1. A quantidade comprada e o preço pago
Em uma papelaria, cada caderno de determinado modelo custa R 12,00. Uma escola pretende comprar várias unidades desse mesmo produto, sem descontos ou taxas adicionais.
| Quantidade de cadernos | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| Valor | R 12,00 | R 24,00 | R 36,00 | R 60,00 | R 96,00 |
Um estudante afirmou que as duas grandezas são diretamente proporcionais porque, quando a quantidade de cadernos é multiplicada por determinado número, o preço total também é multiplicado pelo mesmo número.
- Quais são as duas grandezas relacionadas nessa situação?
- Calcule a razão entre o valor pago e a quantidade de cadernos em cada coluna.
- O que você observa nessas razões?
- As grandezas são diretamente proporcionais? Justifique.
- Quanto custariam 15 cadernos?
- Escreva uma expressão que relacione o valor total \(y\) à quantidade \(x\) de cadernos.
- Explique o significado do número 12 nessa expressão.
2. Dobrar uma grandeza significa sempre proporcionalidade?
Uma empresa cobra R 8,00 por quilômetro percorrido em determinado serviço de transporte, além de uma taxa fixa de R 20,00 por atendimento.
Assim, uma viagem de 5 km custa R 60,00, enquanto uma viagem de 10 km custa R 100,00.
Carlos observou que a distância passou de 5 km para 10 km e, portanto, dobrou. Ele esperava que o preço também dobrasse, passando de R 60,00 para R 120,00.
- Por que a previsão de Carlos não se confirmou?
- Qual é o valor da taxa fixa?
- Escreva uma expressão para calcular o preço \(y\) de uma viagem de \(x\) quilômetros.
- Calcule o preço de uma viagem de 20 km.
- Compare os preços correspondentes a 5 km, 10 km e 20 km.
- Distância e preço são diretamente proporcionais nessa situação? Justifique.
- Explique como a existência de uma taxa fixa interfere na proporcionalidade.
3. Produção de suco para uma atividade
Para preparar 4 litros de determinado suco, uma equipe utiliza 600 mL de concentrado. Como a receita deve manter o mesmo sabor, a proporção entre concentrado e quantidade final de bebida precisa ser preservada.
- Quantos mililitros de concentrado são utilizados por litro de suco?
- Quanto será necessário para preparar 6 litros?
- E para preparar 10 litros?
- Se a quantidade de suco for triplicada, o que deverá acontecer com a quantidade de concentrado?
- As grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais?
- Escreva uma relação matemática entre a quantidade de suco \(x\), em litros, e a quantidade \(y\) de concentrado, em mililitros.
- Explique por que alterar essa relação modificaria o resultado da receita.
4. Número de trabalhadores e tempo de execução
Uma equipe de 6 trabalhadores, mantendo o mesmo ritmo individual, consegue concluir determinado serviço em 12 dias. A empresa avalia aumentar a quantidade de trabalhadores para terminar o mesmo serviço em menos tempo.
Considere que todos possuem a mesma produtividade e trabalham durante a mesma quantidade de horas por dia.
- Se o número de trabalhadores dobrar para 12, qual deverá ser o tempo necessário?
- Se forem utilizados 18 trabalhadores, em quantos dias o serviço poderá ser concluído?
- O que acontece com o tempo quando a quantidade de trabalhadores aumenta?
- As duas grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais?
- Calcule o produto entre número de trabalhadores e número de dias nos casos analisados.
- O que você observa?
- Explique por que esse raciocínio só é válido se a quantidade de trabalho e a produtividade individual permanecerem constantes.
5. Uma tabela incompleta
Uma fábrica utiliza uma máquina cuja produção permanece constante durante determinado período.
| Tempo de funcionamento (h) | 2 | 4 | 6 | 10 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|
| Peças produzidas | 90 | 180 | ? | ? | ? |
- Quantas peças são produzidas por hora?
- Complete a tabela.
- O que acontece com a produção quando o tempo dobra?
- E quando o tempo é triplicado?
- As grandezas são diretamente proporcionais? Justifique utilizando os dados.
- Escreva uma expressão para calcular o número \(y\) de peças produzidas em \(x\) horas.
- Quantas peças seriam produzidas em 24 horas, caso fosse possível manter exatamente o mesmo ritmo?
6. Velocidade e duração de uma viagem
Uma família precisa percorrer uma distância de 240 km. Desconsiderando paradas e variações de velocidade, o tempo necessário depende da velocidade média mantida durante o percurso.
