1. Planejando a compra dos materiais
No início do semestre, a família de Gabriel decidiu organizar antecipadamente os gastos com material escolar. Em uma papelaria, ele encontrou um modelo de caderno que atendia às suas necessidades, mas percebeu que o estabelecimento ainda estava atualizando os preços para o período de volta às aulas.
Como Gabriel precisaria comprar cinco cadernos iguais, resolveu representar por \(x\) o preço, em reais, de cada unidade. Dessa maneira, mesmo sem conhecer o preço definitivo, ele poderia representar matematicamente o gasto e depois substituir \(x\) pelo valor encontrado na loja.
- Escreva uma expressão algébrica que represente o valor dos cinco cadernos.
- Se o preço definitivo de cada caderno for R 18,00, quanto Gabriel gastará?
- Nessa situação, o que a letra \(x\) representa?
- Se o preço de cada caderno aumentar R 2,00 antes da compra, como poderá ser representado o novo gasto com os cinco cadernos?
- Explique uma vantagem de utilizar uma expressão algébrica antes mesmo de conhecer o preço definitivo.
2. O custo de uma corrida
Antes de solicitar uma corrida por aplicativo, Júlia costuma observar a estimativa apresentada na tela para decidir se o valor cabe em seu orçamento. Em determinada empresa, o preço é calculado considerando duas partes: uma tarifa inicial de R 6,00, cobrada independentemente da distância percorrida, e outra parcela que depende do trajeto, no valor de R 2,50 por quilômetro.
Em uma manhã, Júlia precisava percorrer 8 km para chegar a um compromisso. Antes de confirmar a corrida, resolveu compreender como o aplicativo chegaria ao preço estimado.
- Considerando \(x\) como a quantidade de quilômetros percorridos, escreva uma expressão algébrica que represente o preço da corrida.
- Utilize a expressão para calcular quanto Júlia pagaria pelo percurso de 8 km.
- Na expressão construída, identifique a parte do preço que permanece a mesma e a parte que varia conforme a distância.
- Se Júlia comparasse um trajeto de 8 km com outro de 12 km, em quantos reais o preço aumentaria?
- Explique como essa diferença pode ser percebida na própria expressão algébrica.
3. O que significa “o dobro aumentado de sete”?
Durante uma atividade, a professora escreveu no quadro a frase: “O dobro de um número, aumentado de sete unidades.”
Três estudantes apresentaram respostas diferentes:
Ana: \(2x+7\)
Bruno: \(2(x+7)\)
Carlos: \(x+2+7\)
- Qual estudante representou corretamente a frase?
- Explique, com suas palavras, o que a expressão de Bruno representa.
- O que a expressão de Carlos representa?
- Considere \(x=10\) e determine o valor numérico das três expressões.
- Os resultados encontrados ajudam a mostrar que expressões formadas pelos mesmos números e letras não são necessariamente equivalentes? Justifique.
4. Quanto de cerca será necessário?
Uma família pretende cercar um terreno retangular. A largura já foi definida em 12 metros, mas o comprimento dependerá de uma negociação para aquisição de uma faixa de terreno vizinha. Por esse motivo, o comprimento será representado por \(x\) metros.
Antes de decidir pela compra, a família quer estimar quantos metros de cerca serão necessários em diferentes possibilidades de comprimento. O portão será desconsiderado nos cálculos desta atividade.
- Escreva uma expressão que represente o perímetro do terreno.
- Simplifique essa expressão.
- Se o comprimento for definido em 20 metros, quantos metros de cerca serão necessários?
- E se o comprimento passar para 25 metros?
- Compare os dois resultados e explique como a alteração de 5 metros no comprimento provoca uma alteração de 10 metros no perímetro.
5. O pedido coletivo na cantina
Durante o intervalo, um grupo de estudantes decidiu fazer um único pedido na cantina para facilitar o pagamento. Foram comprados quatro sanduíches do mesmo tipo e três sucos iguais.
A professora utilizou \(s\) para representar o preço de um sanduíche e \(j\) para representar o preço de um suco.
