim

Um jardim possui dois portões representados por A e B. Pretende-se instalar uma fonte que esteja à mesma distância dos dois portões e, ao mesmo tempo, fique sobre a alameda representada pela reta r. Na figura, a alameda cruza a mediatriz de AB em P.

1. Qual condição é garantida pelo fato de P pertencer à mediatriz?
2. Qual condição é garantida pelo fato de P pertencer à reta r?
3. Por que o ponto de interseção atende simultaneamente às duas exigências do projeto?
4. Se a alameda fosse paralela à mediatriz e não coincidisse com ela, existiria uma solução?
5. E se a alameda coincidisse exatamente com a mediatriz? Quantas posições seriam possíveis?
6. Explique como a interseção de lugares geométricos pode ser utilizada para resolver problemas com várias condições.

18. Construções e escalas

Em um mapa, duas cidades estão representadas pelos pontos A e B. A escala utilizada é de 1 cm para 20 km. A distância entre A e B no mapa é de 6 cm. Deseja-se marcar possíveis locais para uma estação que esteja à mesma distância das duas cidades.

1. Qual é a distância real entre as cidades?
2. Que construção deve ser realizada no mapa para representar todos os pontos equidistantes de A e B?
3. Essa construção depende da escala utilizada? Explique.
4. Um ponto P da mediatriz está a 5 cm de A. A quantos quilômetros da cidade A ele corresponde?
5. Qual será sua distância real até B?
6. Se outro ponto da mediatriz estiver mais distante das duas cidades, ele deixará de satisfazer a condição de equidistância?
7. Explique como uma construção geométrica pode ser combinada com conhecimentos de escala para interpretar uma situação real.

19. Comparando propriedades

Durante uma revisão, quatro estudantes fizeram as seguintes afirmações:

Ana: “Todo ponto da mediatriz de um segmento está à mesma distância de suas extremidades.”

Bruno: “Todo ponto da bissetriz de um ângulo está à mesma distância dos lados desse ângulo.”

Carlos: “A mediatriz sempre passa pelo ponto médio do segmento e é perpendicular a ele.”

Daniela: “A bissetriz de um ângulo sempre é perpendicular a um de seus lados.”

1. A afirmação de Ana está correta? Justifique.
2. A afirmação de Bruno está correta?
3. A afirmação de Carlos está correta?
4. A afirmação de Daniela está correta? Justifique.
5. Em um ângulo de 90°, que medidas são produzidas pela bissetriz?
6. Nesse caso, a bissetriz é perpendicular a algum dos lados do ângulo?
7. Reescreva a afirmação de Daniela de forma matematicamente correta.
8. Explique por que conhecer as propriedades das construções é importante para avaliar afirmações sem precisar redesenhar todas as situações.

20. Desafio final - planejando um espaço triangular

A escola pretende organizar uma área de convivência no terreno triangular ABC. Na Proposta 1, deseja-se instalar um equipamento exatamente à mesma distância dos três vértices. Na Proposta 2, outro equipamento deverá ficar exatamente à mesma distância dos três lados.

Proposta 1

1. Para resolver a Proposta 1, quais retas devem ser construídas?
2. Quantas dessas retas são suficientes para determinar o ponto procurado?
3. Como se chama o ponto de encontro das mediatrizes?
4. Se esse ponto for O, qual relação existe entre OA, OB e OC?
5. Para resolver a Proposta 2, quais construções devem ser utilizadas?
6. Como se chama o ponto de encontro das bissetrizes internas?
7. Que propriedade esse ponto apresenta em relação aos três lados?
8. Explique por que utilizar mediatrizes na Proposta 2 não atenderia necessariamente à condição desejada.
9. Explique por que utilizar bissetrizes na Proposta 1 também não garantiria o resultado solicitado.
10. Se o terreno fosse um triângulo equilátero, o que aconteceria com esses dois pontos notáveis?
11. Na própria figura, descreva e realize com régua e compasso a construção necessária para a Proposta 1.
12. Em uma segunda cópia do triângulo, faça o mesmo para a Proposta 2.
13. Explique a diferença entre ser equidistante de pontos e ser equidistante de retas ou lados de um ângulo.

Gabarito

1. a) M divide AB em dois segmentos congruentes. b) \(AM=MB\). c-e) Traçam-se arcos de mesmo raio, maior que a metade de AB, com centros em A e B; unem-se as duas interseções. f) A reta cruza AB em seu ponto médio. g) A construção preserva distâncias, sem exigir medida numérica.

2. a) Reta perpendicular a AB que passa pelo ponto médio. b) 90°. c) Pelo ponto médio. d) Unir as duas interseções dos arcos. e) \(PA=PB\). f) Não; há infinitos pontos na mediatriz. g) Ela é o conjunto de todos os pontos equidistantes de A e B.

