MatemáticaFC
Atividade - 9º ano
Números reais e números irracionais
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Orientação: Leia atentamente cada situação, identifique os números envolvidos e registre os procedimentos utilizados. Quando necessário, use aproximações de raízes quadradas e explique o significado da resposta no contexto apresentado.

1. A planta de uma praça

Uma praça quadrada foi desenhada em uma planta com lado de 10 m. Para representar a diagonal, o arquiteto escreveu \( \sqrt{200} \) m.

  1. Simplifique \( \sqrt{200} \).
  2. A medida exata da diagonal é racional ou irracional?
  3. Usando \( \sqrt2\approx1,414 \), determine uma aproximação da diagonal com duas casas decimais.
  4. Explique por que a medida aproximada não substitui o valor exato.

2. Medindo uma tela

Uma tela quadrada possui 1 m de lado. Um técnico precisa informar a medida da diagonal para escolher uma embalagem adequada.

  1. Escreva a medida exata da diagonal.
  2. Entre quais números inteiros consecutivos essa medida está?
  3. Sabendo que \( \sqrt2\approx1,414 \), qual é a diagonal aproximada em metros?
  4. A medida 1,41 m é exata ou aproximada? Justifique.

3. O piso de uma sala

Em uma reforma, uma peça quadrada de piso possui área de 18 m². O responsável quer estimar a medida do lado.

  1. Qual expressão representa a medida do lado?
  2. Entre quais inteiros consecutivos está essa medida?
  3. Sabendo que \( \sqrt{18}\approx4,243 \), escreva a medida aproximada com duas casas decimais.
  4. Classifique \( \sqrt{18} \) como racional ou irracional.

4. A leitura de um sensor

Um sensor registrou o valor 3,14159265 em uma medição. Para um relatório escolar, três estudantes fizeram registros diferentes: 3,14; 3,142 e \( \pi \).

  1. Qual dos três registros representa o valor exato, considerando que a medição corresponde a \( \pi \)?
  2. Quais registros são aproximações?
  3. Qual aproximação apresenta maior precisão?
  4. Explique por que \( \pi \) é um número irracional.

5. A rota no mapa

Em um mapa cartesiano simplificado, um trajeto reto entre dois pontos forma um triângulo retângulo com catetos de 2 km e 3 km.

  1. Use o teorema de Pitágoras para escrever a distância exata do trajeto.
  2. Entre quais inteiros consecutivos está essa distância?
  3. Sabendo que \( \sqrt{13}\approx3,606 \), determine uma aproximação com duas casas decimais.
  4. A distância exata pertence ao conjunto dos números racionais ou irracionais?

6. O desafio da calculadora

Durante uma aula, uma calculadora mostrou \( \sqrt7=2,64575131 \). Um estudante afirmou que esse número decimal era o valor exato de \( \sqrt7 \).

  1. A afirmação está correta?
  2. Por que a calculadora interrompe a representação decimal?
  3. Escreva \( \sqrt7 \) com aproximação de duas casas decimais.
  4. Qual símbolo é mais adequado entre \( \sqrt7 \) e 2,65: = ou ≈?

7. A escada de emergência

Uma escada encostada em uma parede forma um triângulo retângulo com 4 m de distância da parede e 6 m de altura.

  1. Escreva o comprimento exato da escada.
  2. Simplifique a raiz, se possível.
  3. Use \( \sqrt{13}\approx3,606 \) para obter uma aproximação do comprimento.
  4. Classifique o comprimento exato como racional ou irracional.

8. O painel de números

Em uma feira de matemática, um painel apresenta os números −4, 0, \( \frac35 \), 2,75, \( \sqrt9 \), \( \sqrt{11} \) e \( \pi \).

  1. Quais são números naturais?
  2. Quais são números inteiros?
  3. Quais são números racionais?
  4. Quais são números irracionais?
  5. Explique por que todos pertencem ao conjunto dos números reais.

9. A ordem dos marcadores

Em uma reta numérica de um jogo educativo aparecem os marcadores 1,4; \( \sqrt2 \); 1,5; \( \sqrt3 \) e 2.

  1. Usando \( \sqrt2\approx1,414 \) e \( \sqrt3\approx1,732 \), coloque os marcadores em ordem crescente.
  2. Qual número está mais próximo de 1,5?
  3. Qual número está entre 1,7 e 1,8?
  4. Explique como as aproximações ajudam a localizar números irracionais na reta real.

10. A peça de madeira

Uma marcenaria precisa cortar uma peça com comprimento \( \sqrt{50} \) cm.

