Medidas de posição e de dispersão

Uma escola pode divulgar que a média das notas de uma turma foi 7,0. Um hospital pode informar que o tempo mediano de espera foi de 28 minutos. Uma empresa pode comparar a variação dos prazos de entrega de duas unidades. Embora essas informações resumam conjuntos de dados, cada medida responde a uma pergunta diferente e pode conduzir a interpretações distintas.

Nesta postagem, estudaremos média aritmética, média ponderada, mediana, moda, quartis, amplitude, variância e desvio padrão. Mais do que calcular, aprenderemos a escolher a medida adequada, interpretar seu significado e reconhecer situações em que um único valor não representa satisfatoriamente o conjunto.

Habilidades da BNCC

EM13MAT316 — resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo e a interpretação de medidas de tendência central e de dispersão, utilizando recursos tecnológicos quando necessário.

EM13MAT202 — planejar e executar pesquisas amostrais, comunicando resultados por meio de medidas, tabelas e gráficos adequados à natureza dos dados.

1. Por que resumir um conjunto de dados?

Uma lista extensa pode conter informações importantes, mas sua leitura isolada dificulta comparações. As medidas estatísticas condensam características do conjunto: algumas indicam onde os dados se concentram, enquanto outras mostram quanto eles se afastam uns dos outros.

Tendência central

Média, mediana e moda procuram representar um valor central ou típico do conjunto.

Posição

Quartis e percentis indicam a posição relativa de um dado em uma distribuição ordenada.

Dispersão

Amplitude, variância e desvio padrão avaliam o espalhamento dos valores.

Atenção: nenhum resumo deve ser interpretado sem o contexto. Dois grupos podem possuir a mesma média e apresentar comportamentos muito diferentes. Por isso, medidas de posição e dispersão devem ser analisadas em conjunto.

2. Média aritmética simples

A média aritmética simples é obtida pela soma de todos os valores dividida pela quantidade de observações. Se os dados são \(x_1,x_2,\ldots,x_n\), a média é representada por \(\bar{x}\).

\(\bar{x}=\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}=\dfrac{\sum x_i}{n}\)
Exemplo 1 — Consumo diário de água

Durante cinco dias, uma residência registrou consumos de 480, 520, 450, 500 e 550 litros de água. O consumo médio diário foi:

\(\bar{x}=\dfrac{480+520+450+500+550}{5}=\dfrac{2500}{5}=500\) litros.

A média de 500 litros representa uma distribuição equilibrada do consumo total pelos cinco dias. Isso não significa, porém, que em todos os dias tenham sido consumidos exatamente 500 litros.

A média como ponto de equilíbrio

A média pode ser interpretada como o valor que equilibra os desvios positivos e negativos do conjunto. A soma das diferenças entre cada dado e a média é sempre zero.

450 480 média 500 520 550

No exemplo, os desvios em relação a 500 são \(-20\), \(20\), \(-50\), \(0\) e \(50\). A soma desses desvios é zero.

Influência de valores extremos

A média utiliza todos os valores e, por isso, pode ser fortemente alterada por observações muito altas ou muito baixas. Considere os salários, em milhares de reais, de cinco trabalhadores:

2 2 3 3 20

A média é \(30/5=6\) mil reais, valor superior ao salário de quatro dos cinco trabalhadores. Nesse caso, apresentar apenas a média pode criar uma impressão inadequada da remuneração típica.

3. Média aritmética ponderada

Quando os valores possuem importâncias ou frequências diferentes, utiliza-se a média ponderada. Cada valor é multiplicado por seu peso; depois, divide-se a soma dos produtos pela soma dos pesos.

\(\bar{x}_p=\dfrac{x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n}{p_1+p_2+\cdots+p_n}=\dfrac{\sum x_ip_i}{\sum p_i}\)
Exemplo 2 — Resultado trimestral

Em uma disciplina, a atividade escrita tem peso 2, o projeto tem peso 3 e a avaliação final tem peso 5. Um estudante obteve, respectivamente, notas 8,0, 7,0 e 6,0.

\(\bar{x}_p=\dfrac{8\cdot2+7\cdot3+6\cdot5}{2+3+5}=\dfrac{16+21+30}{10}=6{,}7\)

A avaliação final exerce maior influência porque possui o maior peso. Não se deve dividir por três, mas pela soma dos pesos, que é 10.

Média a partir de uma tabela de frequências

As frequências funcionam como pesos. Se uma família possui dois automóveis e essa resposta aparece oito vezes, o valor 2 deve ser considerado oito vezes no cálculo.

