Potenciação, radiciação e notação científica
Potências e raízes aparecem em diferentes situações da Matemática e também ajudam a representar quantidades muito grandes ou muito pequenas de maneira mais simples.
Nesta postagem, vamos retomar a potenciação, estudar potências com expoentes inteiros, aplicar suas propriedades, compreender a radiciação e relacionar raízes a potências de expoente fracionário. Também aprenderemos a escrever números em notação científica.
Habilidades da BNCC
EF08MA01: efetuar cálculos com potências de expoentes inteiros e aplicar esse conhecimento na representação de números em notação científica.
EF08MA02: resolver e elaborar problemas usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como potência de expoente fracionário.
1. Retomando a potenciação
A potenciação é uma forma abreviada de representar uma multiplicação de fatores iguais.
Na expressão \(a^n\), o número \(a\) é chamado de base e o número \(n\) é o expoente.
| Potência | Multiplicação correspondente | Resultado |
|---|---|---|
| \(2^5\) | \(2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\) | \(32\) |
| \(3^4\) | \(3\cdot3\cdot3\cdot3\) | \(81\) |
| \((-2)^3\) | \((-2)\cdot(-2)\cdot(-2)\) | \(-8\) |
| \((-2)^4\) | \((-2)\cdot(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)\) | \(16\) |
Atenção: os parênteses são importantes.
Exemplo resolvido 1. Calcule \((-4)^3\).
Resposta: \((-4)^3=-64\).
Expoente zero
Para qualquer base diferente de zero, uma potência de expoente zero é igual a 1.
Exemplo resolvido 2. Determine \(7^0\) e \((-5)^0\).
Expoente inteiro negativo
Quando o expoente é um número inteiro negativo, a potência pode ser escrita como o inverso da potência com expoente positivo.
Exemplo resolvido 3. Calcule \(2^{-4}\).
Resposta: \(2^{-4}=\frac{1}{16}\).
Pratique 1 — Potências com expoentes inteiros
1. Calcule: a) \(2^6\); b) \(5^3\); c) \((-3)^4\); d) \((-2)^5\).
2. Determine: a) \(9^0\); b) \((-12)^0\); c) \(10^{-2}\); d) \(4^{-2}\).
3. Compare os resultados de \((-5)^2\) e \(-5^2\).
4. Escreva cada potência como fração: a) \(3^{-2}\); b) \(5^{-3}\); c) \(10^{-4}\).
5. Complete: a) \(2^{\square}=32\); b) \(10^{\square}=0,001\); c) \((-2)^{\square}=16\), considerando expoente natural positivo.
6. Uma cultura de microrganismos dobra de quantidade a cada etapa. Se começa com 1 unidade e passa por 8 duplicações, quantas unidades haverá ao final?
7. Um jogo organiza \(3\) possibilidades em cada uma de \(5\) fases independentes. Quantas sequências diferentes podem ser formadas?
8. Um arquivo digital foi reduzido para \(\frac{1}{2}\) do tamanho original em cada uma de 4 etapas. Que fração do tamanho inicial restou?
9. Uma caixa cúbica tem aresta de \(6\) cm. Seu volume é calculado por \(6^3\). Qual é o volume?
10. Uma folha quadrada tem lado de \(12\) cm. Expresse sua área usando uma potência e calcule o resultado.
2. Propriedades da potenciação
As propriedades das potências permitem simplificar cálculos sem desenvolver todas as multiplicações.
Produto de potências de mesma base
Exemplo resolvido 4.
Quociente de potências de mesma base
Exemplo resolvido 5.
Potência de uma potência
Potência de um produto e de um quociente
Cuidado: não existe uma regra semelhante para somas.
Exemplo resolvido 6. Simplifique \((5^2)^3\cdot5^{-4}\).
3. Potências de base 10
As potências de base 10 são especialmente úteis para representar números com muitos algarismos.
| Potência | Valor |
|---|---|
| \(10^5\) | \(100\,000\) |
| \(10^3\) | \(1\,000\) |
| \(10^1\) | \(10\) |
| \(10^0\) | \(1\) |
| \(10^{-1}\) | \(0,1\) |
| \(10^{-3}\) | \(0,001\) |
| \(10^{-6}\) | \(0,000001\) |
Quando o expoente aumenta uma unidade, o valor é multiplicado por 10. Quando diminui uma unidade, o valor é dividido por 10.
4. Notação científica
A notação científica é uma forma de escrever números muito grandes ou muito pequenos usando um produto por uma potência de 10.
O fator \(a\) possui módulo maior ou igual a 1 e menor que 10, e \(n\) é um número inteiro.
Exemplo resolvido 7. Escreva \(5\,800\,000\) em notação científica.
Deslocamos a vírgula até obter um número entre 1 e 10:
Exemplo resolvido 8. Escreva \(0,000072\) em notação científica.
