Números racionais, dízimas periódicas e fração geratriz
Os números racionais aparecem em muitas situações do cotidiano. Eles podem representar partes de uma quantidade, medidas, resultados de divisões, preços, distâncias, tempos e muitas outras informações.
Um mesmo número racional pode ser escrito de diferentes maneiras. A fração \(\frac{3}{4}\), por exemplo, também pode ser representada pelo número decimal \(0,75\).
Nesta postagem, vamos retomar os números racionais, compreender a diferença entre números decimais exatos e dízimas periódicas, identificar o período de uma dízima e aprender a determinar sua fração geratriz.
Habilidade da BNCC
EF08MA05: reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica.
Objeto de conhecimento: dízimas periódicas e fração geratriz.
1. Retomando os números racionais
Chamamos de número racional todo número que pode ser escrito na forma de uma fração:
O conjunto dos números racionais é representado pela letra \(\mathbb{Q}\).
Os números racionais incluem números inteiros, frações, números decimais exatos e dízimas periódicas.
| Representação | Exemplo | Outra forma de escrever |
|---|---|---|
| Número inteiro | \(5\) | \(\frac{5}{1}\) |
| Fração | \(\frac{7}{20}\) | \(0,35\) |
| Decimal exato | \(1,25\) | \(\frac{5}{4}\) |
| Dízima periódica | \(0,666\ldots\) | \(\frac{2}{3}\) |
Importante: a forma de escrever pode mudar, mas o valor do número não muda.
Exemplo resolvido 1. O número \(-3\) é racional?
Sim. Todo número inteiro pode ser escrito com denominador igual a 1:
Resposta: \(-3\) é um número racional.
Exemplo resolvido 2. Escreva \(0,48\) na forma de fração irredutível.
Simplificando numerador e denominador por 4:
Resposta: \(0,48=\frac{12}{25}\).
2. Da fração para a representação decimal
Para transformar uma fração em número decimal, podemos dividir o numerador pelo denominador.
Exemplo resolvido 3. Transforme \(\frac{7}{8}\) em número decimal.
A divisão termina após três casas decimais.
Resposta: \(\frac{7}{8}=0,875\).
Quando a divisão termina, obtemos um decimal exato.
Exemplo resolvido 4. Transforme \(\frac{5}{6}\) em número decimal.
O algarismo 3 continua se repetindo indefinidamente.
Resposta: \(\frac{5}{6}=0,83333\ldots\).
Quando a representação decimal é infinita e apresenta uma repetição regular de um ou mais algarismos, temos uma dízima periódica.
| Fração | Representação decimal | Classificação |
|---|---|---|
| \(\frac{3}{5}\) | \(0,6\) | Decimal exato |
| \(\frac{7}{20}\) | \(0,35\) | Decimal exato |
| \(\frac{2}{3}\) | \(0,666\ldots\) | Dízima periódica |
| \(\frac{4}{11}\) | \(0,363636\ldots\) | Dízima periódica |
3. Dízimas periódicas
Em uma dízima periódica, o algarismo ou o grupo de algarismos que se repete indefinidamente é chamado de período.
Nesse número, o período é \(7\).
Nesse caso, o período é \(23\).
Dízima periódica simples
Uma dízima periódica é chamada de simples quando o período começa imediatamente após a vírgula.
O período é \(45\), e não existe nenhum algarismo entre a vírgula e o início da repetição.
Dízima periódica composta
Uma dízima periódica é chamada de composta quando existe uma parte decimal que não se repete antes do início do período.
Nesse número, \(18\) forma a parte não periódica e \(3\) é o período.
| Dízima | Parte não periódica | Período | Tipo |
|---|---|---|---|
| \(0,121212\ldots\) | Não há | \(12\) | Simples |
| \(4,8888\ldots\) | Não há | \(8\) | Simples |
| \(0,145555\ldots\) | \(14\) | \(5\) | Composta |
| \(3,27181818\ldots\) | \(27\) | \(18\) | Composta |
Atenção: o período é apenas a parte que se repete. Em \(0,416666\ldots\), o algarismo \(4\) não pertence ao período. O algarismo \(1\) também não pertence ao período. O período é \(6\).
