Sequências, padrões e fluxogramas
Sequências aparecem em muitas situações: números organizados segundo uma regra, figuras que crescem de modo regular, posições de objetos e etapas de um procedimento.
Nesta postagem, vamos identificar padrões, diferenciar sequências recursivas e não recursivas, encontrar termos de uma sequência e representar regras por meio de algoritmos e fluxogramas.
Habilidades da BNCC
EF08MA10: identificar a regularidade de uma sequência numérica ou figural não recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números ou as figuras seguintes.
EF08MA11: identificar a regularidade de uma sequência numérica recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números seguintes.
1. O que é uma sequência?
Uma sequência é uma lista ordenada de elementos que seguem determinada organização. Cada elemento ocupa uma posição e é chamado de termo.
Exemplo resolvido 1. Observe a sequência:
Os termos aumentam de 3 em 3. Assim:
O próximo termo é:
Resposta: 19.
Posição dos termos
Costumamos indicar o termo de uma sequência pela letra \(a\), acompanhada do número da posição.
| Posição | Indicação | Valor |
|---|---|---|
| 1ª | \(a_1\) | 4 |
| 2ª | \(a_2\) | 7 |
| 3ª | \(a_3\) | 10 |
| 4ª | \(a_4\) | 13 |
Assim, \(a_1\) é o primeiro termo, \(a_2\) é o segundo termo e assim por diante.
2. Identificando padrões
O padrão é a regularidade que permite compreender como a sequência é formada.
Exemplo resolvido 2. Determine os dois próximos termos de:
A diferença entre termos consecutivos é sempre 4:
Portanto:
Resposta: 22 e 26.
Exemplo resolvido 3. Observe:
Cada termo é o dobro do anterior:
Os próximos termos são:
Atenção: observar apenas os primeiros termos nem sempre é suficiente para garantir uma única regra possível. Em atividades escolares, procuramos a regularidade mais simples e coerente com os dados fornecidos.
3. Sequências não recursivas
Em uma sequência não recursiva, podemos determinar um termo diretamente a partir de sua posição, sem precisar calcular os termos anteriores.
Exemplo resolvido 4. Considere a sequência:
Vamos relacionar cada posição ao termo:
| \(n\) | \(a_n\) |
|---|---|
| 1 | 5 |
| 2 | 8 |
| 3 | 11 |
| 4 | 14 |
Uma regra que permite calcular diretamente qualquer termo é:
Para verificar:
Para encontrar o 20º termo:
Resposta: \(a_{20}=62\).
Da tabela para a expressão
Exemplo resolvido 5. Observe a relação:
| Posição \(n\) | Termo \(a_n\) |
|---|---|
| 1 | 4 |
| 2 | 7 |
| 3 | 10 |
| 4 | 13 |
Os termos aumentam de 3 em 3. Como \(3n\) produz \(3,6,9,12,\ldots\), precisamos acrescentar 1:
Assim, o 50º termo é:
Pratique 1 — Padrões e sequências não recursivas
1. Escreva os três próximos termos de \(5,9,13,17,\ldots\).
2. Escreva os dois próximos termos de \(2,6,18,54,\ldots\).
3. Determine uma regra para \(6,10,14,18,\ldots\) em função da posição \(n\).
4. Dada \(a_n=4n-1\), calcule \(a_1\), \(a_5\) e \(a_{12}\).
5. Determine o 25º termo da sequência \(3,7,11,15,\ldots\).
6. Uma fileira de cadeiras cresce segundo \(8,11,14,17,\ldots\). Quantas cadeiras haverá na 15ª fileira?
7. Um jogo concede 5 pontos na primeira fase, 9 na segunda, 13 na terceira e assim por diante. Escreva uma expressão para a pontuação da fase \(n\).
8. Uma figura é formada por 4 peças na etapa 1, 7 na etapa 2, 10 na etapa 3 e 13 na etapa 4. Quantas peças terá a etapa 20?
