Razões, proporcionalidade, escalas e taxa de variação
Em muitas situações precisamos comparar grandezas, interpretar taxas e analisar como duas ou mais quantidades variam entre si.
Nesta postagem, vamos aprofundar o estudo das razões entre grandezas de espécies diferentes, proporcionalidade direta e inversa, escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação.
Habilidades da BNCC
EF09MA07: resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica.
EF09MA08: resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.
1. Razão entre grandezas de mesma espécie e de espécies diferentes
Uma razão compara duas quantidades por meio de uma divisão.
Quando comparamos 18 meninas e 12 meninos, temos grandezas da mesma espécie:
No 9º ano, também estudamos razões entre grandezas de espécies diferentes.
Exemplo resolvido 1. Um ciclista percorreu 54 km em 3 horas.
Portanto, a velocidade média foi 18 km/h.
2. Velocidade média
A velocidade média relaciona a distância percorrida ao tempo gasto:
Exemplo resolvido 2. Um ônibus percorreu 360 km em 4 horas.
Portanto, a velocidade média foi 90 km/h.
Exemplo resolvido 3. Uma pessoa percorreu 1.500 metros em 20 minutos.
A velocidade média foi 75 m/min.
3. Densidade demográfica
A densidade demográfica relaciona o número de habitantes de uma região à sua área:
Exemplo resolvido 4. Um município possui 48.000 habitantes distribuídos em uma área de 600 km².
A densidade demográfica é 80 hab./km².
4. Outras razões entre grandezas diferentes
Consumo de combustível:
Vazão:
Preço por quilograma:
▶ Pratique 1 — Razões entre grandezas
1. Um automóvel percorre 300 km em 4 horas. Determine sua velocidade média.
2. Uma cidade possui 72.000 habitantes e área de 900 km². Determine sua densidade demográfica.
3. Um carro percorre 560 km utilizando 40 litros de combustível. Determine seu consumo em km/L.
4. Uma torneira libera 240 litros em 20 minutos. Determine sua vazão.
5. Um pacote de 8 kg de determinado produto custa R$ 104,00. Determine o preço por quilograma.
6. Durante uma viagem, uma família percorreu 450 km em 5 horas. Qual foi a velocidade média da viagem?
7. Um município possui 135.000 habitantes distribuídos em 1.500 km². Qual é sua densidade demográfica?
8. Uma máquina produz 1.200 peças em 8 horas. Quantas peças, em média, são produzidas por hora?
9. Um reservatório recebeu 2.700 litros de água durante 30 minutos. Determine a vazão média de entrada de água.
10. Um veículo percorreu 675 km consumindo 45 litros de combustível. Quantos quilômetros, em média, ele percorreu com cada litro?
5. Retomando a proporcionalidade direta
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando variam na mesma proporção.
Exemplo resolvido 5. Uma gráfica cobra R$ 0,40 por cópia.
Para 100 cópias, o custo será R$ 40,00.
6. Taxa de variação
| Tempo (h) | Distância (km) |
|---|---|
| 1 | 70 |
| 2 | 140 |
| 3 | 210 |
| 4 | 280 |
A taxa de variação é 70 km/h.
7. Taxa de variação em tabelas
| Tempo (h) | Distância (km) |
|---|---|
| 1 | 60 |
| 2 | 120 |
| 3 | 180 |
| 4 | 240 |
A taxa de variação é constante: 60 km/h.
Exemplo resolvido 6.
| Quantidade produzida | Custo (R$) |
|---|---|
| 10 | 50 |
| 20 | 100 |
| 30 | 150 |
| 40 | 200 |
A constante de proporcionalidade é 5. Assim:
8. Taxa de variação e função afim
Nem toda função afim representa proporcionalidade direta.
A taxa de variação é 4, mas existe uma taxa fixa de R$ 10,00.
Por isso, custo e quantidade não são diretamente proporcionais.
Exemplo resolvido 7. Uma corrida de táxi custa R$ 7,00 de bandeirada mais R$ 3,00 por quilômetro.
