Conceitos fundamentais de Matemática Financeira e juros simples
Para compreender essas situações, é necessário identificar corretamente os valores envolvidos, a taxa utilizada e o período de tempo considerado. Nesta postagem, vamos conhecer os principais conceitos da Matemática Financeira e estudar o regime de juros simples.
1. O que é Matemática Financeira?
Quando uma quantia de dinheiro é aplicada, emprestada ou utilizada em uma operação financeira, seu valor pode se modificar com o passar do tempo.
Imagine que uma pessoa empreste R$ 1.000,00 e, depois de determinado período, devolva R$ 1.100,00. Os R$ 100,00 acrescentados ao valor inicial correspondem aos juros da operação.
A Matemática Financeira permite estudar como esses valores são calculados e como dependem de fatores como:
- valor inicial;
- taxa de juros;
- tempo da operação;
- regime de juros utilizado.
Antes de realizar os cálculos, precisamos conhecer alguns termos.
2. Conceitos fundamentais
Capital
O capital é o valor inicial de uma operação financeira. Geralmente é representado pela letra C.
Se uma pessoa aplica R$ 2.000,00, então:
Juros
Os juros representam o valor acrescentado ao capital em razão do tempo e das condições estabelecidas na operação. Costumam ser representados pela letra J.
Se uma aplicação de R$ 2.000,00 gera R$ 120,00 de juros:
Taxa de juros
A taxa de juros indica a porcentagem utilizada no cálculo dos juros em determinado período. Geralmente é representada pela letra i.
Por exemplo:
Isso significa que a taxa considerada para cada período mensal é de 2%.
Nos cálculos, normalmente transformamos a porcentagem em número decimal:
Tempo
O tempo, que nesta postagem representaremos por t, indica durante quantos períodos a operação financeira acontece.
Esses períodos precisam estar relacionados à unidade indicada pela taxa.
Por exemplo, se:
e a operação dura 5 meses, então:
Montante
O montante é o valor total obtido ao final da operação. É representado pela letra M.
Ele corresponde à soma do capital com os juros:
Uma pessoa investiu R$ 1.500,00 e, ao final de determinado período, recebeu R$ 1.620,00.
Vamos identificar o capital, o montante e os juros.
O valor inicialmente investido foi:
O valor recebido ao final foi:
Como:
podemos determinar os juros calculando a diferença entre o montante e o capital:
Portanto, os juros obtidos foram de R$ 120,00.
Observe a diferença entre os conceitos: os R$ 1.500,00 correspondem ao dinheiro inicialmente aplicado; os R$ 120,00 correspondem ao acréscimo obtido; e os R$ 1.620,00 representam o valor total ao final da operação.
Pratique
Ver respostas
1. C = R$ 3.000,00 e M = R$ 3.240,00.
Portanto, J = R$ 240,00.
2. Utilizamos M = C + J.
O montante é R$ 4.860,00.
3. Como M = C + J:
O capital inicial era de R$ 5.000,00.
3. Taxa de juros e período de tempo
A taxa de juros sempre está associada a uma unidade de tempo. Essa informação é fundamental.
Compare:
Embora a porcentagem seja a mesma, as duas taxas não representam a mesma situação. Na primeira, os 2% estão associados a cada mês; na segunda, a cada ano.
Por isso, antes de utilizar uma taxa em um cálculo financeiro, precisamos verificar se a unidade de tempo da taxa corresponde à unidade utilizada para contar os períodos.
Uma operação utiliza uma taxa de 1,5% ao mês e dura 8 meses.
Como a taxa é mensal e o tempo já está expresso em meses, podemos considerar diretamente:
Para realizar posteriormente um cálculo envolvendo essa taxa, transformamos:
Considere uma operação com taxa de 12% ao ano e duração de 3 anos.
A taxa está expressa ao ano e o tempo também está em anos. Portanto:
Não é necessário alterar a unidade do tempo.
Pratique
Ver respostas
1. Como a taxa está expressa ao mês e o período já está em meses, t = 10.
2. A taxa decimal é 0,08 e, como o tempo está em anos, t = 4.
3. A taxa está em meses e o tempo foi informado em anos. Portanto, as unidades precisam ser compatibilizadas antes do cálculo. Como 2 anos correspondem a 24 meses, podemos trabalhar com a taxa mensal e considerar t = 24.
