Sistemas de numeração e números naturais
Os números aparecem nos preços, horários, calendários, endereços, receitas, medidas e em muitas outras situações. Nesta postagem, conheceremos diferentes usos dos números, alguns sistemas criados ao longo da história e as principais características do sistema de numeração decimal.
Os números em nosso cotidiano
Os números nem sempre desempenham a mesma função. Em uma sala com 32 estudantes, indicam quantidade. Em 2º lugar, indicam ordem. Em uma garrafa com 2 litros, representam uma medida. No endereço 145 ou na senha 307, servem para identificação ou como código.
Assim, os números podem indicar quantidade, ordem, medida, identificação ou código.
Pratique este conteúdo →Uma breve história dos números
Muito antes dos algarismos atuais, os seres humanos já precisavam controlar quantidades. Para registrar animais, objetos ou dias transcorridos, utilizavam pedras, nós em cordas, riscos em madeira e marcas em ossos.
Com o crescimento das sociedades, esses registros deixaram de ser suficientes. Diferentes povos criaram símbolos e regras para representar quantidades. Surgiram, assim, diversos sistemas de numeração.
O que é um sistema de numeração?
Um sistema de numeração é um conjunto de símbolos e regras utilizado para representar números. Entre os sistemas desenvolvidos ao longo da história estão o egípcio, o babilônico, o maia, o romano e o indo-arábico.
Nesta postagem, estudaremos um pouco mais o sistema romano e, principalmente, o sistema decimal utilizado atualmente.
Pratique este conteúdo →Sistema de numeração romano
| Símbolo | I | V | X | L | C | D | M |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Valor | 1 | 5 | 10 | 50 | 100 | 500 | 1.000 |
Em geral, quando um símbolo de menor ou igual valor aparece depois de outro, os valores são adicionados:
Em casos específicos, um símbolo menor colocado antes de outro maior indica subtração:
- $I$, $X$, $C$ e $M$ podem aparecer até três vezes consecutivas.
- $V$, $L$ e $D$ não são repetidos consecutivamente.
- $I$ pode ser subtraído apenas de $V$ e $X$.
- $X$ pode ser subtraído apenas de $L$ e $C$.
- $C$ pode ser subtraído apenas de $D$ e $M$.
O sistema romano ainda aparece em séculos, capítulos, relógios, edições de eventos e nomes de reis e papas.
Pratique este conteúdo →Sistema de numeração decimal
O sistema atual surgiu na Índia e foi aperfeiçoado e divulgado por estudiosos árabes. Por isso, também é chamado de sistema indo-arábico. Ele utiliza os algarismos:
$$0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$$Os agrupamentos são feitos de dez em dez:
- 10 unidades formam 1 dezena;
- 10 dezenas formam 1 centena;
- 10 centenas formam 1 unidade de milhar.
Por isso, o sistema decimal tem base dez. Ele utiliza dez algarismos, é posicional e emprega o zero para indicar a ausência de unidades em determinada ordem.
Pratique este conteúdo →Valor posicional, valor absoluto e o zero
Um mesmo algarismo pode assumir valores diferentes conforme a posição que ocupa. Em $52$, o algarismo $5$ vale $50$; em $205$, vale $5$; e em $5.280$, vale $5.000$.
| Número | Posição do 5 | Valor posicional |
|---|---|---|
| $52$ | dezena | $50$ |
| $205$ | unidade | $5$ |
| $5.280$ | unidade de milhar | $5.000$ |
O valor absoluto é o valor do algarismo isolado. O valor posicional, ou relativo, depende da posição. Em $47.285$, o valor absoluto do $7$ é $7$, mas seu valor posicional é $7.000$.
O zero mantém as posições: $35$, $305$, $3.005$ e $30.005$ representam números diferentes.
Pratique este conteúdo →Ordens e classes
Cada posição recebe o nome de ordem, contada da direita para a esquerda. As ordens são agrupadas de três em três, formando classes.
| Classe dos milhões | Classe dos milhares | Classe das unidades simples |
|---|---|---|
| centena, dezena e unidade de milhão | centena, dezena e unidade de milhar | centena, dezena e unidade |
No número $7.452.318$:
$$7\mid452\mid318$$$7$ pertence aos milhões, $452$ aos milhares e $318$ às unidades simples.
Leitura e escrita de números naturais
Para facilitar a leitura, separamos o número em classes, da direita para a esquerda.
$428.715$: quatrocentos e vinte e oito mil, setecentos e quinze.
$6.304.027$: seis milhões, trezentos e quatro mil e vinte e sete.
$82.050.400$: oitenta e dois milhões, cinquenta mil e quatrocentos.
As ordens ocupadas pelo zero não são mencionadas na leitura.
Pratique este conteúdo →Composição e decomposição
Compor é reunir os valores das ordens. Decompor é separar o número conforme o valor posicional de cada algarismo.
O conjunto dos números naturais
Os números naturais são usados principalmente para contar e indicar ordem. Seu conjunto é representado por:
$$\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,5,\ldots\}$$As reticências mostram que o conjunto é infinito. Não existe o maior número natural, pois todo natural possui um sucessor.
Antecessor, sucessor e números consecutivos
O antecessor aparece imediatamente antes e o sucessor imediatamente depois. Para $18$, temos:
$$17,\ 18,\ 19$$O zero não possui antecessor em $\mathbb N$. Números como $46$, $47$ e $48$ são consecutivos.
Pratique este conteúdo →Comparação e ordenação
| Símbolo | Significado |
|---|---|
| $=$ | igual a |
| $\ne$ | diferente de |
| $>$ | maior que |
| $<$ | menor que |
Se os números têm quantidades diferentes de algarismos, o que possui mais algarismos é maior. Se possuem a mesma quantidade, comparamos da esquerda para a direita até encontrar a primeira diferença.
Na ordem crescente, organizamos do menor para o maior; na decrescente, do maior para o menor.
Pratique este conteúdo →Reta numérica
Na reta numérica, as marcações mantêm o mesmo intervalo. Os números aumentam para a direita e diminuem para a esquerda.
A distância entre $4$ e $9$ é de cinco unidades: $9-4=5$. A escala também pode avançar de $10$ em $10$, de $100$ em $100$ ou por outro intervalo constante.
Pratique este conteúdo →Arredondamento e estimativas
Arredondar é substituir um valor exato por outro próximo e mais simples. Escolhemos a ordem desejada e observamos o algarismo imediatamente à direita:
- de $0$ a $4$, mantemos o algarismo da ordem escolhida;
- de $5$ a $9$, aumentamos esse algarismo em uma unidade;
- os algarismos à direita são substituídos por zero.
Uma estimativa é um valor aproximado. Se uma escola possui $487$ estudantes pela manhã e $316$ à tarde, podemos estimar:
$$487\approx500\qquad316\approx300\qquad500+300=800$$O total exato é $803$, portanto a estimativa é razoável. Quando a precisão é necessária, devemos usar o valor exato.
Pratique este conteúdo →Resumo
- Os números indicam quantidade, ordem, medida, identificação ou código.
- Um sistema de numeração reúne símbolos e regras.
- O sistema decimal tem base dez, é posicional e utiliza dez algarismos.
- As posições formam ordens, agrupadas em classes.
- Os naturais formam um conjunto infinito que começa em zero.
- Naturais podem ser comparados, ordenados e representados na reta.
- Arredondamentos e estimativas fornecem valores aproximados.
Pratique o que aprendeu
Usos dos números
a) Uma caixa contém 24 lápis. b) Beatriz chegou em 3º. c) A temperatura foi de 31 °C. d) O ônibus é da linha 588. e) Rafael mora no apartamento 204.