9. O custo de uma sequência de pacotes é dado por \(a_n=7n+3\). Qual é o valor correspondente ao 30º pacote?
10. Uma escada decorativa utiliza 6 blocos no primeiro nível, 10 no segundo, 14 no terceiro. Se o padrão continuar, quantos blocos serão usados no 12º nível?
4. Sequências recursivas
Em uma sequência recursiva, cada termo é obtido a partir de um ou mais termos anteriores.
Exemplo resolvido 6. Considere:
Podemos definir a sequência dizendo:
Isso significa: comece em 10 e, para encontrar cada novo termo, some 5 ao anterior.
Exemplo resolvido 7. Observe:
Uma regra recursiva é:
Cada termo é obtido multiplicando o anterior por 3.
Recursiva e não recursiva: qual é a diferença?
| Tipo | Como encontramos um termo? | Exemplo |
|---|---|---|
| Recursiva | Usando termo(s) anterior(es) | \(a_n=a_{n-1}+4\) |
| Não recursiva | Usando diretamente a posição | \(a_n=4n+1\) |
Exemplo resolvido 8. A sequência \(5,9,13,17,\ldots\) pode ser descrita das duas maneiras:
Forma recursiva:
Forma não recursiva:
As duas regras geram a mesma sequência, mas organizam a informação de maneiras diferentes.
5. Sequências figurais
Uma sequência também pode ser formada por figuras. Nesse caso, procuramos compreender o que muda de uma etapa para outra e, quando possível, relacionar o número da etapa à quantidade de elementos.
Exemplo resolvido 9. Observe a sequência de blocos:
1 bloco
3 blocos
5 blocos
7 blocos
As quantidades são:
A cada etapa são acrescentados 2 blocos. A regra não recursiva é:
Na etapa 20:
Pratique 2 — Sequências recursivas e figurais
1. Escreva uma regra recursiva para \(7,12,17,22,\ldots\).
2. Escreva uma regra recursiva para \(4,8,16,32,\ldots\).
3. A sequência é definida por \(a_1=3\) e \(a_n=a_{n-1}+6\). Escreva os cinco primeiros termos.
4. A sequência é definida por \(a_1=2\) e \(a_n=2a_{n-1}\). Determine \(a_6\).
5. Compare \(a_n=a_{n-1}+3\), com \(a_1=4\), e \(a_n=3n+1\). Elas geram a mesma sequência? Justifique.
6. Uma planta cresce 4 cm na primeira semana e depois aumenta 3 cm a cada semana. Escreva uma regra recursiva para a altura registrada semanalmente.
7. Um painel tem 2 peças na primeira etapa e dobra a quantidade a cada nova etapa. Quantas peças terá na 7ª etapa?
8. Uma sequência figural apresenta 3, 6, 9, 12, ... peças nas etapas sucessivas. Escreva uma regra recursiva e uma não recursiva.
9. Uma montagem usa 5 peças na etapa inicial e acrescenta 4 peças a cada etapa. Quantas peças haverá na 18ª etapa?
10. Em uma sequência figural, as quantidades são 2, 5, 8, 11, ... . Descreva verbalmente como passar de uma etapa para a seguinte e escreva uma expressão para a etapa \(n\).
6. O que é um algoritmo?
Um algoritmo é uma sequência organizada de instruções para realizar uma tarefa ou resolver um problema.
Por exemplo, para gerar os termos de uma sequência que começa em 4 e aumenta de 3 em 3, podemos escrever:
Algoritmo em linguagem natural
1. Comece com o número 4.
2. Registre o número.
3. Some 3 ao número atual.
4. Registre o novo número.
5. Repita os passos 3 e 4 enquanto desejar continuar a sequência.
7. O que é um fluxograma?
Um fluxograma representa graficamente as etapas de um algoritmo. As formas indicam diferentes tipos de ação e as setas mostram a ordem em que as etapas devem ser realizadas.
