Grandezas proporcionais e não proporcionais
Quando duas grandezas variam, podemos investigar se existe uma relação de proporcionalidade entre elas. Em algumas situações, ao aumentar uma grandeza, a outra aumenta na mesma proporção. Em outras, uma aumenta enquanto a outra diminui proporcionalmente. Há ainda relações em que nenhuma dessas regularidades ocorre.
Nesta postagem, vamos identificar grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais e não proporcionais, escrever sentenças algébricas para essas relações, representá-las no plano cartesiano e resolver problemas utilizando diferentes estratégias.
Habilidades da BNCC
EF08MA12: identificar a natureza da variação de duas grandezas, diretamente, inversamente proporcionais ou não proporcionais, expressando a relação existente por meio de sentença algébrica e representá-la no plano cartesiano.
EF08MA13: resolver e elaborar problemas que envolvam grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, por meio de estratégias variadas.
1. Grandezas e variação
Uma grandeza é tudo aquilo que pode ser medido ou comparado, como tempo, distância, massa, volume, preço e quantidade.
Quando duas grandezas aparecem relacionadas, não basta perceber que ambas aumentam ou que uma aumenta enquanto a outra diminui. Para existir proporcionalidade, a variação precisa ocorrer segundo uma razão constante ou um produto constante, dependendo do tipo de relação.
Exemplo resolvido 1. Uma papelaria vende cadernos iguais a 8 reais cada.
| Quantidade de cadernos | Preço total (reais) |
|---|---|
| 1 | 8 |
| 2 | 16 |
| 3 | 24 |
| 5 | 40 |
Quando a quantidade dobra, o preço dobra. Quando a quantidade triplica, o preço triplica.
Além disso, a razão entre o preço e a quantidade é sempre a mesma:
Por isso, as grandezas são diretamente proporcionais.
2. Grandezas diretamente proporcionais
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando variam na mesma proporção. Se uma dobra, a outra também dobra; se uma é multiplicada por 3, a outra também é multiplicada por 3.
O número \(k\) é chamado de constante de proporcionalidade.
Exemplo resolvido 2. A quantidade \(y\) é diretamente proporcional a \(x\), com constante de proporcionalidade 3.
| \(x\) | \(y\) | \(\frac{y}{x}\) |
|---|---|---|
| 1 | 3 | 3 |
| 2 | 6 | 3 |
| 4 | 12 | 3 |
A razão \(\frac{y}{x}\) permanece constante e igual a 3.
O gráfico de duas grandezas diretamente proporcionais é uma reta que passa pela origem \((0,0)\).
Importante: uma reta, sozinha, não garante proporcionalidade direta. Para representar grandezas diretamente proporcionais na forma \(y=kx\), a reta precisa passar pela origem.
3. Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando uma aumenta e a outra diminui na mesma proporção.
Por exemplo, se uma grandeza dobra, a outra fica reduzida à metade. Se uma triplica, a outra fica reduzida à terça parte.
Nesse caso, o produto entre os valores correspondentes permanece constante.
Exemplo resolvido 3. Para realizar determinada tarefa, o produto entre o número de trabalhadores e o tempo necessário é 24.
| Trabalhadores | Tempo (horas) | Produto |
|---|---|---|
| 2 | 12 | \(2\cdot12=24\) |
| 3 | 8 | \(3\cdot8=24\) |
| 4 | 6 | \(4\cdot6=24\) |
| 6 | 4 | \(6\cdot4=24\) |
A relação pode ser escrita como:
ou:
O gráfico da proporcionalidade inversa é uma curva. No 8º ano, o mais importante é compreender que, quando uma grandeza aumenta proporcionalmente, a outra diminui, mantendo constante o produto dos valores correspondentes.
4. Grandezas não proporcionais
Duas grandezas podem estar relacionadas sem serem diretamente nem inversamente proporcionais.
Exemplo resolvido 4. Um serviço cobra 5 reais de taxa fixa mais 2 reais por quilômetro percorrido.
| Distância \(x\) (km) | Preço \(y\) (reais) | \(\frac{y}{x}\) |
|---|---|---|
| 1 | 7 | 7 |
| 2 | 9 | 4,5 |
| 5 | 15 | 3 |
A razão \(\frac{y}{x}\) não é constante. Além disso, se a distância for zero, o preço ainda será 5 reais devido à taxa fixa. Portanto, não há proporcionalidade direta.
Também não há proporcionalidade inversa, pois o produto \(xy\) não permanece constante.
A relação é representada por uma reta, mas ela não passa pela origem. Por isso, não representa proporcionalidade direta.
