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Atividade - 8º ano

Sistemas de equações do primeiro grau e problemas

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Orientação: Leia atentamente cada situação. Em vários problemas, será necessário identificar duas quantidades desconhecidas e representar as informações por duas equações. Antes de iniciar os cálculos, defina claramente o significado de \(x\) e \(y\). Depois de resolver o sistema, volte ao enunciado e verifique se os valores encontrados realmente atendem às condições apresentadas.

1. Duas informações, duas incógnitas

Durante uma aula, a professora escreveu no quadro:

\(x+y=18\)

e perguntou se seria possível determinar, com certeza, os valores de \(x\) e \(y\). Os estudantes apresentaram várias possibilidades: 10 e 8, 12 e 6, 15 e 3, entre outras.

Em seguida, ela acrescentou uma segunda informação:

\(x-y=4\)

1. Por que a primeira equação, sozinha, não permite determinar um único par de valores para \(x\) e \(y\)?
2. Escreva três pares que satisfaçam \(x+y=18\).
3. Resolva o sistema formado pelas duas equações.
4. Quais são os valores de \(x\) e \(y\)?
5. Substitua os valores encontrados nas duas equações e verifique as igualdades.
6. Explique por que as duas informações, consideradas simultaneamente, permitem determinar uma única solução.

2. Lápis e canetas para uma atividade

Para preparar uma atividade, uma professora comprou lápis e canetas. Ao todo, foram adquiridos 30 objetos. Cada lápis custou R 2,00 e cada caneta custou R 4,00. A compra totalizou R 84,00.

Considere \(x\) o número de lápis e \(y\) o número de canetas.

1. Escreva uma equação que represente a quantidade total de objetos.
2. Escreva outra equação que represente o valor total da compra.
3. Forme o sistema correspondente.
4. Resolva o sistema.
5. Quantos lápis e quantas canetas foram comprados?
6. Calcule separadamente o valor gasto com cada tipo de material e confirme o total de R 84,00.

3. O método da substituição

Considere o sistema:

\(x+y=17\)
\(2x+y=25\)

Mariana decidiu utilizar o método da substituição. Primeiro, isolou \(y\) na primeira equação:

\(y=17-x\)

1. Continue o procedimento iniciado por Mariana.
2. Determine o valor de \(x\).
3. Utilize \(y=17-x\) para encontrar \(y\).
4. Qual é a solução do sistema?
5. Verifique a solução nas duas equações originais.
6. Explique por que substituir \(y\) por \(17-x\) não altera a relação representada pelo sistema.

4. O método da adição

Em outra atividade, apareceu o sistema:

\(2x+y=19\)
\(3x-y=16\)

1. Some membro a membro as duas equações.
2. Qual incógnita é eliminada?
3. Determine o valor de \(x\).
4. Utilize uma das equações originais para determinar \(y\).
5. Verifique a solução encontrada.
6. Explique por que o método da adição é especialmente conveniente nesse sistema.

5. Os ingressos para uma apresentação

Em uma apresentação cultural organizada por uma escola, foram vendidos ingressos para adultos e estudantes. Ao todo, 180 pessoas participaram do evento.

O ingresso de adulto custava R 20,00, enquanto o ingresso de estudante custava R 12,00. A arrecadação total foi de R 2.640,00.

Considere \(x\) o número de adultos e \(y\) o número de estudantes.

1. Escreva a equação correspondente ao número total de participantes.
2. Escreva a equação correspondente à arrecadação.
3. Forme o sistema.
4. Resolva-o utilizando o método que considerar mais adequado.
5. Quantos adultos e quantos estudantes participaram?
6. Calcule a arrecadação proveniente de cada grupo.
7. Verifique se a soma corresponde aos R 2.640,00 informados.

6. As idades de dois irmãos

Pedro e Lucas são irmãos. A soma de suas idades é 34 anos. Pedro é 6 anos mais velho que Lucas.

Considere \(x\) a idade de Pedro e \(y\) a idade de Lucas.