A taxa de variação é R$ 3,00/km, mas a relação não é de proporcionalidade direta.
9. Proporcionalidade inversa
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o produto entre os valores correspondentes permanece constante.
Exemplo resolvido 8. Uma obra pode ser realizada por 6 trabalhadores em 20 dias.
Com 10 trabalhadores, a obra seria realizada em 12 dias.
10. Reconhecendo proporcionalidade inversa em tabelas
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| 2 | 24 |
| 3 | 16 |
| 4 | 12 |
| 6 | 8 |
Logo, \(xy=48\).
Exemplo resolvido 9.
| Número de máquinas | Tempo (h) |
|---|---|
| 2 | 18 |
| 3 | 12 |
| 4 | 9 |
| 6 | 6 |
As grandezas são inversamente proporcionais.
▶ Pratique 2 — Proporcionalidade e taxa de variação
1. Em uma situação de proporcionalidade direta, \(y=7x\). Determine \(y\) quando \(x=8\).
2. Verifique se os valores \(x=2,4,6\) e \(y=10,20,30\) representam grandezas diretamente proporcionais.
3. Determine a constante de proporcionalidade da relação \(y=12x\).
4. Verifique se \(x=2,3,6\) e \(y=30,20,10\) representam grandezas inversamente proporcionais.
5. Se \(xy=72\), determine \(y\) quando \(x=9\).
6. Um veículo percorre 80 km a cada hora. Escreva a função que relaciona a distância \(d\) ao tempo \(t\) e identifique a taxa de variação.
7. Uma empresa cobra R$ 20,00 de taxa fixa mais R$ 6,00 por unidade utilizada. Escreva a função do custo e explique por que as grandezas não são diretamente proporcionais.
8. Oito trabalhadores realizam uma tarefa em 15 dias. Em quantos dias 12 trabalhadores realizariam a mesma tarefa?
9. Quatro máquinas produzem determinada quantidade em 18 horas. Quantas horas seriam necessárias com 6 máquinas?
10. Uma função é dada por \(C(x)=5x+30\). Determine sua taxa de variação e o valor inicial.
11. Escala
A escala é uma razão entre a medida representada e a medida real correspondente.
Exemplo resolvido 10. Em um mapa de escala \(1:200000\), a distância entre duas cidades mede 4 cm.
A distância real é 8 km.
Exemplo resolvido 11. Uma planta foi desenhada na escala \(1:50\). Uma parede mede 8 cm no desenho.
A parede mede 4 m.
12. Encontrando a escala
Exemplo resolvido 12. Uma estrada de 15 km aparece com 5 cm em um mapa.
A escala é 1:300000.
13. Divisão em partes proporcionais
Considere a divisão de R$ 1.200,00 na razão \(2:3:5\).
As partes são R$ 240,00, R$ 360,00 e R$ 600,00.
14. Divisão proporcional em situações cotidianas
Exemplo resolvido 13. Um lucro de R$ 3.600,00 será dividido na razão \(2:4:6\).
As partes são R$ 600,00, R$ 1.200,00 e R$ 1.800,00.
15. Duas ou mais grandezas
Exemplo resolvido 14. Quatro máquinas produzem 800 peças em 5 horas. Quantas peças 6 máquinas produzirão em 8 horas?
Serão produzidas 1.920 peças.
16. Proporcionalidade em situações ambientais e sociais
Exemplo resolvido 15. Uma comunidade consome 48.000 litros de água por dia para 600 moradores.
O consumo médio é de 80 L por habitante por dia.
Para 750 habitantes, o consumo estimado será de 60.000 L por dia.
17. Taxa de variação em gráficos
Considere a função \(d(t)=60t\).
| Tempo (h) | Distância (km) |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 60 |
| 2 | 120 |
| 3 | 180 |
| 4 | 240 |
A reta passa pela origem e apresenta taxa de variação constante de 60 km/h.
18. Comparando duas taxas de variação
Considere \(d_A(t)=60t\) e \(d_B(t)=90t\). O veículo B apresenta maior taxa de variação e, por isso, sua reta é mais inclinada.
