Porcentagem, acréscimos e descontos

A porcentagem aparece em muitas situações do cotidiano. Ela pode indicar uma parte de uma quantidade, uma variação, um desconto, um acréscimo ou a distribuição de dados de uma pesquisa.

Expressões como 10% de desconto, 50% dos estudantes ou aumento de 8% utilizam a mesma ideia matemática: comparar uma quantidade com um total tomando 100 como referência.

Nesta postagem, vamos compreender o significado da porcentagem, relacioná-la às frações e aos números decimais, desenvolver estratégias de cálculo e aplicá-la em situações envolvendo acréscimos, descontos e educação financeira.

Habilidades da BNCC

EF07MA02: resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, como os que lidam com acréscimos e decréscimos simples, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, no contexto de educação financeira, entre outros.

Organização pedagógica

O que é porcentagem.
Fração, número decimal e porcentagem.
Cálculo de porcentagens.
Acréscimos percentuais.
Descontos percentuais.
Acréscimos e descontos sucessivos.
Descobrindo a porcentagem e o valor inicial.
Porcentagem em situações do cotidiano.
Porcentagem e educação financeira.

1. O que é porcentagem

A palavra porcentagem está relacionada à expressão por cento, que significa por cem.

O símbolo utilizado é:

$\%$

Assim:

$25\%=\frac{25}{100}=\frac14$

Dizer que 25% de uma quantidade possui determinada característica significa que essa parte corresponde a 25 de cada 100.

Lendo porcentagens

$7\%,\qquad32\%,\qquad100\%,\qquad125\%$

Lemos, respectivamente: sete por cento, trinta e dois por cento, cem por cento e cento e vinte e cinco por cento.

$125\%=\frac{125}{100}=1,25$

O que representa 100%?

Quando consideramos uma quantidade inteira, $100\%$ representa o total.

Exemplo resolvido. Em uma coleção com 100 cartões, 36 são azuis.

$\frac{36}{100}=36\%$

Portanto, 36% dos cartões são azuis.

Uma pesquisa foi realizada com 100 estudantes. Desses, 68 afirmaram utilizar a biblioteca durante a semana.

$\frac{68}{100}=68\%$

Os demais correspondem a:

$100\%-68\%=32\%$

2. Fração, número decimal e porcentagem

Uma mesma quantidade pode ser representada por uma fração, por um número decimal ou por uma porcentagem.

$\frac12=0,5=50\%$

Da porcentagem para a fração

$35\%=\frac{35}{100}=\frac7{20}$

$80\%=\frac{80}{100}=\frac45$

Da porcentagem para o número decimal

$27\%=\frac{27}{100}=0,27$

$6\%=\frac6{100}=0,06$

Atenção: $6\%=0,06$, enquanto $0,6=60\%$.

Do número decimal para a porcentagem

$0,43=43\%$

$1,2=120\%$

Da fração para a porcentagem

$\frac34=\frac{75}{100}=75\%$

$\frac25=\frac{40}{100}=40\%$

Fração	Decimal	Porcentagem
$\frac1{10}$	0,1	10%
$\frac15$	0,2	20%
$\frac14$	0,25	25%
$\frac12$	0,5	50%
$\frac34$	0,75	75%
1	1	100%

Exemplo resolvido. Transforme $\frac7{20}$ em porcentagem.

$\frac7{20}=\frac{35}{100}=35\%$

Em uma pesquisa, $\frac35$ dos participantes escolheram determinada opção.

$\frac35=\frac{60}{100}=60\%$

3. Cálculo de porcentagens

Existem diferentes estratégias para calcular porcentagens. Nem sempre precisamos usar o mesmo procedimento.

Usando uma fração

$25\%\text{ de }80=\frac14\text{ de }80=20$

Usando a representação decimal

$35\%\text{ de }240=0,35\cdot240=84$

Usando a razão de denominador 100

$15\%\text{ de }300=\frac{15}{100}\cdot300=45$

Cálculo mental

$50\%\text{ de }160=80$

$25\%\text{ de }200=50$

$10\%\text{ de }350=35$

$1\%\text{ de }600=6$

$5\%\text{ de }240=12$

$20\%\text{ de }450=90$

$15\%\text{ de }200=30$

Combinando porcentagens conhecidas

$75\%=50\%+25\%$

$50\%\text{ de }120=60$

$25\%\text{ de }120=30$

$75\%\text{ de }120=90$

Exemplo resolvido. Calcule mentalmente 30% de 250.

