Linguagem algébrica e sequências
A linguagem algébrica permite representar números, relações, regularidades e situações por meio de letras, números e símbolos. Neste conteúdo, vamos compreender com cuidado o significado dessas letras, distinguir variável de incógnita, interpretar expressões algébricas e estudar sequências recursivas e não recursivas.
Mais importante do que apenas manipular símbolos é aprender a ler, interpretar e explicar o que cada expressão representa.
Habilidades da BNCC
EF07MA13: compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, diferenciando-a da ideia de incógnita.
EF07MA14: classificar sequências em recursivas e não recursivas, reconhecendo a ideia de recursão.
Organização pedagógica
- Linguagem algébrica: números, letras e símbolos.
- Variável e incógnita.
- Expressões algébricas e valor numérico.
- Sequências e regularidades.
- Sequências recursivas.
- Sequências não recursivas e termo geral.
- Representação de regularidades por expressões algébricas.
- Expressões algébricas equivalentes.
- Aplicações da linguagem algébrica e das sequências.
1. Linguagem algébrica: números, letras e símbolos
Até aqui, muitas situações matemáticas foram representadas principalmente por números e operações. Por exemplo:
Essas escritas representam cálculos com valores conhecidos. Mas nem sempre conhecemos todos os valores envolvidos. Em outras situações, queremos escrever uma regra que possa servir para muitos valores diferentes.
É nesse momento que as letras passam a ter um papel importante.
Por que usamos letras?
Se uma pessoa compra 4 cadernos por R 12,00 cada, podemos escrever:
Se o preço de cada caderno puder variar e for representado por \(p\), escrevemos:
A letra permite representar a relação de maneira geral.
Como representamos a multiplicação?
Atenção: \(2x\) significa \(2\cdot x\). Já \(2+x\) representa uma adição. São expressões diferentes.
Como lemos uma expressão algébrica?
| Linguagem escrita | Linguagem algébrica |
|---|---|
| Um número mais 7 | \(x+7\) |
| Um número menos 4 | \(x-4\) |
| O dobro de um número | \(2x\) |
| O triplo de um número | \(3x\) |
| A metade de um número | \(\frac{x}{2}\) |
| A terça parte de um número | \(\frac{x}{3}\) |
| O quadrado de um número | \(x^2\) |
| O dobro de um número mais 5 | \(2x+5\) |
| O dobro da soma de um número com 3 | \(2(x+3)\) |
A ordem das palavras faz diferença
representa o dobro de um número, mais 5.
representa o dobro da soma de um número com 5.
O quadrado de um número
Atenção: \(x^2\) não significa \(2x\).
Sucessor, antecessor e consecutivos
Exemplo resolvido. O triplo de um número aumentado de 8 pode ser representado por:
Uma empresa de entregas cobra R 7,00 de taxa fixa e R 3,00 por quilômetro. Se \(d\) representa a distância:
representa o preço da entrega.
2. Variável e incógnita
As letras não possuem sempre a mesma função. Em algumas situações, uma letra representa uma quantidade que pode assumir diferentes valores. Em outras, representa um valor específico que precisamos descobrir.
Variável
Uma variável representa uma quantidade que pode assumir diferentes valores.
| \(l\) | \(P=4l\) |
|---|---|
| 2 | 8 |
| 3 | 12 |
| 5 | 20 |
| 7 | 28 |
Incógnita
Uma incógnita representa um valor desconhecido que queremos determinar.
Variável e incógnita não são sinônimos
Nessa relação, \(x\) pode assumir diferentes valores.
Aqui procuramos um valor específico para \(x\).
Atenção: não é a letra escolhida que determina sua função. O que importa é o papel que ela desempenha na situação.
3. Expressões algébricas e valor numérico
Uma expressão algébrica é uma expressão matemática em que aparecem números e letras, ou apenas letras, relacionados por operações.
Termos, coeficiente e parte literal
Os termos são \(3x\), \(2y\) e \(-5\).
| Termo | Coeficiente | Parte literal |
|---|---|---|
| \(6x\) | 6 | \(x\) |
| \(-2y\) | -2 | \(y\) |
| \(10\) | 10 | não possui |
Termos semelhantes
são semelhantes porque possuem a mesma parte literal.
não são semelhantes.
Redução de termos semelhantes
Atenção: \(2x+3\) não pode ser reduzido para \(5x\).
