Polinômios: conceitos, operações e divisão

Expressões polinomiais aparecem quando medidas variáveis precisam ser relacionadas. A área de uma figura, o volume de uma embalagem, o custo de produção e a posição de um objeto em movimento podem ser representados por expressões formadas por números, variáveis e expoentes.

Nesta postagem, estudaremos a estrutura dos polinômios, a identificação de seus termos e de seu grau, o cálculo do valor numérico e as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão. Esses conhecimentos serão fundamentais para o estudo posterior das equações polinomiais, de suas raízes e da fatoração.

Habilidades da BNCC

Base/complementação curricular — reconhecer polinômios, identificando termos, coeficientes, parte literal, termo constante e grau.

Base/complementação curricular — realizar adições, subtrações, multiplicações e divisões de polinômios, utilizando propriedades algébricas e procedimentos organizados.

Base/complementação curricular — interpretar e resolver situações-problema representadas por expressões polinomiais, verificando a coerência dos resultados obtidos.

1. Expressões algébricas e polinômios

Uma expressão algébrica é formada por números, letras e operações. As letras representam valores que podem variar. Entre as expressões algébricas, existem aquelas formadas por somas algébricas de monômios, chamadas polinômios.

Um polinômio na variável $x$ pode ser escrito na forma geral:

$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0$

Os números $a_n,a_{n-1},\ldots,a_1,a_0$ são os coeficientes. Os expoentes da variável devem ser números inteiros não negativos. Por isso, expressões que apresentam variável no denominador, expoente negativo ou raiz envolvendo a variável não são polinômios.

Expressão	Classificação	Justificativa
$4x^3-2x+7$	Polinômio	Os expoentes de $x$ são inteiros não negativos.
$5x^{-2}+1$	Não é polinômio	A variável apresenta expoente negativo.
$\dfrac{3}{x}+2$	Não é polinômio	A variável aparece no denominador.
$\sqrt{x}+4$	Não é polinômio	$\sqrt{x}=x^{1/2}$, e o expoente não é inteiro.

1.1 Termos, coeficientes e parte literal

Cada parcela de um polinômio é chamada de termo. Em um termo, o fator numérico é o coeficiente e a parte formada pelas variáveis é a parte literal.

Estrutura do polinômio $P(x)=5x^3-2x^2+7x-4$

$5x^3$ coeficiente 5
grau 3

−

$2x^2$ coeficiente −2
grau 2

$7x$ coeficiente 7
grau 1

−

$4$ termo constante
grau 0

Termos que possuem a mesma parte literal são chamados de termos semelhantes. Eles podem ser reduzidos por meio da adição ou da subtração de seus coeficientes.

Exemplo resolvido 1 — Redução de termos semelhantes

Reduza a expressão $3x^2+5x-2x^2+4-7x+6$.

Primeiro, agrupamos os termos semelhantes:

$(3x^2-2x^2)+(5x-7x)+(4+6)$

Depois, operamos os coeficientes de cada grupo:

$x^2-2x+10$

Essa é a forma reduzida do polinômio.

1.2 Grau de um polinômio

Quando o polinômio está reduzido e não é nulo, seu grau é o maior expoente da variável que possui coeficiente diferente de zero. Assim, $7x^5-3x^2+x-8$ é um polinômio de grau 5.

Atenção: antes de determinar o grau, é necessário reduzir os termos semelhantes. Por exemplo, em $4x^3-4x^3+2x^2+1$, os termos de grau 3 se anulam. Portanto, o polinômio reduzido é $2x^2+1$ e seu grau é 2.

1.3 Valor numérico

O valor numérico de um polinômio é obtido substituindo a variável por um número indicado e efetuando as operações.

Exemplo resolvido 2 — Custo de produção

Uma pequena fábrica representa, em centenas de reais, o custo de produzir $x$ lotes por meio do polinômio $C(x)=2x^2+3x+5$. Qual é o custo previsto para 4 lotes?

Substituímos $x$ por 4:

$C(4)=2\cdot4^2+3\cdot4+5=2\cdot16+12+5=49$

Como a unidade utilizada é a centena de reais, multiplicamos 49 por 100. O custo previsto é R$ 4.900,00.