$10\%\text{ de }250=25$

$30\%\text{ de }250=3\cdot25=75$

Uma escola possui 320 estudantes em determinado segmento. Em uma atividade, 25% deles participaram de uma apresentação.

$25\%=\frac14$

$320\div4=80$

Participaram 80 estudantes.

Pratique 1: porcentagem, representações e cálculo

1. Escreva como fração de denominador 100: a) $8\%$; b) $23\%$; c) $65\%$; d) $92\%$.

2. Transforme em número decimal: a) $5\%$; b) $18\%$; c) $40\%$; d) $75\%$.

3. Transforme em porcentagem: a) $0,12$; b) $0,35$; c) $0,8$; d) $1,25$.

4. Transforme em porcentagem: a) $\frac12$; b) $\frac35$; c) $\frac7{20}$; d) $\frac9{10}$.

5. Calcule mentalmente: a) $10\%$ de 480; b) $50\%$ de 360; c) $25\%$ de 200; d) $5\%$ de 600; e) $20\%$ de 150.

6. Em uma turma com 40 estudantes, 50% participaram de uma atividade esportiva. Quantos participaram?

7. Uma pesquisa foi respondida por 200 pessoas. Dessas, 30% escolheram a opção A. Quantas pessoas escolheram essa opção?

8. Uma caixa contém 120 peças. Destas, 25% pertencem ao modelo B. Quantas peças são desse modelo?

9. Uma escola possui 600 estudantes. Em determinado dia, 5% participaram de uma apresentação musical. Quantos estudantes participaram?

10. Em uma pesquisa com 240 participantes, 75% responderam “sim”. Quantas pessoas deram essa resposta? Quantas deram outra resposta?

4. Acréscimos percentuais

Um acréscimo percentual acontece quando determinado valor aumenta uma porcentagem em relação ao valor inicial.

Calculando o valor do acréscimo

$12\%\text{ de }250=0,12\cdot250=30$

$250+30=280$

Usando cálculo mental

$15\%=10\%+5\%$

$10\%\text{ de }400=40,\qquad5\%\text{ de }400=20$

$15\%\text{ de }400=60$

Fator de acréscimo

$100\%+20\%=120\%=1,2$

$300\cdot1,2=360$

Exemplo resolvido. Uma mensalidade de R$ 180,00 sofre reajuste de 10%.

$10\%\text{ de }180=18$

$180+18=198$

Novo valor: R$ 198,00.

Uma oficina cobra R$ 500,00 por um serviço. O preço recebe acréscimo de 8%.

$0,08\cdot500=40$

$500+40=540$

5. Descontos percentuais

Um desconto percentual acontece quando determinado valor é reduzido por uma porcentagem em relação ao valor inicial.

Calculando o desconto

$15\%\text{ de }320=48$

$320-48=272$

Usando a forma decimal

$18\%\text{ de }250=0,18\cdot250=45$

$250-45=205$

Fator de desconto

$100\%-20\%=80\%=0,8$

$450\cdot0,8=360$

Exemplo resolvido. Uma mochila custa R$ 160,00 e recebe desconto de 25%.

$25\%\text{ de }160=40$

$160-40=120$

Um material custa R$ 240,00 e recebe desconto de 12%.

$12\%\text{ de }240=28,80$

$240-28,80=211,20$

6. Acréscimos e descontos sucessivos

Em alterações sucessivas, cada porcentagem é aplicada sobre o valor existente naquele momento.

Dois acréscimos sucessivos

$200\cdot1,1=220$

$220\cdot1,1=242$

Dois descontos sucessivos

$300\cdot0,8=240$

$240\cdot0,8=192$

Acréscimo e desconto de mesma porcentagem

$500\cdot1,2=600$

$600\cdot0,8=480$

Atenção: um aumento de 20% seguido de um desconto de 20% não faz o valor retornar ao inicial, pois as porcentagens são aplicadas sobre valores diferentes.

Exemplo resolvido. Um equipamento custa R$ 800,00, recebe acréscimo de 5% e depois desconto de 10%.

$800\cdot1,05=840$

$840\cdot0,9=756$

Um serviço de R$ 1.000,00 sofre aumento de 10% e depois desconto de 10%.

