Frações e seus diferentes significados
As frações aparecem em muitas situações do cotidiano. Elas podem representar uma parte de um inteiro, o resultado de uma divisão, uma razão entre quantidades ou uma operação aplicada a determinada quantidade.
Nesta postagem, estudaremos esses diferentes significados, as frações positivas e negativas, as frações equivalentes, a comparação, a ordenação e o cálculo de uma fração de uma quantidade.
Habilidades da BNCC
EF07MA08: comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros, resultado da divisão, razão e operador.
EF07MA09: utilizar, na resolução de problemas, a associação entre razão e fração.
EF07MA10: comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos e associá-los a pontos da reta numérica.
Organização pedagógica
- O que é uma fração?
- Fração como parte de um inteiro.
- Fração como resultado de uma divisão.
- Fração como razão.
- Fração como operador.
- Frações equivalentes.
- Comparação de frações.
- Ordenação de frações.
- Fração de uma quantidade.
1. O que é uma fração?
Uma fração é uma forma de representar uma quantidade por meio de dois números inteiros:
O número que aparece acima do traço é o numerador e o número que aparece abaixo é o denominador.
Exemplo. Na fração \(\frac{7}{10}\), o numerador é 7 e o denominador é 10. A leitura é sete décimos.
Frações positivas e negativas
Como o numerador e o denominador podem ser números inteiros, também podemos ter frações negativas.
Por convenção, é mais comum escrever o sinal negativo antes da fração:
Quando numerador e denominador são negativos, a fração é positiva:
Importante: o denominador de uma fração nunca pode ser zero.
Situação-problema. Em um jogo, uma equipe sofreu uma penalidade correspondente a \(\frac{4}{9}\) de uma unidade de pontuação. Como a alteração representa perda, escreva-a como uma fração com sinal.
2. Fração como parte de um inteiro
Uma fração pode representar uma ou mais partes de um inteiro dividido em partes iguais.
Imagine uma barra dividida em 8 partes iguais. Se 3 partes forem consideradas, temos:
O denominador 8 informa em quantas partes iguais o inteiro foi dividido, e o numerador 3 indica quantas dessas partes estão sendo consideradas.
Exemplo. Uma folha foi dividida em 6 partes iguais e 2 foram pintadas. A parte pintada corresponde a \(\frac{2}{6}\), enquanto a parte não pintada corresponde a \(\frac{4}{6}\).
Situação-problema. Uma horta escolar foi dividida em 10 canteiros de mesmo tamanho. Em 4 deles foram plantadas hortaliças. Que fração da horta foi utilizada?
3. Fração como resultado de uma divisão
Uma fração também pode representar o resultado de uma divisão:
Por exemplo:
Exemplo. Se 5 litros de suco forem distribuídos igualmente entre 8 recipientes, cada recipiente receberá:
Situação-problema. Quatro pizzas de mesmo tamanho serão divididas igualmente entre 6 pessoas, sem sobras. Que quantidade de pizza cada pessoa receberá?
Pratique 1: conceito, parte de um inteiro e divisão
1. Identifique o numerador e o denominador: a) \(\frac{3}{7}\); b) \(-\frac{8}{11}\); c) \(\frac{5}{12}\); d) \(-\frac{9}{20}\).
2. Escreva na forma de fração: a) cinco oitavos; b) sete décimos; c) onze doze avos; d) três quartos negativos.
3. Escreva como fração: a) \(5\div7\); b) \(8\div3\); c) \((-11)\div4\); d) \(3\div10\).
4. Indique se cada fração é positiva ou negativa: a) \(-\frac{4}{9}\); b) \(\frac{-7}{12}\); c) \(\frac{5}{-8}\); d) \(\frac{-6}{-11}\).
5. Escreva uma fração que represente: a) 4 partes consideradas entre 9 partes iguais; b) a divisão de 13 por 5; c) uma perda de 2 partes em 7.
6. Uma faixa decorativa foi dividida em 12 partes iguais e 5 foram pintadas. Que fração representa a parte pintada? E a parte que não foi pintada?