Pratique 1 — Conceitos e estrutura dos polinômios

1. Entre as expressões $3x^4-2x+1$, $5/x+2$, $\sqrt{x}-1$ e $7x^2+4x-9$, identifique as que são polinômios.

2. No polinômio $P(x)=-4x^5+3x^2-8x+6$, indique os termos, os coeficientes, o termo constante e o grau.

3. Reduza $5x^2-3x+7+2x^2+8x-10$ e determine o grau do resultado.

4. Determine o grau de $Q(x)=6x^4-2x^3-6x^4+9x^2+1$.

5. Uma empresa estima sua produção diária pelo polinômio $P(t)=3t^2+5t+20$, em que $t$ é o número de horas após o início do turno. Calcule $P(4)$.

Ver respostas do Pratique 1

1. $3x^4-2x+1$ e $7x^2+4x-9$. Nessas expressões, os expoentes da variável são inteiros não negativos. $5/x+2$ apresenta a variável no denominador e $\sqrt{x}-1$ equivale a $x^{1/2}-1$.

2. Termos: $-4x^5$, $3x^2$, $-8x$ e $6$. Coeficientes: $-4$, $3$, $-8$ e $6$. O termo constante é 6 e o grau é 5.

3. $(5x^2+2x^2)+(-3x+8x)+(7-10)=7x^2+5x-3$. O grau é 2.

4. Os termos $6x^4$ e $-6x^4$ se anulam. Assim, $Q(x)=-2x^3+9x^2+1$, cujo grau é 3.

5. $P(4)=3\cdot4^2+5\cdot4+20=48+20+20=88$. A produção estimada é de 88 unidades.

2. Adição e subtração de polinômios

Para adicionar ou subtrair polinômios, reunimos os termos semelhantes. Na subtração, é indispensável distribuir o sinal negativo a todos os termos do polinômio que está sendo subtraído.

Exemplo resolvido 3 — Adição

Considere $A(x)=3x^3-2x^2+5x-1$ e $B(x)=x^3+4x^2-3x+6$. Determine $A(x)+B(x)$.

$A(x)+B(x)=(3x^3+x^3)+(-2x^2+4x^2)+(5x-3x)+(-1+6)$

$A(x)+B(x)=4x^3+2x^2+2x+5$

Exemplo resolvido 4 — Subtração

Com os mesmos polinômios, determine $A(x)-B(x)$.

$A(x)-B(x)=3x^3-2x^2+5x-1-(x^3+4x^2-3x+6)$

Distribuímos o sinal negativo:

$3x^3-2x^2+5x-1-x^3-4x^2+3x-6$

Reduzindo os termos semelhantes:

$A(x)-B(x)=2x^3-6x^2+8x-7$

3. Multiplicação de polinômios

Na multiplicação, aplicamos a propriedade distributiva: cada termo de um fator deve multiplicar cada termo do outro. Multiplicamos os coeficientes e, quando as bases são iguais, adicionamos os expoentes.

3.1 Monômio por polinômio

$3x^2(2x^3-4x+5)=6x^5-12x^3+15x^2$

3.2 Polinômio por polinômio

Exemplo resolvido 5 — Área de um terreno

Um terreno retangular possui comprimento $(x+5)$ metros e largura $(x+2)$ metros. Determine o polinômio que representa sua área.

Como a área de um retângulo é o produto do comprimento pela largura:

$A(x)=(x+5)(x+2)$

Aplicando a distributiva:

$A(x)=x^2+2x+5x+10=x^2+7x+10$

Portanto, a área é representada por $A(x)=x^2+7x+10$ metros quadrados.

Operação	Procedimento essencial	Exemplo
Adição	Somar os coeficientes dos termos semelhantes.	$(3x^2+x)+(2x^2-4x)=5x^2-3x$
Subtração	Trocar o sinal de todos os termos do segundo polinômio e reduzir.	$(3x+2)-(x-5)=2x+7$
Multiplicação	Aplicar a distributiva e depois reduzir os termos semelhantes.	$(x+3)(x-2)=x^2+x-6$

Pratique 2 — Operações com polinômios

1. Dados $A(x)=4x^2-3x+5$ e $B(x)=2x^2+7x-1$, calcule $A(x)+B(x)$.

2. Com os mesmos polinômios, calcule $A(x)-B(x)$.

3. Efetue $-2x^2(3x^3-x+4)$.

4. Desenvolva e reduza $(x+4)(x-3)$.

5. Uma praça retangular terá dimensões $(x+8)$ metros e $(x+3)$ metros. Determine o polinômio que representa sua área e calcule essa área para $x=2$.

Ver respostas do Pratique 2

1. $A+B=(4x^2+2x^2)+(-3x+7x)+(5-1)=6x^2+4x+4$.

