1. Mantendo o equilíbrio
Durante uma aula, a professora utilizou o desenho de uma balança para explicar o princípio da igualdade. Em cada prato havia objetos e pesos, e a balança permanecia equilibrada. Ela explicou que uma equação funciona de maneira semelhante: os dois membros representam quantidades iguais e qualquer alteração realizada em um deles precisa ser considerada também no outro.
Em seguida, escreveu: \(x+8=21\).
- O que a letra \(x\) representa nessa equação?
- Que operação pode ser realizada nos dois membros para deixar \(x\) isolado?
- Resolva a equação.
- Substitua o valor encontrado na equação original e verifique a igualdade.
- Explique, utilizando a ideia da balança, por que não podemos alterar somente um dos membros de uma equação.
2. O dinheiro guardado por Rafael
Rafael está economizando para comprar um material que utilizará em seus estudos. No início do mês, já possuía determinada quantia guardada. Depois de receber R 35,00 por um pequeno trabalho realizado para um familiar, verificou que suas economias totalizavam R 120,00.
Como Rafael não lembrava exatamente quanto possuía antes de receber os R 35,00, decidiu representar essa quantia por \(x\).
- Escreva uma equação que represente a situação.
- Resolva a equação.
- Quanto Rafael possuía inicialmente?
- Verifique sua resposta utilizando os dados do problema.
- Explique por que a operação utilizada para encontrar \(x\) preserva a igualdade.
3. Uma compra para a sala de aula
Para uma atividade, uma professora comprou 7 caixas iguais de determinado material. Todas possuíam o mesmo preço e, ao final, a compra totalizou R 196,00.
Como a nota fiscal apresentava apenas o valor total da compra, um estudante sugeriu representar por \(x\) o preço de cada caixa.
- Escreva uma equação que represente a compra.
- Resolva a equação e determine o preço de cada caixa.
- Qual operação permite desfazer a multiplicação por 7?
- Verifique o resultado calculando novamente o preço das 7 caixas.
- Se fossem compradas 9 caixas pelo mesmo preço unitário, qual seria o novo valor da compra?
4. A corrida por aplicativo
Uma empresa de transporte por aplicativo utiliza, em determinada modalidade, uma tarifa inicial de R 6,00 acrescida de R 3,00 por quilômetro percorrido.
Ao chegar ao destino, um passageiro verificou que a corrida havia custado R 42,00. Considere \(x\) a distância percorrida, em quilômetros.
- Escreva uma equação que represente o preço da corrida.
- Explique o significado dos números 6 e 3 na equação.
- Resolva a equação.
- Qual foi a distância percorrida?
- Verifique se essa distância realmente produz uma corrida de R 42,00.
5. Um número desconhecido
Em um desafio matemático, a professora apresentou a seguinte informação: “O triplo de um número, aumentado de 5 unidades, é igual a 44.”
- Represente o número desconhecido por \(x\) e escreva a equação correspondente.
- Resolva a equação.
- Qual é o número procurado?
- Verifique se o triplo desse número, aumentado de 5, realmente resulta em 44.
- Explique uma vantagem de utilizar uma equação em vez de realizar várias tentativas.
6. A idade de mãe e filha
Em uma conversa familiar, Beatriz descobriu que sua mãe tem atualmente o triplo de sua idade. Juntas, as duas possuem 48 anos.
Para descobrir as idades sem recorrer a tentativas, Beatriz representou sua própria idade por \(x\). Consequentemente, a idade de sua mãe poderia ser representada por \(3x\).
- Escreva uma equação que represente a soma das idades.
- Resolva a equação.
- Qual é a idade de Beatriz?
- Qual é a idade da mãe?
- Verifique se as duas condições do problema são satisfeitas.
7. O perímetro do terreno
Uma família possui um terreno retangular cujo comprimento mede 8 metros a mais que a largura. O perímetro total do terreno é de 64 metros.
Considere \(x\) a largura do terreno. Assim, seu comprimento pode ser representado por \(x+8\).