7. Três litros de suco serão distribuídos igualmente entre 5 garrafas. Que quantidade de suco será colocada em cada garrafa?
8. Um painel possui 20 quadrados iguais. Oito receberam figuras geométricas e os demais receberam números. Que fração corresponde a cada tipo? Quanto as duas frações representam juntas?
9. Em um jogo, uma equipe perdeu \(\frac{3}{8}\) de uma unidade de pontuação. Represente essa variação por uma fração com sinal e explique o significado do sinal.
10. Seis barras de cereal serão repartidas igualmente entre 9 estudantes. Que fração de uma barra corresponde à quantidade recebida por cada estudante?
4. Fração como razão
Uma fração pode ser usada para comparar duas quantidades. Nesse caso, ela representa uma razão.
Exemplo. Em uma caixa há 7 lápis pretos e 5 vermelhos.
A razão entre lápis vermelhos e pretos é:
A razão entre lápis vermelhos e o total de lápis é:
Atenção à ordem. A razão entre 12 meninas e 18 meninos é \(\frac{12}{18}\). A razão entre 18 meninos e 12 meninas é \(\frac{18}{12}\). As duas comparações não são iguais.
Situação-problema. Uma campanha arrecadou 24 livros de literatura e 16 histórias em quadrinhos.
a) A razão entre histórias em quadrinhos e livros de literatura é \(\frac{16}{24}\).
b) O total é \(24+16=40\), então a razão entre livros de literatura e o total arrecadado é \(\frac{24}{40}\).
5. Fração como operador
Uma fração pode indicar uma ação sobre uma quantidade. Por exemplo:
Podemos dividir a quantidade pelo denominador e multiplicar o resultado pelo numerador:
Também podemos representar diretamente:
Exemplo. Calcule \(\frac{4}{7}\) de 63.
Situação-problema. Uma biblioteca recebeu 84 livros. Desse total, \(\frac{5}{7}\) foram destinados às estantes de literatura. Quantos livros foram destinados?
6. Frações equivalentes
Frações equivalentes têm escritas diferentes, mas representam a mesma quantidade.
Podemos obter frações equivalentes multiplicando numerador e denominador pelo mesmo número diferente de zero.
Também podemos dividir numerador e denominador pelo mesmo número, quando isso for possível.
Esse processo é chamado de simplificação.
Exemplo. Encontre uma fração equivalente a \(\frac{4}{7}\) com denominador 21.
Situação-problema. Em uma turma, 12 de 18 estudantes concluíram uma tarefa. Em outra, 8 de 12 concluíram.
As duas turmas tiveram a mesma proporção de estudantes que concluíram a tarefa.
Pratique 2: razão, operador e frações equivalentes
1. Escreva como fração as razões: a) 7 para 9; b) 11 para 15; c) 4 para 13; d) 18 para 25.
2. Calcule: a) \(\frac{2}{3}\) de 27; b) \(\frac{5}{8}\) de 64; c) \(\frac{3}{7}\) de 56; d) \(\frac{4}{9}\) de 81.
3. Complete: a) \(\frac{2}{3}=\frac{\square}{12}\); b) \(\frac{5}{8}=\frac{15}{\square}\); c) \(\frac{7}{10}=\frac{\square}{30}\); d) \(\frac{18}{24}=\frac{3}{\square}\).
4. Simplifique: a) \(\frac{12}{18}\); b) \(\frac{20}{30}\); c) \(\frac{24}{36}\); d) \(\frac{35}{49}\).
5. Encontre uma fração equivalente: a) a \(\frac{3}{5}\) com denominador 20; b) a \(\frac{4}{7}\) com numerador 12; c) a \(\frac{5}{6}\) com denominador 30.
6. Em uma oficina há 14 estudantes do turno matutino e 21 do vespertino. Determine a razão entre matutino e vespertino e entre matutino e o total.
7. Para uma exposição foram produzidos 72 cartazes. \(\frac{5}{8}\) já foram colocados. Quantos foram colocados e quantos ainda faltam?
