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Atividade - 8º ano

Sequências, padrões e fluxogramas

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Orientação: Leia atentamente cada situação e procure identificar como os valores, figuras ou etapas estão relacionados. Em algumas questões, não será suficiente descobrir o próximo termo: será necessário explicar o padrão, escrever uma regra, determinar termos distantes, comparar estratégias ou interpretar um processo representado por um fluxograma. Sempre que possível, justifique como chegou à resposta.

1. Descobrindo a regularidade

Durante uma atividade, a professora escreveu no quadro a sequência:

\(5,\ 9,\ 13,\ 17,\ 21,\ldots\)

Antes de pedir que a turma continuasse a sequência, ela explicou que reconhecer um padrão significa compreender a regra que relaciona os termos, e não apenas adivinhar qual número provavelmente aparecerá em seguida.

1. Qual é a diferença entre dois termos consecutivos?
2. Escreva os quatro próximos termos.
3. Explique, com suas palavras, a regra de formação dessa sequência.
4. Qual é o 10º termo?
5. Sem escrever todos os termos até essa posição, determine o 25º termo.
6. Se \(n\) representa a posição ocupada por um termo, escreva uma expressão que permita calcular o termo de posição \(n\).
7. Utilize sua expressão para conferir o 25º termo.

2. A organização das cadeiras

Para uma apresentação escolar, as cadeiras foram organizadas em fileiras. Na primeira fileira foram colocadas 12 cadeiras; na segunda, 15; na terceira, 18; e na quarta, 21.

A equipe decidiu manter o mesmo padrão de crescimento nas fileiras seguintes.

1. Quantas cadeiras serão colocadas na quinta fileira?
2. E na sexta?
3. Qual é a regularidade observada na quantidade de cadeiras?
4. Quantas cadeiras haverá na 10ª fileira?
5. Escreva uma expressão que relacione a posição \(n\) da fileira com a quantidade de cadeiras.
6. Utilize a expressão para calcular a quantidade de cadeiras da 20ª fileira.
7. Explique por que continuar a sequência termo a termo não é a estratégia mais eficiente quando queremos determinar uma posição muito distante.

3. Nem toda sequência cresce da mesma maneira

Dois estudantes analisaram as sequências:

Sequência A: \(3,\ 6,\ 9,\ 12,\ 15,\ldots\)
Sequência B: \(3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48,\ldots\)

Um deles afirmou que as duas sequências possuíam o mesmo padrão porque ambas começavam com 3 e depois apresentavam 6. O colega discordou e disse que era necessário observar como cada termo era obtido.

1. Escreva os três próximos termos da sequência A.
2. Escreva os três próximos termos da sequência B.
3. Qual operação é utilizada repetidamente na sequência A?
4. E na sequência B?
5. O primeiro estudante está correto ao afirmar que os padrões são iguais? Justifique.
6. Qual será maior: o 8º termo da sequência A ou o 8º termo da sequência B?
7. O que essa comparação mostra sobre a importância de analisar a regra de formação e não apenas os primeiros termos?

4. Um padrão de economia

Júlia decidiu organizar suas economias durante vários meses. No primeiro mês, guardou R 20,00. No segundo, R 30,00; no terceiro, R 40,00; e no quarto, R 50,00.

Seu planejamento prevê aumentar em R 10,00 o valor guardado a cada novo mês.

1. Quanto Júlia pretende guardar no quinto mês?
2. Quanto deverá guardar no 8º mês?
3. Qual é a diferença constante entre os valores mensais?
4. Escreva uma expressão para determinar o valor \(a_n\) que será guardado no mês de posição \(n\).
5. Quanto ela deverá guardar especificamente no 12º mês?
6. O valor calculado no item anterior corresponde ao que ela guardará naquele mês ou ao total acumulado até aquele mês? Explique.
7. Por que essa distinção é importante na interpretação do problema?

5. Descobrindo um termo distante

Considere a sequência:

\(7,\ 12,\ 17,\ 22,\ 27,\ldots\)

Rafael precisava descobrir o 50º termo. Inicialmente, começou a escrever todos os termos seguintes, somando 5 sucessivamente. Depois percebeu que poderia utilizar uma regra geral.

