MatemáticaFC
Atividade - 9º ano
Função afim e função quadrática
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Orientação: Resolva as situações relacionando expressão algébrica, tabela e gráfico. Nas funções afins, interprete os coeficientes e o zero. Nas funções quadráticas, analise concavidade, zeros, vértice, eixo de simetria e valores máximos ou mínimos.

1. Corrida por aplicativo

Uma corrida custa R$ 8,00 de taxa inicial mais R$ 3,50 por quilômetro.

  1. Escreva \(C(x)\).
  2. Identifique os coeficientes a e b e interprete-os.
  3. Calcule o custo de 12 km.
  4. A função é crescente ou decrescente? Justifique pelo sinal de a.

2. Tanque esvaziando

Um tanque contém 1.000 L e perde 25 L por minuto.

  1. Escreva \(V(t)\).
  2. Identifique a e b.
  3. Determine \(V(16)\).
  4. Encontre o zero da função e interprete-o.
  5. Explique por que a função é decrescente.

3. Salário com comissão

Um vendedor recebe R$ 1.500,00 fixos e R$ 25,00 por produto vendido.

  1. Escreva \(S(x)\).
  2. Calcule \(S(40)\).
  3. Qual é o significado do coeficiente linear?
  4. Quantos produtos devem ser vendidos para o salário atingir R$ 3.000,00?

4. Interpretando uma reta

Função afim: f(x) = 2x − 4 −2 0 2 4 6 −8 −4 0 4 8 x f(x)

Observe o gráfico de \(f(x)=2x-4\).

  1. Em que ponto a reta cruza o eixo y?
  2. Determine o zero da função.
  3. A função é crescente ou decrescente?
  4. Qual é o valor de \(f(4)\)?
  5. Relacione as respostas aos coeficientes a e b.

5. Temperatura em queda

A temperatura de uma substância é \(T(t)=80-4t\).

  1. Determine \(T(10)\).
  2. Encontre o instante em que \(T(t)=0\).
  3. Qual é a taxa de variação por minuto?
  4. Em qual intervalo de tempo, a partir de t = 0, a temperatura permanece positiva?

6. Comparando dois planos

O plano A custa \(A(x)=40+6x\) e o plano B custa \(B(x)=70+3x\).

  1. Calcule os dois custos para x = 5.
  2. Determine x quando os planos têm o mesmo custo.
  3. Qual plano é mais barato para x = 4?
  4. E para x = 15?
  5. Explique o significado do encontro das retas.

7. Produção de camisetas

O custo de produção é \(C(x)=18x+360\).

  1. Qual é o custo fixo?
  2. Qual é o custo adicional por camiseta?
  3. Calcule \(C(30)\).
  4. Se o custo total foi R$ 1.260,00, quantas camisetas foram produzidas?

8. Estudo do sinal da função afim

Considere \(f(x)=5x-20\).

  1. Determine o zero.
  2. Para x < 4, qual é o sinal de \(f(x)\)?
  3. Para x > 4, qual é o sinal?
  4. Interprete graficamente o que ocorre em x = 4.

9. Trajetória de uma bola

A altura de uma bola é \(h(t)=-t^2+6t\).

  1. Identifique a, b e c.
  2. Determine os zeros.
  3. Calcule o instante do vértice.
  4. Determine a altura máxima.
  5. Interprete zeros e vértice.

10. Analisando uma parábola

Parábola com ponto de máximo −1 0 1 2 3 4 5 6 7 x f(x)

Observe o gráfico.

  1. Qual é a concavidade?
  2. Qual é a coordenada x do vértice?
  3. Qual é o valor máximo?
  4. Qual é o eixo de simetria?
  5. Por que o vértice representa máximo?

11. Lucro de uma atividade

O lucro, em centenas de reais, é \(L(x)=-x^2+12x-20\).

  1. Determine a concavidade.
  2. Calcule \(x_v\).
  3. Determine \(L(x_v)\).
  4. O vértice representa máximo ou mínimo?
  5. Qual é o lucro máximo em reais?

12. Área máxima de um terreno

Área A(x) = −x² + 20x 0 5 10 15 20 0 20 40 60 80 100 x (m) Área (m²)

Um retângulo tem perímetro de 40 m. Se um lado mede x, o outro mede 20 − x.

  1. Escreva \(A(x)\) na forma quadrática.
  2. Determine \(x_v\).
  3. Calcule a área máxima.
  4. Quais são as dimensões de área máxima?
  5. Use o gráfico para confirmar.

13. Zeros e discriminante

Considere \(f(x)=x^2-5x+6\).

  1. Resolva \(f(x)=0\).
  2. Determine os pontos de encontro com o eixo x.
  3. Calcule Δ.
  4. Relacione Δ à quantidade de zeros reais.

14. Uma raiz dupla

Considere \(f(x)=x^2-8x+16\).

