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Atividade - 8º ano

Triângulos: congruência e propriedades

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Orientação: Leia atentamente cada situação e observe as figuras antes de responder. Não considere lados ou ângulos iguais apenas porque parecem iguais no desenho. Utilize as medidas, marcas de congruência, símbolos e propriedades matemáticas fornecidas.

1. Triângulos no projeto de uma cobertura

Uma empresa de engenharia utiliza estruturas triangulares para sustentar a cobertura de um espaço esportivo. Em uma das peças, o triângulo ABC possui lados medindo 5 m, 5 m e 8 m.

1. Como esse triângulo é classificado quanto às medidas de seus lados?
2. Qual característica permite fazer essa classificação?
3. Quais são os lados congruentes?
4. Considerando as propriedades desse tipo de triângulo, quais ângulos possuem a mesma medida?
5. Se o ângulo B mede 53°, quanto mede C?
6. Determine a medida de A.
7. Explique por que não foi necessário medir diretamente os outros dois ângulos para determinar suas medidas.

2. Classificando triângulos pelas medidas dos lados

Durante uma atividade, três estruturas triangulares foram representadas na figura. O Triângulo I possui lados de 6 cm, 6 cm e 6 cm; o Triângulo II, 5 cm, 5 cm e 8 cm; e o Triângulo III, 4 cm, 6 cm e 7 cm.

1. Classifique cada triângulo quanto aos lados.
2. Em qual deles todos os ângulos internos possuem a mesma medida?
3. Qual é a medida de cada ângulo desse triângulo?
4. Em qual triângulo podemos afirmar imediatamente que existem dois ângulos congruentes?
5. No Triângulo III, é possível afirmar que existem ângulos congruentes apenas pelas medidas fornecidas?
6. Explique a diferença entre triângulo equilátero, isósceles e escaleno.

3. Um desenho pode enganar

Observe o triângulo ABC. Os lados AB e AC parecem possuir o mesmo comprimento, mas nenhuma medida nem marca de congruência foi apresentada. Marina afirmou: “O triângulo é isósceles porque dá para perceber que esses dois lados são iguais.”

1. A conclusão de Marina é matematicamente válida?
2. Que informação seria necessária para confirmar que AB = AC?
3. Uma figura geométrica precisa necessariamente estar desenhada em escala?
4. Se fossem colocadas marcas iguais nos lados AB e AC, o que essas marcas indicariam?
5. Por que devemos interpretar os símbolos da figura em vez de confiar apenas na aparência do desenho?
6. Explique a importância dessa ideia na resolução de problemas de Geometria.

4. A soma dos ângulos internos

Uma praça possui formato triangular. Em um projeto, dois de seus ângulos internos medem 48° e 67°. A medida do terceiro ângulo, representada por \(x\), não foi registrada.

1. Qual é a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo?
2. Escreva uma equação para determinar \(x\).
3. Calcule o valor de \(x\).
4. Classifique o triângulo quanto aos ângulos.
5. Por que conhecer apenas dois ângulos é suficiente para determinar o terceiro?
6. Seria possível construir um triângulo com ângulos de 80°, 70° e 40°? Justifique matematicamente.

5. Ângulos expressos algebricamente

Em um triângulo, os três ângulos internos são representados por \(x\), \(2x\) e \(3x\), como indicado na figura.

1. Que equação pode ser formada utilizando a soma dos ângulos internos?
2. Determine \(x\).
3. Calcule os três ângulos.
4. Como o triângulo pode ser classificado quanto aos ângulos?
5. Existe alguma relação especial entre o maior ângulo e os outros dois?
6. Como o lado oposto ao maior ângulo deve se comparar aos demais lados?
7. Explique a relação existente entre o tamanho de um ângulo e o comprimento do lado oposto a ele.

6. O ângulo externo de um triângulo

Uma rampa triangular foi representada pelo triângulo ABC. O lado BC foi prolongado até D, formando um ângulo externo de 125° no vértice C. O ângulo interno no vértice A mede 50°.