1. Qual é a razão ou diferença constante da sequência?
2. Escreva uma expressão para o termo geral \(a_n\).
3. Utilize-a para determinar o 20º termo.
4. Determine o 50º termo.
5. Rafael afirmou que o termo geral seria \(5n+7\). Teste essa expressão para \(n=1\). Ela produz o primeiro termo corretamente?
6. Corrija a expressão de Rafael.
7. Explique por que verificar uma fórmula utilizando os primeiros termos é uma boa estratégia para identificar erros.

6. Padrões em uma construção com peças

Em uma atividade com peças quadradas, os estudantes construíram figuras seguindo determinado padrão. A figura 1 utilizava 4 peças; a figura 2, 7; a figura 3, 10; e a figura 4, 13.

1. Quantas peças serão necessárias para a figura 5?
2. E para a figura 8?
3. Quantas peças são acrescentadas de uma figura para a seguinte?
4. Escreva uma expressão que determine a quantidade de peças da figura de posição \(n\).
5. Quantas peças seriam necessárias para construir a figura 30?
6. Uma equipe possui 100 peças. Seria possível construir a figura 30? Quantas peças sobrariam ou faltariam?
7. Explique como uma representação algébrica permite estudar uma figura que ainda não foi construída fisicamente.

7. Descobrindo a posição de um termo

Uma sequência é formada segundo a regra:

\(a_n=4n+3\)

1. Determine \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) e \(a_4\).
2. O número 43 pertence à sequência? Se sim, em qual posição?
3. O número 83 pertence à sequência? Determine sua posição.
4. O número 100 pertence à sequência? Justifique matematicamente.
5. Que equação pode ser resolvida para verificar se um número \(k\) pertence à sequência?
6. Explique a diferença entre calcular um termo a partir de sua posição e descobrir a posição a partir do valor do termo.

8. Uma sequência que diminui

Em um reservatório havia inicialmente 500 litros de água. Durante determinada atividade, eram retirados 25 litros em intervalos regulares. Após a primeira retirada restaram 475 litros; depois, 450 litros; em seguida, 425 litros.

Considere como primeiro termo da sequência a quantidade existente antes de qualquer retirada.

1. Escreva os seis primeiros termos da sequência.
2. A sequência é crescente ou decrescente?
3. Qual é a diferença entre termos consecutivos?
4. Escreva uma expressão para a quantidade \(a_n\) correspondente ao termo de posição \(n\).
5. Quantos litros correspondem ao 10º termo?
6. Em qual posição aparecerá o valor de 300 litros?
7. Explique por que uma sequência também pode apresentar uma regularidade mesmo quando seus termos diminuem.

9. Analisando uma regra incorreta

Considere a sequência:

\(8,\ 13,\ 18,\ 23,\ 28,\ldots\)

Ana: \(a_n=5n+3\)
Bruno: \(a_n=5n+8\)

1. Calcule o primeiro termo utilizando a expressão de Ana.
2. Faça o mesmo com a expressão de Bruno.
3. Qual expressão reproduz corretamente o primeiro termo?
4. Teste as duas expressões para \(n=2\) e \(n=3\).
5. Qual estudante apresentou a regra correta?
6. Determine o 40º termo utilizando a expressão correta.
7. Explique por que identificar corretamente a diferença entre os termos não é suficiente, por si só, para escrever o termo geral.

10. Duas sequências que se encontram

Na sequência A: \(a_n=3n+5\).

Na sequência B: \(b_n=5n-7\).

1. Calcule os cinco primeiros termos de cada sequência.
2. Escreva uma equação que represente a condição \(a_n=b_n\).
3. Resolva essa equação.
4. Em qual posição os valores coincidem?
5. Qual é o valor comum nessa posição?
6. Verifique o resultado nas duas fórmulas.
7. Explique como uma questão sobre sequências pode ser transformada em um problema algébrico.

11. Entendendo um fluxograma

Um programa recebe um número de entrada e realiza as seguintes etapas:

Entrada → multiplicar por 3 → adicionar 4 → saída

1. Se a entrada for 5, qual valor é obtido depois da primeira operação?
2. Qual será a saída final?
3. Repita o processo utilizando 10 como entrada.
4. Se a entrada for representada por \(x\), escreva uma expressão para a saída \(y\).
5. Qual será a saída quando \(x=25\)?
6. Se a saída for 40, qual foi o número de entrada?
7. Explique por que um fluxograma pode ser entendido como uma sequência organizada de instruções.

12. A ordem das operações importa

Fluxograma A: Entrada → multiplicar por 2 → adicionar 6 → saída.
Fluxograma B: Entrada → adicionar 6 → multiplicar por 2 → saída.