1. Escreva uma equação que represente a soma das idades.
2. Escreva uma equação que represente a diferença entre elas.
3. Forme o sistema.
4. Resolva-o.
5. Qual é a idade de cada irmão?
6. Verifique se os valores encontrados satisfazem simultaneamente as duas informações do problema.
7. Explique por que apenas saber que a soma é 34 não seria suficiente para determinar as duas idades.

7. Bicicletas e triciclos

Em um espaço recreativo há bicicletas e triciclos. Um funcionário contou 26 veículos e verificou que havia 62 rodas no total.

Considere \(x\) o número de bicicletas e \(y\) o número de triciclos.

1. Qual equação representa a quantidade total de veículos?
2. Sabendo que uma bicicleta possui 2 rodas e um triciclo possui 3, escreva a segunda equação.
3. Forme o sistema.
4. Resolva-o.
5. Quantas bicicletas e quantos triciclos existem?
6. Verifique o número total de rodas utilizando a resposta encontrada.
7. Explique por que contar somente os veículos não permitiria descobrir quantos são de cada tipo.

8. Duas compras na cantina

Em uma cantina escolar, todos os sanduíches possuem o mesmo preço e todos os sucos também possuem um preço único.

Uma estudante comprou 2 sanduíches e 3 sucos, pagando R 27,00. Outro estudante comprou 3 sanduíches e 2 sucos, pagando R 28,00.

Considere \(x\) o preço de um sanduíche e \(y\) o preço de um suco.

1. Escreva uma equação para a primeira compra.
2. Escreva uma equação para a segunda compra.
3. Forme o sistema.
4. Resolva-o.
5. Qual é o preço de cada produto?
6. Verifique os valores reproduzindo as duas compras.
7. Explique por que conhecer apenas o valor de uma das compras não seria suficiente para determinar os dois preços.

9. Escolhendo o método mais conveniente

Sistema A:

\(x+y=14\)
\(x-y=2\)

Sistema B:

\(y=2x+1\)
\(3x+y=16\)

1. Qual método parece mais direto para o Sistema A: substituição ou adição? Justifique.
2. Resolva o Sistema A.
3. Qual método parece mais direto para o Sistema B? Justifique.
4. Resolva o Sistema B.
5. Verifique as duas soluções.
6. Explique por que escolher adequadamente o método pode reduzir a quantidade de cálculos.

10. Um erro no método da adição

Carlos precisava resolver:

\(3x+2y=18\)
\(x+2y=10\)

Ele decidiu subtrair a segunda equação da primeira, mas escreveu:

\(3x-x+2y-2y=18+10\)

1. Identifique o erro cometido por Carlos.
2. Ao subtrair a segunda equação da primeira, qual operação deve ser realizada com os termos independentes?
3. Faça corretamente a subtração das equações.
4. Determine \(x\).
5. Determine \(y\).
6. Verifique a solução nas duas equações originais.
7. Explique por que as operações realizadas nos membros esquerdos precisam corresponder às realizadas nos membros direitos.

11. Camisetas para um evento

Para uma mostra escolar, foram encomendadas camisetas de dois tamanhos. As camisetas menores custaram R 25,00 cada e as maiores, R 30,00 cada.

Foram compradas 40 camisetas, com gasto total de R 1.100,00.

1. Escreva a equação que representa a quantidade total de camisetas.
2. Escreva a equação correspondente ao valor total.
3. Forme o sistema.
4. Resolva-o.
5. Quantas camisetas de cada tipo foram compradas?
6. Determine o valor gasto com cada tamanho.
7. Confirme a quantidade e o custo total informados no enunciado.

12. Comparando dois serviços de transporte

A Empresa A cobra uma taxa fixa de R 180,00 mais R 6,00 por quilômetro percorrido.

A Empresa B cobra uma taxa fixa de R 300,00 mais R 4,00 por quilômetro.

Considere \(x\) a distância, em quilômetros, e \(y\) o custo total, em reais.