Número de livros lidos Frequência Produto
040
188
2612
326
Total2026

A média é \(26/20=1{,}3\) livro por estudante.

Pratique 1 — Médias

1. Os tempos, em minutos, de cinco atendimentos foram 18, 22, 25, 20 e 15. Determine o tempo médio.
2. A média de seis valores é 14. Cinco deles são 10, 12, 13, 15 e 18. Determine o sexto valor.
3. Um estudante obteve notas 7, 8 e 6 em avaliações com pesos 2, 3 e 5. Calcule a média ponderada.
4. Em uma turma, 5 estudantes leram 1 livro, 9 leram 2 livros e 6 leram 3 livros. Determine a média de livros lidos.
5. A média salarial de cinco funcionários é R$ 3.200,00. Com a contratação de um novo funcionário, a média passa para R$ 3.500,00. Qual é o salário do novo funcionário?
Ver respostas do Pratique 1
1. A soma é 100. Assim, \(\bar{x}=100/5=20\) minutos.
2. A soma dos seis valores é \(6\cdot14=84\). Os cinco conhecidos somam 68; logo, o sexto é \(84-68=16\).
3. \(\bar{x}_p=(7\cdot2+8\cdot3+6\cdot5)/(2+3+5)=68/10=6{,}8\).
4. Há 20 estudantes e \(5\cdot1+9\cdot2+6\cdot3=41\) livros. A média é \(41/20=2{,}05\) livros.
5. Os cinco salários somam \(5\cdot3200=16000\). Com seis funcionários, o total é \(6\cdot3500=21000\). O novo salário é \(21000-16000=5000\) reais.

4. Mediana

A mediana é o valor que ocupa a posição central depois que os dados são colocados em ordem. Ela divide o conjunto em duas partes: pelo menos metade das observações fica abaixo ou igual à mediana, e pelo menos metade fica acima ou igual a ela.

Quantidade ímpar de dados

Exemplo 3 — Sete tempos de espera
12 15 18 20 24 29 35

Como existem sete valores, a mediana ocupa a quarta posição. Portanto, \(Md=20\) minutos.

Quantidade par de dados

Quando o conjunto possui quantidade par de observações, não existe uma única posição central. Calcula-se a média dos dois valores centrais.

5 7 8 12 13 15
\(Md=\dfrac{8+12}{2}=10\)
Passo indispensável: os dados precisam ser ordenados antes de localizar a mediana. Utilizar a posição central da lista original pode produzir uma resposta incorreta.

5. Moda

A moda é o valor ou a categoria que apresenta a maior frequência. Diferentemente da média e da mediana, ela também pode ser utilizada com variáveis qualitativas, como cor preferida ou meio de transporte.

36 37 37 37 38 38 39

Nesse conjunto de numerações de calçados, a moda é 37, pois esse valor aparece três vezes.

Unimodal

Possui uma única moda.

Bimodal ou multimodal

Dois ou mais valores empatam com a maior frequência.

Amodal

Nenhum valor se repete; o conjunto não possui moda.

6. Como escolher entre média, mediana e moda?

Medida Vantagem Limitação Situação indicada
Média Utiliza todos os valores. É sensível a valores extremos. Dados quantitativos relativamente equilibrados.
Mediana É resistente a valores extremos. Não considera a distância entre todos os dados. Renda, preços e tempos com valores muito altos ou baixos.
Moda Indica o resultado mais frequente e admite categorias. Pode não existir ou haver várias. Tamanho mais vendido, categoria preferida ou valor recorrente.
Exemplo 4 — Preço típico de imóveis

Em uma região, cinco imóveis foram vendidos por R$ 180 mil, R$ 190 mil, R$ 200 mil, R$ 210 mil e R$ 1,2 milhão. A média é R$ 396 mil, enquanto a mediana é R$ 200 mil. O imóvel de R$ 1,2 milhão eleva bastante a média. Para descrever o preço típico das negociações, a mediana é mais representativa.