1. Utilize o número 5 como entrada no fluxograma A.
2. Utilize o mesmo número no fluxograma B.
3. Os resultados são iguais?
4. Escreva uma expressão algébrica para a saída do fluxograma A.
5. Escreva uma expressão para a saída do fluxograma B.
6. Simplifique as duas expressões e compare-as.
7. Existe algum valor de entrada para o qual as duas saídas sejam iguais? Justifique.
8. O que essa situação mostra sobre a ordem das operações em um algoritmo?

13. Descobrindo a entrada

Um fluxograma realiza:

Entrada → adicionar 8 → multiplicar por 4 → saída

Ao final do processo, apareceu o número 80.

1. Represente a entrada desconhecida por \(x\).
2. Escreva uma expressão que represente o processo completo.
3. Monte uma equação utilizando a saída 80.
4. Resolva a equação.
5. Qual foi a entrada?
6. Refaça o fluxograma utilizando o valor encontrado e confirme a saída.
7. Descreva uma segunda estratégia para descobrir a entrada realizando as operações inversas, começando pela saída.

14. Fluxograma com uma decisão

Um sistema recebe a idade de uma pessoa e executa o seguinte procedimento:

Entrada: idade → a idade é igual ou superior a 18?
• Sim: apresentar “maior de idade”.
• Não: apresentar “menor de idade”.

1. Qual será a saída para uma pessoa de 15 anos?
2. E para uma pessoa de 18 anos?
3. Qual será a saída para 27 anos?
4. Por que 18 deve seguir o caminho “Sim”?
5. Qual condição matemática está sendo testada?
6. O fluxograma sempre percorre todas as etapas possíveis? Explique.
7. Qual é a função de uma decisão em um fluxograma?

15. Um controle de temperatura

Um equipamento recebe a temperatura registrada por um sensor e executa:

Ler temperatura → temperatura maior que 30 °C?
• Sim: ligar sistema de resfriamento.
• Não: manter sistema desligado.

Depois da ação, o processo retorna para uma nova leitura da temperatura. Foram registradas:

28 °C, 31 °C, 30 °C, 34 °C, 29 °C.

1. Em quais leituras o sistema de resfriamento será ligado?
2. O que acontecerá exatamente quando a temperatura for 30 °C?
3. Quantas vezes o sistema será acionado durante as cinco leituras?
4. Se a condição fosse alterada para “temperatura maior ou igual a 30 °C”, o resultado mudaria? Explique.
5. Por que é importante escrever com precisão a condição de decisão?
6. Qual característica do fluxograma indica que o procedimento pode ser repetido várias vezes?

16. Identificando um erro no fluxograma

Uma escola elaborou um procedimento para calcular a média de duas notas. O fluxograma deveria:

receber nota 1 → receber nota 2 → somar as notas → dividir a soma por 2 → apresentar a média.

Entretanto, um estudante programou:

receber nota 1 → dividir por 2 → receber nota 2 → somar → apresentar resultado.

Para testar, foram utilizadas as notas 6 e 8.

1. Qual deveria ser a média correta?
2. Qual resultado será produzido pelo procedimento incorreto?
3. Os dois valores são iguais?
4. Em que etapa ocorreu o erro de organização?
5. Escreva uma expressão matemática para o procedimento correto.
6. Escreva uma expressão para o procedimento incorreto.
7. Explique por que testar um algoritmo com valores conhecidos ajuda a localizar erros.

17. Construindo um algoritmo para descontos

Uma papelaria oferece a seguinte condição para uma compra escolar:

• compras inferiores a R 100,00 não recebem desconto;
• compras de R 100,00 ou mais recebem 10% de desconto.

1. Qual informação deve ser utilizada como entrada?
2. Qual pergunta deverá aparecer no ponto de decisão?
3. O que deve acontecer se a resposta for “Não”?
4. O que deve acontecer se a resposta for “Sim”?
5. Determine o valor final de uma compra de R 80,00.
6. Determine o valor final de uma compra de R 150,00.
7. O que acontece com uma compra de exatamente R 100,00?
8. Descreva, em ordem, todas as etapas que deveriam aparecer no fluxograma.

18. Sequência produzida por um processo

Um programa inicia com o número 2 e repete sempre a mesma instrução:

multiplicar o número atual por 2 e adicionar 1.

Assim, o primeiro valor é 2. Depois da primeira execução, obtém-se 5; repetindo o processo, obtém-se 11.