1. Qual relação existe entre o ângulo externo de 125° e o ângulo interno no vértice C?
2. Determine C.
3. Calcule B.
4. Verifique sua resposta utilizando a soma dos ângulos internos.
5. Qual relação existe entre um ângulo externo e os dois ângulos internos não adjacentes a ele?
6. Mostre que essa propriedade é satisfeita pelos valores encontrados.

7. O triângulo isósceles e seus ângulos

Em uma estrutura decorativa, AB = AC. O ângulo localizado no vértice A, entre os lados congruentes, mede 44°.

1. Como o triângulo é classificado quanto aos lados?
2. Quais ângulos possuem a mesma medida?
3. Por que esses ângulos são congruentes?
4. Determine suas medidas.
5. Se o ângulo do vértice fosse aumentado, o que necessariamente aconteceria com os dois ângulos da base?
6. Explique como a propriedade dos ângulos da base de um triângulo isósceles permite resolver o problema sem conhecer o comprimento dos lados.

8. O caminho inverso

Em um triângulo PQR, os ângulos Q e R possuem a mesma medida, conforme indicado pelas marcas da figura.

1. Que conclusão pode ser feita sobre os lados opostos a esses ângulos?
2. Qual lado é oposto ao ângulo Q?
3. Qual lado é oposto ao ângulo R?
4. Que igualdade pode ser escrita?
5. Como o triângulo pode ser classificado quanto aos lados?
6. Explique por que a propriedade do triângulo isósceles pode ser utilizada nos dois sentidos: dos lados para os ângulos e dos ângulos para os lados.

9. Dois triângulos parecem iguais

Em um projeto foram desenhados os triângulos ABC e DEF. Visualmente, eles possuem a mesma forma e o mesmo tamanho. Um estudante afirmou que isso é suficiente para dizer que são congruentes.

1. O que significa afirmar que dois triângulos são congruentes?
2. A aparência do desenho é suficiente para comprovar a congruência?
3. O que deve acontecer com os lados e ângulos correspondentes de triângulos congruentes?
4. Se A corresponde a D, B a E e C a F, indique os lados correspondentes a AB, BC e AC.
5. Que informações geométricas seriam suficientes para comprovar a congruência sem medir todos os seis elementos de cada triângulo?

10. Caso LLL

Uma fábrica produz duas peças triangulares. Na primeira, AB = 5 cm, BC = 7 cm e AC = 8 cm. Na segunda, DE = 5 cm, EF = 7 cm e DF = 8 cm.

1. Quais lados são correspondentes?
2. Os três pares de lados correspondentes são congruentes?
3. Qual caso de congruência pode ser utilizado?
4. Podemos concluir que os triângulos são congruentes?
5. Escreva corretamente uma relação de congruência entre os triângulos, respeitando a correspondência dos vértices.
6. Se B = 72°, qual será a medida do ângulo correspondente no outro triângulo?
7. Explique por que não precisamos conhecer previamente os ângulos para comprovar a congruência nesse caso.

11. Caso LAL

Duas estruturas triangulares apresentam AB = DE = 6 cm, AC = DF = 9 cm e A = D = 50°.

1. Quais são os dois pares de lados congruentes?
2. Qual é o par de ângulos congruentes?
3. Onde esse ângulo está localizado em relação aos lados conhecidos?
4. Qual caso de congruência pode ser aplicado?
5. Os triângulos são congruentes?
6. Depois de estabelecida a congruência, o que podemos afirmar sobre BC e EF?
7. Explique por que a posição do ângulo conhecido é importante nesse caso.

12. Caso ALA

Em duas peças triangulares, sabe-se que A = D = 40°, B = E = 65° e AB = DE = 7 cm.

1. Quais elementos correspondentes são congruentes?
2. O lado conhecido está localizado entre quais ângulos?
3. Qual caso de congruência pode ser utilizado?
4. Podemos concluir que os triângulos são congruentes?
5. Determine os ângulos C e F.
6. O que pode ser afirmado sobre os demais lados correspondentes?
7. Explique por que conhecer dois ângulos e um lado apropriado pode determinar completamente um triângulo.

