Operações com números naturais: adição, subtração, multiplicação e divisão

Os números naturais aparecem em situações que exigem reunir quantidades, determinar diferenças, formar grupos iguais ou repartir uma quantidade. Antes de escolher uma operação, precisamos compreender como as informações do problema se relacionam.

Adição de números naturais

A adição pode reunir quantidades ou acrescentar uma quantidade a outra. Se uma biblioteca possui $1.245$ livros de literatura e $738$ de outras áreas:

$$1.245+738=1.983$$

Os números adicionados são as parcelas; o resultado é a soma ou total.

  1.245
+   738
-------
  1.983

No algoritmo usual, alinhamos unidades com unidades, dezenas com dezenas e assim por diante. Quando uma ordem atinge dez ou mais unidades, fazemos um reagrupamento.

Propriedades da adição

  • Comutativa: $28+45=45+28$.
  • Associativa: $(12+18)+32=12+(18+32)$.
  • Elemento neutro: $64+0=64$.
  • Fechamento: a soma de dois naturais é sempre natural.

Subtração de números naturais

A subtração pode representar retirada, comparação, diferença ou quanto falta. Se uma escola recebeu $950$ cadernos e distribuiu $628$:

$$\underbrace{950}_{\text{minuendo}}-\underbrace{628}_{\text{subtraendo}}=\underbrace{322}_{\text{diferença}}$$

Quando necessário, reagrupamos uma unidade de uma ordem como dez unidades da ordem imediatamente inferior. Podemos verificar o resultado pela operação inversa:

$$704-286=418\qquad418+286=704$$

Relação entre adição e subtração

Se $375+248=623$, então $623-248=375$ e $623-375=248$. Essa relação ajuda a verificar cálculos e descobrir termos desconhecidos.

A subtração não é comutativa nem associativa. Além disso, $3-8$ não tem resultado em $\mathbb N$. Os números negativos serão estudados posteriormente.

Pratique adição e subtração →

Prática imediata 1

1. Calcule: a) $347+526$; b) $2.408+1.735$; c) $16.729+8.506$.
2. Uma escola recebeu $425$ livros de Matemática e $368$ de outras disciplinas. Quantos recebeu ao todo?
3. Descubra: a) $\square+245=700$; b) $1.350+\square=2.000$.
4. Identifique a propriedade: a) $46+38=38+46$; b) $(25+17)+13=25+(17+13)$; c) $729+0=729$.
5. Reorganize para facilitar: a) $27+36+13$; b) $125+48+75$.
6. Calcule: a) $864-237$; b) $1.000-458$; c) $7.205-3.879$.
7. Em $1.248-739=509$, identifique minuendo, subtraendo e diferença.
8. Uma escola possuía $1.350$ folhas e utilizou $786$. Quantas restaram?
9. Se $284+315=599$, complete: a) $599-284=\square$; b) $599-315=\square$.
10. Descubra: a) $\square+428=900$; b) $1.250-\square=475$; c) $\square-386=714$.
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Multiplicação de números naturais

A multiplicação pode representar parcelas iguais. Oito caixas com $24$ cadernos correspondem a:

$$8\times24=192$$

Os números multiplicados são fatores; o resultado é o produto.

$$347\times26=347\times(20+6)=6.940+2.082=9.022$$

Ao multiplicar um natural por $10$, $100$ ou $1.000$, seus algarismos avançam uma, duas ou três ordens: $47\times10=470$, $47\times100=4.700$ e $47\times1.000=47.000$.

Propriedades da multiplicação

  • Comutativa: $7\times15=15\times7$.
  • Associativa: $(2\times5)\times8=2\times(5\times8)$.
  • Elemento neutro: $326\times1=326$.
  • Elemento nulo: $326\times0=0$.
  • Distributiva: $8\times(20+3)=8\times20+8\times3$.
  • Fechamento: o produto de naturais é natural.

Divisão de números naturais

A divisão pode repartir igualmente ou indicar quantos grupos podem ser formados. Em $156\div12=13$, temos dividendo $156$, divisor $12$, quociente $13$ e resto $0$.

$$\text{dividendo}=\text{divisor}\times\text{quociente}+\text{resto}$$

A divisão é exata quando o resto é zero. Em $158\div12$, o quociente é $13$ e o resto é $2$:

$$158=12\times13+2$$

O resto deve satisfazer $0\leq\text{resto}<\text{divisor}$. Seu significado depende do contexto: 13 caixas ficam completas, mas são necessárias 14 para guardar todos os 158 livros.

$385\div1=385$, $385\div385=1$ e $0\div8=0$. Não existe divisão por zero. A divisão não é comutativa nem associativa.

Relação entre multiplicação e divisão

Se $18\times7=126$, então $126\div7=18$ e $126\div18=7$. São operações inversas.

