1. O crescimento de uma cultura de bactérias
Em um experimento realizado no laboratório de uma escola, uma cultura começou com uma bactéria. Em condições controladas, verificou-se que a quantidade de bactérias dobrava a cada etapa de reprodução. Assim, após a primeira etapa havia 2 bactérias; depois da segunda, 4; depois da terceira, 8.
- Quantas bactérias haverá após 6 etapas, mantendo-se esse padrão?
- Represente essa quantidade utilizando uma potência de base 2.
- Explique o significado da base e do expoente nessa situação.
2. Organizando um arquivo digital
Uma professora organizou os arquivos de um projeto em pastas. Cada pasta principal contém 5 subpastas e cada subpasta contém 5 arquivos. Para facilitar uma ampliação futura, ela pretende manter sempre essa organização baseada em grupos de cinco.
- Quantos arquivos existem em uma pasta principal?
- Represente esse número por meio de uma potência.
- Se cada uma das 5 pastas principais tiver a mesma organização, quantos arquivos existirão ao todo? Represente também por meio de uma potência.
3. Entendendo uma potência
Durante uma atividade, três estudantes deveriam calcular \(3^4\).
Lucas: \(3^4=3\times4=12\)
Marina: \(3^4=3+3+3+3=12\)
Caio: \(3^4=3\times3\times3\times3=81\)
- Quem resolveu corretamente?
- Explique o erro cometido pelos outros estudantes.
- Em \(3^4\), o que representam o número 3 e o número 4?
4. Potências no armazenamento de dados
Em computação, algumas capacidades podem ser descritas utilizando potências de 2. Considere, de maneira simplificada, um dispositivo que organiza informações em blocos de \(2^{10}\) unidades.
Um estudante afirmou que \(2^{10}=20\), porque multiplicou a base pelo expoente.
- Calcule corretamente \(2^{10}\).
- Explique por que \(2\times10\) não representa o cálculo da potência.
- Quantas vezes o fator 2 aparece na multiplicação correspondente?
5. Um padrão de quadrados
Uma empresa produz placas quadradas. Um modelo possui lado de 3 cm, outro de 5 cm e outro de 10 cm. Para calcular a área de cada placa, o setor técnico utiliza o quadrado da medida do lado.
- Escreva as áreas na forma de potência.
- Calcule a área de cada placa.
- Se o lado de uma placa passar de 5 cm para 10 cm, ele dobra. A área também dobra? Explique utilizando os resultados.
6. Multiplicando potências de mesma base
Durante uma atividade de programação, uma quantidade foi representada pelo produto \(2^3\cdot2^5\). Pedro sugeriu calcular separadamente as duas potências. Júlia afirmou que poderia utilizar uma propriedade da potenciação antes de efetuar o cálculo.
- Que propriedade Júlia pode utilizar?
- Escreva o produto como uma única potência.
- Calcule o resultado.
- Explique por que os expoentes são somados nessa situação.
7. Dividindo potências
Um sistema eletrônico compara duas quantidades representadas por \(10^8\) e \(10^3\). Para descobrir quantas vezes a primeira é maior que a segunda, calcula-se \(10^8\div10^3\).
- Simplifique utilizando uma propriedade das potências.
- Calcule o resultado.
- Interprete o resultado: quantas vezes a primeira quantidade é maior?
8. Potência de potência
Em uma simulação matemática apareceu a expressão \((2^3)^4\).
Estudante A: \(2^{3+4}=2^7\)
Estudante B: \(2^{3\cdot4}=2^{12}\)
- Qual estudante aplicou corretamente a propriedade?
- Explique por que os expoentes devem ser multiplicados.
- Calcule o valor da expressão.
9. Expoente zero e expoente negativo
Durante uma aula, o professor escreveu: \(5^2,\ 5^1,\ 5^0,\ 5^{-1},\ 5^{-2}\). Ele pediu aos estudantes que observassem o que acontece quando o expoente diminui uma unidade.
- Calcule cada potência.
- Que padrão pode ser percebido de uma potência para a seguinte?
- A partir desse padrão, explique por que \(5^0=1\).
- Escreva \(5^{-2}\) na forma de fração.
10. A praça quadrada
Uma praça possui formato quadrado e área de 1.296 m². A administração municipal precisa descobrir a medida de cada lado para calcular a quantidade de material necessária para instalar uma proteção em suas bordas.
- Que operação permite descobrir a medida do lado?
- Determine essa medida.
- Explique a relação existente entre elevar um número ao quadrado e calcular sua raiz quadrada.
11. Descobrindo dimensões
Uma empresa fabrica pisos quadrados. Três modelos possuem áreas de 64 cm², 144 cm² e 225 cm².
Sem utilizar uma régua, determine:
- a medida do lado de cada modelo;
- qual modelo possui o maior lado;
- por que a raiz quadrada permite encontrar essas medidas.