Valor numérico
Exemplo resolvido. Para \(3a+2b-5\), com \(a=4\) e \(b=3\):
Atenção: ao substituir um valor negativo, use parênteses. Se \(x=-3\), então \(x^2=(-3)^2=9\).
Pratique 1: linguagem algébrica, variável, incógnita e expressões
1. Escreva usando \(x\): a) um número mais 9; b) um número menos 6; c) o dobro; d) o triplo mais 4; e) a metade; f) a quarta parte mais 5.
2. Escreva em palavras: a) \(x+8\); b) \(2x-5\); c) \(3x+7\); d) \(\frac{x}{5}\); e) \(x^2+4\); f) \(2(x+6)\).
3. Analise \(4x+7\), \(3a-2b+5\) e \(-6y+9\): indique quantidade de termos, termos, coeficientes e termo constante.
4. Identifique os pares semelhantes: a) \(3x\) e \(8x\); b) \(5a\) e \(5b\); c) \(7xy\) e \(-2xy\); d) \(4x\) e \(4x^2\); e) \(-6m\) e \(9m\); f) \(3ab\) e \(8a\).
5. Reduza: a) \(3x+5x\); b) \(9a-4a\); c) \(2x+7+6x+3\); d) \(8y-5+3y-2\); e) \(4a+3b+2a-5b\); f) \(7x-2y-3x+6y+4\).
6. Uma papelaria cobra R 7,00 por caderno. Se \(q\) é a quantidade, escreva \(V\), classifique \(q\), calcule para 3 e 8 cadernos e explique por que a expressão serve para diferentes compras.
7. Uma empresa de transporte cobra R 6,00 fixos mais R 4,00 por quilômetro. Escreva \(P\), explique os termos, calcule para 5 km e classifique \(d\).
8. Um retângulo possui comprimento \(x\) e largura 6. Escreva e reduza o perímetro, calcule para \(x=10\) e \(x=15\) e explique por que \(x\) é variável.
9. Um número multiplicado por 3 e acrescido de 5 resulta em 26. Represente por \(n\), classifique a letra, determine o número e verifique.
10. Para \(P=2q+15\), explique os termos, calcule para 40 convites e determine \(q\) se \(P=115\). Compare o papel de \(q\).
4. Sequências e regularidades
Em uma sequência, os elementos aparecem em determinada ordem e são chamados de termos.
Uma regularidade é uma característica ou relação que se repete seguindo determinado padrão.
O símbolo \(a_n\) representa o termo que ocupa a posição \(n\).
5. Sequências recursivas
Em uma sequência recursiva, para determinar um novo termo, utilizamos um ou mais termos anteriores.
Atenção: \(a_{n-1}\) representa o termo anterior e não significa \(a_n-1\).
Outras regras recursivas
6. Sequências não recursivas e termo geral
Em uma regra não recursiva, podemos encontrar um termo diretamente por sua posição.
Comparando as duas formas
é recursiva.
é não recursiva.
Encontrando regras
Pratique 2: sequências e regularidades
1. Identifique a regularidade e escreva os três próximos termos: a) \(5,9,13,17,21,\ldots\); b) \(40,34,28,22,16,\ldots\); c) \(3,6,12,24,48,\ldots\); d) \(160,80,40,20,10,\ldots\).
2. Escreva uma regra recursiva para: a) \(8,13,18,23,28,\ldots\); b) \(50,43,36,29,22,\ldots\); c) \(2,6,18,54,162,\ldots\); d) \(96,48,24,12,6,\ldots\).
3. Determine cinco termos: a) \(a_1=7, a_n=a_{n-1}+4\); b) \(a_1=35, a_n=a_{n-1}-6\); c) \(a_1=3, a_n=2a_{n-1}\); d) \(a_1=128, a_n=\frac{a_{n-1}}2\).
4. Determine uma regra não recursiva para: a) \(3,6,9,12,\ldots\); b) \(5,9,13,17,\ldots\); c) \(6,11,16,21,\ldots\); d) \(7,13,19,25,\ldots\); e) \(1,4,9,16,\ldots\).
5. Para \(a_n=4n+3\), determine \(a_1,a_2,a_5,a_{10},a_{25}\) e os cinco primeiros termos.
6. Uma sequência começa com 6 peças e acrescenta 4 por figura. Escreva as cinco primeiras quantidades, as duas regras e determine a Figura 20.
