Números racionais e operações
Na postagem anterior, estudamos as frações e seus diferentes significados. Agora vamos ampliar esse conhecimento e estudar o conjunto dos números racionais.
Os números racionais aparecem em situações envolvendo medidas, temperaturas, saldos, distâncias, resultados de divisões e variações. Nesta postagem, trabalharemos tanto com a forma fracionária quanto com a forma decimal, incluindo números positivos e negativos.
Habilidades da BNCC
EF07MA10: comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos e associá-los a pontos da reta numérica.
EF07MA11: compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, relacionando-as às propriedades das operações.
EF07MA12: resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.
Organização pedagógica
- Números racionais e suas representações.
- Números racionais positivos e negativos.
- Números racionais na reta numérica.
- Comparação e ordenação de números racionais.
- Adição e subtração de números racionais.
- Multiplicação e divisão de números racionais.
- Potenciação de números racionais.
- Expressões numéricas com números racionais.
- Resolução de problemas com números racionais.
1. Números racionais e suas representações
Um número racional é todo número que pode ser escrito na forma:
em que \(a\) e \(b\) são números inteiros. O conjunto dos números racionais é representado por \(\mathbb{Q}\).
Exemplos:
Um mesmo número racional pode possuir diferentes representações.
Da forma fracionária para a decimal
Para transformar uma fração em número decimal, dividimos o numerador pelo denominador.
Da forma decimal para a fracionária
Um número decimal pode ser escrito como fração usando 10, 100, 1.000 e outras potências de 10 no denominador, conforme a quantidade de casas decimais.
Todo número inteiro é racional
Exemplo resolvido. Escreva \(1,75\) na forma de fração irredutível.
Uma garrafa contém \(0,6\) L de suco. Que fração de um litro essa quantidade representa?
Portanto, a garrafa contém \(\frac{3}{5}\) de litro.
2. Números racionais positivos e negativos
Os números racionais podem ser positivos ou negativos.
são positivos, enquanto:
são negativos. O zero não é positivo nem negativo.
Números opostos
Dois números com o mesmo valor absoluto e sinais contrários são opostos.
Exemplo resolvido. O oposto de \(-\frac{7}{10}\) é:
Um mergulhador está a \(4,5\) m abaixo do nível de referência. Sua posição é \(-4,5\) m. Um ponto localizado \(4,5\) m acima do mesmo nível é representado por \(+4,5\) m. Esses dois números são opostos.
3. Números racionais na reta numérica
Na reta numérica, o zero é a origem, os números positivos ficam à direita e os negativos ficam à esquerda. Quanto mais à direita estiver um número, maior ele será.
Localizando um número decimal
O número \(-0,7\) está entre \(-1\) e \(0\). Como:
podemos dividir o intervalo entre \(-1\) e \(0\) em 10 partes iguais para localizá-lo.
Localizando uma fração
Logo, \(\frac{5}{4}\) está entre 1 e 2.
Frações negativas na reta
Portanto, \(-\frac{3}{2}\) está no ponto médio entre \(-2\) e \(-1\).
Exemplo resolvido. Entre quais inteiros está \(\frac{7}{3}\)?
Três registros foram \(-1,5\), \(0\) e \(\frac{3}{4}\). Como \(\frac{3}{4}=0,75\), da esquerda para a direita na reta temos:
Pratique 1: números racionais, representações e reta numérica
1. Indique quais dos números \(\frac{5}{7},-3,0,25,-\frac{9}{4},0\) são racionais.
2. Escreva na forma decimal: a) \(\frac{1}{2}\); b) \(\frac{3}{4}\); c) \(-\frac{7}{5}\); d) \(\frac{9}{20}\).
3. Escreva na forma de fração irredutível: a) \(0,4\); b) \(0,75\); c) \(-1,5\); d) \(2,25\).
4. Escreva o número oposto de: a) \(\frac{4}{7}\); b) \(-2,3\); c) \(-\frac{5}{8}\); d) \(1,25\).
5. Indique entre quais dois inteiros consecutivos está cada número: a) \(\frac{7}{4}\); b) \(-2,6\); c) \(\frac{11}{3}\); d) \(-\frac{5}{2}\).