A 60 km/h, a viagem levaria 4 horas.
- Quanto tempo levaria a 80 km/h?
- E a 120 km/h?
- Quando a velocidade dobra de 60 km/h para 120 km/h, o que acontece com o tempo?
- Calcule o produto entre velocidade e tempo nos três casos.
- Por que esse produto permanece constante?
- Velocidade média e tempo são grandezas diretamente ou inversamente proporcionais quando a distância permanece fixa?
- Explique por que não seria correto aplicar essa relação se também modificássemos a distância percorrida.
7. Uma promoção que muda a relação
Uma loja vende camisetas por R 30,00 cada, mas oferece a seguinte promoção:
“Na compra de 3 camisetas, pague apenas R 75,00.”
Um cliente afirmou que o preço total sempre será diretamente proporcional à quantidade comprada porque todas as peças são do mesmo produto.
- Quanto custariam 2 camisetas sem promoção?
- Quanto custariam 3 camisetas sem a promoção?
- Qual é o valor efetivamente pago pelas 3 camisetas na promoção?
- Compare o preço médio por camiseta nas compras de 2 e 3 unidades.
- A quantidade comprada e o valor pago permanecem diretamente proporcionais quando a promoção é aplicada? Justifique.
- Qual elemento da situação rompe a proporcionalidade?
- Explique por que conhecer o contexto é importante antes de utilizar uma regra de três.
8. Dividindo uma despesa
Um grupo de estudantes pretende alugar um equipamento por R 480,00. O valor será dividido igualmente entre todos os participantes.
Se 4 estudantes participarem, cada um deverá pagar R 120,00.
- Quanto cada estudante pagará se forem 6 participantes?
- E se forem 8?
- Quanto cada um pagaria em um grupo de 12 estudantes?
- O que acontece com a contribuição individual quando o número de participantes aumenta?
- Calcule o produto entre número de participantes e contribuição individual nos quatro casos.
- Classifique as grandezas como diretamente ou inversamente proporcionais.
- Explique por que o valor total de R 480,00 é importante para que essa relação seja mantida.
9. Identificando relações diferentes
Analise as situações:
I. Quantidade de combustível comprado e preço pago, quando o preço por litro permanece constante.
II. Número de pessoas dividindo igualmente uma conta fixa e valor pago por pessoa.
III. Idade de uma pessoa e seu número de calçado.
IV. Lado de um quadrado e seu perímetro.
V. Lado de um quadrado e sua área.
- Identifique as duas grandezas envolvidas em cada situação.
- Classifique cada relação como diretamente proporcional, inversamente proporcional ou não proporcional.
- Justifique cada classificação.
- Em qual situação dobrar uma grandeza faz a outra dobrar?
- Em qual situação dobrar uma grandeza reduz a outra à metade?
- Por que lado e área de um quadrado não são grandezas diretamente proporcionais, embora a área aumente quando o lado aumenta?
10. O lado e a área de um quadrado
| Lado do quadrado (cm) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Área (cm²) | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 |
Um estudante observou que, à medida que o lado aumenta, a área também aumenta e concluiu que as grandezas eram diretamente proporcionais.
- O fato de duas grandezas aumentarem juntas é suficiente para caracterizar proporcionalidade direta?
- Calcule a razão entre área e lado em cada coluna.
- As razões permanecem constantes?
- Quando o lado passa de 2 cm para 4 cm, por qual fator ele é multiplicado?
- O que acontece com a área nesse mesmo intervalo?
- Lado e área são diretamente proporcionais? Justifique.
- Escreva a expressão matemática que relaciona a área \(A\) ao lado \(l\).
- Explique a diferença entre “as duas grandezas aumentam juntas” e “as duas grandezas são diretamente proporcionais”.
11. Comparando duas tabelas
Tabela A
| x | 2 | 4 | 6 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| y | 6 | 12 | 18 | 30 |
Tabela B
| x | 2 | 4 | 6 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| y | 7 | 13 | 19 | 31 |
- Calcule \(y/x\) para cada coluna da Tabela A.
- O que você observa?
- Faça o mesmo para a Tabela B.
- A razão é constante na Tabela B?
- Qual tabela representa grandezas diretamente proporcionais?
- Escreva uma expressão que represente a Tabela A.
- Descubra uma expressão que represente a Tabela B.