Pratique multiplicação e divisão →

Prática imediata 2

1. Calcule: a) $248\times6$; b) $1.305\times7$; c) $326\times24$.
2. Em $42\times18=756$, identifique fatores e produto.
3. Uma gráfica organizou $32$ pacotes com $125$ folhas. Quantas folhas?
4. Calcule mentalmente: a) $73\times10$; b) $405\times100$; c) $28\times1.000$.
5. Identifique a propriedade: a) $14\times9=9\times14$; b) $(4\times5)\times12=4\times(5\times12)$; c) $638\times1=638$; d) $75\times0=0$.
6. Use a distributiva: a) $7\times(30+4)$; b) $9\times(100-3)$.
7. Calcule e classifique: a) $864\div8$; b) $925\div7$; c) $1.248\div12$.
8. Em $347\div15$, determine quociente e resto e escreva a relação fundamental.
9. $275$ livros serão guardados em caixas de $20$. Quantas caixas completas? Quantos livros sobram? Quantas caixas são necessárias?
10. Complete: a) $144\div9=\square$; b) $\square\div7=18$; c) $180\div\square=15$; d) explique por que $36\div0$ não é possível.
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Cálculo mental

Calcular mentalmente é observar os números e escolher uma estratégia. Podemos decompor, completar dezenas ou centenas, compensar, usar dobro e metade ou aplicar propriedades.

$$347+125=347+100+20+5=472$$ $$198+47=200+45=245$$ $$502-198=504-200=304$$ $$25\times16=50\times8=100\times4=400$$

Estimativas

Estimativas permitem prever e verificar resultados. Para $397+608$, temos $400+600=1.000$; o resultado exato, $1.005$, é coerente. O grau de arredondamento depende da precisão necessária.

Expressões numéricas

Nas expressões com as quatro operações, resolvemos primeiro multiplicações e divisões e depois adições e subtrações. Operações de mesma prioridade são feitas da esquerda para a direita.

$$18+6\times4=18+24=42$$ $$48\div6\times3=8\times3=24$$ $$30-12+5=18+5=23$$

Nos sinais de associação, começamos pelo mais interno: parênteses, colchetes e chaves.

$$\{60-[24-(8+4)]\}=\{60-[24-12]\}=48$$

Nesta etapa, priorizamos divisões exatas. Potenciação e raiz quadrada serão aprofundadas na próxima postagem.

Resolução de problemas

Um caminho útil é: ler, identificar dados e pergunta, escolher uma estratégia, calcular, verificar e responder. Palavras isoladas não determinam automaticamente a operação.

Dezoito caixas com 24 lápis são divididas entre 12 turmas:

$$18\times24=432\qquad432\div12=36$$

Cada turma recebe 36 lápis.

Em problemas de divisão, interprete o resto. Para transportar 238 estudantes em ônibus de 45 lugares, $238\div45=5$ com resto $13$; portanto, são necessários 6 ônibus.

Pratique esta parte →

Prática imediata 3

1. Calcule mentalmente e registre a estratégia: a) $298+47$; b) $603-199$; c) $25\times24$.
2. Use decomposição: a) $426+153$; b) $875-241$; c) $34\times6$.
3. Estime e calcule exatamente: a) $592+413$; b) $2.876+4.119$.
4. Melhor estimativa para $51\times19$: a) 100; b) 500; c) 1.000; d) 10.000.
5. Resolva: a) $25+7\times6$; b) $72\div8+14$; c) $40-18+9$.
6. Resolva: a) $(25+7)\times3$; b) $96\div(8+4)$; c) $80-(12\times5)$.
7. Calcule $\{100-[36-(9+7)]\}$.
8. Um teatro tem 24 fileiras com 18 cadeiras. Se 57 ficaram vazias, quantas pessoas assistiram?
9. Quinze caixas com 48 cadernos serão divididas entre 12 escolas. Quantos para cada escola?
10. Quantos veículos de 40 lugares são necessários para 326 estudantes? Explique o resto.
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Resumo

  • Adição reúne; subtração retira, compara ou determina diferenças.
  • Multiplicação representa, entre outras ideias, parcelas iguais; divisão reparte ou forma grupos.
  • Operações inversas ajudam a verificar resultados.
  • O resto de uma divisão deve ser menor que o divisor e precisa ser interpretado.
  • Cálculo mental e estimativas facilitam e verificam cálculos.
  • Expressões seguem uma ordem de resolução.
  • Problemas exigem compreensão, estratégia, cálculo, verificação e resposta.

Atividades de aprofundamento

As questões integram os conteúdos e não repetem as práticas imediatas.

