1. Cabo de sustentação
Um poste de 6 m é sustentado por um cabo preso ao solo a 8 m da base.
- Identifique os catetos do triângulo retângulo.
- Calcule o comprimento do cabo.
- Explique por que o Teorema de Pitágoras pode ser aplicado.
2. Escada apoiada na parede
Uma escada alcança 6 m de altura e sua base está a 2,5 m da parede.
- Represente a relação pitagórica.
- Determine o comprimento da escada.
- Se a base for afastada mantendo a mesma escada, a altura alcançada aumenta ou diminui?
3. Diagonal de uma quadra
Uma quadra retangular mede 12 m por 5 m. Uma pessoa atravessa pela diagonal.
- Determine a distância percorrida pela diagonal.
- Compare com o percurso de 12 m + 5 m feito pelos lados.
- Quantos metros são economizados?
4. Verificação experimental
Observe o triângulo de lados 3, 4 e 5.
- Calcule \(3^2+4^2\).
- Calcule \(5^2\).
- Compare os resultados.
- O que essa igualdade permite concluir sobre o triângulo?
5. Rampa de acessibilidade
Uma rampa vence um desnível de 0,9 m e ocupa 1,2 m na horizontal.
- Determine o comprimento da rampa.
- Identifique a hipotenusa na situação.
- Explique por que o comprimento da rampa é maior que cada cateto.
6. Tela de televisão
Uma tela retangular tem 48 cm de largura e 36 cm de altura.
- Calcule a diagonal.
- Expresse a diagonal em centímetros.
- Explique por que a diagonal corresponde à hipotenusa.
7. Distância entre dois pontos
Em um terreno, uma pessoa anda 9 m para leste e depois 12 m para norte.
- Represente o deslocamento por um triângulo retângulo.
- Determine a distância em linha reta entre o ponto inicial e o final.
- Compare com a distância total percorrida.
8. O triângulo é retângulo?
Uma estrutura triangular possui lados 7 m, 24 m e 25 m.
- Identifique o maior lado.
- Verifique a relação entre os quadrados das medidas.
- Conclua se o triângulo é retângulo.
9. Quando não é retângulo
Uma placa triangular possui lados 6 cm, 8 cm e 11 cm.
- Compare \(6^2+8^2\) com \(11^2\).
- A igualdade de Pitágoras é satisfeita?
- É possível afirmar que esse triângulo é retângulo? Justifique.
10. Relações métricas — identificando elementos
Observe o triângulo retângulo com a altura relativa à hipotenusa. Considere hipotenusa a, catetos b e c, altura h e projeções m e n.
- Qual segmento é dividido em m e n?
- Escreva a relação entre a, m e n.
- Escreva a relação \(h^2=mn\).
- Escreva as relações \(b^2=am\) e \(c^2=an\).
11. Altura relativa à hipotenusa
Em um triângulo retângulo, as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 4 cm e 9 cm.
- Determine a hipotenusa.
- Use \(h^2=mn\) para calcular a altura relativa à hipotenusa.
- Explique por que a altura obtida é uma média geométrica das projeções.
12. Cateto e projeção
A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 25 cm. A projeção de um dos catetos sobre a hipotenusa mede 9 cm.
- Use \(c^2=a\cdot n\) para determinar esse cateto.
- Determine a outra projeção.
- Use a relação métrica correspondente para calcular o outro cateto.
13. Conferindo pelas duas estratégias
Um triângulo retângulo tem catetos 15 cm e 20 cm.
- Calcule a hipotenusa por Pitágoras.
- Determine a área usando os dois catetos.
- Sabendo que a mesma área também é \(a\cdot h/2\), determine a altura relativa à hipotenusa.
- Confira o resultado pela relação \(h=bc/a\).
14. Árvore quebrada
Uma árvore quebrou a 3 m do solo. A parte superior encostou no chão a 4 m da base.
- Represente a parte caída como hipotenusa.
- Determine o comprimento da parte quebrada.
- Qual era a altura total da árvore antes de quebrar?
15. Antena e tirante
Um tirante de 13 m liga o topo de uma antena a um ponto no solo situado a 5 m da base.
- Determine a altura da antena.
- Mostre a igualdade pitagórica usada.
- Se o ponto no solo estivesse a 12 m da base com o mesmo tirante, qual seria a nova altura alcançada?
16. Diagonal de um quadrado
Uma praça quadrada tem lado 10 m.
- Determine a diagonal na forma exata.
- Dê uma aproximação decimal usando \(\sqrt2\approx1,414\).
- Explique por que aparece um número irracional nessa medida.
17. Triângulo isósceles
Uma cobertura tem forma de triângulo isósceles com lados iguais de 13 m e base de 10 m.
- Trace mentalmente a altura relativa à base e explique por que ela divide a base ao meio.
- Determine a altura da cobertura.
- Calcule a área do triângulo.
18. Retângulo com diagonal conhecida
Uma tela retangular tem diagonal 17 cm e altura 8 cm.
- Determine a largura.
- Verifique o resultado pela relação pitagórica.
- Calcule o perímetro da tela.
19. Problema inverso
Um triângulo retângulo possui hipotenusa 20 cm e um cateto \(4\sqrt{21}\) cm.
- Determine o quadrado do cateto conhecido.
- Calcule o outro cateto.
- Verifique a resposta por Pitágoras.
20. Desafio — relações métricas completas
Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 25 cm e uma das projeções mede 16 cm.
- Determine a outra projeção.
- Calcule a altura relativa à hipotenusa.
- Determine os dois catetos usando as relações métricas.
- Verifique os valores obtidos pelo Teorema de Pitágoras.
- Explique como a semelhança dos três triângulos formados pela altura está relacionada a essas fórmulas.