Pratique 2 — Mediana e moda

1. Determine a mediana dos valores 14, 9, 18, 12, 16, 11 e 20.
2. Calcule a mediana do conjunto 4, 7, 9, 10, 12, 15, 18 e 21.
3. Identifique a moda da sequência 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6 e classifique o conjunto quanto à quantidade de modas.
4. Os salários, em milhares de reais, são 2, 2, 3, 3 e 20. Calcule a média e a mediana e indique qual representa melhor o salário típico.
5. Uma loja pretende definir qual numeração de camiseta deve manter em maior quantidade no estoque. Qual medida de tendência central deve orientar a decisão? Explique.
Ver respostas do Pratique 2
1. Ordenando: 9, 11, 12, 14, 16, 18, 20. O quarto valor é 14; portanto, \(Md=14\).
2. Os valores centrais são 10 e 12. Assim, \(Md=(10+12)/2=11\).
3. Os valores 3 e 5 aparecem duas vezes e possuem a maior frequência. O conjunto é bimodal.
4. A média é \(30/5=6\) mil reais e a mediana é 3 mil reais. A mediana representa melhor o grupo porque o salário de 20 mil é um valor extremo.
5. A moda, pois indica a numeração que aparece com maior frequência nas vendas.

7. Quartis e medidas de posição

Os quartis dividem um conjunto ordenado em quatro partes com aproximadamente a mesma quantidade de observações. Eles permitem localizar um valor dentro da distribuição e comparar a posição de diferentes resultados.

25%até \(Q_1\)
25%de \(Q_1\) a \(Q_2\)
25%de \(Q_2\) a \(Q_3\)
25%acima de \(Q_3\)
  • Primeiro quartil (\(Q_1\)): cerca de 25% dos dados ficam abaixo ou iguais a ele.
  • Segundo quartil (\(Q_2\)): corresponde à mediana; cerca de 50% dos dados ficam abaixo ou iguais a ele.
  • Terceiro quartil (\(Q_3\)): cerca de 75% dos dados ficam abaixo ou iguais a ele.
Exemplo 5 — Determinação dos quartis

Considere os dados ordenados: 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 13, 15, 18, 20 e 22.

A mediana é a média entre o 6º e o 7º valores: \(Q_2=(10+12)/2=11\). A metade inferior é 2, 4, 5, 7, 8, 10; logo, \(Q_1=(5+7)/2=6\). A metade superior é 12, 13, 15, 18, 20, 22; portanto, \(Q_3=(15+18)/2=16{,}5\).

Convenções: existem diferentes métodos para calcular quartis quando determinadas posições não são inteiras. Em atividades escolares, deve-se utilizar o procedimento indicado no material ou pelo professor. O método desta postagem calcula a mediana de cada metade do conjunto.

Percentis

Os percentis dividem a distribuição em cem partes. Estar no percentil 80 significa que o resultado é maior ou igual ao de aproximadamente 80% das observações. Isso não significa acertar 80% de uma avaliação; trata-se de uma posição relativa no grupo.

Diagrama de caixa — boxplot

O boxplot representa cinco valores: mínimo, \(Q_1\), mediana, \(Q_3\) e máximo. A caixa contém os 50% centrais dos dados.

mínimo Q₁ mediana Q₃ máximo

8. Amplitude total e amplitude interquartil

A amplitude total é a diferença entre o maior e o menor valor do conjunto.

\(A=x_{\max}-x_{\min}\)

No conjunto 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 13, 15, 18, 20 e 22, a amplitude é \(22-2=20\).

A amplitude interquartil mede a extensão ocupada pelos 50% centrais dos dados:

\(AIQ=Q_3-Q_1\)

Como \(Q_1=6\) e \(Q_3=16{,}5\), temos \(AIQ=16{,}5-6=10{,}5\). Essa medida é menos sensível a valores extremos do que a amplitude total.

9. Variância

A amplitude considera apenas os extremos. A variância, por sua vez, utiliza todos os valores e mede a média dos quadrados dos desvios em relação à média.

Variância populacional: \(\sigma^2=\dfrac{\sum (x_i-\mu)^2}{N}\)

Quando os dados representam uma amostra e o objetivo é estimar a variância da população, é comum utilizar \(n-1\) no denominador. Nesta postagem, salvo indicação contrária, calcularemos a variância populacional, dividindo pela quantidade total de dados.

Exemplo 6 — Variância de uma pequena série

Considere os valores 2, 4 e 6. A média é \(\mu=(2+4+6)/3=4\).

\(x_i\) \(x_i-\mu\) \((x_i-\mu)^2\)
2−24
400
624
\(\sigma^2=\dfrac{4+0+4}{3}=\dfrac{8}{3}\approx2{,}67\)

Os desvios são elevados ao quadrado para evitar que valores positivos e negativos se anulem. Como consequência, a unidade da variância também fica ao quadrado: se os dados estão em metros, a variância é expressa em metros quadrados.

10. Desvio padrão

O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Ele recupera a unidade original dos dados e expressa o afastamento típico em relação à média.