Pratique 1 — Números racionais e dízimas periódicas
1. Escreva cada número na forma de fração.
a) \(4\)
b) \(-7\)
c) \(0,3\)
d) \(1,25\)
e) \(0,08\)
2. Transforme as frações em números decimais e classifique cada resultado como decimal exato ou dízima periódica.
a) \(\frac{3}{4}\)
b) \(\frac{7}{5}\)
c) \(\frac{2}{9}\)
d) \(\frac{5}{8}\)
e) \(\frac{7}{6}\)
3. Identifique o período de cada dízima.
a) \(0,8888\ldots\)
b) \(2,343434\ldots\)
c) \(0,127777\ldots\)
d) \(5,03131313\ldots\)
e) \(1,205205205\ldots\)
4. Classifique cada dízima como simples ou composta.
a) \(0,151515\ldots\)
b) \(3,16666\ldots\)
c) \(2,474747\ldots\)
d) \(0,082222\ldots\)
e) \(7,3090909\ldots\)
5. Complete com \(<\), \(>\) ou \(=\).
a) \(0,75\ \square\ \frac{3}{4}\)
b) \(0,666\ldots\ \square\ \frac{2}{3}\)
c) \(1,2\ \square\ \frac{6}{5}\)
d) \(0,5\ \square\ 0,4999\ldots\)
e) \(0,272727\ldots\ \square\ 0,3\)
6. Uma jarra contém \(\frac{2}{3}\) de litro de suco. Escreva essa quantidade na forma decimal e diga se a representação é exata ou periódica.
7. Em uma prova de velocidade, dois corredores registraram \(1,25\) minuto e \(1,2222\ldots\) minuto. Qual deles apresentou o menor tempo?
8. Um sensor registrou a medida \(0,181818\ldots\) metro. Qual é o período dessa dízima? Ela é simples ou composta?
9. Um reservatório está preenchido com \(\frac{5}{6}\) de sua capacidade. Escreva essa fração na forma decimal e identifique o período.
10. Uma fita de 7 metros foi dividida igualmente em 3 partes. Qual é o comprimento de cada parte na forma decimal? O resultado é um decimal exato ou uma dízima periódica?
4. O que é fração geratriz?
Vimos que uma fração pode produzir uma dízima periódica quando dividimos seu numerador pelo denominador.
Também podemos fazer o caminho inverso: partir de uma dízima periódica e encontrar a fração que a representa.
A fração que corresponde exatamente a uma dízima periódica é chamada de fração geratriz.
Exemplo resolvido 5. A fração \(\frac{4}{9}\) gera qual número decimal?
Logo, \(\frac{4}{9}\) é uma fração geratriz de \(0,4444\ldots\).
5. Fração geratriz de uma dízima periódica simples
Vamos encontrar a fração geratriz de \(0,4444\ldots\) sem recorrer a uma regra decorada.
Primeiro, chamamos a dízima de \(x\):
Como o período possui um algarismo, multiplicamos os dois membros por 10:
Agora as partes decimais são iguais. Subtraímos a primeira igualdade da segunda:
Então:
Portanto:
Por que multiplicamos por 10? Porque o período possui um algarismo. A multiplicação desloca a vírgula uma casa e permite alinhar a parte que se repete.
Exemplo resolvido 6. Determine a fração geratriz de \(0,272727\ldots\).
Chamamos a dízima de \(x\):
O período é \(27\), formado por dois algarismos. Por isso, multiplicamos por 100:
Subtraindo:
Resposta: a fração geratriz é \(\frac{3}{11}\).
Exemplo resolvido 7. Determine a fração geratriz de \(2,181818\ldots\).
Como o período tem dois algarismos:
Subtraindo:
Resposta: \(2,181818\ldots=\frac{24}{11}\).
Observe o padrão:
- período com 1 algarismo: multiplicamos por \(10\);
- período com 2 algarismos: multiplicamos por \(100\);
- período com 3 algarismos: multiplicamos por \(1000\).
O objetivo é sempre fazer com que as partes periódicas fiquem alinhadas para que possam ser eliminadas por subtração.
Pratique 2 — Fração geratriz de dízimas simples
1. Determine a fração geratriz de \(0,6666\ldots\).
2. Determine a fração geratriz de \(0,272727\ldots\).
3. Determine a fração geratriz de \(1,4444\ldots\).
4. Determine a fração geratriz de \(2,151515\ldots\).
5. Determine a fração geratriz de \(0,123123123\ldots\).
6. Um painel digital apresenta continuamente o valor \(0,7777\ldots\). Escreva esse valor na forma de fração irredutível.
7. Em um experimento, uma grandeza foi registrada como \(1,3333\ldots\) unidade. Qual fração irredutível representa exatamente essa medida?
8. Uma distância foi representada no computador por \(0,363636\ldots\) quilômetro. Escreva essa distância na forma de fração de quilômetro.