13. Três ângulos iguais são suficientes?

Dois estudantes receberam triângulos diferentes. Ambos possuem ângulos de 40°, 60° e 80°, entretanto um dos triângulos é claramente maior que o outro. Pedro afirmou: “Como os três ângulos são iguais, os triângulos são congruentes.”

1. A afirmação está correta?
2. Os triângulos possuem a mesma forma?
3. Eles necessariamente possuem o mesmo tamanho?
4. O conhecimento de três ângulos determina a congruência?
5. Que conceito geométrico descreve melhor a relação entre esses dois triângulos?
6. Qual informação adicional sobre comprimentos poderia permitir verificar a congruência?
7. Explique a diferença entre congruência e possuir apenas a mesma forma.

14. Identificando o caso de congruência

Observe os três esquemas da figura. Em A, três pares de lados correspondentes estão marcados como congruentes; em B, dois pares de lados e o ângulo compreendido; em C, dois pares de ângulos e o lado compreendido.

1. Qual caso de congruência aparece na Figura A?
2. Qual aparece na Figura B?
3. Qual aparece na Figura C?
4. Em quais casos é possível concluir que os triângulos possuem exatamente a mesma forma e o mesmo tamanho?
5. Depois de comprovada a congruência, é necessário verificar separadamente cada um dos demais lados e ângulos?
6. Explique a função dos critérios de congruência na resolução de problemas geométricos.

15. Descobrindo uma medida sem medi-la

Em dois triângulos congruentes, foi estabelecida a correspondência A↔D, B↔E e C↔F. No triângulo ABC, AB = 8 cm, BC = 11 cm, AC = 13 cm, A = 58° e B = 77°.

1. Determine DE.
2. Determine EF.
3. Determine DF.
4. Calcule C.
5. Determine D, E e F.
6. Quantas novas medidas puderam ser determinadas utilizando a congruência?
7. Explique por que a congruência permite transferir informações de um triângulo para outro.

16. A diagonal de uma estrutura retangular

Uma placa retangular ABCD foi dividida pela diagonal AC, formando os triângulos ABC e CDA.

1. Qual lado pertence simultaneamente aos dois triângulos?
2. O que podemos afirmar sobre AB e CD, por serem lados opostos de um retângulo?
3. E sobre BC e AD?
4. Que caso de congruência pode ser utilizado para comparar os dois triângulos?
5. Os triângulos são congruentes?
6. O que isso permite concluir sobre suas áreas?
7. Se a área do retângulo for 48 cm², qual será a área de cada triângulo?
8. Explique como uma propriedade de quadriláteros pode ser combinada com congruência de triângulos.

17. Uma ponte com estrutura simétrica

Uma estrutura de sustentação possui formato triangular ABC, com AB = AC. Um segmento AD liga o vértice A ao ponto D de BC, sendo BD = DC. Considere os triângulos ABD e ACD.

1. Qual par de lados é congruente pela informação de que o triângulo maior é isósceles?
2. Qual outro par é congruente pela informação sobre D?
3. Que lado é comum aos dois triângulos?
4. Qual caso de congruência pode ser aplicado?
5. O que podemos concluir sobre BAD e DAC?
6. O que isso mostra sobre AD em relação ao ângulo A?
7. Que conclusão pode ser obtida sobre os ângulos ADB e ADC?
8. Como esses ângulos formam um par suplementar e são congruentes, quanto mede cada um?
9. O que isso permite concluir sobre AD e BC?
10. Explique como a congruência demonstra propriedades importantes do triângulo isósceles.

18. É possível construir esse triângulo?

Uma equipe recebeu três conjuntos de medidas para produzir estruturas triangulares: Projeto A: 4 m, 5 m e 7 m; Projeto B: 3 m, 4 m e 8 m; Projeto C: 6 m, 6 m e 10 m. Antes da fabricação, é necessário verificar se cada conjunto realmente pode formar um triângulo.