- Explique por que apenas observar o crescimento dos valores poderia levar a uma conclusão incorreta.
12. Uma torneira enchendo um reservatório
Uma torneira fornece 15 litros de água por minuto, mantendo vazão constante. O reservatório está inicialmente vazio.
- Quantos litros haverá depois de 4 minutos?
- E depois de 10 minutos?
- Quanto tempo será necessário para fornecer 225 litros?
- Escreva uma expressão relacionando o volume \(V\) ao tempo \(t\).
- Volume fornecido e tempo são diretamente proporcionais?
- Se o tempo for multiplicado por 5, o que acontecerá com o volume?
- Agora suponha que o reservatório já possuísse 100 litros antes da abertura da torneira. A quantidade total de água no reservatório continuaria diretamente proporcional ao tempo? Justifique.
13. Analisando uma regra de três inadequada
Uma estudante tinha 10 anos e media 1,40 m. Ao completar 15 anos, passou a medir 1,65 m.
Um colega afirmou: “Como a idade aumentou 50%, a altura também deveria aumentar 50%. Então ela deveria medir 2,10 m.”
- Qual raciocínio o colega utilizou?
- Calcule 50% de 1,40 m e confirme o valor previsto por ele.
- A previsão corresponde à altura informada?
- Idade e altura de uma pessoa são diretamente proporcionais?
- Por que a regra de três não deve ser utilizada automaticamente nessa situação?
- Cite outros fatores que podem influenciar o crescimento de uma pessoa.
- Explique por que reconhecer o tipo de relação entre as grandezas deve ocorrer antes da escolha do procedimento matemático.
14. Construção de um muro
Uma equipe de 8 trabalhadores consegue construir determinado muro em 15 dias. Antes do início da obra, surgiu a possibilidade de utilizar 10 trabalhadores, todos com produtividade equivalente.
- Qual é o total de “trabalhadores × dias” previsto inicialmente?
- Mantendo a mesma quantidade de trabalho, em quantos dias 10 trabalhadores concluiriam a obra?
- E 12 trabalhadores?
- As grandezas envolvidas são inversamente proporcionais? Justifique.
- Um estudante afirmou que, como foram acrescentados 2 trabalhadores, deveriam ser retirados exatamente 2 dias do prazo. Por que esse raciocínio não representa proporcionalidade inversa?
- Qual seria o prazo com 20 trabalhadores?
- Cite uma razão prática pela qual, em uma obra real, aumentar indefinidamente o número de trabalhadores pode deixar de produzir a redução de tempo prevista pelo modelo matemático.
15. Receita para diferentes quantidades de pessoas
Uma receita preparada para 6 pessoas utiliza:
• 450 g de arroz;
• 300 g de determinado acompanhamento;
• 900 mL de líquido.
Uma família pretende manter as mesmas proporções da receita.
- Qual quantidade de arroz corresponde a uma pessoa?
- Quanto arroz será necessário para 10 pessoas?
- Quanto do acompanhamento será necessário para 15 pessoas?
- Quantos mililitros de líquido serão necessários para 4 pessoas?
- Quantidade de pessoas e quantidade de cada ingrediente são diretamente proporcionais?
- Se a receita for preparada para o dobro de pessoas, o que deverá acontecer com todos os ingredientes?
- Explique por que aumentar apenas alguns ingredientes poderia alterar o resultado da receita.
16. Consumo de combustível
Um automóvel apresenta, em determinada condição de uso, consumo médio de 12 km por litro. Considere, para fins matemáticos, que esse rendimento permaneça constante.
- Quantos litros serão necessários para percorrer 120 km?
- E para percorrer 300 km?
- Com 25 litros, quantos quilômetros poderiam ser percorridos?
- Distância percorrida e quantidade de combustível consumido são diretamente proporcionais nesse modelo?
- Escreva uma expressão relacionando a distância \(d\) ao volume \(v\) de combustível.
- Na utilização real de um automóvel, quais fatores poderiam fazer essa relação deixar de ser exatamente proporcional?
- Explique a diferença entre um modelo matemático proporcional e o comportamento real de uma situação.
17. Plano de telefonia
Uma empresa oferece um plano mensal com cobrança de R 40,00 de mensalidade fixa, acrescida de R 0,50 por minuto utilizado além de determinada franquia.
Considere \(x\) a quantidade de minutos adicionais e \(y\) o valor total:
\(y=40+0,50x\)
- Qual será o valor da conta se nenhum minuto adicional for utilizado?