- Escreva uma equação utilizando a fórmula do perímetro do retângulo.
- Simplifique a equação antes de resolvê-la.
- Determine a largura do terreno.
- Determine o comprimento.
- Verifique se as dimensões encontradas produzem realmente um perímetro de 64 metros.
8. Comparando dois planos
Uma plataforma educacional oferece duas modalidades de contratação:
Plano A: taxa fixa de R 50,00
mais R 8,00 por estudante.
Plano B: taxa fixa de R 110,00
mais R 5,00 por estudante.
- Escreva uma expressão para o custo de cada plano.
- Construa uma equação que represente a situação em que os custos são iguais.
- Resolva a equação.
- Para quantos estudantes os dois planos apresentam o mesmo preço?
- Calcule esse preço.
- Explique por que, nesse problema, a incógnita aparece nos dois membros da equação.
9. Um erro ao resolver a equação
Ao resolver \(5x+7=32\), um estudante escreveu:
\(5x=32+7\)
- Identifique o erro cometido.
- Resolva corretamente a equação.
- Explique a resolução utilizando operações realizadas igualmente nos dois membros.
- Verifique o valor encontrado na equação original.
- Por que compreender o princípio da igualdade é mais seguro do que apenas memorizar uma regra de mudança de sinais?
10. Distribuindo os materiais
Para uma oficina, determinado número de materiais foi colocado igualmente em 4 caixas. Depois disso, foram acrescentadas mais 3 unidades em cada caixa. Ao final, cada caixa ficou com 15 unidades.
Se \(x\) representa a quantidade que havia inicialmente em cada caixa, a situação pode ser representada por uma equação simples.
- Escreva uma equação para determinar \(x\).
- Resolva-a.
- Quantas unidades havia inicialmente em cada caixa?
- Quantas unidades havia inicialmente nas quatro caixas juntas?
- Quantas unidades passaram a existir depois dos acréscimos?
- Explique como a equação ajuda a reconstruir uma informação que não foi fornecida diretamente.
11. A propriedade distributiva na resolução
Durante uma atividade, os estudantes encontraram:
\(3(x+4)=27\)
- Qual estudante está correto ao aplicar a distributiva?
- Desenvolva corretamente o primeiro membro.
- Resolva a equação.
- Verifique o resultado diretamente na forma original.
- Calcule qual resultado seria obtido seguindo o procedimento incorreto.
- Explique por que a propriedade distributiva é necessária nessa situação.
12. Uma equação com incógnita nos dois membros
\(5x+4=2x+25\)
- Que operação pode ser realizada nos dois membros para reunir os termos com \(x\) em apenas um deles?
- Resolva a equação passo a passo.
- Qual é o valor de \(x\)?
- Substitua esse valor nos dois membros separadamente.
- Quais valores são obtidos?
- Explique por que a presença da incógnita nos dois membros não impede a resolução.
13. A excursão escolar
Uma escola está organizando uma excursão. O ônibus custará R 1.200,00, valor que será dividido igualmente entre os estudantes participantes. Além disso, cada estudante deverá pagar individualmente R 20,00 pelo ingresso.
A coordenação deseja descobrir para qual quantidade de participantes o pagamento seria exatamente R 60,00. Considere \(x\) o número de estudantes.
- Explique por que a parcela correspondente ao ônibus pode ser representada por \(\frac{1200}{x}\).
- Escreva uma equação para a situação em que cada estudante paga exatamente R 60,00.
- Resolva a equação.
- Quantos estudantes deverão participar nessa situação?
- Quanto cada um pagará pelo ônibus?
- Somando o ingresso, confirme o valor total individual.
14. Um desconto na compra
Uma loja anunciou determinado produto com desconto de R 45,00. Depois da redução, o preço passou a ser R 180,00.
Considere \(x\) o preço original.
- Escreva uma equação que represente a situação.
- Resolva a equação.
- Qual era o preço antes do desconto?
- Verifique o resultado.