7. Uma estudante caminha 3, 5, 7, 9 e 11 km. Encontre as duas regras e a 12ª semana.
8. Para \(8,13,18,23,28,\ldots\), encontre as duas regras e a Figura 30.
9. Um auditório possui 12 lugares na primeira fileira e acrescenta 3 por fileira. Encontre as regras, a 20ª fileira e a posição de uma fileira com 72 lugares.
10. Para \(Q_n=n^2+2\), determine os cinco primeiros termos, \(Q_{10}\), \(Q_{25}\) e explique por que a regra é não recursiva.
7. Representação de regularidades por expressões algébricas
Representar uma regularidade por uma expressão algébrica significa transformar um padrão observado em uma regra geral.
Regularidades em tabelas
| \(q\) | \(O\) |
|---|---|
| 1 | 6 |
| 2 | 12 |
| 3 | 18 |
| 4 | 24 |
Quando existe uma parte fixa
O termo \(4q\) varia com \(q\), enquanto 5 permanece fixo.
Exemplo resolvido. Para \(9,14,19,24,\ldots\):
8. Expressões algébricas equivalentes
Duas expressões são equivalentes quando representam a mesma quantidade.
Redução de termos semelhantes
Propriedade distributiva
Fator em evidência
Atenção: \(2x+3x=5x\) está correto, mas \(2x+3=5x\) está incorreto.
9. Aplicações da linguagem algébrica e das sequências
A linguagem algébrica pode representar preços, medidas, perímetros, sequências, padrões e relações entre grandezas.
Uma loja vende camisetas por R 35,00 cada e cobra R 12,00 de entrega:
Para 4 camisetas:
Um retângulo possui comprimento \(x\) e largura 5:
Para a sequência \(6,10,14,18,\ldots\):
Pratique 3: regularidades, equivalência e aplicações da linguagem algébrica
1. Escreva expressões para: triplo mais 8; metade menos 4; dobro da soma com 6; quíntuplo menos 9; soma de um número com seu dobro; perímetro de um quadrado de lado \(x\).
2. Para a tabela \(1\to6,2\to10,3\to14,4\to18,5\to22\), identifique a regularidade, escreva a expressão e determine os valores para \(n=12\) e \(n=50\).
3. Reduza: a) \(4x+7x\); b) \(9a-3a\); c) \(5x+3+2x+8\); d) \(7a+4b-2a+3b\); e) \(10x-4y-6x+7y-5\); f) \(3m+8-5m+2\).
4. Aplique a distributiva: a) \(3(x+5)\); b) \(4(a-2)\); c) \(5(2+x)\); d) \(2(3x+4)\); e) \(-2(x+6)\); f) \(-3(2x-5)\).
5. Verifique a equivalência: a) \(2x+5x=7x\); b) \(3x+4=7x\); c) \(4(x+2)=4x+8\); d) \(2(x+5)=2x+5\); e) \(3a+2b+4a-b=7a+b\); f) \(5(x-2)+x=6x-10\).
6. Uma empresa cobra R 9,00 fixos mais R 5,00 por quilômetro. Escreva \(P\), calcule para 8 e 15 km e determine a distância se \(P=84\).
7. Uma sequência de figuras usa \(6,10,14,18,\ldots\) peças. Encontre as duas regras e determine a Figura 25.
8. Em 4 fileiras há \(x+2\) mesas em cada uma. Escreva a expressão, use a distributiva e calcule para \(x=5\).
9. Um teatro possui 14 lugares na primeira fileira e acrescenta 3 por fileira. Encontre as regras, a 20ª fileira e a posição de uma fileira com 89 lugares.
10. Há \(n\) grupos com 3 estudantes de azul e 2 de verde, além de 4 responsáveis. Escreva e reduza a expressão, calcule para 8 grupos e determine \(n\) se o total for 49.
Revisão e aprofundamento
Revisão e aprofundamento
1. Escreva: a) dobro mais 7; b) triplo menos 5; c) metade da soma com 8; d) quádruplo mais metade; e) dobro da diferença com 6.
2. Leia: a) \(4x+9\); b) \(\frac{x}{3}-2\); c) \(5(x+3)\); d) \(2x^2+1\); e) \(3x-2y\).
3. Analise \(7x-3y+5x+8\): termos, coeficientes, constante, semelhantes e redução.
4. Calcule valores numéricos: a) \(3x+5,x=4\); b) \(2a-3,a=-5\); c) \(x^2+2x,x=-3\); d) \(2x+3y-4,x=5,y=-2\); e) \(3a^2-2b,a=-2,b=4\).