- Calcule o valor para 20 minutos adicionais.
- Calcule o valor para 40 minutos adicionais.
- Quando os minutos adicionais dobram de 20 para 40, a conta também dobra?
- As grandezas \(x\) e \(y\) são diretamente proporcionais?
- Qual elemento da expressão permite perceber que a relação não é de proporcionalidade direta?
- Se não existisse a mensalidade fixa e a expressão fosse \(y=0,50x\), a classificação mudaria? Explique.
18. Qual procedimento deve ser utilizado?
Em uma atividade, quatro grupos receberam problemas diferentes:
Grupo A: 5 kg de um produto custam R 70,00. Quanto custarão 8 kg, mantendo o mesmo preço por quilograma?
Grupo B: 6 máquinas iguais realizam um serviço em 20 horas. Em quanto tempo 8 máquinas iguais fariam o mesmo serviço, mantendo a mesma produtividade?
Grupo C: uma corrida de táxi custa R 7,00 de bandeirada mais R 4,00 por quilômetro. Quanto custará uma corrida de 12 km?
Grupo D: uma criança de 8 anos mede 1,30 m. Qual será sua altura aos 16 anos?
- Qual problema apresenta grandezas diretamente proporcionais?
- Resolva-o.
- Qual apresenta grandezas inversamente proporcionais?
- Resolva-o.
- Qual possui uma relação matemática que pode ser calculada, mas não é diretamente proporcional devido à existência de uma parcela fixa? Resolva-o.
- Em qual problema não há informações suficientes para prever o resultado por proporcionalidade?
- Explique por que aplicar a mesma estratégia aos quatro problemas seria matematicamente inadequado.
19. Analisando três modelos matemáticos
Três relações entre \(x\) e \(y\) foram apresentadas:
I. \(y=4x\)
II. \(y=\frac{60}{x}\)
III. \(y=4x+10\)
- Calcule \(y\) para \(x=2\), \(5\) e \(10\) em cada relação.
- Qual expressão representa grandezas diretamente proporcionais?
- Qual representa grandezas inversamente proporcionais?
- Qual não representa nenhuma dessas duas proporcionalidades?
- Na relação I, o que acontece com \(y\) quando \(x\) dobra?
- Na relação II, o que acontece com \(y\) quando \(x\) dobra?
- Na relação III, \(y\) aumenta quando \(x\) aumenta. Por que isso não é suficiente para classificá-las como diretamente proporcionais?
- Que característica algébrica você observa na expressão de uma proporcionalidade direta?
20. Desafio final - planejamento de uma viagem escolar
Uma escola está planejando uma viagem pedagógica para 120 estudantes. A empresa de transporte disponibilizou ônibus com capacidade para 40 estudantes cada. Cada ônibus contratado custa R 1.800,00.
Além do transporte, cada estudante deverá pagar R 35,00 pelo ingresso do local visitado.
- Quantos ônibus são necessários para transportar exatamente 120 estudantes, considerando a capacidade máxima indicada?
- Qual será o custo total dos ônibus?
- Se fossem transportados 80 estudantes, quantos ônibus seriam necessários e qual seria o custo do transporte?
- Considerando apenas situações em que todos os ônibus estejam completamente ocupados, número de estudantes e número de ônibus apresentam qual tipo de proporcionalidade? Justifique.
- Quantidade de estudantes e valor total gasto com ingressos são diretamente proporcionais?
- Qual será o gasto com ingressos para os 120 estudantes?
- Calcule o custo total da viagem considerando transporte e ingressos.
- Divida esse custo igualmente entre os 120 estudantes. Qual seria o custo médio por estudante?
- Suponha agora que os R 5.400,00 do transporte já estejam contratados e apenas 90 estudantes confirmem participação. Quanto do transporte caberia a cada estudante se esse valor fosse dividido igualmente?
- E se os 120 estudantes participarem?
- Considerando o transporte fixado em R 5.400,00, número de participantes e valor do transporte pago por pessoa são diretamente ou inversamente proporcionais?
- Explique por que a relação entre número de estudantes e custo de ônibus pode deixar de ser perfeitamente proporcional quando os veículos possuem capacidade limitada e precisam ser contratados em unidades inteiras.
- A partir das diferentes situações da questão, explique por que identificar o comportamento das grandezas é uma etapa anterior ao uso de regra de três ou de qualquer outro procedimento de proporcionalidade.