Se a resposta à pergunta “Deseja outro termo?” for sim, voltamos à etapa “Registre o número” e continuamos o processo. Se for não, encerramos.
Fluxograma para uma regra não recursiva
Exemplo resolvido 10. Para a sequência definida por \(a_n=3n+2\), podemos calcular qualquer termo diretamente.
Se escolhermos \(n=8\):
8. Fluxograma para uma sequência recursiva
Exemplo resolvido 11. Considere a sequência:
A regra recursiva é:
Um algoritmo possível é:
Diferença importante: em uma regra não recursiva, informamos a posição e calculamos diretamente o termo. Em uma regra recursiva, o novo termo depende do termo anterior.
9. Lendo e interpretando fluxogramas
Exemplo resolvido 12. Um fluxograma pede:
1. Escolha um número \(n\).
2. Multiplique \(n\) por 4.
3. Some 1.
4. Mostre o resultado.
A expressão correspondente é:
Se usarmos \(n=1,2,3,4\), obtemos:
Portanto, o fluxograma pode ser usado para gerar uma sequência não recursiva.
Pratique 3 — Algoritmos e fluxogramas
1. Escreva um algoritmo em linguagem natural para gerar \(3,7,11,15,\ldots\).
2. Escreva um algoritmo para calcular o termo de posição \(n\) da sequência \(a_n=5n-2\).
3. Um fluxograma manda escolher \(n\), multiplicar por 2 e somar 7. Escreva a expressão algébrica correspondente.
4. Para \(n=6\), qual é o resultado do algoritmo “multiplique \(n\) por 3 e subtraia 4”?
5. Um algoritmo começa em 10 e subtrai 2 repetidamente. Escreva os seis primeiros termos.
6. Uma máquina recebe o número da etapa \(n\), multiplica por 4 e acrescenta 3 peças. Quantas peças aparecem na etapa 15?
7. Um processo começa com 5 litros e acrescenta 2 litros a cada etapa. Escreva uma regra recursiva e descreva o fluxograma.
8. Um fluxograma produz \(7,12,17,22,\ldots\). Qual operação deve ser repetida de um termo para o seguinte?
9. Um aluno escreveu: “Escolha \(n\); calcule \(2n+5\); mostre o resultado”. Quais são os quatro primeiros termos gerados para \(n=1,2,3,4\)?
10. Crie uma sequência de sua escolha, escreva uma regra e descreva um fluxograma que gere seus termos.
Revisão e aprofundamento — 20 questões
1. Escreva os três próximos termos de \(8,13,18,23,\ldots\).
2. Escreva os três próximos termos de \(2,4,8,16,\ldots\).
3. Determine uma expressão para \(5,9,13,17,\ldots\).
4. Calcule o 40º termo de \(a_n=3n+4\).
5. Escreva uma regra recursiva para \(12,16,20,24,\ldots\).
6. Escreva uma regra recursiva para \(3,9,27,81,\ldots\).
7. Explique a diferença entre sequência recursiva e não recursiva.
8. A regra \(a_n=6n-2\) é recursiva ou não recursiva? Justifique.
9. Dada \(a_1=4\) e \(a_n=a_{n-1}+7\), determine \(a_6\).
10. Dada \(a_1=5\) e \(a_n=2a_{n-1}\), determine \(a_5\).
11. Uma arquibancada tem 12 lugares na primeira fileira e aumenta 4 lugares por fileira. Quantos lugares haverá na 25ª fileira?
12. Uma sequência de desenhos utiliza 3 peças na etapa 1, 7 na etapa 2, 11 na etapa 3. Determine a quantidade de peças da etapa 30.