\(\sigma=\sqrt{\sigma^2}\)

No exemplo anterior, \(\sigma=\sqrt{8/3}\approx1{,}63\). Assim, os valores se afastam da média em aproximadamente 1,63 unidade.

Exemplo 7 — Mesma média, dispersões diferentes

Duas máquinas produziram peças cujos comprimentos, em centímetros, foram:

Máquina A
9,8; 9,9; 10,0; 10,1; 10,2
Média: 10,0
Máquina B
8,0; 9,0; 10,0; 11,0; 12,0
Média: 10,0

As médias são iguais, mas a produção da máquina A é mais regular. Seu desvio padrão é menor porque os valores estão mais próximos de 10.

Pratique 3 — Quartis e dispersão

1. Para os dados 3, 5, 6, 8, 9, 11, 12 e 14, determine \(Q_1\), \(Q_2\) e \(Q_3\).
2. Um conjunto possui mínimo 18, \(Q_1=24\), \(Q_3=39\) e máximo 52. Calcule a amplitude total e a amplitude interquartil.
3. Calcule a variância populacional e o desvio padrão dos valores 2, 2, 4 e 4.
4. Duas turmas possuem média 7. A turma A tem desvio padrão 0,6 e a turma B tem desvio padrão 1,8. Qual delas apresenta notas mais homogêneas? Justifique.
5. Explique por que a amplitude total pode aumentar muito com a inclusão de um único valor extremo, enquanto a amplitude interquartil pode permanecer inalterada.
Ver respostas do Pratique 3
1. A mediana é \(Q_2=(8+9)/2=8{,}5\). Na metade inferior, \(Q_1=(5+6)/2=5{,}5\). Na metade superior, \(Q_3=(11+12)/2=11{,}5\).
2. \(A=52-18=34\) e \(AIQ=39-24=15\).
3. A média é 3. Os desvios quadráticos são 1, 1, 1 e 1. Logo, \(\sigma^2=4/4=1\) e \(\sigma=1\).
4. A turma A, pois seu desvio padrão é menor. Suas notas estão, em geral, mais próximas da média 7.
5. A amplitude usa diretamente o mínimo e o máximo. A amplitude interquartil depende apenas de \(Q_1\) e \(Q_3\), que delimitam os 50% centrais e são mais resistentes aos extremos.

11. Interpretação conjunta das medidas

Uma análise estatística consistente não escolhe a medida apenas pela facilidade do cálculo. É necessário relacioná-la ao objetivo e ao formato da distribuição.

  • Use a média quando todos os valores devem participar do resumo e não há extremos dominantes.
  • Use a mediana quando a distribuição é assimétrica ou contém valores extremos.
  • Use a moda para identificar o resultado ou a categoria mais frequente.
  • Use quartis para interpretar posições relativas e os 50% centrais.
  • Use desvio padrão para comparar regularidade entre conjuntos medidos na mesma unidade e em escalas compatíveis.

12. Síntese da aprendizagem

Centro

Média, mediana e moda descrevem aspectos diferentes do valor típico.

Posição

Quartis e percentis localizam uma observação dentro da distribuição ordenada.

Variabilidade

Amplitude, variância e desvio padrão mostram o quanto os dados estão espalhados.