1. Continue o procedimento e escreva os três valores seguintes.
2. A diferença entre termos consecutivos é constante?
3. Essa sequência segue o mesmo tipo de padrão das sequências que aumentam sempre por uma quantidade fixa? Justifique.
4. Se \(a_n\) representa um termo, como pode ser descrito o termo seguinte \(a_{n+1}\) utilizando \(a_n\)?
5. Partindo de 2, quantas aplicações da regra são necessárias para chegar a 47?
6. Qual valor será obtido na aplicação seguinte?
7. Explique a diferença entre uma regra que calcula diretamente um termo pela sua posição e uma regra que utiliza o termo anterior para produzir o próximo.

19. Um fluxograma para analisar números

Um programa recebe um número inteiro positivo e realiza:

1. lê o número;
2. verifica se ele é par;
3. se for par, divide-o por 2;
4. se for ímpar, multiplica-o por 3 e adiciona 1;
5. apresenta o novo valor.

1. Qual será a saída para a entrada 10?
2. Qual será a saída para 7?
3. E para 18?
4. Explique por que 10 e 18 percorrem o mesmo ramo do fluxograma.
5. Qual condição poderia ser utilizada para verificar matematicamente se um número é par?
6. Uma entrada igual a 5 produz qual saída?
7. Se o programa recebesse novamente o resultado obtido no item anterior, qual seria a próxima saída?
8. Explique como um mesmo fluxograma pode gerar diferentes sequências de resultados dependendo do valor inicial.

20. Desafio final - consumo de água na escola

Uma escola iniciou uma campanha para reduzir o desperdício de água. Na primeira semana de acompanhamento, o consumo foi de 5.000 litros em determinado setor. A equipe estabeleceu como meta reduzir 200 litros por semana em relação à semana anterior, mantendo esse padrão enquanto o consumo permanecesse acima de 3.000 litros.

Registrar consumo → consumo é maior que 3.000 L?
• Sim: reduzir 200 L para estabelecer a meta da semana seguinte e realizar nova verificação.
• Não: encerrar o processo e manter a meta atingida.

Considere 5.000 litros como o primeiro termo da sequência.

1. Escreva os seis primeiros termos da sequência de metas.
2. Qual é a diferença entre dois termos consecutivos?
3. A sequência é crescente ou decrescente?
4. Escreva uma expressão para determinar o termo de posição \(n\) enquanto o padrão estiver sendo aplicado.
5. Qual será a meta da 8ª semana?
6. Em qual semana a meta atingirá exatamente 3.000 litros?
7. De acordo com a condição do fluxograma, ao chegar a 3.000 litros deverá ocorrer uma nova redução? Justifique.
8. Quantas reduções de 200 litros terão sido realizadas desde o valor inicial até atingir 3.000 litros?
9. Qual foi a redução total, em litros?
10. Qual percentual essa redução representa em relação aos 5.000 litros iniciais?
11. Explique como, nessa situação, sequência numérica e fluxograma representam aspectos diferentes de um mesmo processo.
12. Se a condição do fluxograma fosse escrita como “consumo maior ou igual a 3.000 L”, qual seria a consequência para a próxima meta?

Gabarito

1. a) 4. b) 25, 29, 33 e 37. c) Somar 4 ao termo anterior. d) 41. e) 101. f) \(a_n=4n+1\). g) \(a_{25}=4\cdot25+1=101\).

2. a) 24. b) 27. c) Aumenta 3 cadeiras por fileira. d) 39. e) \(a_n=3n+9\). f) 69 cadeiras. g) A fórmula permite chegar diretamente a qualquer posição.

3. a) 18, 21 e 24. b) 96, 192 e 384. c) Somar 3. d) Multiplicar por 2. e) Não; as regras são diferentes. f) \(A_8=24\) e \(B_8=384\); B é maior. g) Termos iniciais iguais não garantem o mesmo padrão.

4. a) R 60,00. b) R 90,00. c) R 10,00. d) \(a_n=10n+10\). e) R 130,00. f) É o valor guardado especificamente no 12º mês. g) Valor mensal e total acumulado representam grandezas diferentes.

5. a) 5. b) \(a_n=5n+2\). c) 102. d) 252. e) Não; para \(n=1\), resulta 12. f) \(a_n=5n+2\). g) O teste mostra rapidamente se a fórmula reproduz os dados conhecidos.