4. O que são juros simples?
No regime de juros simples, os juros de cada período são calculados sempre sobre o capital inicial.
Isso significa que, embora o montante aumente com o passar do tempo, a base utilizada para calcular os juros não muda.
Uma pessoa aplica R$ 1.000,00 a uma taxa de 2% ao mês, durante 3 meses, no regime de juros simples.
Primeiro, calculamos quanto corresponde a 2% do capital inicial.
Portanto, a cada mês são acrescentados R$ 20,00 de juros.
| Período | Capital usado no cálculo | Juros do período | Montante |
|---|---|---|---|
| Inicial | R$ 1.000,00 | — | R$ 1.000,00 |
| 1 mês | R$ 1.000,00 | R$ 20,00 | R$ 1.020,00 |
| 2 meses | R$ 1.000,00 | R$ 20,00 | R$ 1.040,00 |
| 3 meses | R$ 1.000,00 | R$ 20,00 | R$ 1.060,00 |
Mesmo depois de o montante chegar a R$ 1.020,00 no primeiro mês, os juros do segundo mês continuam sendo calculados sobre os R$ 1.000,00 iniciais.
Assim, os juros totais são R$ 60,00.
Portanto, ao final dos três meses, o valor acumulado será de R$ 1.060,00.
Construindo a fórmula dos juros simples
Em cada período, os juros são obtidos multiplicando o capital pela taxa:
Como esse mesmo valor é acrescentado durante t períodos:
em que:
- J = juros;
- C = capital;
- i = taxa de juros na forma decimal;
- t = número de períodos.
A fórmula representa a repetição, durante determinado número de períodos, dos juros calculados sobre o mesmo capital inicial.
Um capital de R$ 2.500,00 é aplicado a juros simples de 3% ao mês durante 4 meses. Qual será o valor dos juros?
Queremos determinar J.
Como a taxa está ao mês e o tempo está em meses, as unidades são compatíveis.
Isso significa que a aplicação produz R$ 75,00 de juros por mês.
Portanto, os juros produzidos durante os quatro meses serão de R$ 300,00.
Pratique
Ver respostas
1. C = 1.800, i = 0,02 e t = 5.
Portanto, os juros são R$ 180,00.
2. C = 4.000, i = 0,015 e t = 6.
Os juros serão de R$ 360,00.
3. A taxa está ao ano e o tempo também está em anos. Portanto, podemos utilizar t = 2 diretamente.
Os juros obtidos serão de R$ 600,00.
5. Calculando o montante nos juros simples
Nem sempre queremos descobrir apenas os juros. Muitas situações pedem o valor total ao final da operação. Esse valor é o montante.
Nos juros simples:
Podemos substituir a expressão dos juros na fórmula do montante:
Observe que C aparece nos dois termos. Colocando o capital em evidência:
Assim, temos duas maneiras equivalentes de calcular o montante:
Uma pessoa investe R$ 3.000,00 a juros simples de 2,5% ao mês durante 8 meses. Qual será o montante?
Primeiro calculamos os juros:
A aplicação produz R$ 600,00 de juros.
Agora calculamos o montante:
Ao final dos oito meses, a pessoa terá R$ 3.600,00.
Considere um capital de R$ 5.000,00, aplicado a juros simples de 1% ao mês durante 10 meses.
Podemos utilizar diretamente:
Portanto, o montante será de R$ 5.500,00.
O fator 1,10 também pode ser interpretado: o número 1 representa 100% do capital inicial e 0,10 representa o acréscimo total de 10%. Assim, ao final, o montante corresponde a 110% do capital inicial.
Pratique
Ver respostas
1.
Os juros são R$ 360,00 e o montante é R$ 2.360,00.
2.
O montante será de R$ 5.580,00.
3.
Portanto, a pessoa deverá pagar R$ 7.700,00.
6. Determinando capital, taxa ou tempo
A informação desconhecida pode ser o capital, a taxa de juros ou o tempo. Não precisamos memorizar uma fórmula diferente para cada caso. Podemos partir da relação:
e isolar a grandeza que queremos determinar.