12. Quando a raiz não é inteira
Um jardim quadrado possui área de 50 m². O responsável pelo projeto afirmou que cada lado mede 7 m porque \(7^2=49\). Outro profissional discordou e disse que a medida deveria ser um pouco maior que 7 m.
- Quem está correto?
- Entre quais dois números inteiros está \(\sqrt{50}\)?
- Utilizando \(\sqrt{50}\approx7,07\), dê uma aproximação para o lado.
- Explique por que escrever \(\sqrt{50}=7\) produziria uma informação incorreta no projeto.
13. Potenciação e radiciação como operações relacionadas
Considere \(4^3=64\). A partir dessa igualdade, um estudante escreveu \(\sqrt[3]{64}=4\).
- As duas igualdades estão corretas?
- Explique a relação entre elas.
-
Complete:
\(5^3=125 \Rightarrow \sqrt[3]{125}=\_\_\_\_\)
\(10^2=100 \Rightarrow \sqrt{100}=\_\_\_\_\)
14. Expoente fracionário
Em um software matemático, a expressão \(81^{1/2}\) apareceu no lugar de \(\sqrt{81}\). Um estudante pensou que deveria calcular \(81\div2\).
- Essa interpretação está correta?
- Calcule \(81^{1/2}\).
- Escreva \(\sqrt[3]{64}\) utilizando expoente fracionário.
- Calcule \(64^{1/3}\).
15. Distâncias astronômicas
As distâncias no espaço podem envolver números muito grandes. Considere, para esta atividade, uma distância aproximada de 150.000.000 km entre dois corpos celestes.
- Escreva esse número em notação científica.
- Explique por que \(15\times10^7\), embora represente a mesma quantidade, não está na forma convencional da notação científica.
- Quantas casas a vírgula precisa ser deslocada para transformar 150.000.000 em 1,5?
16. O universo microscópico
A espessura aproximada de determinada estrutura microscópica foi registrada como 0,0000042 m. Um relatório científico precisa apresentar essa medida em notação científica.
- Escreva a medida em notação científica.
- O expoente de 10 será positivo ou negativo?
- Explique o que o sinal do expoente informa sobre a ordem de grandeza do número.
17. Comparando escalas muito diferentes
Um equipamento trabalha com duas medidas: \(A=3,2\times10^6\) e \(B=8\times10^3\). Um técnico afirmou que não seria necessário escrever os números por extenso para descobrir qual deles é maior.
- Qual medida é maior?
- Escreva ambas na forma decimal usual.
- Calcule quantas vezes \(A\) é maior que \(B\).
- Explique como os expoentes ajudam a fazer uma comparação inicial entre números escritos em notação científica.
18. O erro no relatório científico
Quatro estudantes converteram o número 0,00072 para notação científica:
Ana: \(72\times10^{-5}\)
Bruno: \(7,2\times10^{-4}\)
Carlos: \(0,72\times10^{-3}\)
Daniel: \(7,2\times10^4\)
- Qual deles escreveu corretamente o número na forma convencional da notação científica?
- As expressões de Ana e Carlos representam ou não o mesmo valor de 0,00072?
- Por que elas não estão na forma convencional da notação científica?
- Explique o erro de Daniel.
19. A quantidade de células em uma pesquisa
Em uma pesquisa, uma amostra A continha aproximadamente \(2,5\times10^6\) células, enquanto uma amostra B continha \(4\times10^5\). Depois de determinado procedimento, a quantidade de células da amostra B foi multiplicada por \(10^2\).
- Quantas células aproximadamente havia inicialmente em cada amostra?
- Escreva a nova quantidade da amostra B em notação científica.
- Após o procedimento, qual amostra passou a ter a maior quantidade?
- Quantas vezes a nova quantidade de B é maior que a quantidade de A?
20. Desafio final - da escala microscópica à astronômica
Uma equipe de estudantes preparou um painel para uma feira de Ciências. Nele aparecem três informações:
• uma distância espacial: \(4,5\times10^8\) km;
• o diâmetro de uma estrutura microscópica: \(3\times10^{-6}\) m;
• a área de uma placa quadrada usada na montagem: 400 cm².
Durante a apresentação, os estudantes precisam explicar não apenas os cálculos, mas por que diferentes representações numéricas são adequadas em cada situação.
- Escreva a distância espacial na forma decimal usual.
- Escreva o diâmetro microscópico na forma decimal usual.
- Determine o lado da placa quadrada.
- Qual operação foi utilizada no item c e como ela se relaciona com a potenciação?
- Explique por que a notação científica é especialmente útil para representar as duas primeiras medidas.
- Um visitante afirmou que um expoente negativo em \(3\times10^{-6}\) significa que a medida é negativa. Explique por que essa interpretação está errada.