Sistemas de numeração e números naturais
Os números aparecem nos preços, horários, calendários, endereços, receitas, medidas e em muitas outras situações. Nesta postagem, estudaremos seus diferentes usos, alguns sistemas criados ao longo da história e as principais características do sistema de numeração decimal. Também conheceremos o conjunto dos números naturais, a reta numérica e as ideias de comparação, arredondamento e estimativa.
Habilidades da BNCC relacionadas
EF06MA01: Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica.
EF06MA02: Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhanças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal.
EF06MA12: Fazer estimativas de quantidades e aproximar números para múltiplos da potência de 10 mais próxima.
1. Os números em nosso cotidiano
Os números nem sempre desempenham a mesma função. Em uma sala com 32 estudantes, indicam quantidade. Em 2º lugar, indicam ordem. Em uma garrafa com 2 litros, representam uma medida. No endereço 145 ou na linha de ônibus 588, servem para identificação ou como código.
2. Sistemas de numeração
Antes dos algarismos atuais, os seres humanos registravam quantidades com pedras, nós em cordas e marcas em madeira ou ossos. Com o desenvolvimento das sociedades, diferentes povos criaram símbolos e regras próprios.
Um sistema de numeração é um conjunto de símbolos e regras usado para representar números. Entre os sistemas criados ao longo da história estão o egípcio, o babilônico, o maia, o romano e o indo-arábico. Aqui, conheceremos o sistema romano e estudaremos com mais atenção o sistema decimal.
Sistema de numeração romano
| Símbolo | I | V | X | L | C | D | M |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Valor | 1 | 5 | 10 | 50 | 100 | 500 | 1.000 |
Em geral, quando um símbolo de menor ou igual valor aparece depois de outro, os valores são adicionados:
Em situações específicas, um símbolo menor colocado antes de outro maior indica subtração:
- I, X, C e M podem aparecer até três vezes consecutivas.
- V, L e D não são repetidos consecutivamente.
- I pode ser subtraído apenas de V e X.
- X pode ser subtraído apenas de L e C.
- C pode ser subtraído apenas de D e M.
Os números romanos ainda aparecem em séculos, capítulos, relógios, edições de eventos e nomes de reis e papas.
3. Sistema de numeração decimal
O sistema que utilizamos surgiu na Índia e foi divulgado por estudiosos árabes. Por isso, também é chamado de sistema indo-arábico. Ele utiliza dez algarismos:
\[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\]Seus agrupamentos são feitos de dez em dez:
- 10 unidades formam 1 dezena;
- 10 dezenas formam 1 centena;
- 10 centenas formam 1 unidade de milhar.
Por isso, o sistema decimal tem base dez. Ele também é posicional: o valor de um algarismo depende da posição ocupada. O zero indica a ausência de unidades em determinada ordem e ajuda a conservar as posições.
Valor absoluto e valor posicional
O valor absoluto é o valor do algarismo isolado. O valor posicional, ou relativo, depende da posição. Em $47.285$, o valor absoluto do algarismo 7 é 7, mas seu valor posicional é 7.000.
| Número | Posição do 5 | Valor posicional |
|---|---|---|
| 52 | dezena | 50 |
| 205 | unidade | 5 |
| 5.280 | unidade de milhar | 5.000 |
Observe como o zero mantém as posições: 35, 305, 3.005 e 30.005 representam números diferentes.
Ordens e classes
Cada posição recebe o nome de ordem, contada da direita para a esquerda. As ordens são agrupadas de três em três, formando classes.
Leitura, escrita, composição e decomposição
Para facilitar a leitura, separamos o número em classes, da direita para a esquerda.
428.715: quatrocentos e vinte e oito mil, setecentos e quinze.
6.304.027: seis milhões, trezentos e quatro mil e vinte e sete.
82.050.400: oitenta e dois milhões, cinquenta mil e quatrocentos.
Compor é reunir os valores das ordens. Decompor é separar o número conforme o valor posicional de cada algarismo.
Pratique sistemas de numeração e escrita dos números
- Classifique o número destacado: a) 36 estudantes; b) 4º lugar; c) 5 L; d) ônibus 121; e) apartamento 302.
- Explique o que é um sistema de numeração e cite três sistemas criados ao longo da história.
- Escreva no sistema decimal: a) VIII; b) XIV; c) XXIX; d) XLIII; e) XCVI.
- Escreva no sistema romano: a) 6; b) 19; c) 34; d) 48; e) 75.
- Explique as expressões: a) base dez; b) sistema posicional; c) função do zero.
- Determine o valor posicional: a) 7 em 47.125; b) 3 em 632.814; c) 8 em 5.083; d) 4 em 4.205.719.
- No número 36.704.215, informe: a) número de ordens; b) número de classes; c) algarismo das dezenas de milhar; d) valor posicional do 6.
- Escreva por extenso: a) 4.018; b) 72.305; c) 506.040; d) 3.080.219.