6.1 Determinando o capital
Uma aplicação produziu R$ 720,00 de juros em 6 meses, utilizando juros simples de 2% ao mês. Qual era o capital aplicado?
Queremos determinar C.
Para isolar C, dividimos os dois lados por 0,12:
Portanto, o capital inicialmente aplicado era de R$ 6.000,00.
Podemos conferir:
Logo, o resultado está de acordo com os dados do problema.
6.2 Determinando a taxa de juros
Um capital de R$ 5.000,00 produziu R$ 600,00 de juros simples durante 8 meses. Qual foi a taxa mensal utilizada?
Queremos determinar i.
Para expressar o resultado como porcentagem:
Portanto, a taxa utilizada foi de 1,5% ao mês.
6.3 Determinando o tempo
Um capital de R$ 8.000,00 foi aplicado a juros simples de 2% ao mês e produziu R$ 960,00 de juros. Durante quantos meses o dinheiro permaneceu aplicado?
Queremos determinar t.
Como a taxa utilizada é mensal, o resultado representa períodos mensais. Portanto, o capital permaneceu aplicado durante 6 meses.
Pratique
Ver respostas
1.
O capital aplicado foi de R$ 6.000,00.
2.
3.
Como a taxa é mensal, a aplicação permaneceu por 6 meses.
7. Juros simples em situações-problema
Em muitas situações, o problema não informa diretamente qual fórmula deve ser utilizada. É necessário interpretar o contexto, identificar os dados e descobrir o que está sendo solicitado.
Uma estratégia útil é seguir esta sequência:
- Identificar o capital. Qual é o valor inicial?
- Identificar a taxa. Qual porcentagem é aplicada e a que período ela se refere?
- Identificar o tempo. Durante quantos períodos ocorre a operação?
- Identificar o que o problema solicita. Juros, montante, capital, taxa ou tempo?
Uma mensalidade de R$ 850,00 foi paga com 4 meses de atraso. O contrato estabelece juros simples de 1,5% ao mês sobre o valor devido. Desconsiderando outras cobranças, qual será o valor total pago?
O problema pergunta pelo valor total pago. Portanto, precisamos determinar o montante.
São cobrados R$ 12,75 de juros por mês.
Desconsiderando outras cobranças, o valor total pago será de R$ 901,00.
Uma pessoa precisa tomar emprestados R$ 5.000,00 durante 6 meses e recebe duas propostas, ambas no regime de juros simples:
Proposta A: taxa de 2% ao mês.
Proposta B: taxa de 1,6% ao mês.
Considerando apenas os juros informados, qual proposta resultará no menor valor a pagar e qual será a diferença entre os montantes?
Proposta A
Na proposta A, serão pagos R$ 5.600,00.
Proposta B
Na proposta B, serão pagos R$ 5.480,00.
A diferença entre os montantes é:
Considerando somente as condições apresentadas, a proposta B resulta no menor valor total, com uma diferença de R$ 120,00.
Pratique
Instituição A: 1,8% ao mês.
Instituição B: 2,1% ao mês.
Qual delas resulta no menor montante e qual é a diferença entre os valores finais?
Ver respostas
1.
O valor total será de R$ 1.272,00.
2.
Foram obtidos R$ 900,00 de juros e o montante foi de R$ 10.900,00.
3. Instituição A:
Instituição B:
A instituição A apresenta o menor montante, com uma diferença de R$ 120,00.
8. Crescimento do montante nos juros simples
Há uma característica importante dos juros simples: o montante cresce sempre pelo mesmo valor em cada período.
Considere novamente um capital de R$ 1.000,00, aplicado a 2% ao mês.
Portanto, são acrescentados R$ 20,00 em cada mês.
| Tempo | Montante |
|---|---|
| 0 mês | R$ 1.000,00 |
| 1 mês | R$ 1.020,00 |
| 2 meses | R$ 1.040,00 |
| 3 meses | R$ 1.060,00 |
| 4 meses | R$ 1.080,00 |
| 5 meses | R$ 1.100,00 |
Observe que o montante aumenta sempre R$ 20,00 quando avançamos um mês.