  1. Entre quais inteiros consecutivos está \( \sqrt{50} \)?
  2. Como \(7^2=49\) e \(8^2=64\), a medida está mais próxima de 7 cm ou de 8 cm?
  3. Sabendo que \( \sqrt{50}\approx7,071 \), escreva a medida com duas casas decimais.
  4. Explique a diferença entre escrever \( \sqrt{50}=7,07 \) e \( \sqrt{50}\approx7,07 \).

11. O aplicativo de corrida

Um aplicativo registrou três trechos de uma corrida: \(A=\sqrt5\) km, \(B=2,3\) km e \(C=\sqrt6\) km.

  1. Use aproximações para comparar os três trechos.
  2. Coloque A, B e C em ordem crescente.
  3. Qual é o maior trecho?
  4. Quais dos três valores são irracionais?

12. A etiqueta do laboratório

Em um laboratório, quatro recipientes receberam etiquetas com os valores 0,125; 0,333...; 1,1010010001... e 2,75.

  1. Quais valores são racionais?
  2. Qual valor é irracional?
  3. Explique por que 0,333... é racional mesmo tendo infinitas casas decimais.
  4. Qual característica diferencia o decimal irracional apresentado das dízimas periódicas?

13. O quadrado da quadra

Uma quadra quadrada possui área de 45 m². A equipe de manutenção precisa estimar o comprimento de cada lado.

  1. Qual expressão representa o lado da quadra?
  2. Entre quais inteiros consecutivos está \( \sqrt{45} \)?
  3. Sabendo que \( \sqrt{45}\approx6,708 \), determine a medida aproximada com duas casas decimais.
  4. O valor 6,71 m é racional? E a medida exata \( \sqrt{45} \)? Explique.

14. A classificação dos cartões

Em uma atividade em grupo, cada cartão traz um número: −6, \( \frac43 \), \( \sqrt{16} \), \( \sqrt{17} \), 0,45, \( \pi \) e 0,272727.... Os estudantes devem separá-los em caixas identificadas por N, Z, Q, I e R.

  1. Indique o menor conjunto ao qual pertence cada número.
  2. Quais cartões pertencem ao conjunto dos inteiros?
  3. Quais pertencem ao conjunto dos irracionais?
  4. Qual é a relação entre Q, I e R?

15. O erro no cartaz

Um cartaz produzido para uma exposição traz a frase: “Todo número escrito com uma raiz quadrada é irracional.”

  1. A frase está correta?
  2. Dê um exemplo que mostre que a frase é falsa.
  3. Dê também um exemplo de raiz quadrada que seja irracional.
  4. Reescreva a frase de forma matematicamente correta.

16. A estimativa no projeto

Uma engenheira precisa trabalhar com a medida \( \sqrt{30} \) m, mas o software do projeto só aceita valores com duas casas decimais.

  1. Entre quais inteiros consecutivos está \( \sqrt{30} \)?
  2. Sabendo que \( \sqrt{30}\approx5,4772 \), qual valor deve ser digitado?
  3. Esse valor digitado é exato ou aproximado?
  4. Qual é o valor exato que deve permanecer registrado no memorial de cálculo?

17. A trilha da escola

Uma trilha em um jardim escolar tem três marcos a distâncias de \( \sqrt3 \) m, 1,8 m e \( \sqrt5 \) m do ponto inicial.

  1. Use \( \sqrt3\approx1,732 \) e \( \sqrt5\approx2,236 \) para ordenar as três distâncias.
  2. Qual marco está mais próximo de 2 m?
  3. Entre quais inteiros consecutivos está \( \sqrt5 \)?
  4. Quais das três medidas são irracionais?

18. A fotografia ampliada

Uma fotografia quadrada possui área de 8 dm². Para produzir uma moldura, é necessário determinar o lado da foto.

  1. Qual é a medida exata do lado?
  2. Simplifique \( \sqrt8 \).
  3. Usando \( \sqrt2\approx1,414 \), encontre uma aproximação do lado com duas casas decimais.
  4. Explique por que \(2\sqrt2\) é irracional.

19. O debate da turma

Quatro estudantes fizeram as seguintes afirmações:

Ana: “Todo número inteiro é racional.”
Bruno: “Todo número racional é inteiro.”
Carla: “Todo número irracional é real.”
Diego: “Um número pode ser racional e irracional ao mesmo tempo.”

  1. Quais afirmações estão corretas?
  2. Dê um contraexemplo para a afirmação de Bruno.
  3. Explique por que a afirmação de Diego é impossível.
  4. Escreva uma relação de inclusão entre N, Z, Q e R.

20. Desafio final - a reta dos números reais

Para montar uma reta numérica em uma exposição, foram escolhidos os números −2, \( -\sqrt2 \), 0, \( \frac12 \), \( \sqrt2 \), \( \sqrt5 \), 3 e \( \pi \).