- Escreva com algarismos: a) sete mil, cento e vinte e três; b) noventa mil e oito; c) dois milhões, quarenta mil e seis.
- a) Componha $800.000+40.000+6.000+90+2$. b) Decomponha 719.084.
4. O conjunto dos números naturais
Os números naturais são usados principalmente para contar e indicar ordem. Seu conjunto é representado por:
\[\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,5,\ldots\}\]As reticências mostram que o conjunto é infinito. Não existe o maior número natural, pois todo número natural possui um sucessor.
Antecessor, sucessor e números consecutivos
O antecessor aparece imediatamente antes e o sucessor imediatamente depois. Para 18, temos:
\[17,\ 18,\ 19\]O zero não possui antecessor em $\mathbb N$. Números como 46, 47 e 48 são consecutivos.
5. Comparação e ordenação
| Símbolo | Significado |
|---|---|
| $=$ | igual a |
| $\ne$ | diferente de |
| $>$ | maior que |
| $<$ | menor que |
Se dois números têm quantidades diferentes de algarismos, aquele que possui mais algarismos é maior. Se possuem a mesma quantidade, comparamos da esquerda para a direita até encontrar a primeira diferença.
Na ordem crescente, organizamos do menor para o maior. Na ordem decrescente, organizamos do maior para o menor.
6. Reta numérica
Na reta numérica, as marcações mantêm o mesmo intervalo. Os números aumentam para a direita e diminuem para a esquerda.
A escala também pode avançar de 10 em 10, de 100 em 100 ou por outro intervalo constante.
7. Arredondamento e estimativas
Arredondar é substituir um valor exato por outro próximo e mais simples. Escolhemos a ordem desejada e observamos o algarismo imediatamente à direita:
- de 0 a 4, mantemos o algarismo da ordem escolhida;
- de 5 a 9, aumentamos esse algarismo em uma unidade;
- os algarismos à direita são substituídos por zero.
Uma estimativa é um valor aproximado. Se uma escola possui 487 estudantes pela manhã e 316 à tarde, podemos calcular aproximadamente:
\[487\approx500\qquad316\approx300\qquad500+300=800\]O total exato é 803. Portanto, a estimativa é razoável. Quando a precisão é necessária, devemos utilizar o valor exato.
Pratique números naturais, comparação e estimativas
- Complete: a) $\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}$; b) o menor natural é ___; c) o conjunto dos naturais é finito ou infinito?
- Escreva o antecessor e o sucessor de: a) 74; b) 999; c) 5.000; d) 20.309.
- a) Escreva três números consecutivos começando em 248. b) O zero possui antecessor em $\mathbb N$?
- Complete com $>$, $<$ ou $=$: a) 458 __ 485; b) 3.090 __ 3.009; c) 72.500 __ 72.500; d) 108.942 __ 98.942.
- Organize 8.205, 820, 8.025, 825 e 8.250 em ordem crescente.
- Na sequência $0,50,100,150,\square,250,\square$: a) determine o intervalo; b) complete os espaços.
- Em uma reta graduada de 100 em 100: a) em qual marcação após o zero está 600? b) qual número aparece duas marcações depois de 700?
- Arredonde: a) 347 para a dezena; b) 682 para a dezena; c) 2.149 para a centena; d) 18.780 para o milhar.
- Duas escolas arrecadaram 2.438 e 3.672 livros. Arredonde para centenas e estime o total.
- Com os algarismos 2, 4, 6, 7 e 9, sem repetir, forme: a) o maior número; b) o menor; c) o maior número menor que 70.000.
Para lembrar
- Um sistema de numeração reúne símbolos e regras.
- O sistema decimal tem base dez, é posicional e utiliza dez algarismos.
- As posições formam ordens, agrupadas em classes.
- Os números naturais formam um conjunto infinito que começa em zero.
- Os naturais podem ser comparados, ordenados e representados na reta numérica.
- Arredondamentos e estimativas fornecem valores aproximados.
Atividades de revisão e aprofundamento
- Identifique a função do número em cada situação: a) senha 4072; b) 28 alunos; c) 6º capítulo; d) 3 kg; e) casa 184.
- Explique duas diferenças entre o sistema romano e o sistema decimal.
- Converta para o sistema decimal: a) XII; b) XXVII; c) XLIX; d) LXXXIV; e) CXL.
- Escreva em números romanos: a) 9; b) 16; c) 32; d) 64; e) 150.
- Complete: a) 10 unidades = 1 ___; b) 10 centenas = 1 ___; c) 10 unidades de milhar = 1 ___.
- No número 5.408.732, determine o valor posicional dos algarismos 5, 4, 8 e 7.
- No número 82.615.407, informe: a) quantidade de ordens; b) quantidade de classes; c) algarismo das centenas de milhar; d) classe do grupo 615.
- Escreva por extenso: a) 30.506; b) 704.018; c) 12.040.209.