2. $A-B=4x^2-3x+5-(2x^2+7x-1)=2x^2-10x+6$. Observe que o sinal negativo altera também o sinal do termo $-1$.

3. $-2x^2(3x^3-x+4)=-6x^5+2x^3-8x^2$.

4. $(x+4)(x-3)=x^2-3x+4x-12=x^2+x-12$.

5. $A(x)=(x+8)(x+3)=x^2+11x+24$. Para $x=2$, $A(2)=4+22+24=50$. A área é $50\text{ m}^2$.

4. Divisão de polinômios

Na divisão de números naturais, relacionamos dividendo, divisor, quociente e resto. A mesma ideia é utilizada na divisão de polinômios:

$D(x)=d(x)\cdot q(x)+r(x)$

Nessa relação, $D(x)$ é o dividendo, $d(x)$ é o divisor, $q(x)$ é o quociente e $r(x)$ é o resto. Quando o resto não é nulo, seu grau deve ser menor que o grau do divisor.

4.1 Divisão de um polinômio por um monômio

Quando o divisor é um monômio, dividimos cada termo do polinômio pelo monômio. Para potências de mesma base, subtraímos os expoentes.

Exemplo resolvido 6

Calcule $(6x^3-9x^2+3x)\div3x$.

$\dfrac{6x^3}{3x}-\dfrac{9x^2}{3x}+\dfrac{3x}{3x}=2x^2-3x+1$

Logo, o quociente é $2x^2-3x+1$.

4.2 Divisão de um polinômio por outro polinômio

Para realizar a divisão pelo método da chave, o dividendo e o divisor devem estar organizados em ordem decrescente dos expoentes. Se algum grau estiver ausente, podemos reservar seu lugar usando coeficiente zero.

Divida o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor. O resultado será um termo do quociente.
Multiplique o termo encontrado por todo o divisor.
Subtraia o produto do dividendo parcial.
Repita o processo até que o resto seja zero ou tenha grau menor que o divisor.

Exemplo resolvido 7 — Divisão exata

Divida $x^3+2x^2-5x-6$ por $x+3$.

$x^3\div x=x^2$. Multiplicamos: $x^2(x+3)=x^3+3x^2$.
Subtraindo, obtemos $-x^2-5x$.
$-x^2\div x=-x$. Multiplicamos: $-x(x+3)=-x^2-3x$.
Subtraindo, obtemos $-2x-6$.
$-2x\div x=-2$. Multiplicamos: $-2(x+3)=-2x-6$.
A última subtração produz resto zero.

$x^3+2x^2-5x-6=(x+3)(x^2-x-2)$

Portanto, o quociente é $x^2-x-2$ e o resto é zero.

Organização da divisão pelo método da chave

x³ + 2x² − 5x − 6 │ x + 3

−x³ − 3x² │──────────

─────────── │ x² − x − 2

−x² − 5x

+x² + 3x

─────────

−2x − 6

+2x + 6

───────

Exemplo resolvido 8 — Divisão não exata

Divida $2x^3-3x^2+4x-5$ por $x-2$.

Aplicando o mesmo procedimento, encontramos:

$q(x)=2x^2+x+6\quad\text{e}\quad r(x)=7$

A verificação é feita pela relação fundamental:

$(x-2)(2x^2+x+6)+7=2x^3-3x^2+4x-5$

Como o divisor tem grau 1, o resto constante possui grau menor que o grau do divisor.

Como verificar uma divisão: multiplique o divisor pelo quociente e adicione o resto. O resultado deve ser exatamente o dividendo.

Pratique 3 — Divisão de polinômios

1. Efetue $(12x^4-8x^3+4x^2)\div4x^2$.

2. Divida $x^2+5x+6$ por $x+2$ e verifique o resultado.

3. Divida $x^3-4x^2+x+6$ por $x-2$.

4. Na divisão de $P(x)$ por $x+1$, o quociente é $x^2-3x+4$ e o resto é 5. Determine $P(x)$.

5. Uma expressão que representa a área de uma placa retangular é $x^2+7x+12$. Sabendo que uma de suas dimensões é $x+3$, determine a outra dimensão por meio de uma divisão de polinômios.

Ver respostas do Pratique 3

1. Dividindo termo a termo: $\dfrac{12x^4}{4x^2}-\dfrac{8x^3}{4x^2}+\dfrac{4x^2}{4x^2}=3x^2-2x+1$.

2. $(x^2+5x+6)\div(x+2)=x+3$, com resto zero. Verificação: $(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$.