  1. Classifique cada número como racional ou irracional.
  2. Use aproximações adequadas para os irracionais.
  3. Coloque todos os números em ordem crescente.
  4. Quais números estão entre 0 e 2?
  5. Qual número está imediatamente à direita de 3?
  6. Explique por que números racionais e irracionais podem ser representados na mesma reta.
Gabarito

1. a) \( \sqrt{200}=10\sqrt2 \). b) Irracional. c) \(10\sqrt2\approx14,14\) m. d) \(10\sqrt2\) é o valor exato; 14,14 m é uma aproximação decimal.

2. a) \( \sqrt2 \) m. b) Entre 1 e 2. c) ≈ 1,414 m, ou 1,41 m com duas casas. d) Aproximada.

3. a) \( \sqrt{18} \) m. b) Entre 4 e 5. c) ≈ 4,24 m. d) Irracional.

4. a) \( \pi \). b) 3,14 e 3,142. c) 3,142. d) Porque sua representação decimal é infinita e não periódica.

5. a) \( \sqrt{13} \) km. b) Entre 3 e 4. c) ≈ 3,61 km. d) Irracional.

6. a) Não. b) Porque \( \sqrt7 \) tem representação decimal infinita e não periódica, e a calculadora exibe quantidade limitada de algarismos. c) \( \sqrt7\approx2,65 \). d) ≈.

7. a) \( \sqrt{52} \) m. b) \(2\sqrt{13}\) m. c) ≈ 7,21 m. d) Irracional.

8. a) 0 e \( \sqrt9=3 \), considerando \(N=\{0,1,2,\ldots\}\). b) −4, 0 e 3. c) −4, 0, \( \frac35 \), 2,75 e 3. d) \( \sqrt{11} \) e \( \pi \). e) \(R=Q\cup I\).

9. a) \(1,4<\sqrt2<1,5<\sqrt3<2\). b) \( \sqrt2 \). c) \( \sqrt3 \). d) As aproximações indicam a posição decimal dos irracionais na reta.

10. a) \(7<\sqrt{50}<8\). b) Mais próximo de 7. c) \( \sqrt{50}\approx7,07 \) cm. d) = indicaria igualdade exata; ≈ indica aproximação.

11. a) \( \sqrt5\approx2,236 \); B=2,3; \( \sqrt6\approx2,449 \). b) \( \sqrt5<2,3<\sqrt6 \). c) \( \sqrt6 \). d) \( \sqrt5 \) e \( \sqrt6 \).

12. a) 0,125; 0,333... e 2,75. b) 1,1010010001.... c) Porque é uma dízima periódica e pode ser escrita como fração. d) O irracional é infinito e não periódico.

13. a) \( \sqrt{45} \) m. b) Entre 6 e 7. c) ≈ 6,71 m. d) 6,71 é racional; \( \sqrt{45}=3\sqrt5 \) é irracional.

14. a) −6: Z; \( \frac43 \): Q; \( \sqrt{16}=4 \): N; \( \sqrt{17} \): I; 0,45: Q; \( \pi \): I; 0,272727...: Q. b) −6 e 4. c) \( \sqrt{17} \) e \( \pi \). d) \(Q\cup I=R\) e \(Q\cap I=\varnothing\).

15. a) Não. b) Ex.: \( \sqrt9=3 \). c) Ex.: \( \sqrt2 \). d) Uma raiz quadrada é irracional quando seu valor não é racional; raízes exatas de quadrados perfeitos podem ser racionais.

16. a) Entre 5 e 6. b) 5,48. c) Aproximado. d) \( \sqrt{30} \) m.

17. a) \( \sqrt3<1,8<\sqrt5 \). b) 1,8 m. c) Entre 2 e 3. d) \( \sqrt3 \) e \( \sqrt5 \).

18. a) \( \sqrt8 \) dm. b) \(2\sqrt2\) dm. c) ≈ 2,83 dm. d) Porque \( \sqrt2 \) é irracional e o produto de um irracional por 2 continua irracional.

19. a) Ana e Carla. b) Ex.: \( \frac12 \) é racional e não inteiro. c) \(Q\cap I=\varnothing\). d) \(N\subset Z\subset Q\subset R\).

20. a) Racionais: −2, 0, \( \frac12 \) e 3. Irracionais: \( -\sqrt2 \), \( \sqrt2 \), \( \sqrt5 \) e \( \pi \). b) \( -\sqrt2\approx-1,414 \); \( \sqrt2\approx1,414 \); \( \sqrt5\approx2,236 \); \( \pi\approx3,142 \). c) \( -2<-\sqrt2<0<\frac12<\sqrt2<\sqrt5<3<\pi \). d) \( \frac12 \) e \( \sqrt2 \). e) \( \pi \). f) Porque a reta real representa todos os números reais, isto é, racionais e irracionais.

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