8. No grupo A, 15 de 20 estudantes concluíram uma tarefa. No grupo B, 18 de 24 concluíram. Escreva, simplifique e compare as frações.
9. Uma biblioteca possui 90 livros em uma estante, e \(\frac{2}{5}\) são de aventura. Quantos livros de aventura há nessa estante?
10. Em uma equipe há 8 estudantes responsáveis pela pesquisa e 12 pela apresentação. Escreva a razão entre pesquisa e apresentação e simplifique-a.
7. Comparação de frações
Comparar frações significa determinar se uma é maior, menor ou igual a outra.
Denominadores iguais
Quando os denominadores são iguais, comparamos os numeradores:
Denominadores diferentes
Podemos obter frações equivalentes com denominador comum.
Logo:
Frações positivas e negativas
Qualquer fração positiva é maior que qualquer fração negativa:
Ao comparar duas frações negativas, a que está mais próxima de zero é a maior.
Exemplo. Compare \(-\frac{5}{6}\) e \(-\frac{3}{4}\).
Situação-problema. Duas variações foram registradas: \(-\frac{2}{5}\) e \(-\frac{3}{10}\). Qual é maior?
8. Ordenação de frações
Ordenar frações é colocá-las em sequência. Na ordem crescente, vamos da menor para a maior; na ordem decrescente, da maior para a menor.
Na reta numérica, quanto mais à direita estiver um número, maior ele é.
Exemplo. Coloque em ordem crescente:
Com denominador 6:
Situação-problema. Quatro sensores registraram \(-\frac{1}{2}\), \(\frac{3}{4}\), \(-\frac{3}{8}\) e \(\frac{1}{4}\). Organize do menor para o maior.
9. Fração de uma quantidade
Para calcular \(\frac{a}{b}\) de uma quantidade, podemos dividir a quantidade pelo denominador e multiplicar o resultado pelo numerador.
Exemplo. Calcule \(\frac{3}{8}\) de 96.
Quando conhecemos a parte e queremos descobrir o total
Se \(\frac{3}{5}\) de uma quantidade corresponde a 27, então:
Situação-problema. Uma escola recebeu 160 mudas de plantas. Desse total, \(\frac{3}{8}\) foram destinadas ao jardim da entrada. Quantas mudas foram destinadas?
Pratique 3: comparação, ordenação e fração de uma quantidade
1. Compare usando \(>\), \(<\) ou \(=\): a) \(\frac{5}{8}\) e \(\frac{3}{8}\); b) \(\frac{2}{3}\) e \(\frac{3}{4}\); c) \(-\frac{2}{5}\) e \(\frac{1}{5}\); d) \(-\frac{3}{7}\) e \(-\frac{5}{7}\).
2. Coloque em ordem crescente: a) \(\frac{3}{5},\frac{1}{5},\frac{4}{5}\); b) \(-\frac{1}{2},\frac{1}{4},-\frac{3}{4},\frac{3}{4}\).
3. Calcule: a) \(\frac{3}{4}\) de 60; b) \(\frac{2}{7}\) de 84; c) \(\frac{5}{6}\) de 144; d) \(\frac{7}{10}\) de 320.
4. Coloque em ordem decrescente: \(-\frac{2}{3},\frac{1}{3},-\frac{1}{6},\frac{5}{6}\).
5. Sabendo que \(\frac{3}{5}\) de uma quantidade é 27, determine a quantidade total.
6. Um equipamento registrou \(-\frac{2}{5}\), \(-\frac{1}{4}\) e \(\frac{3}{10}\). Determine a menor e a maior variação e ordene as três.
7. As turmas A, B e C concluíram, respectivamente, \(\frac{3}{5}\), \(\frac{7}{10}\) e \(\frac{2}{3}\) de um projeto. Ordene da menor para a maior parte concluída.
8. Uma cooperativa separou \(\frac{5}{12}\) de 240 caixas para entrega pela manhã. Quantas foram separadas e quantas restaram?
9. Três sensores registraram \(-\frac{3}{4}\), \(-\frac{1}{2}\) e \(\frac{1}{4}\). Qual registro está mais próximo de zero? Coloque os três em ordem crescente.
