Operações com números naturais: adição, subtração, multiplicação e divisão
Os números naturais aparecem em situações que exigem reunir quantidades, determinar diferenças, formar grupos iguais ou repartir uma quantidade. Antes de escolher uma operação, precisamos compreender como as informações do problema se relacionam.
Habilidade da BNCC relacionada
EF06MA03: Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora.
Adição de números naturais
A adição pode reunir quantidades ou acrescentar uma quantidade a outra. Se uma biblioteca possui $1.245$ livros de literatura e $738$ de outras áreas:
$$1.245+738=1.983$$Os números adicionados são as parcelas; o resultado é a soma ou total.
1.245 + 738 ------- 1.983
No algoritmo usual, alinhamos unidades com unidades, dezenas com dezenas e assim por diante. Quando uma ordem atinge dez ou mais unidades, fazemos um reagrupamento.
Propriedades da adição
- Comutativa: $28+45=45+28$.
- Associativa: $(12+18)+32=12+(18+32)$.
- Elemento neutro: $64+0=64$.
- Fechamento: a soma de dois naturais é sempre natural.
Subtração de números naturais
A subtração pode representar retirada, comparação, diferença ou quanto falta. Se uma escola recebeu $950$ cadernos e distribuiu $628$:
$$\underbrace{950}_{\text{minuendo}}-\underbrace{628}_{\text{subtraendo}}=\underbrace{322}_{\text{diferença}}$$Quando necessário, reagrupamos uma unidade de uma ordem como dez unidades da ordem imediatamente inferior. Podemos verificar o resultado pela operação inversa:
$$704-286=418\qquad418+286=704$$704 - 286 ----- 418
Relação entre adição e subtração
Se $375+248=623$, então $623-248=375$ e $623-375=248$. Essa relação ajuda a verificar cálculos e descobrir termos desconhecidos.
A subtração não é comutativa nem associativa. Além disso, $3-8$ não tem resultado em $\mathbb N$. Os números negativos serão estudados posteriormente.
Pratique adição e subtração
Multiplicação de números naturais
A multiplicação pode representar parcelas iguais. Oito caixas com $24$ cadernos correspondem a:
$$8\times24=192$$Os números multiplicados são fatores; o resultado é o produto.
347 × 26 ------- 2.082 + 6.940 ------- 9.022
Ao multiplicar um natural por $10$, $100$ ou $1.000$, seus algarismos avançam uma, duas ou três ordens: $47\times10=470$, $47\times100=4.700$ e $47\times1.000=47.000$.
Propriedades da multiplicação
- Comutativa: $7\times15=15\times7$.
- Associativa: $(2\times5)\times8=2\times(5\times8)$.
- Elemento neutro: $326\times1=326$.
- Elemento nulo: $326\times0=0$.
- Distributiva: $8\times(20+3)=8\times20+8\times3$.
- Fechamento: o produto de naturais é natural.
Divisão de números naturais
A divisão pode repartir igualmente ou indicar quantos grupos podem ser formados. Em $156\div12=13$, temos dividendo $156$, divisor $12$, quociente $13$ e resto $0$.
$$\text{dividendo}=\text{divisor}\times\text{quociente}+\text{resto}$$A divisão é exata quando o resto é zero. Em $158\div12$, o quociente é $13$ e o resto é $2$:
$$158=12\times13+2$$864 - 8 ---- 06 - 0 --- 64 -64 --- 0
158 -12 --- 38 -36 --- 2
O resto deve satisfazer $0\leq\text{resto}<\text{divisor}$. Seu significado depende do contexto: 13 caixas ficam completas, mas são necessárias 14 para guardar todos os 158 livros.
$385\div1=385$, $385\div385=1$ e $0\div8=0$. Não existe divisão por zero. A divisão não é comutativa nem associativa.
Relação entre multiplicação e divisão
Se $18\times7=126$, então $126\div7=18$ e $126\div18=7$. São operações inversas.
Pratique multiplicação e divisão
Cálculo mental
Calcular mentalmente é observar os números e escolher uma estratégia. Podemos decompor, completar dezenas ou centenas, compensar, usar dobro e metade ou aplicar propriedades.
Estimativas
Estimativas permitem prever e verificar resultados. Para $397+608$, temos $400+600=1.000$; o resultado exato, $1.005$, é coerente. O grau de arredondamento depende da precisão necessária.
Expressões numéricas
Nas expressões com as quatro operações, resolvemos primeiro multiplicações e divisões e depois adições e subtrações. Operações de mesma prioridade são feitas da esquerda para a direita.
