MatemáticaFC
1. Pesquisa sobre hábitos de leitura
Uma escola com 1.200 estudantes deseja conhecer os hábitos de leitura e entrevista 240 alunos escolhidos entre todos os anos finais.
a) Identifique a população e a amostra.
b) A pesquisa é censitária ou amostral?
c) Cite uma condição importante para que os 240 estudantes representem adequadamente a escola.
d) Explique por que entrevistar somente os frequentadores da biblioteca poderia produzir uma amostra tendenciosa.
2. Variáveis em uma pesquisa escolar
Uma pesquisa registra: meio de transporte utilizado, número de irmãos, altura e tempo diário de estudo.
a) Classifique cada variável como qualitativa ou quantitativa.
b) Entre as quantitativas, indique quais são discretas e quais são contínuas.
c) Dê outro exemplo de variável qualitativa que poderia ser investigada.
3. Frequências e gráfico de barras
O gráfico apresenta o meio de transporte usado por 40 estudantes.
a) Qual categoria apresenta maior frequência absoluta?
b) Determine a frequência relativa percentual de quem vai de ônibus.
c) Determine a porcentagem de estudantes que vão de bicicleta ou a pé.
d) Explique por que um gráfico de barras é adequado para esses dados.
4. Pesquisa e gráfico de setores
O gráfico mostra a atividade preferida de um grupo de 80 estudantes.
a) Quantos escolheram leitura?
b) Quantos escolheram esporte?
c) Determine o ângulo do setor correspondente a jogos.
d) Determine o ângulo do setor correspondente a música.
e) Explique por que a soma dos ângulos deve ser 360°.
5. Evolução ao longo do tempo
O gráfico apresenta a quantidade de atendimentos realizados de fevereiro a julho.
a) Em qual mês ocorreu o maior número de atendimentos?
b) Qual foi a variação absoluta de fevereiro para julho?
c) Determine a variação percentual aproximada nesse período.
d) Explique por que o gráfico de linhas é apropriado para esse conjunto de dados.
6. Média, mediana e moda
As notas de oito estudantes foram: 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8 e 10.
a) Calcule a média.
b) Determine a mediana.
c) Determine a moda.
d) Determine a amplitude.
e) Compare as três medidas de tendência central.
7. Efeito de um valor extremo
Os salários mensais de cinco funcionários são R$ 2.000, R$ 2.100, R$ 2.200, R$ 2.300 e R$ 8.400.
a) Calcule a média salarial.
b) Determine a mediana.
c) Qual medida representa melhor a remuneração da maioria dos funcionários? Justifique.
d) Explique como o maior salário afeta a média.
8. Média a partir de frequências
Em uma pesquisa sobre número de livros lidos no mês, 4 estudantes leram 0 livro, 8 leram 1, 6 leram 2 e 2 leram 3 livros.
a) Quantos estudantes participaram?
b) Determine a média de livros lidos.
c) Determine a moda.
d) Qual é a frequência percentual dos estudantes que leram 2 livros?
9. Mesma média, distribuições diferentes
Considere os conjuntos A={5,5,5,5,5} e B={1,3,5,7,9}.
a) Determine a média de cada conjunto.
b) Determine a amplitude de cada conjunto.
c) Apesar de terem a mesma média, o que diferencia as duas distribuições?
d) Qual conjunto apresenta maior dispersão?
10. Leitura crítica de um gráfico
Observe o gráfico que compara as pontuações médias 98 e 102.
a) Qual é a diferença real entre as duas médias?
b) Por que visualmente as barras parecem muito diferentes?
c) Qual elemento do gráfico pode induzir uma leitura exagerada?
d) Como o gráfico poderia ser apresentado de modo mais transparente?