3. a) Q. b) \(QA=QB\). c) Não. d) Sim. e) Infinitos, formando a mediatriz. f) Lugar geométrico é o conjunto de todos os pontos que satisfazem uma condição.

4. a) Não. b) Alterou a abertura. c) Para garantir pontos equidistantes de A e B. d) Não. e) Verificar perpendicularidade, passagem pelo ponto médio e equidistância. f) A construção geométrica se fundamenta em propriedades, não apenas na aparência.

5. a) Bissetriz. b) 35°. c-e) Arco com centro no vértice corta os lados; a partir desses pontos, traçam-se arcos de mesma abertura; liga-se o vértice à interseção. f) Não. g) A construção cria configurações congruentes dos dois lados.

6. a) Pontos da bissetriz são equidistantes dos lados. b) As distâncias perpendiculares aos lados são iguais. c) Iguais. d) Em geral, não. e) Sim, infinitos. f) É o conjunto de pontos equidistantes dos lados do ângulo.

7. a) I e IV. b) II e III. c) Equidistância das extremidades. d) Equidistância dos lados. e) A mediatriz relaciona-se a um segmento; a bissetriz divide um ângulo. f) As condições geométricas são diferentes.

8. a) 90°. b) Perpendicular. c) Marcar A e B em r com \(PA=PB\). d) Construir a mediatriz de AB. e) Como P é o ponto médio de AB, a mediatriz passa por P. f) Pela definição de perpendicularidade.

9. a) Um arco com centro em P corta r em A e B. b) \(PA=PB\). c) P pertence à mediatriz de AB. d) Por arcos de mesmo raio a partir de A e B. e) Porque P é equidistante de A e B. f) A mediatriz é perpendicular a AB, que está em r. g) A propriedade de equidistância permite construir a perpendicular.

10. a) Perpendicular a r por P. b) Uma perpendicular a t por P. c) s será paralela a r. d) Duas retas perpendiculares à mesma reta são paralelas. e) Não, no plano euclidiano. f) Procedimentos básicos podem ser encadeados.

11. a) 3 cm. b) 6 intervalos. c) Paralelas à reta que liga a sexta marca a B. d) Teorema de Tales. e) 5. f) Não depende de efetuar divisões métricas exatas no segmento original.

12. a) 60°. b) 4. c) 30°. d) 8. e) 15°. f) Sim. g) Cada aplicação da bissetriz divide exatamente o ângulo anterior em duas partes congruentes.

13. a) Mediatriz de AB. b) Mediatriz de CD. c) Centro da circunferência. d) O centro é equidistante das extremidades de cada corda. e) Não; uma mediatriz contém infinitos pontos. f) Para obter uma interseção única. g) O centro pertence simultaneamente às mediatrizes das cordas.

14. a-b) Mediatrizes. c) Ponto equidistante de A, B e C. d) \(OA=OB=OC\). e) Não. f) Pelo mesmo ponto O. g) Circuncentro. h) O circuncentro é a interseção das mediatrizes e é equidistante dos vértices.

15. a) Bissetrizes. b-c) A interseção das bissetrizes internas. d) Distâncias perpendiculares iguais aos três lados. e) Pelo mesmo ponto. f) Incentro. g) Mediatrizes resolvem equidistância de vértices; bissetrizes, equidistância de lados.

16. a) A alteração da abertura no segundo dos dois arcos. b) Para preservar a simetria e a equidistância. c) Não. d) Usar a mesma abertura nos dois arcos. e) Serão congruentes. f) A igualdade das distâncias é parte essencial da construção.

17. a) \(PA=PB\). b) P está sobre a alameda. c) É a interseção das duas condições. d) Não. e) Infinitas posições. f) A solução de várias condições pode ser encontrada pela interseção dos respectivos lugares geométricos.

18. a) 120 km. b) Mediatriz de AB. c) A construção geométrica não; a interpretação das distâncias reais, sim. d) 100 km. e) 100 km. f) Não. g) A geometria localiza os pontos e a escala converte as medidas.

19. a) Sim. b) Sim. c) Sim. d) Não. e) 45° e 45°. f) Não; forma 45° com cada lado. g) A bissetriz divide o ângulo em dois ângulos congruentes. h) As propriedades permitem decidir a validade de afirmações de forma lógica.

20. a) Mediatrizes dos lados. b) Duas. c) Circuncentro. d) \(OA=OB=OC\). e) Bissetrizes internas. f) Incentro. g) É equidistante dos três lados. h-i) As duas construções respondem a tipos diferentes de equidistância. j) No triângulo equilátero, circuncentro e incentro coincidem, assim como outros centros notáveis. k-l) Construções por arcos de igual abertura, conforme mediatriz e bissetriz. m) Equidistância de pontos usa distâncias aos vértices; equidistância de lados usa distâncias perpendiculares às retas que contêm esses lados.

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