1. Qual condição deve existir entre a soma de dois lados e o terceiro lado de um triângulo?
2. Verifique o Projeto A.
3. Verifique o Projeto B.
4. Verifique o Projeto C.
5. Qual projeto não pode formar um triângulo?
6. Explique geometricamente o que acontece quando a soma de dois comprimentos é menor que o terceiro.
7. Por que verificar a existência do triângulo deve ocorrer antes de classificá-lo ou estudar sua congruência?

19. Analisando afirmações sobre triângulos

Durante uma revisão, quatro estudantes fizeram afirmações:

I. “Todo triângulo equilátero também é isósceles, se considerarmos isósceles como aquele que possui pelo menos dois lados congruentes.”

II. “Se dois triângulos possuem os três lados correspondentes congruentes, então eles são congruentes.”

III. “Dois triângulos que possuem os mesmos três ângulos são sempre congruentes.”

IV. “Em um triângulo isósceles, os ângulos opostos aos lados congruentes também são congruentes.”

1. Quais afirmações são verdadeiras?
2. Qual afirmação apresenta um erro relacionado à diferença entre congruência e mesma forma?
3. Qual caso de congruência justifica a afirmação II?
4. Explique a afirmação IV utilizando a relação entre lados e ângulos de um triângulo.
5. Por que a definição adotada para triângulo isósceles interfere na análise da afirmação I?
6. Reescreva a afirmação III de maneira matematicamente correta.

20. Desafio final - investigando uma estrutura triangular

Uma escola construirá uma cobertura com formato de triângulo isósceles ABC, em que AB = AC. O ponto D é o ponto médio de BC, e o segmento AD foi traçado. A equipe precisa justificar matematicamente várias propriedades da estrutura, sem depender apenas da aparência simétrica do desenho.

1. Compare os triângulos ABD e ACD.
2. Identifique três pares de lados congruentes.
3. Qual caso de congruência pode ser utilizado?
4. O que podemos concluir sobre os dois triângulos?
5. O que a congruência permite afirmar sobre BAD e DAC?
6. Portanto, qual função o segmento AD desempenha em relação ao ângulo A?
7. Compare ADB e ADC.
8. Sabendo que B, D e C estão alinhados, qual é a soma desses dois ângulos?
9. Determine a medida de cada um.
10. Que relação existe entre AD e BC?
11. O que já sabemos sobre BD e DC?
12. Portanto, além de bissetriz do ângulo A, que outras funções AD desempenha no triângulo?
13. Se A = 40°, determine B e C.
14. Se BC = 18 cm, determine BD e DC.
15. Explique como um único argumento de congruência permitiu demonstrar várias propriedades do triângulo isósceles.

Gabarito

1. a) Isósceles. b) Possui dois lados congruentes. c) AB e AC. d) B e C. e) 53°. f) 74°. g) Usam-se a propriedade dos ângulos da base e a soma de 180°.

2. a) I: equilátero; II: isósceles; III: escaleno. b) I. c) 60°. d) II; o Triângulo I também possui ângulos congruentes. e) Não; lados diferentes implicam ângulos opostos diferentes. f) Equilátero: três lados iguais; isósceles: pelo menos dois; escaleno: três diferentes.

3. a) Não. b) Medidas ou marcas que indiquem AB = AC. c) Não. d) Congruência dos lados. e-f) Desenhos podem ser esquemáticos; valem os dados e símbolos matemáticos.

4. a) 180°. b) \(48+67+x=180\). c) 65°. d) Acutângulo. e) A soma é fixa. f) Não, pois \(80+70+40=190°\).

5. a) \(x+2x+3x=180°\). b) \(x=30°\). c) 30°, 60° e 90°. d) Retângulo. e) O maior é igual à soma dos outros dois. f) É o maior lado. g) Maior ângulo fica oposto ao maior lado.

6. a) São suplementares. b) C = 55°. c) B = 75°. d) \(50+55+75=180°\). e) O ângulo externo é igual à soma dos internos não adjacentes. f) \(125=50+75\).