$1000\cdot1,1=1100$

$1100\cdot0,9=990$

Pratique 2: acréscimos e descontos

1. Calcule o acréscimo e o novo valor: a) 10% sobre R$ 200,00; b) 15% sobre R$ 400,00; c) 8% sobre R$ 750,00; d) 25% sobre R$ 320,00.

2. Calcule o desconto e o preço final: a) 10% de R$ 500,00; b) 20% de R$ 250,00; c) 15% de R$ 600,00; d) 30% de R$ 180,00.

3. Complete: a) acréscimo de 12% corresponde ao fator ___; b) desconto de 12% ao fator ___; c) acréscimo de 35% ao fator ___; d) desconto de 35% ao fator ___.

4. Calcule diretamente o valor final: a) R$ 300,00 com acréscimo de 20%; b) R$ 450,00 com desconto de 20%; c) R$ 800,00 com acréscimo de 5%; d) R$ 1.200,00 com desconto de 25%.

5. Um valor de R$ 500,00 sofre acréscimo de 10% e depois outro de 10%. Determine o valor final.

6. Uma bicicleta custa R$ 900,00 e recebe desconto de 15%. Qual é o valor do desconto e qual é o preço final?

7. Um serviço custa R$ 640,00. Após reajuste de 12%, qual será o novo valor?

8. Um produto de R$ 400,00 recebe desconto de 20% e depois novo desconto de 10%. Qual é o preço final?

9. Uma mensalidade de R$ 750,00 recebe acréscimo de 8% e depois desconto de 5%. Quanto será pago ao final?

10. Um produto custa R$ 1.000,00. Primeiro aumenta 20% e depois recebe desconto de 20%. Determine o preço final e compare-o com o preço inicial.

7. Descobrindo a porcentagem e o valor inicial

Descobrindo a porcentagem

$\frac{10}{40}=\frac14=25\%$

Descobrindo o total

Se 20% de uma quantidade corresponde a 30:

$20\%=\frac15$

$30\cdot5=150$

Valor inicial após um desconto

$80\%\text{ do valor inicial}=240$

$0,8x=240$

$x=300$

Valor inicial após um acréscimo

$1,15x=552$

$x=480$

Exemplo resolvido. Em uma pesquisa, 45 de 60 pessoas escolheram uma opção.

$\frac{45}{60}=\frac34=75\%$

Após um desconto de 25%, um produto passou a custar R$ 450,00.

$0,75x=450$

$x=600$

8. Porcentagem em situações do cotidiano

A porcentagem aparece em pesquisas, consumo, variações de preços, taxas de crescimento ou redução e informações em tabelas e gráficos.

Interpretando uma pesquisa

$62\%\text{ de }500=0,62\cdot500=310$

Interpretando o que falta

$100\%-68\%=32\%$

$32\%\text{ de }250=80$

Comparando porcentagens

$\frac{18}{30}=60\%$

$\frac{21}{35}=60\%$

Exemplo resolvido. Uma pesquisa indicou que 72% de 250 participantes aprovaram uma proposta.

$0,72\cdot250=180$

Uma escola reduziu em 20% o consumo mensal de 1.500 folhas.

$20\%\text{ de }1500=300$

$1500-300=1200$

9. Porcentagem e educação financeira

A educação financeira envolve comparar opções, planejar gastos e interpretar corretamente descontos e acréscimos.

Comparando promoções

Um produto de R$ 400,00 tem duas ofertas.

$15\%\text{ de }400=60$

$400-60=340$

Com desconto fixo de R$ 50,00:

$400-50=350$

O maior percentual nem sempre significa a melhor compra

$300\cdot0,8=240$

$260\cdot0,9=234$

Parcelado ou à vista?

$6\cdot125=750$

$750-720=30$

Organização de um orçamento

$30\%\text{ de }1200=360$

$20\%\text{ de }1200=240$

$15\%\text{ de }1200=180$

$10\%\text{ de }1200=120$

Exemplo resolvido. Um produto custa R$ 500,00. A Loja A oferece 18% de desconto e a Loja B oferece R$ 80,00 de desconto.

$18\%\text{ de }500=90$

$500-90=410$

$500-80=420$

A Loja A apresenta o menor preço.

Uma família separou 25% de uma renda de R$ 2.000,00 para alimentação.