Podemos escrever:
Como C e i permanecem constantes em uma determinada operação, o montante varia de maneira linear em relação ao tempo.
O gráfico forma uma reta porque o aumento do montante é constante: R$ 20,00 a cada mês. Essa característica será importante quando compararmos os juros simples com os juros compostos.
Pratique
Considere um capital de R$ 2.000,00, aplicado a juros simples de 1% ao mês.
Ver respostas
1.
São produzidos R$ 20,00 de juros por mês.
2.
O montante será de R$ 2.080,00.
3. Os montantes são:
- após 1 mês: R$ 2.020,00;
- após 2 meses: R$ 2.040,00;
- após 3 meses: R$ 2.060,00.
O acréscimo é constante porque os juros de cada período são calculados sempre sobre o capital inicial de R$ 2.000,00. Assim, cada mês acrescenta os mesmos R$ 20,00.
9. Erros comuns em juros simples
Usar a porcentagem sem transformá-la adequadamente. Uma taxa de 3% corresponde a 0,03, e não a 3, quando utilizada diretamente na fórmula.
Misturar unidades de tempo. Se a taxa é mensal, o número de períodos utilizado com ela deve estar expresso em meses. Se a taxa é anual, devemos trabalhar de maneira compatível com anos.
Confundir juros com montante. O resultado de J = C · i · t corresponde somente aos juros. Para obter o total acumulado ou devido:
Calcular os juros seguintes sobre o montante acumulado. No regime de juros simples, a base de cálculo permanece sendo o capital inicial. Calcular juros sobre valores já acrescidos de juros corresponde a outra lógica, que será estudada nos juros compostos.
Comparar taxas sem observar o período. Uma taxa de 2% ao mês e uma taxa de 2% ao ano não representam a mesma condição financeira.
10. Revisão e aprofundamento
Uma pessoa aplicou R$ 4.000,00 e, depois de determinado período, recebeu R$ 4.560,00.
a) Qual foi o capital da operação?
b) Qual foi o montante?
c) Quanto foi recebido em juros?
Um capital de R$ 2.500,00 foi aplicado no regime de juros simples à taxa de 2% ao mês, durante 7 meses.
Determine:
a) os juros produzidos;
b) o montante ao final da aplicação.
Uma pessoa tomou emprestados R$ 6.000,00 por 8 meses. A instituição financeira cobra juros simples de 1,5% ao mês.
Desconsiderando outras cobranças, qual será o valor total a ser pago ao final do período?
Uma aplicação de R$ 8.000,00 produziu R$ 1.440,00 de juros simples durante 12 meses.
Qual foi a taxa mensal de juros dessa aplicação?
Um capital foi aplicado a juros simples de 2% ao mês durante 10 meses e produziu R$ 900,00 de juros.
Qual era o capital inicialmente aplicado?
Um investimento de R$ 5.000,00, realizado no regime de juros simples à taxa de 3% ao mês, produziu R$ 750,00 de juros.
Durante quantos meses o dinheiro permaneceu aplicado?
Uma empresa precisa tomar emprestados R$ 20.000,00 durante 6 meses. Duas instituições apresentam as seguintes propostas, ambas no regime de juros simples e sem considerar outras tarifas:
Instituição A: 1,4% ao mês.
Instituição B: 1,7% ao mês.
Determine o montante em cada proposta e a diferença entre os valores finais.
Uma dívida de R$ 1.600,00 permaneceu em atraso durante 5 meses. O contrato estabelece juros simples de 2,5% ao mês, sem outras cobranças.
Determine:
a) o valor dos juros pelo atraso;
b) o valor total da dívida após os cinco meses.
Um capital de R$ 3.000,00 foi aplicado a juros simples de 12% ao ano durante 2 anos e 6 meses.
Determine os juros e o montante ao final da aplicação.
Um investimento de R$ 10.000,00 está submetido a juros simples de 1% ao mês.
Sem calcular separadamente todos os meses, determine:
a) o montante depois de 5 meses;
b) o montante depois de 10 meses;
c) quanto o montante aumenta a cada mês;
d) explique por que o crescimento do montante é linear.