13. Revisão e aprofundamento

Questão 1. Uma equipe registrou 24, 27, 22, 31, 26 e 20 atendimentos em seis dias. Calcule a média diária e interprete o resultado.
Questão 2. A média de oito números é 25. Depois da inclusão de um nono número, a média passa a 27. Determine o número incluído.
Questão 3. Uma avaliação é composta por um trabalho de peso 2, um seminário de peso 3 e uma prova de peso 5. Um estudante obteve 9,0, 7,0 e 6,5. Calcule sua média ponderada.
Questão 4. Em uma pesquisa, 6 pessoas possuem nenhum animal de estimação, 10 possuem um, 7 possuem dois e 2 possuem três. Determine a média de animais por pessoa.
Questão 5. Ordene os valores 32, 18, 25, 21, 40, 27 e 23 e determine a mediana.
Questão 6. Os preços de oito produtos são 12, 15, 15, 18, 20, 20, 24 e 36 reais. Determine média, mediana e moda.
Questão 7. Uma empresa possui nove salários próximos de R$ 2.500,00 e um salário de R$ 25.000,00. Explique por que a mediana deve acompanhar a média na apresentação desses dados.
Questão 8. Considere os dados ordenados 4, 6, 8, 9, 11, 13, 15, 16, 18, 20, 22 e 25. Determine \(Q_1\), \(Q_2\), \(Q_3\) e a amplitude interquartil.
Questão 9. Um estudante está no percentil 90 em uma prova nacional. Interprete corretamente essa informação.
Questão 10. Um boxplot apresenta mínimo 10, \(Q_1=18\), mediana 25, \(Q_3=31\) e máximo 60. Calcule a amplitude e a amplitude interquartil e comente o comprimento do bigode superior.
Questão 11. Calcule a variância populacional e o desvio padrão dos valores 4, 6, 6 e 8.
Questão 12. Dois laboratórios medem uma solução cuja concentração média é 50 mg/L. O laboratório A apresenta desvio padrão 0,4 mg/L e o B, 2,1 mg/L. Qual é mais consistente? O que o desvio padrão não informa sozinho?
Questão 13. Construa dois conjuntos com cinco valores, ambos com média 10, mas com amplitudes diferentes. Explique como isso demonstra uma limitação da média.
Questão 14. Ao retirar o maior valor de um conjunto, a média sempre diminui? E a mediana? Analise e apresente uma justificativa.
Questão 15. Uma notícia informa apenas que “a renda média do bairro é R$ 8.000,00”. Escreva três perguntas estatísticas necessárias antes de concluir que essa renda representa a maioria dos moradores.
Gabarito comentado — Revisão e aprofundamento
1. A soma é \(24+27+22+31+26+20=150\). A média é \(150/6=25\) atendimentos por dia. Ela representa a quantidade que seria registrada diariamente se o total fosse distribuído igualmente pelos seis dias.
2. A soma inicial é \(8\cdot25=200\). Após a inclusão, a soma é \(9\cdot27=243\). Portanto, o número incluído foi \(243-200=43\).
3. \(\bar{x}_p=(9\cdot2+7\cdot3+6{,}5\cdot5)/10=(18+21+32{,}5)/10=7{,}15\).
4. Há \(6+10+7+2=25\) pessoas. O total de animais é \(0\cdot6+1\cdot10+2\cdot7+3\cdot2=30\). A média é \(30/25=1{,}2\) animal por pessoa.
5. O rol é 18, 21, 23, 25, 27, 32, 40. Como há sete valores, a mediana é o quarto: \(Md=25\).
6. A soma é 160 e a média é \(160/8=20\). A mediana é a média entre o quarto e o quinto valores: \((18+20)/2=19\). As modas são 15 e 20, pois ambas aparecem duas vezes; o conjunto é bimodal.
7. O salário de R$ 25.000,00 eleva a média, mesmo sendo recebido por apenas uma pessoa. A mediana depende das posições centrais e é menos afetada pelo extremo, oferecendo uma referência mais próxima dos salários da maioria.
8. \(Q_2=(13+15)/2=14\). Na metade inferior, \(Q_1=(8+9)/2=8{,}5\). Na metade superior, \(Q_3=(18+20)/2=19\). Logo, \(AIQ=19-8{,}5=10{,}5\).
9. O resultado foi igual ou superior ao de aproximadamente 90% dos participantes do grupo de referência. Percentil indica posição relativa, não necessariamente 90% de acertos.
10. A amplitude é \(60-10=50\) e a amplitude interquartil é \(31-18=13\). O trecho de \(Q_3=31\) ao máximo 60 é longo, sugerindo maior espalhamento na parte superior e possível assimetria à direita.
11. A média é 6. Os desvios quadráticos são 4, 0, 0 e 4, cuja soma é 8. A variância populacional é \(8/4=2\), e o desvio padrão é \(\sqrt2\approx1{,}41\).
12. O laboratório A é mais consistente, pois suas medições ficam mais próximas da média. O desvio padrão, sozinho, não informa se a média está próxima do valor correto ou se existe erro sistemático no procedimento.
13. Uma possibilidade é A = {8, 9, 10, 11, 12}, com média 10 e amplitude 4, e B = {0, 5, 10, 15, 20}, com média 10 e amplitude 20. A mesma média não garante a mesma distribuição ou regularidade.
14. Se o maior valor for superior à média, sua retirada diminui a média; se todos os valores forem iguais, ela permanece igual. A mediana não aumenta quando se retira o maior valor: ela pode diminuir ou permanecer igual, conforme as posições centrais do conjunto ordenado.
15. Perguntas possíveis: qual é a mediana da renda? Existem rendas extremamente altas elevando a média? Quantas famílias participaram e como foram selecionadas? Qual é o desvio padrão ou a amplitude interquartil? A renda considerada é individual ou domiciliar?
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