11. Avaliando uma notícia
Uma notícia afirma: “A aprovação de um projeto aumentou 200%”, mas não informa os valores inicial e final nem o tamanho da amostra.
a) Cite pelo menos três informações que deveriam acompanhar a notícia.
b) Explique por que apenas o percentual não permite avaliar adequadamente a mudança.
c) Se a aprovação passou de 10 para 30 pessoas, confirme a variação percentual.
12. Planejamento de uma pesquisa
Uma turma pretende investigar o tempo diário de uso de telas entre os estudantes dos anos finais.
a) Defina uma possível população.
b) Proponha uma forma de selecionar uma amostra representativa.
c) Escreva uma pergunta objetiva que poderia constar no questionário.
d) Indique um gráfico adequado para apresentar os resultados caso os tempos sejam agrupados em intervalos.
e) Cite duas medidas estatísticas que poderiam ser calculadas.
13. Probabilidade em um dado
Um dado comum e equilibrado é lançado uma vez.
a) Escreva o espaço amostral.
b) Determine a probabilidade de sair número maior que 4.
c) Determine a probabilidade de sair número par.
d) Determine a probabilidade de não sair 6.
e) Classifique o evento “sair um número entre 1 e 6” como impossível, possível ou certo.
14. Dois dados
Dois dados equilibrados são lançados simultaneamente.
a) Quantos resultados ordenados existem no espaço amostral?
b) Determine a probabilidade de a soma ser 12.
c) Determine a probabilidade de a soma ser 7.
d) Qual dos dois eventos é mais provável? Justifique contando os casos favoráveis.
15. Eventos independentes
Uma moeda equilibrada e um dado equilibrado são lançados.
a) Os resultados da moeda e do dado são eventos independentes? Explique.
b) Determine a probabilidade de obter cara e número par.
c) Determine a probabilidade de obter coroa e número maior que 4.
d) Mostre como a regra da multiplicação aparece nos cálculos.
16. Retiradas sem reposição
Uma caixa contém 5 bolas vermelhas e 3 azuis. Duas bolas são retiradas sucessivamente, sem reposição.
a) Por que a probabilidade da segunda retirada muda após a primeira?
b) Determine a probabilidade de retirar duas vermelhas.
c) Determine a probabilidade de retirar uma vermelha e uma azul, em qualquer ordem.
d) Esses eventos são independentes ou dependentes? Justifique.
17. Retiradas com reposição
Na mesma caixa com 5 bolas vermelhas e 3 azuis, agora a primeira bola é devolvida antes da segunda retirada.
a) Determine a probabilidade de retirar duas vermelhas.
b) Determine a probabilidade de retirar duas azuis.
c) Determine a probabilidade de obter uma de cada cor, em qualquer ordem.
d) Compare a probabilidade de duas vermelhas com a situação sem reposição.
18. Probabilidade experimental
Uma moeda foi lançada 500 vezes e apresentou 242 caras.
a) Determine a frequência relativa de caras em forma decimal.
b) Escreva o resultado em porcentagem.
c) Compare com a probabilidade teórica de 50%.
d) A diferença observada permite concluir que a moeda não é equilibrada? Explique por que uma conclusão exige análise mais cuidadosa.
19. Jogo equilibrado ou não?
Em um jogo, o participante vence se, ao lançar um dado, sair 6. Em qualquer outro resultado, perde.
a) Determine a probabilidade de vitória.
b) Determine a probabilidade de derrota.
c) As chances são equilibradas?
d) Proponha uma nova regra usando o mesmo dado que produza probabilidades iguais de vitória e derrota.
20. Desafio final — pesquisa e probabilidade
Uma escola realizou uma pesquisa com 200 estudantes sobre participação em uma feira científica. Desses, 130 disseram que pretendem participar. Em uma atividade da feira, uma urna contém 6 fichas verdes, 3 azuis e 1 amarela.
a) Determine o percentual de estudantes que pretendem participar.
b) Se a escola possui 1.000 estudantes e a amostra for representativa, estime quantos poderiam declarar intenção de participar.
c) Explique por que essa estimativa não garante que exatamente esse número participará.
d) Determine a probabilidade de retirar uma ficha verde.
e) Duas fichas são retiradas sem reposição. Determine a probabilidade de ambas serem verdes.
f) Se a primeira ficha fosse recolocada, determine a nova probabilidade de duas verdes.
g) Explique a diferença entre os resultados dos itens e e f em termos de eventos dependentes e independentes.