5. Como reconhecer cada tipo de relação?
| Tipo de relação | O que permanece constante? | Forma algébrica | Comportamento |
|---|---|---|---|
| Diretamente proporcional | \(\frac{y}{x}\) | \(y=kx\) | As duas variam na mesma proporção |
| Inversamente proporcional | \(xy\) | \(y=\frac{k}{x}\) | Uma aumenta enquanto a outra diminui proporcionalmente |
| Não proporcional | Não há razão ou produto constante que caracterize os casos anteriores | Depende da situação | A relação não segue proporcionalidade direta nem inversa |
Pratique 1 — Identificação da proporcionalidade
1. Classifique como diretamente proporcional, inversamente proporcional ou não proporcional: \(y=5x\).
2. Classifique a relação \(xy=40\).
3. Classifique \(y=3x+4\).
4. Verifique se os pares \((1,4)\), \((2,8)\), \((5,20)\) representam grandezas diretamente proporcionais.
5. Verifique se os pares \((2,18)\), \((3,12)\), \((6,6)\) representam grandezas inversamente proporcionais.
6. O preço de combustível comprado em um posto, mantendo fixo o preço por litro, e a quantidade de litros são grandezas de que tipo?
7. Para uma distância fixa, velocidade constante e tempo de viagem são grandezas de que tipo?
8. Um estacionamento cobra 10 reais de entrada mais 4 reais por hora. O preço e o número de horas são diretamente proporcionais? Justifique.
9. Em uma receita, 2 xícaras de farinha correspondem a 3 porções e 4 xícaras correspondem a 6 porções. Mantido o mesmo padrão, qual tipo de proporcionalidade está presente?
10. Dê um exemplo de duas grandezas relacionadas que não sejam proporcionais e explique por quê.
6. Resolvendo problemas de proporcionalidade direta
Podemos usar diferentes estratégias: raciocínio multiplicativo, proporção, sentença algébrica ou regra de três.
Exemplo resolvido 5. Quatro caixas contêm, ao todo, 48 garrafas. Mantendo a mesma quantidade em cada caixa, quantas garrafas haverá em 7 caixas?
1ª maneira: valor unitário
Cada caixa contém 12 garrafas.
2ª maneira: proporção
Resposta: 84 garrafas.
Regra de três simples direta
Na regra de três, primeiro organizamos os valores correspondentes. Depois, analisamos como as grandezas variam.
Exemplo resolvido 6. Uma máquina produz 150 peças em 3 horas. Quantas peças produzirá em 8 horas, mantendo o mesmo ritmo?
1º passo: organizar as grandezas.
| Tempo (h) | Peças |
|---|---|
| 3 ↓ | 150 ↓ |
| 8 | \(x\) |
2º passo: analisar as setas.
Ao aumentar o tempo de 3 para 8 horas, a quantidade produzida também aumenta. Como as grandezas são diretamente proporcionais, as setas ficam no mesmo sentido:
3º passo: montar a proporção seguindo as setas.
Como as duas setas já estão no mesmo sentido, não precisamos inverter nenhuma razão:
4º passo: resolver.
Resposta: 400 peças.
7. Resolvendo problemas de proporcionalidade inversa
Regra de três simples inversa
Quando as grandezas são inversamente proporcionais, as setas ficam em sentidos contrários. Nesse caso, antes de montar a proporção, invertemos uma das razões para que as setas passem a ter o mesmo sentido.
Exemplo resolvido 7. Se 6 trabalhadores realizam uma tarefa em 10 dias, em quantos dias 12 trabalhadores, com o mesmo ritmo de trabalho, realizarão a mesma tarefa?
1º passo: organizar as grandezas.
| Trabalhadores | Dias |
|---|---|
| 6 ↓ | 10 ↑ |
| 12 | \(x\) |
2º passo: analisar as setas.
O número de trabalhadores aumenta de 6 para 12. Para realizar a mesma tarefa, o número de dias diminui. Portanto, as grandezas são inversamente proporcionais:
3º passo: inverter uma das razões.
Como as setas estão em sentidos contrários, a relação é inversamente proporcional. Para montar a proporção, invertemos uma das razões. Mantendo a razão dos trabalhadores e invertendo a razão dos dias:
4º passo: resolver.
Resposta: 5 dias.
Exemplo resolvido 8. Um veículo percorre uma distância fixa em 6 horas, mantendo velocidade média de 80 km/h. Se a velocidade média passar para 120 km/h, quanto tempo será necessário para percorrer a mesma distância?
1º passo: organizar e comparar as grandezas.
| Velocidade (km/h) | Tempo (h) |
|---|---|
| 80 ↓ | 6 ↑ |
| 120 | \(x\) |
A velocidade aumenta e, para a mesma distância, o tempo diminui. Logo, as grandezas são inversamente proporcionais.
2º passo: inverter uma das razões.
