1. O terreno da associação
Um terreno retangular possui largura x metros e comprimento 5 m maior que a largura. Sua área é 84 m².
- Escreva a equação que representa a situação.
- Coloque a equação na forma \(ax^2+bx+c=0\) e identifique a, b e c.
- Resolva a equação.
- Quais são as dimensões do terreno? Explique por que uma das raízes não pode representar a largura.
2. A área de uma praça quadrada
Uma praça quadrada possui área de 196 m².
- Modele a situação por uma equação do segundo grau.
- Classifique a equação como completa ou incompleta.
- Resolva isolando \(x^2\).
- A equação possui duas soluções reais. Qual delas representa a medida do lado da praça?
3. Organização de cadeiras
Em um auditório, o número de cadeiras de uma fileira multiplicado por um número 3 unidades maior é 108.
- Se x representa o menor número, escreva a equação.
- Transforme-a na forma geral.
- Resolva por fatoração ou pela fórmula de Bhaskara.
- Se x deve ser natural, qual é o par de números?
4. Um número e seu sucessor
O produto de dois números inteiros consecutivos é 156.
- Represente os números por x e x + 1.
- Escreva a equação do segundo grau.
- Resolva a equação.
- Quais pares de inteiros consecutivos satisfazem a condição?
5. Canteiro com faixa
x × x
Um canteiro quadrado de lado x será cercado por uma faixa de 1 m de largura, formando um quadrado externo de lado x + 2. A área total será 100 m².
- Escreva a equação \((x+2)^2=100\).
- Desenvolva e escreva-a na forma geral.
- Resolva a equação.
- Determine a medida possível do lado do canteiro interno.
6. Equação incompleta em uma oficina
Uma peça é dimensionada pela condição \(3x^2-75=0\).
- Identifique os coeficientes a, b e c.
- Explique por que a equação é incompleta.
- Resolva isolando \(x^2\).
- Se x representa uma medida, qual solução é admissível?
7. Fator comum em uma estrutura
Em um modelo algébrico de uma estrutura aparece a equação \(4x^2-20x=0\).
- Coloque o fator comum em evidência.
- Use a propriedade do produto nulo.
- Determine as raízes.
- Verifique as duas raízes na equação original.
8. Escolhendo o método
Uma turma recebeu quatro equações:
I) \(x^2=49\);
II) \(x^2-8x=0\);
III) \(x^2-16=0\);
IV) \(x^2-7x+10=0\).
- Indique um método conveniente para resolver cada equação.
- Resolva as quatro.
- Em qual delas a diferença de quadrados aparece diretamente?
- Em qual delas o fator comum é o caminho mais imediato?
9. A moldura retangular
Uma moldura retangular tem comprimento 4 cm maior que a largura e área de 96 cm².
- Modele a situação com uma equação.
- Resolva a equação.
- Determine as dimensões positivas.
- Calcule o perímetro da moldura.
10. A trajetória de uma bola
A altura de uma bola, em metros, é dada por \(h=-t^2+6t\), em que t é o tempo em segundos.
- Em quais instantes a bola está no solo? Para isso, faça h = 0.
- Resolva a equação por fatoração.
- Interprete as duas raízes no contexto.
- O gráfico apresentado é compatível com as raízes encontradas? Explique.
11. Investigando o discriminante
O discriminante e o número de raízes reais
| Valor de Δ | Raízes reais |
|---|---|
| \(\Delta>0\) | duas raízes diferentes |
| \(\Delta=0\) | uma raiz real dupla |
| \(\Delta<0\) | nenhuma raiz real |
Considere a equação \(x^2-10x+21=0\).
- Identifique a, b e c.
- Calcule \(\Delta=b^2-4ac\).
- Sem resolver ainda a equação, diga quantas raízes reais ela possui.
- Resolva pela fórmula de Bhaskara e confirme a previsão.
12. Quando existe uma raiz dupla
Uma situação leva à equação \(x^2-12x+36=0\).
- Calcule o discriminante.
- O que o valor de Δ indica?
- Resolva a equação.
- Mostre que a expressão também pode ser escrita como \((x-6)^2=0\).
13. Quando não há solução real
Um modelo produz a equação \(x^2+4x+8=0\).
- Calcule o discriminante.
- Quantas raízes reais existem?
- Explique por que a fórmula de Bhaskara não produz um número real para \(\sqrt{\Delta}\).
- Escreva o conjunto solução considerando apenas os números reais.
14. Completando quadrados
Para resolver \(x^2+8x-9=0\), um estudante decidiu completar quadrados.
- Passe o termo constante para o segundo membro.
- Qual número deve ser somado aos dois membros para formar um quadrado perfeito?
- Escreva o primeiro membro como um quadrado.
- Resolva a equação.
- Verifique uma das raízes na equação original.
15. Soma e produto das raízes
Uma equação de um modelo é \(x^2-11x+24=0\).
- Sem resolver a equação, determine a soma das raízes.
- Determine o produto das raízes.
- Encontre dois números que atendam simultaneamente a essas condições.
- Fatore a expressão e confirme as raízes.
16. Construindo uma equação
Em um jogo matemático, o desafio informa que as raízes de uma equação são 4 e −3 e que o coeficiente de \(x^2\) deve ser 1.
- Escreva a forma fatorada da equação.
- Desenvolva o produto.
- Identifique a, b e c.
- Calcule a soma e o produto das raízes e compare com \(-\frac ba\) e \(\frac ca\).
17. Conferindo uma solução
Um estudante afirma que \(x=-2\) é raiz de \(x^2+x-2=0\).
- Verifique a afirmação por substituição.
- Fatore a expressão.
- Determine todas as raízes.
- Explique por que verificar apenas uma raiz não resolve completamente a equação.
18. O erro no sinal
Ao resolver \(2x^2-7x-4=0\), um estudante registrou a = 2, b = 7 e c = −4.
- Identifique o erro.
- Escreva corretamente os três coeficientes.
- Calcule o discriminante.
- Resolva a equação pela fórmula de Bhaskara.
19. Qual solução faz sentido?
A área de um retângulo é 40 cm². A largura é x e o comprimento é x + 3.
- Escreva a equação do segundo grau.
- Resolva-a.
- Quais são as raízes algébricas?
- Qual raiz deve ser descartada no contexto geométrico?
- Determine as dimensões do retângulo.
20. Desafio final — projeto de uma quadra
Uma quadra retangular terá comprimento 7 m maior que a largura e área de 144 m².
- Se a largura é x, escreva a equação que modela a área.
- Coloque-a na forma geral e identifique a, b e c.
- Calcule o discriminante.
- Resolva pela fórmula de Bhaskara.
- Interprete as raízes e determine as dimensões da quadra.
- Calcule o perímetro.
- Explique por que, mesmo quando a fórmula fornece duas raízes reais, o contexto pode tornar apenas uma delas válida.