- Escreva uma expressão para representar o valor total do pedido.
- Se \(s=8\) e \(j=5\), determine o valor da compra.
- Um estudante sugeriu representar o pedido por \(7sj\), argumentando que foram comprados sete produtos. Essa representação está correta? Explique.
- Na expressão correta, qual é o significado dos números 4 e 3?
- Se somente o preço do sanduíche aumentar R 1,00, em quanto aumentará o valor total desse pedido?
6. Entendendo a conta de um serviço digital
Uma família contratou um serviço digital cuja mensalidade básica é de R 45,00. O plano inclui determinado número de utilizações, mas cada uso que ultrapassa o limite contratado acrescenta R 3,00 à conta.
Ao receber a fatura, o responsável encontrou a expressão \(45+3n\), sendo \(n\) a quantidade de utilizações adicionais.
- Explique o significado de cada elemento da expressão \(45+3n\).
- Quanto será cobrado se não houver utilização adicional?
- Determine o valor da conta caso ocorram 7 utilizações adicionais.
- Em outro mês, a conta totalizou R 75,00. Quantas utilizações adicionais ocorreram?
- Por que o valor de R 45,00 continua aparecendo na conta mesmo quando \(n=0\)?
7. Descobrindo a regra de uma sequência
Para decorar os painéis de uma mostra escolar, os estudantes começaram a construir figuras utilizando palitos. A primeira figura utilizava 5 palitos. Para produzir cada figura seguinte, era necessário acrescentar exatamente 3 palitos à figura anterior.
Figura 1 → 5 palitos
Figura 2 → 8 palitos
Figura 3 → 11 palitos
Figura 4 → 14 palitos
- Quantos palitos serão utilizados na figura 5?
- Observe a regularidade e escreva uma expressão em função de \(n\) para determinar a quantidade de palitos da figura de posição \(n\).
- Utilize a expressão para determinar a quantidade necessária para a figura 20.
- Quantos palitos seriam necessários para a figura 50?
- Explique por que uma expressão algébrica é mais eficiente do que desenhar todas as figuras anteriores.
8. Os custos de uma pequena produção
Um grupo de artesãos começou a produzir peças para uma feira. Antes de fabricar qualquer unidade, é necessário pagar R 150,00 pela preparação dos equipamentos. Depois disso, cada peça produzida acrescenta R 12,00 ao custo.
Para auxiliar no planejamento, um dos integrantes propôs utilizar \(C=12x+150\), em que \(x\) representa a quantidade produzida e \(C\), o custo total em reais.
- Qual será o custo para produzir 10 peças?
- Determine o custo para 50 peças.
- O que representa o número 12 no contexto?
- O que representam os R 150,00?
- Se nenhuma peça for produzida, qual será o valor de \(C\)? Por que esse resultado faz sentido?
- Explique como a expressão pode ajudar os artesãos a planejar diferentes quantidades de produção.
9. Um erro na substituição do valor
Ao resolver uma atividade, Mateus precisava calcular o valor numérico da expressão \(2x^2+3x-4\) para \(x=3\).
Ele substituiu corretamente a letra por 3, mas interpretou \(2x^2\) como se fosse \((2x)^2\).
- Explique por que \(2x^2\) e \((2x)^2\) não representam necessariamente o mesmo valor.
- Calcule corretamente o valor de \(2x^2+3x-4\) para \(x=3\).
- Calcule o resultado seguindo o procedimento de Mateus.
- Qual é a diferença entre os dois resultados?
- Que cuidado esse exemplo mostra ser necessário ao calcular o valor numérico de uma expressão?
10. As idades de dois irmãos
Pedro é quatro anos mais novo que sua irmã. Como a atividade pretendia analisar essa relação em diferentes momentos da vida, sua idade atual foi representada por \(x\).
- Escreva uma expressão para representar a idade da irmã de Pedro.
- Escreva e simplifique uma expressão para a soma das idades dos dois irmãos.
- Se Pedro tiver 13 anos, qual será a idade da irmã e qual será a soma das idades?