6. Uma embalagem contém \(0,75\) kg de produto. Escreva essa quantidade na forma de fração irredutível.
7. Pela manhã, um termômetro registrou \(-1,5^\circ\text{C}\). À tarde, registrou \(2,5^\circ\text{C}\). Em que lados do zero esses números ficam na reta?
8. Um elevador está a \(2,5\) m abaixo do nível de referência. Represente essa posição e escreva seu oposto.
9. Em uma corrida, um atleta percorreu \(1,25\) km de determinado trecho. Escreva essa medida na forma de fração irredutível.
10. Três sensores registraram \(-\frac{3}{2}\), \(0,5\) e \(\frac{5}{4}\). Converta as frações para a forma decimal e organize os três registros da esquerda para a direita.
4. Comparação e ordenação de números racionais
Para comparar números racionais, podemos escrevê-los em uma mesma representação.
Frações com denominadores iguais
Frações com denominadores diferentes
Números negativos
Exemplo resolvido. Compare \(-\frac{3}{5}\) e \(-0,7\).
Três estudantes concluíram \(\frac{3}{5}\), \(0,75\) e \(\frac{2}{3}\) de uma atividade. Como \(\frac{3}{5}=0,6\) e \(\frac{2}{3}=0,666\ldots\), temos:
5. Adição e subtração de números racionais
Frações com denominadores iguais
Frações com denominadores diferentes
Subtração de frações
Frações negativas
Forma decimal
Exemplo resolvido.
Um reservatório apresentava uma variação de \(-\frac{1}{4}\) L. Depois houve um acréscimo de \(\frac{3}{5}\) L.
A variação final foi de \(\frac{7}{20}\) L.
6. Multiplicação e divisão de números racionais
As regras de sinais estudadas com os números inteiros continuam válidas.
Multiplicação de frações
Simplificação antes de multiplicar
Divisão de frações
Na divisão, conservamos a primeira fração e multiplicamos pelo inverso da segunda.
Forma decimal
Exemplo resolvido.
Uma fita com \(\frac{9}{4}\) m será dividida em pedaços de \(\frac{3}{8}\) m.
Podem ser obtidos 6 pedaços.
Pratique 2: comparação e operações com números racionais
1. Compare: a) \(\frac{3}{5}\) e \(0,7\); b) \(-\frac{2}{3}\) e \(-0,5\); c) \(\frac{3}{4}\) e \(0,75\); d) \(-1,2\) e \(-\frac{5}{4}\).
2. Coloque em ordem crescente: \(-\frac{3}{4},0,5,-\frac{1}{2},\frac{2}{5}\).
3. Calcule: a) \(\frac{2}{3}+\frac{5}{6}\); b) \(-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\); c) \(\frac{7}{10}-\frac{2}{5}\); d) \(-\frac{2}{3}-\frac{1}{6}\).
4. Calcule: a) \(\frac{3}{5}\cdot\frac{10}{9}\); b) \(-\frac{4}{7}\cdot\frac{14}{5}\); c) \(\frac{5}{8}\div\frac{15}{16}\); d) \(-\frac{3}{10}\div\frac{9}{20}\).
5. Efetue: a) \(-2,4+1,75\); b) \(3,6-5,25\); c) \(-1,2\cdot2,5\); d) \(7,2\div(-1,8)\).
6. Em uma experiência, a primeira alteração foi de \(-1,8^\circ\text{C}\) e a segunda de \(2,5^\circ\text{C}\). Qual foi a variação resultante?
7. Uma equipe percorreu \(\frac{3}{5}\) de um trajeto pela manhã e \(\frac{1}{4}\) à tarde. Que fração foi percorrida e que fração ainda falta?
8. Uma peça possui \(\frac{7}{3}\) m e será dividida em segmentos de \(\frac{7}{12}\) m. Quantos segmentos completos serão obtidos?