1. Escreva uma equação para representar o custo da Empresa A.
2. Faça o mesmo para a Empresa B.
3. Forme um sistema utilizando \(x\) e \(y\).
4. Determine a distância para a qual os preços são iguais.
5. Qual será o valor cobrado nessa distância?
6. Verifique a resposta nas duas expressões.
7. Para uma viagem de 30 km, qual empresa seria mais econômica?
8. E para uma viagem de 100 km? Explique por que a resposta muda.

13. A interpretação gráfica de um sistema

Considere:

\(y=x+2\)
\(y=-x+8\)

1. Resolva o sistema formado pelas duas equações.
2. Determine as coordenadas do ponto de encontro das retas.
3. Substitua essas coordenadas nas duas equações.
4. Por que o ponto de interseção representa a solução do sistema?
5. O que aconteceria graficamente se duas retas paralelas distintas representassem um sistema?
6. E se as duas equações representassem exatamente a mesma reta?

14. Um sistema sem solução

\(2x+y=8\)
\(4x+2y=20\)

1. Continue a análise pelo método da adição ou substituição.
2. Que igualdade impossível aparece durante a resolução?
3. Existe algum par \((x,y)\) que satisfaça simultaneamente as duas equações?
4. Como esse sistema deve ser classificado quanto ao número de soluções?
5. Como seriam as retas correspondentes no plano cartesiano?
6. Explique por que duas equações, mesmo envolvendo as mesmas incógnitas, nem sempre possuem uma solução comum.

15. Quando existem infinitas soluções

\(x+2y=6\)
\(2x+4y=12\)

1. O que acontece ao tentar eliminar uma das incógnitas pelo método da adição?
2. Que igualdade verdadeira aparece?
3. Teste o par \((2,2)\) nas duas equações.
4. Encontre outro par que também satisfaça as duas equações.
5. O sistema possui uma única solução?
6. Como deve ser classificado?
7. Como as duas equações seriam representadas geometricamente?
8. Explique por que todos os pontos de uma das retas também pertencem à outra.

16. Notas de R 10 e R 20

Para organizar o caixa de uma atividade escolar, um professor separou 35 cédulas, algumas de R 10,00 e outras de R 20,00. Juntas, elas totalizavam R 500,00.

1. Escreva uma equação para representar o número total de cédulas.
2. Escreva outra para representar o valor total.
3. Forme o sistema.
4. Resolva-o.
5. Quantas cédulas de cada valor havia?
6. Quanto dinheiro correspondia às notas de R 10,00? E às de R 20,00?
7. Verifique se os valores encontrados produzem simultaneamente 35 cédulas e R 500,00.

17. Produção de dois tipos de kits

O kit A utiliza 2 cadernos e 3 lápis. O kit B utiliza 4 cadernos e 1 lápis. Foram utilizados exatamente 52 cadernos e 38 lápis.

Considere \(x\) o número de kits A e \(y\) o número de kits B.

1. Escreva uma equação considerando a quantidade de cadernos.
2. Escreva outra considerando a quantidade de lápis.
3. Forme o sistema correspondente.
4. Resolva o sistema.
5. Quantos kits de cada tipo foram produzidos?
6. Utilize a resposta para conferir a quantidade de cadernos.
7. Faça a mesma verificação com os lápis.
8. Explique por que cada tipo de material fornece uma condição diferente para o mesmo problema.

18. Planejando uma alimentação coletiva

A refeição A utiliza 2 porções de um ingrediente e 1 porção de outro, enquanto a refeição B utiliza 1 porção do primeiro ingrediente e 2 do segundo. Foram disponibilizadas 45 porções do primeiro ingrediente e 48 do segundo.

1. Escreva a equação referente ao primeiro ingrediente.
2. Escreva a equação referente ao segundo.
3. Forme o sistema.
4. Resolva-o.
5. Quantas refeições de cada tipo podem ser preparadas?
6. Quantas refeições serão produzidas ao todo?
7. Verifique se todas as 45 porções do primeiro ingrediente serão utilizadas.
8. Faça a mesma verificação para as 48 porções do segundo ingrediente.