10. De 180 mudas, \(\frac{7}{9}\) foram plantadas. Quantas mudas foram plantadas e quantas ainda restam?
Revisão e aprofundamento
Revisão e aprofundamento
1. Na fração \(-\frac{7}{9}\), indique numerador, denominador e sinal.
2. Escreva como fração: a) 5 partes de 12; b) divisão de 7 por 9; c) razão de 4 para 11.
3. Complete: a) \(\frac{3}{5}=\frac{\square}{20}\); b) \(\frac{7}{9}=\frac{21}{\square}\); c) \(-\frac{2}{3}=-\frac{\square}{12}\).
4. Compare: a) \(\frac{4}{7}\) e \(\frac{5}{7}\); b) \(-\frac{3}{5}\) e \(-\frac{2}{5}\); c) \(-\frac{1}{3}\) e \(\frac{1}{6}\).
5. Coloque em ordem crescente: \(-\frac{3}{4},\frac{2}{5},-\frac{1}{2},\frac{4}{5}\).
6. Calcule: a) \(\frac{4}{9}\) de 81; b) \(\frac{7}{12}\) de 144; c) \(\frac{3}{5}\) de 250.
7. Simplifique: a) \(\frac{16}{24}\); b) \(\frac{21}{28}\); c) \(\frac{30}{45}\).
8. Escreva duas frações equivalentes a \(\frac{3}{4}\).
9. Determine o total sabendo que \(\frac{2}{7}\) dele corresponde a 18.
10. Ordene em ordem decrescente: \(\frac{5}{6},-\frac{1}{3},\frac{1}{2},-\frac{2}{3}\).
11. Uma torta foi dividida em 10 pedaços iguais e restaram 3. Que fração representa a parte restante e a parte consumida?
12. Cinco barras de cereal serão divididas igualmente entre 8 estudantes. Que fração de uma barra cada estudante receberá?
13. Uma equipe possui 12 atletas no grupo principal e 8 no grupo de apoio. Determine a razão entre apoio e principal e entre principal e total.
14. De 180 exemplares, \(\frac{2}{5}\) foram destinados às salas de leitura. Quantos foram destinados e quantos permaneceram na biblioteca central?
15. Três reservatórios registraram \(-\frac{3}{8}\), \(\frac{1}{4}\) e \(-\frac{1}{2}\). Ordene os registros e indique o mais próximo de zero.
16. Na oficina A, 18 de 24 inscritos participaram. Na B, 21 de 28. Escreva, simplifique e compare as frações.
17. Uma escola recebeu 280 livros e destinou \(\frac{3}{7}\) às salas de aula. Quantos livros foram destinados e quantos ficaram na biblioteca?
18. Em uma trilha, três grupos completaram \(\frac{5}{8}\), \(\frac{2}{3}\) e \(\frac{3}{4}\) do percurso. Ordene as frações da menor para a maior.
19. Em um registro de variações, apareceram \(-\frac{5}{6}\), \(-\frac{2}{3}\) e \(-\frac{3}{4}\). Qual é a maior variação? Ordene-as em ordem crescente.
20. Em uma turma, \(\frac{4}{5}\) dos estudantes entregaram uma atividade, correspondendo a 28 estudantes. Quantos estudantes há na turma?
Gabaritos
Gabarito do Pratique 1
1. a) 3 e 7; b) \(-8\) e 11; c) 5 e 12; d) \(-9\) e 20.
2. a) \(\frac{5}{8}\); b) \(\frac{7}{10}\); c) \(\frac{11}{12}\); d) \(-\frac{3}{4}\).
3. a) \(\frac{5}{7}\); b) \(\frac{8}{3}\); c) \(-\frac{11}{4}\); d) \(\frac{3}{10}\).
4. a) negativa; b) negativa; c) negativa; d) positiva.
5. a) \(\frac{4}{9}\); b) \(\frac{13}{5}\); c) \(-\frac{2}{7}\).