9. Um indicador mostrou o valor \(2,454545\ldots\). Determine sua representação fracionária irredutível.
10. Um programa registrou a razão \(0,125125125\ldots\). Qual é a fração geratriz dessa razão?
6. Fração geratriz de uma dízima periódica composta
Nas dízimas periódicas compostas, existe uma parte não periódica antes do período. Por isso, precisamos realizar um passo a mais.
Exemplo resolvido 8. Determine a fração geratriz de \(0,23333\ldots\).
Chamamos a dízima de \(x\):
O algarismo \(2\) é a parte não periódica. Primeiro, multiplicamos por 10 para deslocá-lo para a parte inteira:
Agora multiplicamos a igualdade original por 100 para obter outra expressão com a mesma parte periódica:
Subtraindo:
Resposta: \(0,23333\ldots=\frac{7}{30}\).
Exemplo resolvido 9. Determine a fração geratriz de \(0,1272727\ldots\).
A parte não periódica é \(1\), e o período é \(27\).
Multiplicamos por 10 para deslocar a parte não periódica:
Como o período possui dois algarismos, também precisamos de uma expressão deslocada mais duas casas:
Subtraindo:
Resposta: a fração geratriz é \(\frac{7}{55}\).
Exemplo resolvido 10. Determine a fração geratriz de \(2,08333\ldots\).
A parte não periódica é \(08\), e o período é \(3\).
Deslocamos as duas casas não periódicas:
Depois deslocamos mais uma casa, correspondente ao período:
Subtraindo:
Resposta: \(2,08333\ldots=\frac{25}{12}\).
Estratégia para dízimas compostas: primeiro deslocamos a parte não periódica. Depois deslocamos também um período completo. Ao subtrair as duas expressões, a parte infinita que se repete desaparece.
Pratique 3 — Fração geratriz de dízimas compostas
1. Determine a fração geratriz de \(0,16666\ldots\).
2. Determine a fração geratriz de \(0,2454545\ldots\).
3. Determine a fração geratriz de \(1,08333\ldots\).
4. Determine a fração geratriz de \(2,341111\ldots\).
5. Determine a fração geratriz de \(0,1272727\ldots\).
6. Uma medição foi registrada como \(0,83333\ldots\) metro. Escreva essa medida na forma de fração irredutível.
7. Um equipamento mostrou o valor \(3,12222\ldots\). Determine a fração geratriz desse valor.
8. Em uma simulação, apareceu o número \(1,56666\ldots\). Escreva-o como uma fração irredutível.
9. Uma razão entre duas medidas foi expressa por \(2,0454545\ldots\). Qual fração representa exatamente essa razão?
10. Um programa apresentou o resultado \(0,3181818\ldots\). Determine sua fração geratriz.
7. Diferentes representações de um mesmo número racional
Encontrar uma fração geratriz mostra que uma dízima periódica não é um novo tipo de número fora dos racionais. Ela é apenas outra representação de um número racional.
Podemos escolher a representação mais conveniente para resolver um problema. Em algumas situações, a forma decimal facilita a interpretação. Em outras, a forma fracionária torna os cálculos mais simples e exatos.
Um resultado que chama atenção: \(0,999\ldots=1\)
À primeira vista, pode parecer que \(0,999\ldots\) é um número um pouco menor que 1. Entretanto, ao determinarmos sua fração geratriz, obtemos:
Subtraindo:
Portanto:
Importante: não existe um número real entre \(0,9999\ldots\) e \(1\). As duas escritas representam exatamente o mesmo número.
Exemplo resolvido 11. Calcule \(0,3333\ldots+0,6666\ldots\).
Usando as frações geratrizes:
Resposta: \(1\).
Exemplo resolvido 12. Compare \(0,4999\ldots\) e \(0,5\).
Como \(0,9999\ldots=1\), temos:
Logo:
Resposta: os dois números são iguais.
Pratique 4 — Equivalências, operações e análise
1. Use o procedimento da fração geratriz para mostrar que \(0,9999\ldots=1\).
2. Calcule \(0,3333\ldots+0,6666\ldots\) utilizando frações geratrizes.
3. Compare \(0,5\), \(\frac{1}{2}\) e \(0,4999\ldots\). Eles representam valores diferentes ou o mesmo valor?
4. Calcule \(0,272727\ldots+0,181818\ldots\) usando frações geratrizes.
5. Calcule:
6. Três amigos dividiram igualmente 1 litro de bebida. Cada um recebeu \(0,3333\ldots\) litro. Mostre, usando frações, que as três partes juntas correspondem exatamente a 1 litro.