9. Um reservatório apresentava variação de \(-\frac{2}{5}\) da capacidade. Depois ocorreu acréscimo de \(\frac{3}{4}\). Qual é a variação resultante?
10. Uma faixa de \(\frac{5}{2}\) m será usada em peças que consomem \(\frac{5}{12}\) m cada. Quantas peças completas poderão ser produzidas?
7. Potenciação de números racionais
A potenciação representa uma multiplicação de fatores iguais.
Potência de uma fração
Base negativa
Atenção: com base negativa, expoente par produz resultado positivo e expoente ímpar produz resultado negativo.
Parênteses
Números decimais
Exemplo resolvido.
Um quadrado possui lado medindo \(\frac{3}{5}\) m.
A área é \(\frac{9}{25}\text{ m}^2\).
8. Expressões numéricas com números racionais
Nas expressões numéricas, resolvemos primeiro os agrupamentos, depois as potenciações, depois multiplicações e divisões e, por fim, adições e subtrações.
Exemplo.
Com números negativos
Com potenciação
Com números decimais
Uso dos parênteses
Exemplo resolvido.
Uma atividade atribui inicialmente \(2,5\) pontos e acrescenta duas parcelas de \(0,75\) ponto.
A pontuação final é 4 pontos.
9. Resolução de problemas com números racionais
Antes de calcular, identifique os dados, determine o que deve ser encontrado, escolha as operações e verifique se o resultado faz sentido.
Exemplo. Uma temperatura era de \(-2,5^\circ\text{C}\) e aumentou \(4,2^\circ\text{C}\).
A nova temperatura é \(1,7^\circ\text{C}\).
Uma caixa estava com \(\frac{3}{4}\) de sua capacidade ocupada e foram retirados \(\frac{2}{5}\) da capacidade total.
Uma fita possui \(\frac{15}{4}\) m e cada pedaço mede \(\frac{3}{8}\) m.
Podem ser obtidos 10 pedaços.
Uma caixa contém 24 kg de material. Pela manhã foram utilizados \(\frac{3}{8}\) do total e à tarde mais \(4,5\) kg.
Restaram 10,5 kg.
Pratique 3: potenciação, expressões e problemas com números racionais
1. Calcule: a) \(\left(\frac{2}{3}\right)^2\); b) \(\left(-\frac{3}{5}\right)^2\); c) \(\left(-\frac{1}{2}\right)^3\); d) \((0,4)^2\).
2. Determine o sinal do resultado antes de calcular: a) \(\left(-\frac{2}{5}\right)^4\); b) \(\left(-\frac{2}{5}\right)^5\); c) \((-0,3)^2\); d) \((-0,3)^3\).
3. Calcule: a) \(\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}\); b) \(\left(\frac{5}{6}-\frac{1}{3}\right)\cdot2\); c) \(\left(-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\); d) \(3,5-0,8\cdot2\).
4. Resolva: a) \(\left(\frac{2}{3}\right)^2+\frac{5}{9}\); b) \(\frac{3}{4}\div\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\); c) \(-1,5+0,4\cdot5\); d) \((1,2)^2-0,44\).
5. Compare \(\left(-\frac{2}{3}\right)^2\) e \(-\left(\frac{2}{3}\right)^2\) e explique por que são diferentes.
6. Um terreno quadrado possui lado medindo \(\frac{5}{4}\) m. Qual é a área?
7. Uma caixa contém 30 kg de material. Pela manhã foram usados \(\frac{2}{5}\) do total e à tarde mais \(6,5\) kg. Quantos quilogramas restaram?
8. Uma fita de \(\frac{21}{4}\) m será cortada em pedaços de \(\frac{7}{8}\) m. Quantos pedaços completos serão obtidos?
9. Uma temperatura estava em \(-3,2^\circ\text{C}\), aumentou \(5,7^\circ\text{C}\) e depois diminuiu \(1,8^\circ\text{C}\). Qual foi a temperatura final?
