Equações do 2º grau: completas, incompletas e resolução
Uma equação do segundo grau é uma equação que pode ser escrita na forma:
Os números \(a\), \(b\) e \(c\) são os coeficientes da equação. O coeficiente \(a\) nunca pode ser zero, pois, nesse caso, o termo \(ax^2\) desapareceria e a equação deixaria de ser do segundo grau.
1. Identificando os coeficientes
a) \(x^2+3x-4=0\) → \(a=1\), \(b=3\), \(c=-4\).
b) \(-2x^2-5x+6=0\) → \(a=-2\), \(b=-5\), \(c=6\).
c) \(-x^2+2x-7=0\) → \(a=-1\), \(b=2\), \(c=-7\).
2. Equações completas e incompletas
Quando \(a\), \(b\) e \(c\) são diferentes de zero, dizemos que a equação do segundo grau é completa. Quando \(b=0\), \(c=0\), ou ambos são zero, ela é incompleta.
| Equação | Classificação | Coeficiente ausente |
|---|---|---|
| \(x^2+3x-4=0\) | Completa | Nenhum |
| \(3x^2-x=0\) | Incompleta | \(c=0\) |
| \(-x^2+4=0\) | Incompleta | \(b=0\) |
| \(2x^2=0\) | Incompleta | \(b=0\) e \(c=0\) |
3. Resolvendo equações incompletas
Antes de usar uma fórmula geral, vale observar a estrutura da equação. As equações incompletas costumam ser resolvidas de maneira mais simples.
3.1 Quando \(c=0\): \(ax^2+bx=0\)
Vamos resolver \(2x^2-6x=0\). Os dois termos têm \(x\) como fator comum:
\(x(2x-6)=0\)
Se o produto de dois fatores é zero, pelo menos um deles deve ser zero:
Da segunda equação, \(2x=6\), então \(x=3\). Portanto:
3.2 Quando \(b=0\): \(ax^2+c=0\)
Agora resolva \(-x^2+9=0\):
\(x^2=9\)
\(x=\pm3\)
Assim, as soluções são \(x=3\) e \(x=-3\). Neste tipo de equação, quando há raízes reais não nulas, elas aparecem como valores opostos.
3.3 Quando \(b=0\) e \(c=0\): \(ax^2=0\)
Considere \(5x^2=0\):
\(x^2=0\)
\(x=0\)
A única raiz é \(x=0\), com multiplicidade 2.
4. Equações completas e a fórmula resolutiva
Para uma equação \(ax^2+bx+c=0\), podemos calcular primeiro o discriminante, representado pela letra grega delta (\(\Delta\)):
Depois, as raízes reais, quando existirem, são obtidas por:
5. O que o valor de \(\Delta\) nos informa?
5.1 \(\Delta>0\): duas raízes reais distintas
Resolva \(x^2-5x+4=0\). Temos \(a=1\), \(b=-5\) e \(c=4\).
Logo, \(x_1=4\) e \(x_2=1\).
5.2 \(\Delta=0\): uma raiz real de multiplicidade 2
Resolva \(x^2+6x+9=0\). Temos \(a=1\), \(b=6\) e \(c=9\).
Há uma única raiz real, \(x=-3\), de multiplicidade 2. Na linguagem escolar, também se diz que a equação possui duas raízes reais e iguais.
5.3 \(\Delta<0\): não há raízes reais
Considere \(2x^2+3x+3=0\). Temos \(a=2\), \(b=3\) e \(c=3\).
Como \(\Delta<0\), não existe raiz quadrada real de \(-15\). Portanto, essa equação não possui raízes reais.
6. Resumo
| Valor de \(\Delta\) | Raízes reais |
|---|---|
| \(\Delta>0\) | Duas raízes reais distintas |
| \(\Delta=0\) | Uma raiz real de multiplicidade 2 |
| \(\Delta<0\) | Não há raízes reais |