7. a) Isósceles. b) B e C. c) São opostos aos lados congruentes. d) 68° cada. e) Diminuiriam igualmente. f) A propriedade e a soma de 180° determinam as medidas.

8. a) Os lados opostos são congruentes. b) PR. c) PQ. d) \(PR=PQ\). e) Isósceles. f) A recíproca também é válida: ângulos congruentes têm lados opostos congruentes.

9. a) Mesma forma e mesmo tamanho, com elementos correspondentes congruentes. b) Não. c) Lados e ângulos correspondentes são congruentes. d) \(AB↔DE\), \(BC↔EF\), \(AC↔DF\). e) Um critério de congruência, como LLL, LAL ou ALA.

10. a) \(AB↔DE\), \(BC↔EF\), \(AC↔DF\). b) Sim. c) LLL. d) Sim. e) \(ABC\cong DEF\). f) E = 72°. g) Os três lados determinam unicamente a forma e o tamanho do triângulo.

11. a) \(AB↔DE\) e \(AC↔DF\). b) \(A↔D\). c) Entre os dois lados conhecidos. d) LAL. e) Sim. f) \(BC=EF\). g) No LAL, o ângulo deve ser o compreendido entre os lados correspondentes.

12. a) \(A↔D\), \(B↔E\) e \(AB↔DE\). b) Entre A e B; D e E. c) ALA. d) Sim. e) C = F = 75°. f) Os lados correspondentes restantes são congruentes. g) Esses dados fixam o triângulo.

13. a) Não. b) Sim. c) Não. d) Não. e) Semelhança. f) Um par de lados correspondentes iguais, associado aos ângulos, pode fixar a escala. g) Congruentes têm mesma forma e tamanho; semelhantes podem ter tamanhos diferentes.

14. a) LLL. b) LAL. c) ALA. d) Nos três. e) Não. f) Os critérios permitem provar congruência usando conjuntos mínimos de informações suficientes.

15. a) 8 cm. b) 11 cm. c) 13 cm. d) 45°. e) D = 58°, E = 77°, F = 45°. f) Seis medidas do segundo triângulo, além do ângulo C calculado no primeiro. g) Elementos correspondentes de triângulos congruentes têm medidas iguais.

16. a) AC. b) \(AB=CD\). c) \(BC=AD\). d) LLL. e) Sim. f) Têm áreas iguais. g) 24 cm². h) Os lados opostos do retângulo, junto ao lado comum, fornecem os três pares necessários.

17. a) \(AB=AC\). b) \(BD=DC\). c) \(AD=AD\). d) LLL. e) \(BAD=DAC\). f) AD é bissetriz. g) \(ADB=ADC\). h) 90° cada. i) \(AD\perp BC\). j) A congruência prova simultaneamente simetria angular e perpendicularidade.

18. a) A soma de quaisquer dois lados deve ser maior que o terceiro. b) A: possível. c) B: impossível, pois \(3+4<8\). d) C: possível. e) B. f) Os dois segmentos menores não conseguem se encontrar para fechar a figura. g) Sem existência do triângulo, classificação e congruência não se aplicam.

19. a) I, II e IV, considerando a definição inclusiva de isósceles. b) III. c) LLL. d) Lados congruentes têm ângulos opostos congruentes. e) Na definição “pelo menos dois”, o equilátero satisfaz a condição; em convenções exclusivas, não. f) Dois triângulos com os mesmos três ângulos são semelhantes, não necessariamente congruentes.

20. a-d) ABD e ACD têm \(AB=AC\), \(BD=DC\) e AD comum; portanto são congruentes por LLL. e-f) \(BAD=DAC\), logo AD é bissetriz. g-i) \(ADB=ADC\) e somam 180°, então cada um mede 90°. j) \(AD\perp BC\). k) \(BD=DC\). l) AD também é mediana e altura, além de mediatriz de BC. m) B = C = 70°. n) BD = DC = 9 cm. o) A congruência transfere a igualdade dos elementos correspondentes e demonstra várias propriedades de uma só vez.

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