- Cinco anos depois, quanto será a soma das idades?
- A soma aumentou 5 ou 10 anos? Explique por que isso acontece.
- A diferença entre as idades dos irmãos também mudará com o passar dos anos? Justifique.
11. Qual plano de atividade física escolher?
Mariana pretende frequentar uma academia durante alguns meses, mas ainda não sabe quantas aulas conseguirá fazer mensalmente. Ela encontrou duas opções.
Plano A: mensalidade fixa de
R 50,00 mais
R 8,00 por aula frequentada.
Plano B: mensalidade fixa de
R 80,00 mais
R 5,00 por aula frequentada.
- Considerando \(x\) como o número de aulas realizadas no mês, escreva uma expressão para cada plano.
- Calcule o custo de cada plano para 6 aulas.
- Faça a mesma comparação para 15 aulas.
- Qual plano é mais vantajoso em cada uma dessas situações?
- Os cálculos confirmam a afirmação do atendente?
- Explique por que não é adequado comparar os planos observando somente as mensalidades fixas.
12. A praça do bairro
A associação de moradores planeja revitalizar uma praça retangular. O projeto prevê que a largura tenha \(x\) metros e que o comprimento seja sempre 5 metros maior que a largura.
- Escreva corretamente uma expressão que represente a área da praça.
- O que representa \(x+5\) nessa situação?
- Determine a área quando \(x=10\).
- Determine a área quando \(x=20\).
- Explique por que \(x+x+5\) não representa a área. Que tipo de cálculo está faltando nessa proposta?
13. Duas expressões com aparências diferentes
Ao organizar os gastos de uma atividade, dois grupos chegaram às seguintes expressões:
\(3x+5x+7\) e \(8x+7\)
- Qual dos estudantes está correto?
- Explique por que \(3x\) e \(5x\) podem ser reunidos em um único termo.
- Calcule o valor das duas expressões para \(x=4\) e utilize os resultados para verificar sua conclusão.
- Poderíamos simplificar \(8x+7\) para \(15x\)? Justifique.
- Explique o que caracteriza termos semelhantes.
14. Mudança de hábitos e economia de água
Durante uma campanha sobre consumo consciente, uma família decidiu acompanhar a quantidade de água utilizada em determinada atividade doméstica. Como o consumo variava de um mês para outro, a quantidade inicial foi representada por \(x\) litros.
Após algumas mudanças de hábito, a família conseguiu reduzir em 15% o consumo relacionado àquela atividade.
- Qual dos estudantes interpretou corretamente \(0,15x\)? Explique.
- Escreva uma expressão que represente o consumo após a redução.
- Mostre por que esse consumo também pode ser representado por \(0,85x\).
- Se o consumo inicial era de 2.000 litros, quantos litros foram economizados?
- Qual passou a ser o consumo?
- Nesse contexto, o que representam 0,15 e 0,85?
15. Matemática e temperatura
Durante uma pesquisa interdisciplinar de Matemática e Ciências, uma turma encontrou dados meteorológicos de países que utilizavam escalas diferentes de temperatura.
Para comparar os valores, os estudantes conheceram a relação \(F=1,8C+32\), na qual \(C\) representa uma temperatura em graus Celsius e \(F\), a correspondente temperatura em graus Fahrenheit.
- Determine \(F\) quando \(C=0\).
- Calcule a temperatura correspondente a 20 °C.
- Faça o mesmo para 30 °C.
- O que o número 32 representa na estrutura da expressão?
- Por que o procedimento sugerido pelo estudante produziria resultados incorretos?
- Utilize \(C=0\) para mostrar claramente o erro que ocorreria se o termo \(+32\) fosse ignorado.
16. Quando a letra ao lado do número não significa adição
A professora pediu que a turma calculasse o valor de \(3a-2b\) para \(a=5\) e \(b=4\).
Um estudante apresentou: \(3+5-2+4=10\).
- Identifique o erro cometido.
- O que significa \(3a\)? E \(2b\)?
- Calcule corretamente o valor da expressão.