Nos sinais de associação, começamos pelo mais interno: parênteses, colchetes e chaves.
$$\{60-[24-(8+4)]\}=\{60-[24-12]\}=48$$Nesta etapa, priorizamos divisões exatas. Potenciação e raiz quadrada serão aprofundadas na próxima postagem.
Resolução de problemas
Um caminho útil é: ler, identificar dados e pergunta, escolher uma estratégia, calcular, verificar e responder. Palavras isoladas não determinam automaticamente a operação.
Dezoito caixas com 24 lápis são divididas entre 12 turmas:
$$18\times24=432\qquad432\div12=36$$Cada turma recebe 36 lápis.
Em problemas de divisão, interprete o resto. Para transportar 238 estudantes em ônibus de 45 lugares, $238\div45=5$ com resto $13$; portanto, são necessários 6 ônibus.
Pratique cálculo mental, expressões e problemas
Resumo
- Adição reúne; subtração retira, compara ou determina diferenças.
- Multiplicação representa, entre outras ideias, parcelas iguais; divisão reparte ou forma grupos.
- Operações inversas ajudam a verificar resultados.
- O resto de uma divisão deve ser menor que o divisor e precisa ser interpretado.
- Cálculo mental e estimativas facilitam e verificam cálculos.
- Expressões seguem uma ordem de resolução.
- Problemas exigem compreensão, estratégia, cálculo, verificação e resposta.
Atividades de aprofundamento
As questões integram os conteúdos e não repetem as práticas imediatas.
Atividades de revisão e aprofundamento
Gabaritos
Gabarito: adição e subtração
1. 873; 4.143; 25.235. 2. 793. 3. 455; 650. 4. comutativa; associativa; elemento neutro. 5. 76; 248. 6. 627; 542; 3.326. 7. 1.248; 739; 509. 8. 564. 9. 315; 284. 10. 472; 775; 1.100.
Gabarito: multiplicação e divisão
1. 1.488; 9.135; 7.824. 2. fatores 42 e 18; produto 756. 3. 4.000. 4. 730; 40.500; 28.000. 5. comutativa; associativa; neutro; nulo. 6. 238; 873. 7. 108 exata; 132 resto 1; 104 exata. 8. quociente 23, resto 2; $347=15\times23+2$. 9. 13 completas, 15 livros, 14 caixas. 10. 16; 126; 12; não há número que multiplicado por zero resulte em 36.
Gabarito: cálculo mental, expressões e problemas
1. 345; 404; 600. 2. 579; 634; 204. 3. estimativas 1.000 e 7.000; exatos 1.005 e 6.995. 4. c. 5. 67; 23; 31. 6. 96; 8; 20. 7. 80. 8. 375. 9. 60. 10. 9 veículos.
Gabarito: revisão e aprofundamento
1. 11.131; 9.656; $8.745+2.386-1.475$. 2. parcelas 27.458 e 13.729; soma 41.187; estimativa 41.000; razoável. 3. 300; 500; 3.000; comutativa e associativa. 4. 5.115; $5.115-1.875=3.240$; verificação $3.240+1.875=5.115$. 5. estimativa pouco acima de 3.000; correto 3.216; $3.216+1.786=5.002$.
6. 6.000; $125\times(40+8)$; estimativa possível 5.000. 7. 1.008; 921; $28\times36-87$. 8. comutativa; associativa; neutro; nulo; distributiva. 9. 667; 507; 1.200; 900. 10. 91; dividendo 2.184, divisor 24, quociente 91, resto 0; $2.184=24\times91+0$.
11. 41 completas; 22 peças; 42 caixas; $1.047=25\times41+22$. 12. 385; 8 completos; 33 no último; 9 ônibus. 13. 3.752; 5.325; 84; 96; 480. 14. $864\div36=24$, $864\div24=36$; $2.121-1.275=846$, $2.121-846=1.275$. 15. 104; 53; 114; 29.
16. 440; 30; 65; 186. 17. $A=45$, $B=35$, $C=45$; A e C; em B os parênteses priorizam $20+5$. 18. 720; 360; 1.080; 60; $[(20\times36)+(15\times24)]\div18$. 19. estimativa 10.000; exato 10.098; 100.098 é cerca de dez vezes maior. 20. 576; 509; 72 por sala; resto 5; $(32\times18-67)\div7$; cinco salas recebem 73 e duas recebem 72.