10. Um reservatório estava com \(\frac{5}{6}\) da capacidade ocupada. Foi usada \(\frac{1}{4}\) da capacidade total e depois acrescentada \(\frac{1}{6}\). Que fração ficou ocupada?
Revisão e aprofundamento
Revisão e aprofundamento
1. Escreva na forma decimal: a) \(\frac{7}{10}\); b) \(-\frac{9}{4}\); c) \(\frac{3}{8}\); d) \(-\frac{11}{5}\).
2. Escreva como fração irredutível: a) \(0,6\); b) \(1,25\); c) \(-0,75\); d) \(-2,4\).
3. Compare: a) \(\frac{4}{5}\) e \(0,75\); b) \(-\frac{2}{3}\) e \(-0,6\); c) \(\frac{7}{10}\) e \(0,7\); d) \(-1,25\) e \(-\frac{6}{5}\).
4. Coloque em ordem crescente: \(-\frac{5}{4},0,4,-\frac{3}{5},\frac{2}{3}\).
5. Calcule: a) \(\frac{3}{4}+\frac{5}{8}\); b) \(-\frac{2}{3}+\frac{5}{6}\); c) \(\frac{7}{9}-\frac{1}{3}\); d) \(-\frac{5}{6}-\frac{1}{4}\).
6. Calcule: a) \(\frac{4}{5}\cdot\frac{15}{8}\); b) \(-\frac{3}{7}\cdot\frac{14}{9}\); c) \(\frac{5}{6}\div\frac{10}{9}\); d) \(-\frac{8}{15}\div\frac{4}{5}\).
7. Efetue: a) \(-3,5+1,8\); b) \(4,2-6,75\); c) \(-1,4\cdot2,5\); d) \(9,6\div(-2,4)\).
8. Calcule: a) \(\left(\frac{3}{4}\right)^2\); b) \(\left(-\frac{2}{5}\right)^3\); c) \((-0,5)^2\); d) \((-0,2)^3\).
9. Resolva: a) \(\frac{1}{2}+\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{6}\); b) \(\left(\frac{7}{8}-\frac{3}{8}\right)\div\frac{1}{2}\); c) \(\left(-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\); d) \(2,5-0,4\cdot3\).
10. Resolva \(\left[\frac{3}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)\right]\cdot\frac{4}{5}\).
11. Uma embalagem contém \(1,5\) kg de alimento. Escreva essa quantidade na forma de fração irredutível.
12. Pela manhã, um termômetro marcou \(-2,4^\circ\text{C}\). À tarde, a temperatura aumentou \(5,7^\circ\text{C}\). Qual foi a temperatura registrada?
13. Um estudante completou \(\frac{3}{5}\) de uma atividade pela manhã e \(\frac{1}{4}\) à tarde. Que fração foi concluída? Que fração ainda falta?
14. Uma fita de \(\frac{15}{4}\) m será cortada em pedaços de \(\frac{5}{8}\) m. Quantos pedaços completos serão obtidos?
15. Um reservatório estava com \(\frac{7}{10}\) da capacidade ocupada. Foram retirados \(\frac{1}{4}\) da capacidade total. Que fração permaneceu ocupada?
16. Uma equipe iniciou com \(2,5\) pontos, recebeu \(1,75\) ponto e sofreu penalidade de \(0,8\) ponto. Qual foi a pontuação final?
17. Uma caixa contém 48 kg. Pela manhã foram utilizados \(\frac{3}{8}\) do total e à tarde mais \(7,5\) kg. Quantos quilogramas restaram?
18. Um quadrado possui lado medindo \(\frac{7}{5}\) m. Qual é sua área?
19. Três medições foram \(-\frac{3}{4},-0,6,\frac{2}{5}\). Coloque-as em ordem crescente e indique a mais próxima de zero.
20. Um recipiente continha 18 L. Foram retirados \(\frac{2}{3}\) do total e depois acrescentados \(4,5\) L. Quantos litros ficaram?
Gabaritos
Gabarito do Pratique 1
1. Todos são racionais.
2. a) \(0,5\); b) \(0,75\); c) \(-1,4\); d) \(0,45\).