6. Pintada: \(\frac{5}{12}\); não pintada: \(\frac{7}{12}\).
7. \(\frac{3}{5}\) de litro.
8. Figuras: \(\frac{8}{20}\); números: \(\frac{12}{20}\); juntas: \(1\).
9. \(-\frac{3}{8}\); o sinal negativo indica perda.
10. \(\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\) de uma barra.
Gabarito do Pratique 2
1. a) \(\frac{7}{9}\); b) \(\frac{11}{15}\); c) \(\frac{4}{13}\); d) \(\frac{18}{25}\).
2. a) 18; b) 40; c) 24; d) 36.
3. a) 8; b) 24; c) 21; d) 4.
4. a) \(\frac{2}{3}\); b) \(\frac{2}{3}\); c) \(\frac{2}{3}\); d) \(\frac{5}{7}\).
5. a) \(\frac{12}{20}\); b) \(\frac{12}{21}\); c) \(\frac{25}{30}\).
6. \(\frac{14}{21}=\frac{2}{3}\) e \(\frac{14}{35}=\frac{2}{5}\).
7. 45 cartazes colocados e 27 restantes.
8. \(\frac{15}{20}=\frac{3}{4}\) e \(\frac{18}{24}=\frac{3}{4}\); equivalentes.
9. 36 livros de aventura.
10. \(\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\).
Gabarito do Pratique 3
1. a) \(>\); b) \(<\); c) \(<\); d) \(>\).
2. a) \(\frac{1}{5}<\frac{3}{5}<\frac{4}{5}\); b) \(-\frac{3}{4}<-\frac{1}{2}<\frac{1}{4}<\frac{3}{4}\).
3. a) 45; b) 24; c) 120; d) 224.
4. \(\frac{5}{6}>\frac{1}{3}>-\frac{1}{6}>-\frac{2}{3}\).
5. 45.
6. \(-\frac{2}{5}<-\frac{1}{4}<\frac{3}{10}\); menor \(-\frac{2}{5}\), maior \(\frac{3}{10}\).
7. \(\frac{3}{5}<\frac{2}{3}<\frac{7}{10}\): A, C, B.
8. 100 caixas separadas e 140 restantes.
9. \(-\frac{3}{4}<-\frac{1}{2}<\frac{1}{4}\); mais próximo de zero: \(\frac{1}{4}\).
10. 140 mudas plantadas e 40 restantes.
Gabarito da revisão e do aprofundamento
1. Numerador \(-7\), denominador 9, fração negativa.
2. a) \(\frac{5}{12}\); b) \(\frac{7}{9}\); c) \(\frac{4}{11}\).
3. a) 12; b) 27; c) 8.
4. a) \(<\); b) \(<\); c) \(<\).
5. \(-\frac{3}{4}<-\frac{1}{2}<\frac{2}{5}<\frac{4}{5}\).
6. a) 36; b) 84; c) 150.
7. a) \(\frac{2}{3}\); b) \(\frac{3}{4}\); c) \(\frac{2}{3}\).
8. Exemplo: \(\frac{6}{8}\) e \(\frac{9}{12}\).
9. 63.
10. \(\frac{5}{6}>\frac{1}{2}>-\frac{1}{3}>-\frac{2}{3}\).
11. Restante: \(\frac{3}{10}\); consumida: \(\frac{7}{10}\).
12. \(\frac{5}{8}\) de uma barra.
13. \(\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\) e \(\frac{12}{20}=\frac{3}{5}\).
14. 72 destinados e 108 restantes.
15. \(-\frac{1}{2}<-\frac{3}{8}<\frac{1}{4}\); mais próximo de zero: \(\frac{1}{4}\).
16. \(\frac{18}{24}=\frac{3}{4}\) e \(\frac{21}{28}=\frac{3}{4}\); mesma proporção.
17. 120 livros destinados e 160 restantes.
18. \(\frac{5}{8}<\frac{2}{3}<\frac{3}{4}\).
19. \(-\frac{5}{6}<-\frac{3}{4}<-\frac{2}{3}\); maior: \(-\frac{2}{3}\).
20. 35 estudantes.