Vamos inverter a coluna do tempo para deixar as duas setas no mesmo sentido:
Como as setas estão em sentidos contrários, invertemos uma das razões. Mantendo a razão da velocidade e invertendo a razão do tempo:
Agora montamos:
3º passo: resolver.
Resposta: 4 horas.
Antes de montar a proporção, identifique a relação. Se as setas tiverem o mesmo sentido, a proporcionalidade é direta e mantemos as razões como foram organizadas. Se tiverem sentidos contrários, a proporcionalidade é inversa e invertemos uma das razões antes de escrever a proporção.
Pratique 2 — Proporcionalidade direta e inversa em problemas
1. Se 5 cadernos custam 60 reais, quanto custarão 8 cadernos iguais?
2. Uma torneira despeja 24 litros em 3 minutos. Quantos litros despejará em 10 minutos, mantendo a vazão?
3. Se 8 trabalhadores concluem uma tarefa em 15 dias, em quantos dias 12 trabalhadores concluirão a mesma tarefa, mantendo o mesmo ritmo?
4. Para percorrer uma distância fixa, um veículo leva 6 horas a 80 km/h. Quanto tempo levaria a 120 km/h?
5. Uma receita para 6 pessoas utiliza 450 g de arroz. Quantos gramas serão necessários para 14 pessoas?
6. Uma gráfica imprime 900 páginas em 6 minutos. Quantas páginas imprimirá em 14 minutos, no mesmo ritmo?
7. Quatro máquinas iguais realizam um lote em 18 horas. Quantas horas seriam necessárias com 6 máquinas iguais?
8. Um reservatório é esvaziado por 3 bombas iguais em 20 horas. Quanto tempo levará com 5 bombas iguais?
9. Para preparar 12 porções são usados 900 mL de suco. Quantos mililitros serão necessários para 20 porções?
10. Elabore um problema envolvendo proporcionalidade inversa e apresente a solução.
8. Velocidade média
A velocidade média relaciona a distância percorrida ao tempo gasto.
Exemplo resolvido 9. Um veículo percorre 180 km em 3 horas. Qual é sua velocidade média?
Resposta: 60 km/h.
Se a velocidade for constante, distância e tempo são diretamente proporcionais. Já para uma distância fixa, velocidade e tempo são inversamente proporcionais.
9. Escala
A escala compara uma medida em uma representação com a medida real correspondente.
Exemplo resolvido 10. Em uma planta na escala \(1:200\), uma parede mede 4 cm. Qual é o comprimento real?
A escala \(1:200\) significa que 1 cm no desenho corresponde a 200 cm na realidade.
Resposta: 8 m.
10. Densidade e densidade demográfica
A densidade de um corpo é a razão entre sua massa e seu volume:
Exemplo resolvido 11. Um material possui massa de 540 g e volume de 200 cm³. Determine sua densidade.
A densidade demográfica relaciona o número de habitantes à área ocupada:
Exemplo resolvido 12. Uma região com 90.000 habitantes ocupa uma área de 1.500 km². Qual é sua densidade demográfica?
Resposta: 60 habitantes por quilômetro quadrado.
11. Proporcionalidade envolvendo mais de duas grandezas
Alguns problemas relacionam três ou mais grandezas. Nesse caso, precisamos analisar como cada uma delas se relaciona com a grandeza que queremos determinar.
Exemplo resolvido 13. Quatro máquinas, trabalhando 6 horas por dia durante 5 dias, produzem 2.400 peças. Quantas peças produzirão 6 máquinas, trabalhando 8 horas por dia durante 5 dias, no mesmo ritmo?
A quantidade de peças é diretamente proporcional ao número de máquinas e ao número de horas trabalhadas por dia. O número de dias permanece igual.
Resposta: 4.800 peças.
Pratique 3 — Aplicações da proporcionalidade
1. Um carro percorre 270 km em 4,5 horas. Determine sua velocidade média.
2. Em uma escala \(1:500\), 3 cm representam quantos metros na realidade?
3. Um objeto tem massa de 360 g e volume de 120 cm³. Determine sua densidade.
4. Uma cidade possui 240.000 habitantes distribuídos em 800 km². Determine a densidade demográfica.
5. Três máquinas produzem 1.200 peças em 4 horas. Quantas peças 5 máquinas produzirão em 6 horas, mantendo o mesmo ritmo?
6. Um ciclista mantém velocidade média de 18 km/h durante 2,5 horas. Qual distância percorre?
7. Em um mapa na escala \(1:100000\), a distância entre dois pontos é 7 cm. Qual é a distância real em quilômetros?
8. Um material de densidade 4 g/cm³ ocupa 75 cm³. Qual é sua massa?
9. Uma região de 2.500 km² possui densidade demográfica de 48 hab./km². Quantos habitantes possui?
10. Cinco máquinas, trabalhando 4 horas por dia durante 6 dias, produzem 3.000 peças. Quantas peças serão produzidas por 8 máquinas, trabalhando 5 horas por dia durante os mesmos 6 dias?