Quanto maior a taxa de variação, maior a inclinação da reta.
19. Relação proporcional e relação não proporcional
Em \(y=5x\), a razão \(y/x\) é constante e o gráfico passa pela origem. Existe proporcionalidade direta.
Em \(y=5x+10\), as duas grandezas aumentam, mas a razão não permanece constante. Portanto, não existe proporcionalidade direta.
20. Interpretando a constante de proporcionalidade
Em \(d=80t\), o número 80 representa uma velocidade de 80 km/h.
Em \(C=6x\), o número 6 pode representar um preço de R$ 6,00 por unidade.
Em \(V=12t\), o número 12 pode representar uma vazão de 12 L/min.
21. Escolhendo uma estratégia de resolução
Três quilogramas de um produto custam R$ 24,00. Quanto custam 7 kg?
Portanto, 7 kg custam R$ 56,00.
22. Proporcionalidade direta com mais de duas grandezas
Cinco máquinas, trabalhando 6 horas por dia durante 4 dias, produzem 3.600 peças.
Se 8 máquinas trabalharem 9 horas por dia durante 4 dias:
Serão produzidas 8.640 peças.
23. Relações diretas e inversas no mesmo problema
Seis trabalhadores, trabalhando 8 horas por dia, concluem um serviço em 15 dias.
Com 10 trabalhadores trabalhando 9 horas por dia:
O serviço seria concluído em 8 dias.
24. Escala e área
Se todas as dimensões lineares de uma figura são multiplicadas por um fator \(k\), sua área é multiplicada por \(k^2\).
Exemplo resolvido 16. Um retângulo mede 4 cm por 6 cm.
Triplicando as dimensões:
A área ficou 9 vezes maior.
25. Escala e volume
Se todas as dimensões de um sólido são multiplicadas por \(k\), o volume é multiplicado por \(k^3\).
Exemplo resolvido 17. Um cubo possui aresta de 3 cm.
Duplicando a aresta:
O volume ficou 8 vezes maior.
▶ Pratique 3 — Escalas, divisão proporcional e aplicações
1. Uma grandeza é dada por \(y=9x\). Determine a constante de proporcionalidade.
2. Na função \(C(x)=7x+25\), determine a taxa de variação e o valor inicial.
3. Verifique se os pares \((2,14)\), \((3,21)\), \((5,35)\) e \((8,56)\) representam proporcionalidade direta.
4. Em uma relação inversamente proporcional, \(xy=120\). Determine \(y\) quando \(x=15\).
5. Em um mapa de escala \(1:500000\), uma distância mede 6 cm. Determine a distância real em quilômetros.
6. Um prêmio de R$ 4.800,00 será dividido entre três pessoas na razão \(3:4:5\). Quanto receberá cada pessoa?
7. Uma máquina apresenta vazão de 150 L em 5 minutos. Quantos litros serão liberados em 18 minutos?
8. Seis máquinas produzem 2.400 peças em 8 horas. Quantas peças serão produzidas por 9 máquinas em 10 horas?
9. Doze trabalhadores concluem um serviço em 20 dias. Em quantos dias 15 trabalhadores concluiriam o mesmo serviço?
10. Uma maquete foi construída na escala \(1:50\). Uma parede mede 12 cm na maquete. Qual é seu comprimento real em metros?
26. Síntese
Razões entre grandezas diferentes aparecem em situações como velocidade, densidade demográfica, consumo e vazão.
Na proporcionalidade direta, \(y=kx\). Na proporcionalidade inversa, \(xy=k\).
A taxa de variação indica quanto uma grandeza varia em relação à outra. Escalas relacionam medidas representadas e reais, e a divisão proporcional permite repartir uma quantidade respeitando determinada razão.