19. Interpretando antes de calcular

Uma escola vendeu dois tipos de cartões para arrecadar recursos. O cartão comum custava R 8,00 e o cartão especial custava R 15,00.

Foram vendidos 120 cartões, com arrecadação de R 1.359,00.

1. Calcule quanto seria arrecadado se os 120 cartões fossem todos comuns.
2. Calcule quanto seria arrecadado se fossem todos especiais.
3. A observação inicial do estudante é coerente? Justifique.
4. Escreva o sistema que representa a situação.
5. Resolva-o.
6. Quantos cartões de cada tipo foram vendidos?
7. Verifique a arrecadação total.
8. Explique por que analisar a plausibilidade dos dados antes dos cálculos pode ajudar a identificar erros posteriormente.

20. Desafio final - organização de uma mostra científica

Para uma mostra científica, a escola disponibilizou dois tipos de espaço: estandes simples e estandes ampliados.

Cada estande simples comporta 4 estudantes, enquanto cada estande ampliado comporta 6 estudantes. Ao todo, foram montados 28 estandes, capazes de acomodar exatamente 136 estudantes.

Cada estande simples custa R 150,00 para ser montado, e cada estande ampliado custa R 220,00.

1. Escreva uma equação que represente a quantidade total de estandes.
2. Escreva outra equação considerando a capacidade total de estudantes.
3. Forme o sistema correspondente.
4. Resolva o sistema pelo método que considerar mais conveniente.
5. Quantos estandes simples foram montados?
6. Quantos estandes ampliados foram montados?
7. Verifique se a quantidade total de estandes é 28.
8. Verifique se eles acomodam exatamente 136 estudantes.
9. Calcule o custo total dos estandes simples.
10. Calcule o custo total dos estandes ampliados.
11. Determine o custo total da estrutura.
12. Explique por que o sistema de equações permite resolver simultaneamente duas condições que precisam ser satisfeitas pelo planejamento.

Gabarito

1. a) Uma única equação com duas incógnitas admite vários pares possíveis. b) Exemplos: \((10,8)\), \((12,6)\) e \((15,3)\). c) Somando as equações: \(2x=22\), então \(x=11\); \(y=7\). d) \(x=11\) e \(y=7\). e) \(11+7=18\) e \(11-7=4\). f) O par precisa satisfazer simultaneamente as duas condições.

2. a) \(x+y=30\). b) \(2x+4y=84\). c) Sistema formado pelas duas equações. d) \(y=12\) e \(x=18\). e) 18 lápis e 12 canetas. f) Lápis: R 36,00; canetas: R 48,00; total: R 84,00.

3. a) \(2x+(17-x)=25\). b) \(x=8\). c) \(y=9\). d) \((8,9)\). e) \(8+9=17\) e \(2(8)+9=25\). f) Como \(y\) é igual a \(17-x\), uma expressão pode substituir a outra.

4. a) \(5x=35\). b) \(y\). c) \(x=7\). d) \(y=5\). e) \(14+5=19\) e \(21-5=16\). f) Os termos \(+y\) e \(-y\) se anulam diretamente.

5. a) \(x+y=180\). b) \(20x+12y=2640\). c) Sistema formado pelas duas equações. d) \(x=60\) e \(y=120\). e) 60 adultos e 120 estudantes. f) Adultos: R 1.200,00; estudantes: R 1.440,00. g) Total: R 2.640,00.

6. a) \(x+y=34\). b) \(x-y=6\). c) Sistema formado pelas duas equações. d) \(x=20\) e \(y=14\). e) Pedro tem 20 anos e Lucas 14. f) \(20+14=34\) e \(20-14=6\). g) Muitos pares diferentes podem ter soma 34.

7. a) \(x+y=26\). b) \(2x+3y=62\). c) Sistema formado pelas duas equações. d) \(y=10\) e \(x=16\). e) 16 bicicletas e 10 triciclos. f) \(16\times2+10\times3=62\). g) A contagem total não distingue os dois tipos.