5. Classifique variável ou incógnita em \(P=5q+8\), \(4x+7=31\), \(P=4l\), \(3n=42\) e \(C=6h+10\).
6. Uma locadora cobra R 12,00 fixos mais R 8,00 por hora. Escreva \(V\), calcule para 3 e 7 horas e determine \(h\) se \(V=68\).
7. Para \(11,16,21,26,31,\ldots\), encontre regularidade, próximos termos, regras, \(a_{20}\) e \(a_{100}\).
8. Para \(a_1=50,a_n=a_{n-1}-4\), escreva seis termos e determine \(a_{10}\).
9. Para \(a_n=6n-1\), escreva cinco termos, determine \(a_{15}\), \(a_{40}\) e a diferença entre consecutivos.
10. Reduza ou desenvolva: a) \(3x+8x\); b) \(9a-4a+7\); c) \(2x+3y+5x-7y\); d) \(4(x+3)\); e) \(3(2x-5)\); f) \(2(x+4)+5x\).
11. Uma sequência usa 9, 13, 17 e 21 peças. Encontre as regras e determine as Figuras 30 e 75.
12. Uma entrega custa R 18,00 fixos mais R 4,00 por quilômetro. Escreva \(P\), calcule para 12 km e determine a distância se \(P=98\).
13. Há 6 lugares por mesa e 4 lugares adicionais. Escreva \(T\), complete para \(m=1,2,5,8,12\), calcule para 20 mesas e determine \(m\) se \(T=64\).
14. Um retângulo tem lados \(x+3\) e \(x\). Escreva e reduza o perímetro e calcule para \(x=5\) e \(x=12\).
15. Para \(10,16,22,28,34,\ldots\), encontre as regras, \(Q_{25}\) e a posição de uma figura com 184 peças.
16. Há \(n\) fileiras com 5 mesas e mais 7 extras. Escreva a expressão, calcule para 6 e 15 fileiras e determine \(n\) se o total for 107.
17. Compare \(A=3p+10\) e \(B=4p+5\) para 2, 5 e 10 páginas e determine quando os preços são iguais.
18. Para \(Q_n=n^2+3\), determine os cinco primeiros termos, \(Q_{10}\), \(Q_{20}\) e explique por que não é necessário conhecer \(Q_{49}\) para calcular \(Q_{50}\).
19. A escola compra \(x\) caixas, cada uma com 4 pacotes de 5 cadernos, e já possui 12. Escreva e simplifique a expressão, calcule para 7 caixas e determine \(x\) se o total for 212.
20. Uma arquibancada possui 18, 22, 26 e 30 lugares nas primeiras fileiras. Encontre as regras, a 40ª fileira e a posição de uma fileira com 214 lugares.
Gabaritos
Gabarito do Pratique 1
1. a) \(x+9\); b) \(x-6\); c) \(2x\); d) \(3x+4\); e) \(\frac{x}{2}\); f) \(\frac{x}{4}+5\).
2. a) um número mais 8; b) dobro menos 5; c) triplo mais 7; d) quinta parte; e) quadrado mais 4; f) dobro da soma com 6.
3. \(4x+7\): 2 termos; \(3a-2b+5\): 3 termos; \(-6y+9\): 2 termos.
4. Semelhantes: a), c) e e).
5. a) \(8x\); b) \(5a\); c) \(8x+10\); d) \(11y-7\); e) \(6a-2b\); f) \(4x+4y+4\).
6. \(V=7q\); variável; R 21,00; R 56,00.
7. \(P=4d+6\); 5 km: R 26,00; \(d\) variável.
8. \(P=2x+12\); 32 m e 42 m.
9. \(3n+5=26\); incógnita; \(n=7\).
10. 40 convites: R 95,00; se \(P=115\), \(q=50\).
Gabarito do Pratique 2
1. a) 25,29,33; b) 10,4,-2; c) 96,192,384; d) 5,2,5,1,25.
2. a) \(a_1=8,a_n=a_{n-1}+5\); b) \(a_1=50,a_n=a_{n-1}-7\); c) \(a_1=2,a_n=3a_{n-1}\); d) \(a_1=96,a_n=\frac{a_{n-1}}2\).
3. a) 7,11,15,19,23; b) 35,29,23,17,11; c) 3,6,12,24,48; d) 128,64,32,16,8.
4. a) \(3n\); b) \(4n+1\); c) \(5n+1\); d) \(6n+1\); e) \(n^2\).