3. a) \(\frac{2}{5}\); b) \(\frac{3}{4}\); c) \(-\frac{3}{2}\); d) \(\frac{9}{4}\).
4. a) \(-\frac{4}{7}\); b) \(2,3\); c) \(\frac{5}{8}\); d) \(-1,25\).
5. a) entre 1 e 2; b) entre \(-3\) e \(-2\); c) entre 3 e 4; d) entre \(-3\) e \(-2\).
6. \(\frac{3}{4}\).
7. \(-1,5\) à esquerda; \(2,5\) à direita.
8. \(-2,5\); oposto \(2,5\).
9. \(\frac{5}{4}\).
10. \(-1,5<0,5<1,25\).
Gabarito do Pratique 2
1. a) \(<\); b) \(<\); c) \(=\); d) \(>\).
2. \(-\frac{3}{4}<-\frac{1}{2}<\frac{2}{5}<0,5\).
3. a) \(\frac{3}{2}\); b) \(-\frac{1}{4}\); c) \(\frac{3}{10}\); d) \(-\frac{5}{6}\).
4. a) \(\frac{2}{3}\); b) \(-\frac{8}{5}\); c) \(\frac{2}{3}\); d) \(-\frac{2}{3}\).
5. a) \(-0,65\); b) \(-1,65\); c) \(-3\); d) \(-4\).
6. \(0,7^\circ\text{C}\).
7. Percorrido \(\frac{17}{20}\); falta \(\frac{3}{20}\).
8. 4 segmentos.
9. \(\frac{7}{20}\).
10. 6 peças.
Gabarito do Pratique 3
1. a) \(\frac{4}{9}\); b) \(\frac{9}{25}\); c) \(-\frac{1}{8}\); d) \(0,16\).
2. a) positivo; b) negativo; c) positivo; d) negativo.
3. a) 1; b) 1; c) 1; d) \(1,9\).
4. a) 1; b) 1; c) \(0,5\); d) 1.
5. \(\left(-\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}\) e \(-\left(\frac{2}{3}\right)^2=-\frac{4}{9}\).
6. \(\frac{25}{16}\text{ m}^2\).
7. \(11,5\) kg.
8. 6 pedaços.
9. \(0,7^\circ\text{C}\).
10. \(\frac{3}{4}\).
Gabarito da revisão e do aprofundamento
1. a) \(0,7\); b) \(-2,25\); c) \(0,375\); d) \(-2,2\).
2. a) \(\frac{3}{5}\); b) \(\frac{5}{4}\); c) \(-\frac{3}{4}\); d) \(-\frac{12}{5}\).
3. a) \(>\); b) \(<\); c) \(=\); d) \(<\).
4. \(-\frac{5}{4}<-\frac{3}{5}<0,4<\frac{2}{3}\).
5. a) \(\frac{11}{8}\); b) \(\frac{1}{6}\); c) \(\frac{4}{9}\); d) \(-\frac{13}{12}\).
6. a) \(\frac{3}{2}\); b) \(-\frac{2}{3}\); c) \(\frac{3}{4}\); d) \(-\frac{2}{3}\).
7. a) \(-1,7\); b) \(-2,55\); c) \(-3,5\); d) \(-4\).
8. a) \(\frac{9}{16}\); b) \(-\frac{8}{125}\); c) \(0,25\); d) \(-0,008\).
9. a) 1; b) 1; c) 1; d) \(1,3\).
10. 1.
11. \(\frac{3}{2}\).
12. \(3,3^\circ\text{C}\).
13. Concluído \(\frac{17}{20}\); falta \(\frac{3}{20}\).
14. 6 pedaços.
15. \(\frac{9}{20}\).
16. \(3,45\) pontos.
17. \(22,5\) kg.
18. \(\frac{49}{25}\text{ m}^2=1,96\text{ m}^2\).
19. \(-\frac{3}{4}<-0,6<\frac{2}{5}\); mais próximo de zero: \(\frac{2}{5}\).
20. \(10,5\) L.