Gabarito ⌄
1. População: 1.200 estudantes; amostra: 240. Pesquisa amostral. A amostra deve incluir adequadamente os diferentes grupos da escola. Entrevistar apenas frequentadores da biblioteca pode favorecer alunos com hábitos de leitura diferentes dos demais.
2. Transporte: qualitativa; número de irmãos: quantitativa discreta; altura: quantitativa contínua; tempo de estudo: quantitativa contínua. Exemplo qualitativo: disciplina preferida.
3. Ônibus. \(18/40=45\%\). Bicicleta ou a pé: \(12/40=30\%\). Barras permitem comparar categorias.
4. Leitura: 32; esporte: 24; jogos: 72°; música: 36°. Os setores representam partes de um todo, cuja volta completa mede 360°.
5. Julho. Variação absoluta = 55. Variação percentual ≈ 45,8%. O gráfico de linhas evidencia a evolução temporal.
6. Média = 7; mediana = 7; moda = 7; amplitude = 5.
7. Média = R$ 3.400; mediana = R$ 2.200. A mediana representa melhor a maioria, pois R$ 8.400 é um valor extremo que eleva a média.
8. 20 estudantes. Média = 1,3 livro. Moda = 1. Frequência de 2 livros = 30%.
9. Média = 5 em ambos. Amplitude de A = 0; de B = 8. B apresenta maior dispersão.
10. Diferença real = 4 pontos. O eixo começa em 97, ampliando visualmente a diferença. Deve-se indicar claramente a interrupção ou usar escala que não distorça a comparação.
11. Exemplos: valores absolutos inicial/final, número de entrevistados, população, método de seleção, data e pergunta feita. De 10 para 30, aumento = 200%.
12. Exemplo: população = estudantes do 6º ao 9º ano. Selecionar proporcionalmente estudantes de todos os anos/turmas. Pergunta possível: “Em média, quantas horas por dia você utiliza telas fora das atividades escolares?”. Para intervalos, histograma. Podem ser calculadas média, mediana, moda e amplitude.
13. \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\). \(P(>4)=1/3\). \(P(\text{par})=1/2\). \(P(\text{não 6})=5/6\). O último evento é certo.
14. 36 resultados. \(P(\text{soma 12})=1/36\). \(P(\text{soma 7})=1/6\). Soma 7 é mais provável.
15. Sim. \(P(\text{cara e par})=1/4\). \(P(\text{coroa e >4})=1/6\).
16. Sem reposição, a composição da caixa muda. \(P(VV)=5/14\). \(P(\text{uma de cada})=15/28\). São dependentes.
17. \(P(VV)=25/64\). \(P(AA)=9/64\). \(P(\text{uma de cada})=15/32\). Com reposição, as retiradas são independentes.
18. \(242/500=0{,}484=48{,}4\%\). A probabilidade teórica é 50%. Uma diferença amostral pode ocorrer; são necessárias mais evidências para afirmar desequilíbrio.
19. Vitória = \(1/6\); derrota = \(5/6\); não é equilibrado. Exemplo de regra equilibrada: vence com número par e perde com número ímpar.
20. a) 65%. b) Aproximadamente 650 estudantes. c) Trata-se de estimativa baseada na amostra e em intenção declarada. d) \(6/10=3/5\). e) \(6/10\cdot5/9=1/3\). f) \(6/10\cdot6/10=9/25\). g) Sem reposição, a primeira retirada altera a segunda probabilidade; com reposição, as probabilidades permanecem iguais.