1. Pontos de referência em um mapa
Observe os pontos indicados no plano cartesiano.
- Indique o quadrante de A, B, C e D.
- Qual ponto está mais à esquerda?
- Qual ponto está mais abaixo?
- Escreva as coordenadas do simétrico de A em relação ao eixo x.
2. Deslocamento horizontal e vertical
Em um mapa quadriculado, uma estação está em \(P=(-5,3)\) e outra em \(Q=(2,3)\). Um posto de apoio está em \(R=(-2,-4)\) e outro em \(S=(-2,5)\).
- Determine PQ.
- Determine RS.
- Explique por que não é necessário usar Pitágoras nesses dois cálculos.
3. Distância entre duas estações
Duas estações estão em \(A=(-2,1)\) e \(B=(4,9)\).
- Determine \(\Delta x\) e \(\Delta y\).
- Represente mentalmente o triângulo retângulo formado.
- Use Pitágoras para calcular AB.
- Explique por que a distância é sempre positiva.
4. Ponto médio de uma ciclovia
Uma ciclovia reta liga \(A=(-4,2)\) a \(B=(6,8)\). Um bebedouro será instalado exatamente no ponto médio.
- Determine as coordenadas do ponto médio M.
- Verifique que M está igualmente afastado de A e B.
- Interprete geometricamente o resultado.
5. Terreno retangular no plano
Observe o terreno representado pelos vértices \(A=(1,1)\), \(B=(8,1)\), \(C=(8,5)\) e \(D=(1,5)\).
- Determine as medidas dos lados.
- Calcule o perímetro.
- Calcule a área.
- Determine as coordenadas do centro do terreno.
6. Praça triangular
Observe o triângulo de vértices \(A=(0,0)\), \(B=(8,0)\) e \(C=(0,6)\).
- Determine AB e AC.
- Determine BC usando Pitágoras.
- Calcule o perímetro.
- Calcule a área.
7. Simetria de um logotipo
Um logotipo possui vértices \(P=(2,1)\), \(Q=(5,1)\) e \(R=(3,4)\).
- Determine os vértices após reflexão no eixo x.
- Determine os vértices após reflexão no eixo y.
- Determine os vértices após simetria em relação à origem.
- O tamanho do triângulo muda? Justifique.
8. Translação de uma figura
Um triângulo possui vértices \(A=(-2,1)\), \(B=(1,1)\) e \(C=(0,4)\). Ele será deslocado 5 unidades para a direita e 3 para baixo.
- Determine A', B' e C'.
- Compare os comprimentos dos lados antes e depois.
- Compare as áreas.
- Explique o que a translação preserva.
9. Projeto de uma passarela
Uma passarela liga os pontos \(A=(1,2)\) e \(B=(7,10)\).
- Determine as diferenças horizontal e vertical.
- Calcule o comprimento da passarela.
- Determine o ponto médio.
- Se cada unidade do plano representa 2 m, qual é o comprimento real?
10. Poliedro em uma exposição
Uma escultura é um poliedro convexo com 12 vértices e 8 faces.
- Use a relação de Euler \(V-A+F=2\) para determinar o número de arestas.
- Verifique a igualdade.
- Se outro poliedro tiver 14 vértices e 9 faces, quantas arestas terá?
11. Prisma triangular
Um prisma triangular possui duas bases triangulares e três faces laterais.
- Determine o número total de faces.
- Determine o número de vértices.
- Determine o número de arestas.
- Verifique a relação de Euler.
12. Pirâmide de base pentagonal
Uma cobertura tem a forma de uma pirâmide de base pentagonal.
- Quantas faces laterais ela possui?
- Quantas faces possui ao todo?
- Quantos vértices?
- Quantas arestas?
- Compare sua estrutura com a de um prisma pentagonal.
13. Interpretando vistas ortogonais
A figura mostra uma vista superior em que cada número indica a altura, em cubos, de uma coluna.
- Quantas posições da base estão ocupadas?
- Quantos cubos há ao todo?
- Qual é a maior altura?
- Explique por que uma vista superior sem os números não seria suficiente para determinar o total de cubos.
14. Caixa para armazenamento
Uma caixa retangular mede 12 cm × 5 cm × 4 cm.
- Determine o volume.
- Se a altura dobrar e as outras dimensões permanecerem iguais, qual será o novo volume?
- Por qual fator o volume mudou?
- Explique o resultado.
15. Prisma de base triangular
Um prisma triangular tem base triangular de base 10 cm e altura 6 cm, e comprimento de 20 cm.
- Calcule a área da base.
- Determine o volume.
- Se o comprimento passar para 30 cm, mantendo a base, determine o novo volume.
16. Reservatório cilíndrico
Observe o cilindro de raio 3 cm e altura 8 cm.
- Determine a área da base.
- Determine o volume em função de \(\pi\).
- Use \(\pi\approx3{,}14\) para obter uma aproximação.
- Se o raio dobrar e a altura permanecer a mesma, quantas vezes maior ficará o volume?
17. Volume e capacidade
Uma caixa-d'água retangular mede 2 m × 1,5 m × 1,2 m.
- Determine o volume em m³.
- Converta a capacidade para litros.
- Se estiver com 75% da capacidade, quantos litros contém?
- Quantos litros faltam para enchê-la?
18. Descobrindo uma dimensão
Um prisma possui volume de 560 cm³ e área da base de 70 cm².
- Determine a altura.
- Se a área da base fosse reduzida à metade, mantendo o mesmo volume, qual deveria ser a nova altura?
- Explique a relação entre área da base e altura quando o volume é fixo.
19. Maquete ampliada
Uma maquete cúbica tem aresta de 4 cm. Uma nova versão terá todas as dimensões lineares multiplicadas por 3.
- Determine o volume original.
- Determine a nova aresta.
- Determine o novo volume.
- Quantas vezes o volume aumentou?
- Relacione o resultado à razão linear de ampliação.
20. Desafio final — projeto de um centro cultural
No projeto de um centro cultural, um salão retangular no plano cartesiano tem vértices \((1,1)\), \((9,1)\), \((9,6)\) e \((1,6)\). No pátio será instalado um reservatório cilíndrico de raio 2 m e altura 5 m.
- Determine o perímetro e a área do salão.
- Determine as coordenadas do centro do salão.
- Determine a distância entre os vértices \((1,1)\) e \((9,6)\).
- Determine o volume do reservatório em função de \(\pi\) e aproximadamente, usando \(\pi\approx3{,}14\).
- Converta esse volume para litros.
- Explique quais partes do problema pertencem à geometria plana/cartesiana e quais pertencem à geometria espacial.