7. Um aplicativo mostra que uma tarefa está \(0,6666\ldots\) concluída. Escreva essa parte como fração e determine qual fração da tarefa ainda falta concluir.
8. Um percurso foi dividido em 11 partes iguais e uma pessoa completou 5 dessas partes. Escreva \(\frac{5}{11}\) na forma decimal e identifique o período.
9. Um estudante afirmou que \(0,4999\ldots<0,5\). Explique, com um argumento matemático, por que essa afirmação está incorreta.
10. Um relatório apresenta o índice \(0,454545\ldots\). Outro apresenta \(\frac{5}{11}\). Verifique se os dois índices representam a mesma quantidade.
Revisão e aprofundamento — 20 questões
1. Escreva \(\frac{7}{8}\) na forma decimal.
2. Classifique \(0,454545\ldots\) como decimal exato ou dízima periódica e indique seu período.
3. Identifique a parte não periódica e o período de \(1,23333\ldots\).
4. Determine a fração geratriz de \(0,7777\ldots\).
5. Determine a fração geratriz de \(0,363636\ldots\).
6. Determine a fração geratriz de \(0,16666\ldots\).
7. Determine a fração geratriz de \(2,35555\ldots\).
8. Coloque em ordem crescente: \(\frac{2}{3}\), \(0,6\) e \(0,6666\ldots\).
9. Verifique se \(0,272727\ldots\) e \(\frac{3}{11}\) representam o mesmo número racional.
10. Explique, usando uma transformação algébrica, por que \(0,9999\ldots=1\).
11. Em uma atividade, Ana completou \(\frac{5}{6}\) de um percurso. Escreva essa fração na forma decimal e indique se a representação é exata ou periódica.
12. Um aplicativo registrou \(0,3333\ldots\) de uma hora de uso. Que fração de uma hora esse número representa?
13. Uma fita foi dividida em 11 partes iguais e uma delas foi utilizada. Escreva \(\frac{1}{11}\) na forma decimal e identifique o período.
14. Em uma pesquisa, \(0,121212\ldots\) dos participantes escolheram determinada opção. Determine a fração geratriz dessa quantidade.
15. Uma máquina percorreu \(1,16666\ldots\) metro em determinado intervalo. Escreva essa medida como uma fração irredutível.
16. Dois estudantes percorreram, respectivamente, \(\frac{7}{9}\) km e \(0,78\) km. Quem percorreu a maior distância?
17. Um recipiente está preenchido em \(0,454545\ldots\) de sua capacidade. Que fração da capacidade total está preenchida?
18. Uma medida foi registrada como \(2,13333\ldots\) cm. Determine sua fração geratriz.
19. Em um jogo, um participante obteve \(0,818181\ldots\) da pontuação máxima. Escreva esse número como fração irredutível.
20. Uma receita utiliza \(0,16666\ldots\) kg de um ingrediente. Determine essa quantidade na forma de fração de quilograma.
Gabarito da revisão e do aprofundamento
1. \(0,875\).
2. Dízima periódica; período \(45\).
3. Parte não periódica: \(2\); período: \(3\).
4. \(\frac{7}{9}\).
5. \(\frac{36}{99}=\frac{4}{11}\).
6. \(\frac{1}{6}\).
7. \(\frac{106}{45}\).
8. \(0,6<\frac{2}{3}=0,6666\ldots\).
9. Sim. \(\frac{3}{11}=0,272727\ldots\).
10. Seja \(x=0,9999\ldots\). Então \(10x=9,9999\ldots\). Subtraindo, \(9x=9\), logo \(x=1\).
11. \(\frac{5}{6}=0,83333\ldots\); dízima periódica.
12. \(\frac{1}{3}\) de hora.
13. \(\frac{1}{11}=0,090909\ldots\); período \(09\).
14. \(\frac{12}{99}=\frac{4}{33}\).
15. \(1,16666\ldots=\frac{7}{6}\).
16. \(\frac{7}{9}=0,7777\ldots\), portanto \(0,78\) km é maior.
17. \(\frac{45}{99}=\frac{5}{11}\).
18. \(2,13333\ldots=\frac{32}{15}\).
19. \(\frac{81}{99}=\frac{9}{11}\).
20. \(\frac{1}{6}\) kg.
Para lembrar
Todo número racional pode ser escrito na forma \(\frac{a}{b}\), com \(a\) e \(b\) inteiros e \(b\neq0\).
Ao transformar uma fração em decimal, podemos obter um decimal exato ou uma dízima periódica.
O período é o algarismo ou grupo de algarismos que se repete indefinidamente.
A fração geratriz é a fração que representa exatamente uma dízima periódica.