6. a) 16. b) 25. c) 3 peças. d) \(a_n=3n+1\). e) 91 peças. f) Sim; sobrariam 9 peças. g) A expressão permite calcular a quantidade para qualquer posição sem construir todas as figuras.

7. a) 7, 11, 15 e 19. b) Sim, posição 10. c) Sim, posição 20. d) Não; \(4n+3=100\) dá \(n=24,25\), que não é posição inteira. e) \(4n+3=k\). f) No primeiro caso conhece-se \(n\) e calcula-se o termo; no segundo, conhece-se o termo e resolve-se a equação para \(n\).

8. a) 500, 475, 450, 425, 400 e 375. b) Decrescente. c) \(-25\). d) \(a_n=500-25(n-1)\). e) 275 L. f) 9ª posição. g) A regularidade está na variação constante, mesmo sendo negativa.

9. a) 8. b) 13. c) A de Ana. d) Ana: 13 e 18; Bruno: 18 e 23. e) Ana. f) 203. g) Além da diferença, é preciso ajustar a expressão para que corresponda ao termo inicial e às posições.

10. a) A: 8, 11, 14, 17, 20; B: -2, 3, 8, 13, 18. b) \(3n+5=5n-7\). c) \(n=6\). d) 6ª posição. e) 23. f) \(3\cdot6+5=23\) e \(5\cdot6-7=23\). g) Igualar as regras transforma a comparação em uma equação.

11. a) 15. b) 19. c) 34. d) \(y=3x+4\). e) 79. f) \(x=12\). g) Cada bloco executa uma instrução em ordem determinada.

12. a) 16. b) 22. c) Não. d) \(y=2x+6\). e) \(y=2(x+6)\). f) A: \(2x+6\); B: \(2x+12\). g) Não, pois \(2x+6=2x+12\) levaria a \(6=12\). h) Alterar a ordem pode alterar o resultado.

13. a) \(x\). b) \(4(x+8)\). c) \(4(x+8)=80\). d) \(x=12\). e) 12. f) \(12+8=20\) e \(20\cdot4=80\). g) \(80\div4=20\) e \(20-8=12\).

14. a) Menor de idade. b) Maior de idade. c) Maior de idade. d) Porque 18 satisfaz a condição idade ≥ 18. e) idade ≥ 18. f) Não; a decisão direciona para apenas um dos ramos. g) Escolher o caminho a seguir conforme uma condição.

15. a) Em 31 °C e 34 °C. b) O sistema permanece desligado. c) 2 vezes. d) Sim; também seria ligado em 30 °C, totalizando 3 acionamentos. e) Pequenas diferenças nos operadores mudam o comportamento. f) O retorno para uma nova leitura cria repetição.

16. a) 7. b) 11. c) Não. d) Dividiu apenas a primeira nota antes de somar. e) \(\frac{n_1+n_2}{2}\). f) \(\frac{n_1}{2}+n_2\). g) Um caso conhecido permite comparar a saída esperada com a produzida e localizar a falha.

17. a) Valor da compra. b) “O valor é maior ou igual a R 100,00?”. c) Manter o valor original. d) Calcular 10% de desconto e apresentar 90% do valor. e) R 80,00. f) R 135,00. g) Recebe 10% de desconto e fica em R 90,00. h) Ler valor → testar condição → escolher ramo → calcular/manter valor → apresentar resultado.

18. a) 23, 47 e 95. b) Não. c) Não; o crescimento depende do termo anterior. d) \(a_{n+1}=2a_n+1\). e) 4 aplicações. f) 95. g) Uma regra explícita usa a posição; uma regra recursiva usa termos anteriores.

19. a) 5. b) 22. c) 9. d) Ambos são pares. e) O resto da divisão por 2 deve ser zero. f) 16. g) 8. h) Cada saída depende das decisões tomadas a partir do valor atual, produzindo trajetórias diferentes.

20. a) 5.000, 4.800, 4.600, 4.400, 4.200 e 4.000 L. b) \(-200\) L. c) Decrescente. d) \(a_n=5000-200(n-1)\). e) 3.600 L. f) 11ª semana. g) Não; 3.000 não é maior que 3.000. h) 10 reduções. i) 2.000 L. j) 40%. k) A sequência descreve os valores das metas; o fluxograma descreve as decisões e a repetição do processo. l) Em 3.000 L, a condição seria verdadeira e haveria nova redução, estabelecendo 2.800 L.

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