- Escreva com algarismos: a) quarenta e três mil e oito; b) seiscentos e dois mil, cento e quinze; c) nove milhões e vinte mil.
- Componha: a) $90.000+4.000+500+30+2$; b) $6\times100.000+2\times10.000+8\times100+5$.
- Decomponha: a) 48.205; b) 703.091; c) 6.040.708.
- Escreva o antecessor e o sucessor de: a) 1; b) 500; c) 9.999; d) 100.000.
- Complete com $>$, $<$ ou $=$: a) 9.087 __ 9.078; b) 65.400 __ 65.040; c) 1.002.300 __ 1.002.300.
- Coloque em ordem decrescente: 14.205, 14.025, 1.425, 14.250 e 1.452.
- Uma reta começa em 200 e avança de 50 em 50. Escreva as seis primeiras marcações, incluindo 200.
- Em uma reta graduada de 1.000 em 1.000, qual número aparece: a) três marcações depois de 2.000? b) duas antes de 8.000?
- Arredonde 6.348: a) para a dezena; b) para a centena; c) para o milhar.
- Arredonde 47.650: a) para a centena; b) para o milhar; c) para a dezena de milhar.
- Uma biblioteca possui 1.987 livros de literatura e 3.126 livros didáticos. Arredonde para centenas e estime o total.
- Uma cidade tem 87.642 habitantes. a) Arredonde para a dezena de milhar. b) Escreva o número por extenso. c) Faça sua decomposição aditiva.
Gabaritos
Gabarito: sistemas de numeração e escrita
1. a) quantidade; b) ordem; c) medida; d) identificação; e) identificação.
2. Conjunto de símbolos e regras usado para representar números. Exemplos: egípcio, babilônico e romano.
3. a) 8; b) 14; c) 29; d) 43; e) 96.
4. a) VI; b) XIX; c) XXXIV; d) XLVIII; e) LXXV.
5. a) Agrupamentos de dez em dez; b) o valor depende da posição; c) indica ausência em uma ordem e conserva as posições.
6. a) 7.000; b) 30.000; c) 80; d) 4.000.000.
7. a) 8 ordens; b) 3 classes; c) 0; d) 6.000.000.
8. a) quatro mil e dezoito; b) setenta e dois mil, trezentos e cinco; c) quinhentos e seis mil e quarenta; d) três milhões, oitenta mil, duzentos e dezenove.
9. a) 7.123; b) 90.008; c) 2.040.006.
10. a) 846.092; b) $700.000+10.000+9.000+80+4$.
Gabarito: números naturais, comparação e estimativas
1. a) $0,1,2,3,4,\ldots$; b) 0; c) infinito.
2. a) 73 e 75; b) 998 e 1.000; c) 4.999 e 5.001; d) 20.308 e 20.310.
3. a) 248, 249 e 250; b) não.
4. a) $<$; b) $>$; c) $=$; d) $>$.
5. 820, 825, 8.025, 8.205 e 8.250.
6. a) 50; b) 200 e 300.
7. a) sexta marcação; b) 900.
8. a) 350; b) 680; c) 2.100; d) 19.000.
9. 2.400 e 3.700; estimativa: 6.100 livros.
10. a) 97.642; b) 24.679; c) 69.742.
Gabarito: revisão e aprofundamento
1. a) código; b) quantidade; c) ordem; d) medida; e) identificação.
2. Resposta possível: o romano utiliza letras e não é posicional; o decimal utiliza dez algarismos, é posicional e emprega o zero.
3. a) 12; b) 27; c) 49; d) 84; e) 140.
4. a) IX; b) XVI; c) XXXII; d) LXIV; e) CL.
5. a) dezena; b) unidade de milhar; c) dezena de milhar.
6. 5.000.000; 400.000; 8.000; 700.
7. a) 8; b) 3; c) 6; d) milhares.
8. a) trinta mil, quinhentos e seis; b) setecentos e quatro mil e dezoito; c) doze milhões, quarenta mil, duzentos e nove.
9. a) 43.008; b) 602.115; c) 9.020.000.
10. a) 94.532; b) 620.805.
11. a) $40.000+8.000+200+5$; b) $700.000+3.000+90+1$; c) $6.000.000+40.000+700+8$.
12. a) 0 e 2; b) 499 e 501; c) 9.998 e 10.000; d) 99.999 e 100.001.
13. a) $>$; b) $>$; c) $=$.
14. 14.250, 14.205, 14.025, 1.452 e 1.425.
15. 200, 250, 300, 350, 400 e 450.
16. a) 5.000; b) 6.000.
17. a) 6.350; b) 6.300; c) 6.000.
18. a) 47.700; b) 48.000; c) 50.000.
19. 2.000 e 3.100; estimativa: 5.100 livros.
20. a) 90.000; b) oitenta e sete mil, seiscentos e quarenta e dois; c) $80.000+7.000+600+40+2$.