13. Um valor começa em 100 e diminui 8 unidades a cada etapa. Escreva uma regra recursiva e determine o 10º termo.
14. Uma cultura de células começa com 2 unidades e triplica a cada etapa. Quantas unidades haverá na 6ª etapa?
15. Um algoritmo recebe \(n\), calcula \(5n+2\) e mostra o resultado. Determine os cinco primeiros termos.
16. Uma máquina recebe a posição \(n\) e produz \(4n-3\) peças. Quantas peças produz na posição 50?
17. Escreva um algoritmo em linguagem natural para gerar a sequência \(6,10,14,18,\ldots\).
18. Descreva um fluxograma para a regra \(a_n=2n+1\).
19. Uma sequência é definida recursivamente por \(a_1=1\) e \(a_n=a_{n-1}+2\). Escreva também uma regra não recursiva equivalente.
20. Crie uma sequência numérica com pelo menos cinco termos, escreva uma regra recursiva e uma regra não recursiva que gerem essa sequência.
Gabarito do Pratique 1
1. 21, 25, 29.
2. 162 e 486.
3. \(a_n=4n+2\).
4. \(a_1=3\), \(a_5=19\), \(a_{12}=47\).
5. \(a_n=4n-1\); \(a_{25}=99\).
6. \(a_n=3n+5\); \(a_{15}=50\).
7. \(a_n=4n+1\).
8. \(a_n=3n+1\); \(a_{20}=61\).
9. \(213\).
10. \(a_n=4n+2\); \(a_{12}=50\).
Gabarito do Pratique 2
1. \(a_1=7\), \(a_n=a_{n-1}+5\).
2. \(a_1=4\), \(a_n=2a_{n-1}\).
3. 3, 9, 15, 21, 27.
4. \(64\).
5. Sim. Ambas geram \(4,7,10,13,\ldots\).
6. \(a_1=4\), \(a_n=a_{n-1}+3\).
7. \(128\) peças.
8. Recursiva: \(a_1=3,\ a_n=a_{n-1}+3\). Não recursiva: \(a_n=3n\).
9. \(73\) peças.
10. Somar 3; \(a_n=3n-1\).
Gabarito do Pratique 3
1. Comece em 3, registre o termo, some 4 e repita.
2. Escolha \(n\), calcule \(5n-2\) e mostre o resultado.
3. \(2n+7\).
4. \(14\).
5. 10, 8, 6, 4, 2, 0.
6. \(4\cdot15+3=63\) peças.
7. \(a_1=5,\ a_n=a_{n-1}+2\). Fluxograma: iniciar em 5, registrar, somar 2 e repetir.
8. Somar 5.
9. 7, 9, 11, 13.
10. Resposta pessoal, desde que regra e fluxograma sejam coerentes.
Gabarito da revisão e do aprofundamento
1. 28, 33, 38.
2. 32, 64, 128.
3. \(a_n=4n+1\).
4. \(124\).
5. \(a_1=12,\ a_n=a_{n-1}+4\).
6. \(a_1=3,\ a_n=3a_{n-1}\).
7. Na recursiva, cada termo depende de termos anteriores; na não recursiva, o termo é calculado diretamente pela posição.
8. Não recursiva, pois depende diretamente de \(n\).
9. \(39\).
10. \(80\).
11. \(108\) lugares.
12. \(a_n=4n-1\); \(a_{30}=119\).
13. \(a_1=100,\ a_n=a_{n-1}-8\); \(a_{10}=28\).
14. \(486\) unidades.
15. 7, 12, 17, 22, 27.
16. \(197\) peças.
17. Comece em 6, registre, some 4 e repita.
18. Início → escolha \(n\) → calcule \(2n+1\) → mostre o resultado → fim.
19. \(a_n=2n-1\).
20. Resposta pessoal, desde que as duas regras gerem a mesma sequência.
Para lembrar
Uma sequência é uma lista ordenada de termos.
O padrão é a regularidade que permite compreender como os termos são formados.
Em uma sequência recursiva, cada termo depende de termo(s) anterior(es).
Em uma sequência não recursiva, podemos calcular diretamente um termo a partir de sua posição.
Algoritmos organizam instruções; fluxogramas representam essas instruções por meio de formas e setas.