3. O quociente é $x^2-2x-3$ e o resto é zero. De fato, $(x-2)(x^2-2x-3)=x^3-4x^2+x+6$.

4. Usamos $P(x)=d(x)q(x)+r(x)$: $P(x)=(x+1)(x^2-3x+4)+5=x^3-2x^2+x+9$.

5. $(x^2+7x+12)\div(x+3)=x+4$, com resto zero. A outra dimensão é $x+4$.

5. Síntese da aprendizagem

Reconhecer Identificar termos, coeficientes e grau.

Reduzir Reunir somente termos semelhantes.

Operar Aplicar sinais e a propriedade distributiva.

Verificar Usar $D=dq+r$ nas divisões.

6. Revisão e aprofundamento

Questão 1. Explique por que $4x^3-2x+8$ é um polinômio e $4x^{-1}+8$ não é.

Questão 2. Identifique os coeficientes, o termo constante e o grau de $P(x)=9x^6-4x^3+x-12$.

Questão 3. Reduza $7x^3-2x^2+5x-4-3x^3+6x^2-8x+9$.

Questão 4. Determine o grau de $5x^5-2x^4-5x^5+7x^3+x$.

Questão 5. Calcule o valor de $P(x)=2x^3-x^2+4x-3$ para $x=-2$.

Questão 6. Dados $A(x)=3x^3+x^2-4x+2$ e $B(x)=-x^3+5x^2+2x-7$, determine $A(x)+B(x)$.

Questão 7. Com os polinômios da questão anterior, determine $A(x)-B(x)$.

Questão 8. Efetue $4x(2x^3-3x^2+x-5)$.

Questão 9. Desenvolva e reduza $(2x-3)(x+4)$.

Questão 10. As dimensões de um painel retangular são $(2x+1)$ metros e $(x+6)$ metros. Determine o polinômio da área e calcule a área para $x=3$.

Questão 11. Efetue $(15x^5-10x^3+5x^2)\div5x^2$.

Questão 12. Divida $x^2-9$ por $x-3$ e interprete o resto encontrado.

Questão 13. Divida $x^3+3x^2-4x-12$ por $x+3$.

Questão 14. Na divisão de $D(x)$ por $x-1$, o quociente é $2x^2+3x-4$ e o resto é 6. Reconstrua $D(x)$.

Questão 15. Um polinômio $A(x)=2x^3+7x^2-4x+5$ foi dividido por $B(x)=x+2$, produzindo quociente $2x^2+3x-10$ e resto 25. Sem refazer toda a divisão, verifique se esses resultados estão corretos.

Gabarito comentado — Revisão e aprofundamento

1. Em $4x^3-2x+8$, os expoentes são 3, 1 e 0, todos inteiros não negativos. Já $4x^{-1}+8$ possui expoente negativo e, portanto, não é polinômio.

2. Os coeficientes dos termos apresentados são 9, $-4$, 1 e $-12$; o termo constante é $-12$; o grau é 6.

3. $(7x^3-3x^3)+(-2x^2+6x^2)+(5x-8x)+(-4+9)=4x^3+4x^2-3x+5$.

4. Os termos de grau 5 se anulam. O resultado é $-2x^4+7x^3+x$, de grau 4.

5. $P(-2)=2(-2)^3-(-2)^2+4(-2)-3=-16-4-8-3=-31$.

6. $A(x)+B(x)=2x^3+6x^2-2x-5$.

7. $A(x)-B(x)=4x^3-4x^2-6x+9$.

8. $4x(2x^3-3x^2+x-5)=8x^4-12x^3+4x^2-20x$.

9. $(2x-3)(x+4)=2x^2+8x-3x-12=2x^2+5x-12$.

10. $A(x)=(2x+1)(x+6)=2x^2+13x+6$. Para $x=3$, $A(3)=18+39+6=63$. A área é $63\text{ m}^2$.

11. $(15x^5-10x^3+5x^2)\div5x^2=3x^3-2x+1$.

12. $(x^2-9)\div(x-3)=x+3$, com resto zero. Isso confirma que $x^2-9$ é divisível por $x-3$.

13. O quociente é $x^2-4$ e o resto é zero, pois $(x+3)(x^2-4)=x^3+3x^2-4x-12$.

14. $D(x)=(x-1)(2x^2+3x-4)+6=2x^3+x^2-7x+10$.

15. Calculamos $(x+2)(2x^2+3x-10)+25=2x^3+7x^2-4x+5$. Como o resultado coincide com $A(x)$, o quociente e o resto informados estão corretos.

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