$25\%\text{ de }2000=500$

$2000-500=1500$

Pratique 3: porcentagem no cotidiano e educação financeira

1. Determine a porcentagem: a) 15 de 60; b) 18 de 24; c) 35 de 50; d) 42 de 70.

2. Descubra o total: a) 20% corresponde a 40; b) 25% corresponde a 30; c) 50% corresponde a 85; d) 10% corresponde a 24.

3. Descubra o valor inicial: a) após desconto de 20%, R$ 320,00; b) após desconto de 25%, R$ 450,00; c) após acréscimo de 10%, R$ 550,00; d) após acréscimo de 20%, R$ 840,00.

4. Calcule: a) 62% de 500; b) 18% de 350; c) 72% de 250; d) 35% de 480.

5. Um valor de R$ 600,00 é dividido em 30%, 25%, 20% e o restante. Determine cada parcela e a porcentagem restante.

6. Em uma pesquisa com 400 estudantes, 65% afirmaram praticar atividade física. Quantos deram essa resposta? Quantos representam os demais 35%?

7. Um produto custa R$ 500,00. Uma loja oferece desconto de 15% e outra desconto fixo de R$ 60,00. Qual opção apresenta o menor preço?

8. Uma compra pode ser feita por R$ 840,00 à vista ou em 8 parcelas de R$ 110,00. Qual é o total parcelado e a diferença?

9. Uma pessoa recebe R$ 1.500,00 e organiza 30% para alimentação, 15% para transporte, 10% para materiais e 20% para uma reserva. Determine os valores e quanto resta.

10. Um produto de R$ 800,00 recebe desconto de 10% e depois novo desconto de 5% sobre o preço reduzido. Determine o preço final e compare com um desconto único de 15%.

Revisão e aprofundamento

1. Escreva cada porcentagem como fração de denominador 100 e decimal: a) $12\%$; b) $45\%$; c) $80\%$; d) $125\%$.

2. Transforme em porcentagem: a) $0,08$; b) $0,35$; c) $0,6$; d) $1,4$.

3. Transforme em porcentagem: a) $\frac15$; b) $\frac34$; c) $\frac7{10}$; d) $\frac9{20}$.

4. Calcule mentalmente: a) 10% de 420; b) 50% de 360; c) 25% de 240; d) 5% de 800; e) 15% de 200.

5. Calcule: a) 18% de 350; b) 32% de 500; c) 45% de 280; d) 72% de 250.

6. Determine a porcentagem: a) 12 de 48; b) 35 de 50; c) 18 de 30; d) 27 de 36.

7. Descubra o total: a) 20% corresponde a 36; b) 25% a 45; c) 40% a 72; d) 75% a 150.

8. Escreva o fator: a) acréscimo de 10%; b) acréscimo de 18%; c) desconto de 20%; d) desconto de 35%.

9. Calcule o valor final: a) R$ 500,00 com acréscimo de 12%; b) R$ 800,00 com desconto de 15%; c) R$ 1.200,00 com acréscimo de 5%; d) R$ 450,00 com desconto de 20%.

10. Um valor de R$ 1.000,00 recebe acréscimo de 10% e depois desconto de 10%. Determine o valor final.

11. Em uma escola com 480 estudantes, 35% participam de atividades esportivas. Quantos participam? Quantos não participam?

12. Uma loja anuncia desconto de 25% em um produto de R$ 640,00. Determine o desconto e o preço final.

13. Um serviço custava R$ 750,00 e sofreu acréscimo de 8%. Qual é o novo valor?

14. Depois de um desconto de 20%, um produto passou a custar R$ 560,00. Qual era o preço inicial?

15. Em uma pesquisa, 84 pessoas de um total de 120 escolheram determinada opção. Qual porcentagem isso representa?

16. Um produto de R$ 900,00 recebe dois descontos sucessivos de 10%. Determine o preço final e compare com um desconto único de 20%.

17. Uma compra pode ser feita por R$ 1.080,00 à vista ou em 9 parcelas de R$ 125,00. Determine o total parcelado e a diferença.

18. Uma família recebe R$ 2.400,00 e organiza 30% para alimentação, 15% para transporte, 20% para moradia e 10% para uma reserva. Determine os valores e quanto resta.

19. Uma escola consumia 2.000 folhas por mês e reduziu esse consumo em 18%. Quantas folhas deixou de consumir e qual passou a ser o novo consumo?