▶ Revisão e aprofundamento — 20 questões
1. Calcule a velocidade média de um veículo que percorre 420 km em 6 horas.
2. Uma cidade possui 180.000 habitantes e área de 2.000 km². Determine sua densidade demográfica.
3. Um automóvel percorre 630 km utilizando 45 litros de combustível. Determine seu consumo médio em km/L.
4. Uma torneira fornece 540 litros em 30 minutos. Determine sua vazão.
5. Determine a constante de proporcionalidade de \(y=15x\).
6. Verifique se \(x=2,4,8\) e \(y=18,36,72\) representam grandezas diretamente proporcionais.
7. Verifique se \(x=3,6,9\) e \(y=24,12,8\) representam grandezas inversamente proporcionais.
8. Se \(xy=180\), determine \(y\) quando \(x=12\).
9. Determine a taxa de variação da função \(f(x)=8x+20\).
10. Explique por que \(f(x)=8x+20\) não representa proporcionalidade direta.
11. Em um mapa de escala \(1:250000\), duas cidades estão separadas por 8 cm. Determine a distância real em quilômetros.
12. Uma distância real de 12 km é representada por 4 cm em um mapa. Determine a escala utilizada.
13. Divida R$ 2.400,00 em partes diretamente proporcionais a \(2:3:7\).
14. Uma quantia de R$ 5.400,00 será dividida entre três pessoas na razão \(4:5:9\). Determine quanto cada pessoa receberá.
15. Cinco máquinas produzem 1.500 peças em 6 horas. Quantas peças 8 máquinas produzirão em 10 horas?
16. Oito trabalhadores realizam uma obra em 30 dias. Em quantos dias 12 trabalhadores realizariam a obra?
17. Um veículo mantém velocidade constante de 75 km/h. Escreva a função que relaciona distância e tempo e determine a distância em 4,5 horas.
18. Uma empresa cobra R$ 35,00 de taxa fixa e R$ 12,00 por hora. Escreva a função do custo, determine sua taxa de variação e explique por que custo e tempo não são diretamente proporcionais.
19. Uma figura tem seus comprimentos ampliados por um fator 4. Por qual fator sua área será multiplicada?
20. Um cubo tem todas as suas dimensões triplicadas. Por qual fator seu volume será multiplicado?
▶ Gabarito do Pratique 1
1. 75 km/h.
2. 80 hab./km².
3. 14 km/L.
4. 12 L/min.
5. R$ 13,00/kg.
6. 90 km/h.
7. 90 hab./km².
8. 150 peças por hora.
9. 90 L/min.
10. 15 km/L.
▶ Gabarito do Pratique 2
1. \(y=56\).
2. Sim; razão 5.
3. \(k=12\).
4. Sim; produto 60.
5. \(y=8\).
6. \(d(t)=80t\); 80 km/h.
7. \(C(x)=6x+20\); não é diretamente proporcional porque \(C(0)=20\).
8. 10 dias.
9. 12 horas.
10. Taxa 5; valor inicial 30.
▶ Gabarito do Pratique 3
1. \(k=9\).
2. Taxa 7; valor inicial 25.
3. Sim; razão 7.
4. \(y=8\).
5. 30 km.
6. R$ 1.200,00; R$ 1.600,00; R$ 2.000,00.
7. 540 L.
8. 4.500 peças.
9. 16 dias.
10. 6 m.
▶ Gabarito da revisão e do aprofundamento
1. 70 km/h.
2. 90 hab./km².
3. 14 km/L.
4. 18 L/min.
5. \(k=15\).
6. Sim; razão 9.
7. Sim; produto 72.
8. \(y=15\).
9. Taxa 8.
10. Porque \(f(0)=20\).
11. 20 km.
12. \(1:300000\).
13. R$ 400,00; R$ 600,00; R$ 1.400,00.
14. R$ 1.200,00; R$ 1.500,00; R$ 2.700,00.
15. 4.000 peças.
16. 20 dias.
17. \(d(t)=75t\); 337,5 km.
18. \(C(t)=12t+35\); taxa de R$ 12,00/h; não é diretamente proporcional porque \(C(0)=35\).
19. Fator 16.
20. Fator 27.
Para lembrar: antes de aplicar qualquer regra, identifique como as grandezas se relacionam. Razão, proporcionalidade e taxa de variação são ferramentas para compreender relações entre quantidades, e não apenas procedimentos de cálculo.