- Qual percentual do preço original corresponde ao desconto de R 45,00?
- Explique a diferença entre afirmar que houve “desconto de R 45,00” e “desconto de 45%”.
15. As idades de dois irmãos
Lucas tem 6 anos a mais que seu irmão André. Daqui a 4 anos, a soma das idades dos dois será de 46 anos.
Considere \(x\) a idade atual de André.
- Como pode ser representada a idade atual de Lucas?
- Como serão representadas as idades dos dois daqui a 4 anos?
- Escreva uma equação utilizando a informação sobre a soma futura.
- Resolva a equação e determine a idade atual de André.
- Determine a idade atual de Lucas.
- Verifique a soma das idades daqui a quatro anos.
- Explique o erro de considerar o acréscimo de quatro anos para apenas um dos irmãos.
16. Um problema com números consecutivos
“A soma de três números inteiros consecutivos é 72.”
- Como podem ser representados os dois números seguintes, se o menor é \(x\)?
- Escreva a equação correspondente.
- Resolva a equação.
- Quais são os três números?
- Verifique a soma.
- Se alguém representasse os números por \(x\), \(x+2\) e \(x+4\), eles ainda seriam consecutivos? Explique.
17. Duas formas de pagar pelo mesmo serviço
A Empresa A cobra taxa inicial de R 90,00 e mais R 3,00 por material impresso. A Empresa B cobra R 30,00 de taxa inicial e R 5,00 por material.
- Escreva uma expressão para o custo de cada empresa considerando \(x\) materiais.
- Monte uma equação para determinar quando os preços serão iguais.
- Resolva a equação.
- Quantos materiais correspondem ao ponto de igualdade?
- Qual será o preço cobrado pelas duas empresas nessa quantidade?
- Calcule os custos para 10 materiais e determine qual empresa é mais barata.
- Faça o mesmo para 50 materiais.
- Explique por que a melhor escolha muda conforme a quantidade.
18. Analisando uma solução impossível
\(2(x+5)=2x+14\)
- A aplicação da propriedade distributiva foi correta?
- O cancelamento de \(2x\) nos dois membros foi correto?
- A igualdade \(10=14\) é verdadeira ou falsa?
- Existe algum valor de \(x\) capaz de tornar a equação original verdadeira?
- Como essa equação deve ser classificada quanto ao conjunto de soluções?
- Explique por que chegar a uma afirmação falsa nem sempre significa que houve erro na resolução.
19. Quando todos os valores funcionam
\(4(x+3)=4x+12\)
- A igualdade \(12=12\) é verdadeira?
- Teste a equação original utilizando \(x=2\).
- Teste novamente utilizando \(x=10\).
- O que acontece nos dois casos?
- Existe apenas uma solução para essa equação?
- Explique por que qualquer valor admissível de \(x\) satisfaz a igualdade.
20. Desafio final - planejamento de uma visita pedagógica
Uma escola está planejando uma visita pedagógica. O transporte terá custo fixo de R 1.500,00. Além disso, cada estudante participante pagará R 30,00 referentes ao ingresso e à alimentação.
Uma instituição parceira decidiu contribuir com R 300,00 para reduzir o custo total. Depois dessa contribuição, a escola dispõe de R 2.400,00 para cobrir exatamente as despesas.
Considere \(x\) o número de estudantes.
- Escreva uma expressão para o custo total antes da contribuição.
- Escreva uma expressão para o valor que ficará sob responsabilidade da escola depois de descontados os R 300,00.
- Monte uma equação utilizando o orçamento disponível de R 2.400,00.
- Resolva a equação.
- Quantos estudantes poderão participar?
- Quanto será gasto com os estudantes, sem considerar o transporte?
- Qual será o custo total antes da contribuição?
- Depois da contribuição, qual valor deverá ser coberto pela escola?
- Verifique se esse valor coincide com o orçamento disponível.
- Explique como a construção da equação permitiu reunir, em um único modelo matemático, as diferentes informações apresentadas no problema.