8. a) \(2x+3y=27\). b) \(3x+2y=28\). c) Sistema formado pelas duas equações. d) \(y=5\) e \(x=6\). e) Sanduíche: R 6,00; suco: R 5,00. f) \(2\times6+3\times5=27\) e \(3\times6+2\times5=28\). g) Uma única compra fornece apenas uma relação para dois preços desconhecidos.

9. a) Adição. b) \(x=8\) e \(y=6\). c) Substituição. d) \(x=3\) e \(y=7\). e) As duas soluções verificam os sistemas. f) A escolha adequada aproveita a estrutura do sistema.

10. a) Carlos somou 18 e 10 quando deveria subtrair. b) \(18-10\). c) \(2x=8\). d) \(x=4\). e) \(y=3\). f) \(3\times4+2\times3=18\) e \(4+2\times3=10\). g) A mesma combinação realizada nos primeiros membros deve ser realizada nos segundos.

11. a) \(x+y=40\). b) \(25x+30y=1100\). c) Sistema formado pelas duas equações. d) \(x=20\) e \(y=20\). e) 20 camisetas de cada tipo. f) R 500,00 nas menores e R 600,00 nas maiores. g) Total: R 1.100,00.

12. a) \(y=180+6x\). b) \(y=300+4x\). c) Sistema formado pelas duas equações. d) \(x=60\) km. e) R 540,00. f) As duas expressões resultam em 540. g) Para 30 km, A = R 360,00 e B = R 420,00. h) Para 100 km, A = R 780,00 e B = R 700,00.

13. a) \(x+2=-x+8\), então \(x=3\) e \(y=5\). b) \((3,5)\). c) \(5=3+2\) e \(5=-3+8\). d) O ponto pertence simultaneamente às duas retas. e) Não haveria ponto de interseção. f) As retas seriam coincidentes.

14. a) A primeira multiplicada por 2 gera \(4x+2y=16\), enquanto a segunda é \(4x+2y=20\). b) \(0=4\), ou \(16=20\). c) Não. d) Sistema impossível, sem solução. e) Retas paralelas distintas. f) As equações podem representar retas sem ponto em comum.

15. a) As incógnitas são eliminadas e resta uma identidade. b) \(0=0\). c) \((2,2)\) satisfaz ambas. d) Exemplo: \((6,0)\). e) Não. f) Sistema possível e indeterminado. g) As duas equações representam a mesma reta. h) A segunda é múltipla da primeira.

16. a) \(x+y=35\). b) \(10x+20y=500\). c) Sistema formado pelas duas equações. d) \(y=15\) e \(x=20\). e) 20 notas de R 10,00 e 15 notas de R 20,00. f) R 200,00 e R 300,00. g) Total: R 500,00.

17. a) \(2x+4y=52\). b) \(3x+y=38\). c) Sistema formado pelas duas equações. d) \(x=10\) e \(y=8\). e) 10 kits A e 8 kits B. f) \(2\times10+4\times8=52\). g) \(3\times10+8=38\). h) Cada material gera uma restrição própria.

18. a) \(2x+y=45\). b) \(x+2y=48\). c) Sistema formado pelas duas equações. d) \(x=14\) e \(y=17\). e) 14 refeições A e 17 refeições B. f) 31 refeições. g) \(2\times14+17=45\). h) \(14+2\times17=48\).

19. a) R 960,00. b) R 1.800,00. c) Sim. d) \(x+y=120\) e \(8x+15y=1359\). e) \(x=63\) e \(y=57\). f) 63 cartões comuns e 57 especiais. g) \(63\times8+57\times15=1359\), ou R 1.359,00. h) A estimativa inicial ajuda a verificar a plausibilidade da solução.

20. a) \(x+y=28\). b) \(4x+6y=136\). c) Sistema formado pelas duas equações. d) \(x=16\) e \(y=12\). e) 16 estandes simples. f) 12 estandes ampliados. g) \(16+12=28\). h) \(4\times16+6\times12=136\). i) R 2.400,00. j) R 2.640,00. k) R 5.040,00. l) O sistema reúne simultaneamente as duas condições do planejamento.

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