  1. Calcule Δ.
  2. Quantos zeros reais existem?
  3. Determine o zero.
  4. Encontre o vértice.
  5. Explique a relação entre vértice e eixo x.

15. Sem zeros reais

Considere \(f(x)=x^2+4\).

  1. Determine a concavidade.
  2. Calcule Δ.
  3. A função possui zeros reais?
  4. Determine o vértice.
  5. Explique por que o gráfico não cruza o eixo x.

16. Eixo de simetria

Considere \(f(x)=x^2-6x+5\).

  1. Determine \(x_v\).
  2. Escreva o eixo de simetria.
  3. Calcule \(f(2)\) e \(f(4)\).
  4. Explique por que são iguais.
  5. Determine o vértice completo.

17. Reta ou parábola?

Reta e parábola −3 −2 −1 0 1 2 4 y = x + 1 y = x² − 2

Observe os dois gráficos.

  1. Qual representa função afim?
  2. Qual representa função quadrática?
  3. Que característica visual permite diferenciá-los?
  4. Qual pode apresentar máximo ou mínimo?
  5. Por que uma reta não possui vértice?

18. Estudo do sinal da função quadrática

Considere \(f(x)=x^2-5x+6\), com zeros 2 e 3.

  1. Qual é a concavidade?
  2. Qual é o sinal para x < 2?
  3. Para \(2<x<3\)?
  4. Para x > 3?
  5. Calcule \(f(2,5)\) para confirmar.

19. Lançamento vertical

A altura de um objeto é \(h(t)=-5t^2+20t+1\).

  1. Determine o instante de altura máxima.
  2. Calcule essa altura.
  3. Explique por que a < 0 indica máximo.
  4. Qual é o eixo de simetria nesse contexto?

20. Desafio final — analisando dois modelos

Uma empresa possui custo \(C(x)=30x+200\) e receita \(R(x)=-2x^2+80x\).

  1. Identifique qual função é afim e qual é quadrática.
  2. Para \(C(x)\), identifique a e b e calcule \(C(15)\).
  3. Determine o zero de \(C(x)\) e diga se faz sentido para produção não negativa.
  4. Para \(R(x)\), determine concavidade e \(x_v\).
  5. Calcule o valor máximo de \(R(x)\).
  6. Determine os zeros de \(R(x)\).
  7. Compare os gráficos esperados.
  8. Explique uma informação que o vértice fornece no modelo quadrático.
Gabarito

1. \(C(x)=3,5x+8\); a = 3,5 e b = 8; \(C(12)=\) R$ 50,00; crescente.

2. \(V(t)=1000-25t\); a = −25 e b = 1000; \(V(16)=600\) L; zero em 40 min; decrescente.

3. \(S(x)=1500+25x\); \(S(40)=\) R$ 2.500,00; b é o salário fixo; 60 produtos.

4. (0,−4); zero x = 2; crescente; \(f(4)=4\); a = 2 e b = −4.

5. \(T(10)=40\) °C; zero em 20 min; taxa −4 °C/min; positiva para \(0\le t<20\).

6. \(A(5)=70\) e \(B(5)=85\); igualdade em x = 10; para x = 4, A; para x = 15, B; encontro = mesmo custo.

7. R$ 360,00; R$ 18,00 por camiseta; \(C(30)=\) R$ 900,00; 50 camisetas.

8. Zero 4; negativa para x < 4; positiva para x > 4; em x = 4 cruza o eixo x.

9. a = −1, b = 6, c = 0; zeros 0 e 6; \(t_v=3\); máximo 9 m; lançamento, retorno e ponto mais alto.

10. Concavidade para baixo; \(x_v=3\); máximo 16; eixo x = 3; a < 0.

11. Para baixo; \(x_v=6\); \(L(6)=16\) centenas; máximo; R$ 1.600,00.

12. \(A(x)=-x^2+20x\); \(x_v=10\); máximo 100 m²; 10 m × 10 m.

13. Zeros 2 e 3; (2,0) e (3,0); \(\Delta=1>0\); dois zeros reais.

14. \(\Delta=0\); um zero real duplo; x = 4; V = (4,0); vértice toca o eixo x.

15. Para cima; \(\Delta=-16\); sem zeros reais; V = (0,4); parábola acima do eixo x.

16. \(x_v=3\); eixo x = 3; \(f(2)=f(4)=-3\); pontos simétricos; V = (3,−4).

17. \(y=x+1\) é afim; \(y=x^2-2\) é quadrática; reta versus parábola; a quadrática; reta não possui vértice.

18. Para cima; positiva; negativa; positiva; \(f(2,5)=-0,25\).

19. \(t_v=2\) s; \(h(2)=21\) m; a < 0 produz concavidade para baixo; eixo t = 2.

20. C é afim e R é quadrática; \(C(15)=\) R$ 650,00; zero de C = \(-20/3\), sem sentido para produção não negativa; R: concavidade para baixo, \(x_v=20\), máximo 800, zeros 0 e 40; reta e parábola; vértice indica o máximo.

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