1. Biblioteca. Havia $8.745$ livros; chegaram $2.386$ e foram doados $1.475$. a) Total após a campanha? b) Total final? c) Escreva uma expressão.
2. Em $27.458+13.729=41.187$: a) identifique os termos; b) estime para milhares; c) avalie o resultado.
3. Calcule convenientemente e indique propriedades: a) $38+125+62+75$; b) $246+199+54+1$; c) $1.250+375+750+625$.
4. Após usar $1.875$ folhas, restaram $3.240$. a) Quantas havia? b) Represente por igualdade. c) Verifique pela inversa.
5. Um aluno escreveu $5.002-1.786=4.824$. a) Explique por estimativa o erro. b) Corrija. c) Verifique.
6. Uma gráfica fez 125 blocos de 48 folhas. a) Total? b) Use a distributiva. c) Estime.
7. Auditório com 28 fileiras de 36 lugares: a) capacidade; b) público se 87 lugares ficaram vazios; c) expressão única.
8. Identifique a propriedade: a) $18\times25=25\times18$; b) $(5\times4)\times12=5\times(4\times12)$; c) $927\times1=927$; d) $84\times0=0$; e) $7\times(30+2)=7\times30+7\times2$.
9. Resolva mentalmente e explique: a) $399+268$; b) $1.004-497$; c) $50\times24$; d) $25\times36$.
10. $2.184$ lápis entre 24 turmas: a) por turma; b) termos; c) relação fundamental; d) verificação.
11. $1.047$ peças em caixas de 25: a) caixas completas; b) peças na incompleta; c) caixas necessárias; d) relação fundamental.
12. Passeio com 367 estudantes e 18 profissionais; ônibus de 44 lugares: a) participantes; b) ônibus completos; c) pessoas no último; d) total de ônibus.
13. Descubra: a) $\square+2.748=6.500$; b) $9.000-\square=3.675$; c) $\square\times18=1.512$; d) $2.304\div\square=24$; e) $\square\div15=32$.
14. A partir de $36\times24=864$, escreva duas divisões. A partir de $1.275+846=2.121$, escreva duas subtrações.
15. Resolva: a) $48+7\times8$; b) $96\div12+5\times9$; c) $150-72\div8\times4$; d) $240\div6-18+7$.
16. Resolva: a) $(48+7)\times8$; b) $180\div(15-9)$; c) $200-[45+(18\times5)]$; d) $\{300-[120-(36\div6)]\}$.
17. Calcule $A=60-20+5$, $B=60-(20+5)$ e $C=(60-20)+5$. Quais são iguais? Por que $B$ difere?
18. Foram recebidas 20 caixas de 36 cadernos e 15 de 24, divididas entre 18 turmas. Determine os subtotais, total, quantidade por turma e uma expressão única.
19. Uma loja vendeu 198 caixas de 51 produtos. a) Estime. b) Calcule pela distributiva. c) Explique por que 100.098 é impossível.
20. Desafio. Havia 32 mesas para 18 trabalhos; 67 não ficaram prontos; os restantes foram divididos entre 7 salas. Determine previstos, prontos, quociente, resto, expressão e uma distribuição para os restantes.

Gabaritos

Prática imediata 1

1. 873; 4.143; 25.235. 2. 793. 3. 455; 650. 4. comutativa; associativa; elemento neutro. 5. 76; 248. 6. 627; 542; 3.326. 7. 1.248; 739; 509. 8. 564. 9. 315; 284. 10. 472; 775; 1.100.

Prática imediata 2

1. 1.488; 9.135; 7.824. 2. fatores 42 e 18; produto 756. 3. 4.000. 4. 730; 40.500; 28.000. 5. comutativa; associativa; neutro; nulo. 6. 238; 873. 7. 108 exata; 132 resto 1; 104 exata. 8. quociente 23, resto 2; $347=15\times23+2$. 9. 13 completas, 15 livros, 14 caixas. 10. 16; 126; 12; não há número que multiplicado por zero resulte em 36.

Prática imediata 3

1. 345; 404; 600. 2. 579; 634; 204. 3. estimativas 1.000 e 7.000; exatos 1.005 e 6.995. 4. c. 5. 67; 23; 31. 6. 96; 8; 20. 7. 80. 8. 375. 9. 60. 10. 9 veículos.

Atividades de aprofundamento

1. 11.131; 9.656; $8.745+2.386-1.475$. 2. parcelas 27.458 e 13.729; soma 41.187; estimativa 41.000; razoável. 3. 300; 500; 3.000; comutativa e associativa. 4. 5.115; $5.115-1.875=3.240$; verificação $3.240+1.875=5.115$. 5. estimativa pouco acima de 3.000; correto 3.216; $3.216+1.786=5.002$.

6. 6.000; $125\times(40+8)$; estimativa possível 5.000. 7. 1.008; 921; $28\times36-87$. 8. comutativa; associativa; neutro; nulo; distributiva. 9. 667; 507; 1.200; 900. 10. 91; dividendo 2.184, divisor 24, quociente 91, resto 0; $2.184=24\times91+0$.

11. 41 completas; 22 peças; 42 caixas; $1.047=25\times41+22$. 12. 385; 8 completos; 33 no último; 9 ônibus. 13. 3.752; 5.325; 84; 96; 480. 14. $864\div36=24$, $864\div24=36$; $2.121-1.275=846$, $2.121-846=1.275$. 15. 104; 53; 114; 29.

16. 440; 30; 65; 186. 17. $A=45$, $B=35$, $C=45$; A e C; em B os parênteses priorizam $20+5$. 18. 720; 360; 1.080; 60; $[(20\times36)+(15\times24)]\div18$. 19. estimativa 10.000; exato 10.098; 100.098 é cerca de dez vezes maior. 20. 576; 509; 72 por sala; resto 5; $(32\times18-67)\div7$; cinco salas recebem 73 e duas recebem 72.