5. \(7,11,23,43,103\); primeiros: 7,11,15,19,23.
6. \(a_1=6,a_n=a_{n-1}+4\); \(a_n=4n+2\); Figura 20: 82.
7. \(d_1=3,d_n=d_{n-1}+2\); \(d_n=2n+1\); 12ª: 25 km.
8. \(a_1=8,a_n=a_{n-1}+5\); \(a_n=5n+3\); Figura 30: 153.
9. \(L_1=12,L_n=L_{n-1}+3\); \(L_n=3n+9\); 20ª: 69; 72 lugares: 21ª.
10. 3,6,11,18,27; \(Q_{10}=102\); \(Q_{25}=627\).
Gabarito do Pratique 3
1. a) \(3x+8\); b) \(\frac{x}{2}-4\); c) \(2(x+6)\); d) \(5x-9\); e) \(3x\); f) \(4x\).
2. \(a_n=4n+2\); \(a_{12}=50\); \(a_{50}=202\).
3. a) \(11x\); b) \(6a\); c) \(7x+11\); d) \(5a+7b\); e) \(4x+3y-5\); f) \(-2m+10\).
4. a) \(3x+15\); b) \(4a-8\); c) \(5x+10\); d) \(6x+8\); e) \(-2x-12\); f) \(-6x+15\).
5. a) sim; b) não; c) sim; d) não; e) sim; f) sim.
6. \(P=5d+9\); 8 km: R 49,00; 15 km: R 84,00; se \(P=84\), \(d=15\).
7. \(Q_1=6,Q_n=Q_{n-1}+4\); \(Q_n=4n+2\); Figura 25: 102.
8. \(4(x+2)=4x+8\); para \(x=5\): 28.
9. \(L_1=14,L_n=L_{n-1}+3\); \(L_n=3n+11\); 20ª: 71; 89 lugares: 26ª.
10. \(3n+2n+4=5n+4\); 8 grupos: 44; total 49: \(n=9\).
Gabarito da revisão e do aprofundamento
1. a) \(2x+7\); b) \(3x-5\); c) \(\frac{x+8}{2}\); d) \(4x+\frac{x}{2}\); e) \(2(x-6)\).
2. a) quádruplo mais 9; b) terça parte menos 2; c) cinco vezes a soma com 3; d) dobro do quadrado mais 1; e) triplo de um número menos o dobro de outro.
3. 4 termos; semelhantes \(7x\) e \(5x\); reduzida: \(12x-3y+8\).
4. a) 17; b) -13; c) 3; d) 0; e) 4.
5. variável, incógnita, variável, incógnita, variável.
6. \(V=8h+12\); R 36,00; R 68,00; \(h=7\).
7. aumenta 5; 36,41,46; \(a_1=11,a_n=a_{n-1}+5\); \(a_n=5n+6\); \(a_{20}=106\); \(a_{100}=506\).
8. 50,46,42,38,34,30; \(a_{10}=14\).
9. 5,11,17,23,29; \(a_{15}=89\); \(a_{40}=239\); diferença 6.
10. a) \(11x\); b) \(5a+7\); c) \(7x-4y\); d) \(4x+12\); e) \(6x-15\); f) \(7x+8\).
11. \(Q_1=9,Q_n=Q_{n-1}+4\); \(Q_n=4n+5\); \(Q_{30}=125\); \(Q_{75}=305\).
12. \(P=4d+18\); 12 km: R 66,00; \(d=20\).
13. \(T=6m+4\); 10,16,34,52,76; 20 mesas: 124; 64 lugares: 10 mesas.
14. \((x+3)+x+(x+3)+x=4x+6\); 26 e 54.
15. \(Q_1=10,Q_n=Q_{n-1}+6\); \(Q_n=6n+4\); \(Q_{25}=154\); 184 peças: 30ª.
16. \(5n+7\); 37; 82; \(5n+7=107\); \(n=20\).
17. 2 páginas: A=16, B=13; 5: ambos 25; 10: A=40, B=45; igualdade em 5 páginas.
18. 4,7,12,19,28; \(Q_{10}=103\); \(Q_{20}=403\).
19. \(4\cdot5x+12=20x+12\); 7 caixas: 152; total 212: \(x=10\).
20. 18,22,26,30,34,38; \(L_1=18,L_n=L_{n-1}+4\); \(L_n=4n+14\); 40ª: 174; 214 lugares: 50ª.