- Se \(a\) permanecer igual a 5 e \(b\) aumentar de 4 para 6, qual será o novo resultado?
- Comparando os dois resultados, explique por que aumentar \(b\) faz o valor da expressão diminuir.
17. Onde deixar o carro?
Uma família precisará deixar o carro estacionado enquanto participa de um evento. Próximo ao local existem dois estacionamentos.
O Estacionamento A cobra R 7,00 pela entrada, independentemente do tempo de permanência, e mais R 4,00 por hora.
O Estacionamento B não possui taxa de entrada, mas cobra R 6,00 por hora.
- Utilizando \(h\) para representar o número de horas, escreva uma expressão para o custo de cada estacionamento.
- Quanto será pago em cada local por uma permanência de 2 horas?
- E por uma permanência de 5 horas?
- Qual estacionamento é mais vantajoso em cada situação?
- A conclusão baseada apenas no preço por hora estava correta?
- Explique por que a taxa fixa modifica a comparação entre os estabelecimentos.
18. Escolhendo uma gráfica para o evento
Uma escola precisa encomendar camisetas para uma atividade. Duas gráficas apresentaram propostas diferentes.
A Gráfica A cobra R 120,00 pela preparação da arte, independentemente da quantidade encomendada, e mais R 18,00 por camiseta.
A Gráfica B não cobra pela preparação da arte, mas cada camiseta custa R 24,00.
- Utilizando \(x\) como a quantidade de camisetas, escreva uma expressão para o custo de cada gráfica.
- Calcule os valores para uma encomenda de 10 camisetas.
- Repita os cálculos para 30 camisetas.
- Qual gráfica é mais econômica em cada situação?
- A ausência de taxa inicial garante que a Gráfica B será sempre mais barata?
- Explique como as expressões ajudam a compreender por que a melhor escolha pode mudar conforme a quantidade encomendada.
19. Dividindo os custos de uma excursão
Uma escola está planejando uma visita a um museu localizado em outra cidade. O aluguel do ônibus custará R 1.800,00, independentemente de ele transportar 30 ou 45 estudantes. Além disso, cada participante deverá pagar R 25,00 pelo próprio ingresso.
Considere \(n\) como o número de participantes.
- Escreva uma expressão para representar o gasto total com ônibus e ingressos.
- Escreva uma expressão que represente quanto cada estudante deverá pagar.
- Quanto cada estudante pagará se 30 alunos participarem?
- E se forem 45 participantes?
- Qual parte do pagamento individual permanece igual nos dois casos?
- Qual parte se modifica? Explique por que ela diminui quando o número de participantes aumenta.
20. Desafio final - planejando uma feira científica
Uma empresa foi contratada para organizar parte da estrutura de uma feira científica escolar. Para elaborar diferentes orçamentos, ela utiliza a expressão:
\(C=500+20p+15m\)
em que \(C\) representa o custo total em reais, \(p\) representa o número de participantes atendidos e \(m\) corresponde à quantidade de materiais especiais utilizados nas oficinas.
A escola estima inicialmente 40 participantes e 12 materiais especiais. Entretanto, a coordenação considera a possibilidade de ampliar o número de participantes para 50 sem alterar a quantidade de materiais. O orçamento máximo disponível para esse serviço é de R 2.000,00.
- Antes de calcular, explique o que representam os três termos \(500\), \(20p\) e \(15m\).
- Calcule o custo previsto para 40 participantes e 12 materiais.
- Desse valor, quanto corresponde especificamente ao número de participantes?
- Quanto corresponde aos materiais especiais?
- Calcule o novo custo caso participem 50 pessoas e sejam mantidos os 12 materiais.
- O orçamento de R 2.000,00 será suficiente para a segunda situação? Determine quanto sobrará ou faltará.
- Se a escola aumentar apenas a quantidade de participantes de 40 para 50, por que o custo aumenta R 200,00? Relacione sua explicação à expressão.
- Explique por que utilizar um modelo algébrico como esse facilita o planejamento de diferentes cenários.