Revisão e aprofundamento — 20 questões
1. Classifique \(y=7x\) quanto à proporcionalidade.
2. Classifique \(xy=36\).
3. Explique por que \(y=4x+2\) não representa proporcionalidade direta.
4. Para grandezas diretamente proporcionais, o que acontece com \(y\) quando \(x\) triplica?
5. Para grandezas inversamente proporcionais, o que acontece com \(y\) quando \(x\) dobra?
6. Determine a constante de proporcionalidade em \(y=6x\).
7. Determine \(k\) se \(xy=k\), \(x=8\) e \(y=15\).
8. Se \(y=5x\), determine \(y\) para \(x=14\).
9. Se \(xy=72\), determine \(y\) para \(x=9\).
10. Explique como o gráfico ajuda a distinguir \(y=3x\) de \(y=3x+4\).
11. Se 7 kg de um produto custam 84 reais, quanto custam 12 kg?
12. Oito trabalhadores realizam uma tarefa em 21 dias. Quantos dias serão necessários para 12 trabalhadores?
13. Um veículo percorre 420 km em 6 horas. Qual é sua velocidade média?
14. Em uma planta na escala \(1:250\), um corredor mede 6 cm. Qual é o comprimento real em metros?
15. Um corpo tem massa de 675 g e volume de 250 cm³. Qual é sua densidade?
16. Uma região possui 150.000 habitantes e área de 3.000 km². Determine sua densidade demográfica.
17. Quatro impressoras produzem 3.200 páginas em 20 minutos. Quantas páginas 5 impressoras produzirão em 30 minutos?
18. Para percorrer uma mesma distância, um veículo leva 5 horas a 72 km/h. Quanto tempo levaria a 90 km/h?
19. Elabore um problema de proporcionalidade direta e resolva-o por duas estratégias diferentes.
20. Elabore uma situação envolvendo grandezas não proporcionais e explique como você verificou que não há proporcionalidade direta nem inversa.
Gabarito do Pratique 1
1. Diretamente proporcional.
2. Inversamente proporcional.
3. Não proporcional.
4. Sim; \(\frac41=\frac82=\frac{20}{5}=4\).
5. Sim; \(2\cdot18=3\cdot12=6\cdot6=36\).
6. Diretamente proporcionais.
7. Inversamente proporcionais.
8. Não. Existe uma taxa fixa de 10 reais, portanto o preço não é da forma \(y=kx\).
9. Proporcionalidade direta.
10. Resposta pessoal, com justificativa coerente.
Gabarito do Pratique 2
1. 96 reais.
2. 80 litros.
3. 10 dias.
4. 4 horas.
5. 1.050 g.
6. 2.100 páginas.
7. 12 horas.
8. 12 horas.
9. 1.500 mL.
10. Resposta pessoal, desde que a relação seja inversamente proporcional e a solução esteja correta.
Gabarito do Pratique 3
1. 60 km/h.
2. 15 m.
3. 3 g/cm³.
4. 300 hab./km².
5. 3.000 peças.
6. 45 km.
7. 7 km.
8. 300 g.
9. 120.000 habitantes.
10. 6.000 peças.
Gabarito da revisão e do aprofundamento
1. Diretamente proporcional.
2. Inversamente proporcional.
3. Porque há um termo fixo \(+2\); a relação não é da forma \(y=kx\) e o gráfico não passa pela origem.
4. \(y\) também triplica.
5. \(y\) fica reduzido à metade.
6. \(k=6\).
7. \(k=120\).
8. \(y=70\).
9. \(y=8\).
10. \(y=3x\) é uma reta que passa pela origem; \(y=3x+4\) é uma reta que não passa pela origem.
11. 144 reais.
12. 14 dias.
13. 70 km/h.
14. 15 m.
15. 2,7 g/cm³.
16. 50 hab./km².
17. 6.000 páginas.
18. 4 horas.
19. Resposta pessoal.
20. Resposta pessoal, com verificação coerente.
Para lembrar
Na proporcionalidade direta, a razão entre valores correspondentes permanece constante.
Na proporcionalidade inversa, o produto entre valores correspondentes permanece constante.
Uma relação pode existir sem ser proporcional.
A representação algébrica e o gráfico ajudam a identificar a natureza da variação entre duas grandezas.
Problemas de proporcionalidade podem ser resolvidos por diferentes estratégias; antes de calcular, é fundamental identificar corretamente o tipo de relação.