20. Um produto custava R$ 600,00. Primeiro recebeu acréscimo de 20% e depois desconto de 25% sobre o novo valor. Determine o preço final e compare-o com o inicial.

Gabaritos

Gabarito do Pratique 1

1. a) $\frac8{100}$; b) $\frac{23}{100}$; c) $\frac{65}{100}$; d) $\frac{92}{100}$.

2. a) 0,05; b) 0,18; c) 0,4; d) 0,75.

3. a) 12%; b) 35%; c) 80%; d) 125%.

4. a) 50%; b) 60%; c) 35%; d) 90%.

5. a) 48; b) 180; c) 50; d) 30; e) 30.

6. 20 estudantes.

7. 60 pessoas.

8. 30 peças.

9. 30 estudantes.

10. 180 responderam “sim” e 60 deram outra resposta.

Gabarito do Pratique 2

1. a) R$ 20,00 e R$ 220,00; b) R$ 60,00 e R$ 460,00; c) R$ 60,00 e R$ 810,00; d) R$ 80,00 e R$ 400,00.

2. a) R$ 50,00 e R$ 450,00; b) R$ 50,00 e R$ 200,00; c) R$ 90,00 e R$ 510,00; d) R$ 54,00 e R$ 126,00.

3. a) 1,12; b) 0,88; c) 1,35; d) 0,65.

4. a) R$ 360,00; b) R$ 360,00; c) R$ 840,00; d) R$ 900,00.

5. R$ 605,00.

6. Desconto de R$ 135,00; preço final R$ 765,00.

7. R$ 716,80.

8. R$ 288,00.

9. R$ 769,50.

10. R$ 960,00, que é R$ 40,00 menor que o valor inicial.

Gabarito do Pratique 3

1. a) 25%; b) 75%; c) 70%; d) 60%.

2. a) 200; b) 120; c) 170; d) 240.

3. a) R$ 400,00; b) R$ 600,00; c) R$ 500,00; d) R$ 700,00.

4. a) 310; b) 63; c) 180; d) 168.

5. R$ 180,00; R$ 150,00; R$ 120,00; restante R$ 150,00, equivalente a 25%.

6. 260 estudantes e 140 estudantes.

7. A opção de 15% apresenta o menor preço: R$ 425,00.

8. Total parcelado R$ 880,00; diferença R$ 40,00.

9. R$ 450,00; R$ 225,00; R$ 150,00; R$ 300,00; restante R$ 375,00.

10. Preço final R$ 684,00. Desconto total R$ 116,00. Um desconto único de 15% levaria a R$ 680,00.

Gabarito da revisão e do aprofundamento

1. a) $\frac{12}{100}=0,12$; b) $\frac{45}{100}=0,45$; c) $\frac{80}{100}=0,8$; d) $\frac{125}{100}=1,25$.

2. a) 8%; b) 35%; c) 60%; d) 140%.

3. a) 20%; b) 75%; c) 70%; d) 45%.

4. a) 42; b) 180; c) 60; d) 40; e) 30.

5. a) 63; b) 160; c) 126; d) 180.

6. a) 25%; b) 70%; c) 60%; d) 75%.

7. a) 180; b) 180; c) 180; d) 200.

8. a) 1,10; b) 1,18; c) 0,80; d) 0,65.

9. a) R$ 560,00; b) R$ 680,00; c) R$ 1.260,00; d) R$ 360,00.

10. R$ 990,00.

11. 168 participam e 312 não participam.

12. Desconto de R$ 160,00 e preço final de R$ 480,00.

13. R$ 810,00.

14. R$ 700,00.

15. 70%.

16. Dois descontos de 10%: R$ 729,00. Desconto único de 20%: R$ 720,00.

17. Total parcelado de R$ 1.125,00; diferença de R$ 45,00.

18. Alimentação R$ 720,00; transporte R$ 360,00; moradia R$ 480,00; reserva R$ 240,00; restante R$ 600,00.

19. Redução de 360 folhas; novo consumo de 1.640 folhas.

20. R$ 540,00, valor R$ 60,00 abaixo do inicial.

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Fração	Decimal	Porcentagem
\(\frac1{10}\)	0,1	10%
\(\frac15\)	0,2	20%
\(\frac14\)	0,25	25%
\(\frac12\)	0,5	50%
\(\frac34\)	0,75	75%
1	1	100%