O expoente é negativo porque o número original está entre 0 e 1.
Da notação científica para a forma decimal
Multiplicação em notação científica
Exemplo resolvido 9. Calcule \((2\cdot10^4)(3\cdot10^5)\).
Pratique 2 — Potências de 10 e notação científica
1. Escreva na forma decimal: a) \(10^6\); b) \(10^{-4}\); c) \(10^2\); d) \(10^{-7}\).
2. Escreva em notação científica: a) \(450\,000\); b) \(7\,200\,000\); c) \(0,00038\); d) \(0,0000056\).
3. Escreva na forma decimal: a) \(3,2\cdot10^5\); b) \(8,1\cdot10^{-3}\); c) \(6,07\cdot10^4\).
4. Calcule: a) \((2\cdot10^3)(4\cdot10^5)\); b) \(\frac{6\cdot10^8}{3\cdot10^2}\).
5. Qual está escrita corretamente em notação científica: \(32\cdot10^4\), \(3,2\cdot10^5\) ou \(0,32\cdot10^6\)? Explique.
6. Uma cidade possui aproximadamente \(1\,250\,000\) habitantes. Escreva essa quantidade em notação científica.
7. Uma célula possui comprimento aproximado de \(0,000012\) metro. Escreva essa medida em notação científica.
8. Um equipamento realiza \(4,5\cdot10^6\) operações por segundo. Quantas operações realiza em \(2\cdot10^2\) segundos?
9. A massa de uma pequena partícula é \(3,5\cdot10^{-6}\) grama. Qual é a massa de 100 partículas iguais?
10. Uma distância é \(7,8\cdot10^7\) metros. Outra é \(2,6\cdot10^7\) metros. Quantas vezes a primeira é maior que a segunda?
5. Radiciação
A radiciação é a operação relacionada à potenciação. Procuramos um número que, elevado a determinado expoente, produz o radicando.
Na expressão \(\sqrt[n]{a}\), \(n\) é o índice, \(a\) é o radicando e o símbolo \(\sqrt{\phantom{x}}\) é o radical.
Raiz quadrada
Quando o índice é 2, ele normalmente não é escrito.
Raiz cúbica
| Radiciação | Relação com a potenciação | Resultado |
|---|---|---|
| \(\sqrt{49}\) | \(7^2=49\) | \(7\) |
| \(\sqrt{144}\) | \(12^2=144\) | \(12\) |
| \(\sqrt[3]{64}\) | \(4^3=64\) | \(4\) |
| \(\sqrt[4]{81}\) | \(3^4=81\) | \(3\) |
Atenção: quando buscamos a raiz quadrada principal de um número não negativo, consideramos o valor não negativo. Assim, \(\sqrt{36}=6\), e não \(\pm6\).
Raiz quadrada exata e aproximada
Nem todo número possui raiz quadrada inteira. Para estimar \(\sqrt{50}\), observamos os quadrados perfeitos mais próximos:
Portanto:
Como \(50\) está muito próximo de \(49\), \(\sqrt{50}\) é um pouco maior que 7.
Exemplo resolvido 10. Entre quais números naturais está \(\sqrt{90}\)?
Pratique 3 — Radiciação e estimativas
1. Calcule: a) \(\sqrt{64}\); b) \(\sqrt{121}\); c) \(\sqrt[3]{216}\); d) \(\sqrt[4]{16}\).
2. Complete: a) \(\sqrt{225}=\square\); b) \(\sqrt[3]{343}=\square\); c) \(\sqrt{\square}=13\).
3. Entre quais números naturais consecutivos está: a) \(\sqrt{30}\); b) \(\sqrt{70}\); c) \(\sqrt{130}\)?
4. Classifique como exata ou não exata: \(\sqrt{25}\), \(\sqrt{40}\), \(\sqrt{169}\), \(\sqrt{200}\).
5. Determine o menor número natural que deve ser somado a \(95\) para obter um quadrado perfeito.
6. Um terreno quadrado possui área de \(196\text{ m}^2\). Qual é a medida de seu lado?
7. Um cubo tem volume de \(512\text{ cm}^3\). Qual é a medida da aresta?
8. Uma praça quadrada possui área de \(300\text{ m}^2\). Entre quais dois números naturais consecutivos está a medida de seu lado?
9. Uma tela quadrada tem área de \(625\text{ cm}^2\). Qual é o comprimento de cada lado?
10. Uma caixa cúbica possui volume de \(1\,000\text{ cm}^3\). Qual é a medida de sua aresta?
6. Relação entre potenciação e radiciação
Uma raiz também pode ser representada por uma potência de expoente fracionário.
De forma mais geral:
Exemplo resolvido 11. Escreva \(\sqrt[3]{8}\) como potência de expoente fracionário.
Exemplo resolvido 12. Calcule \(16^{\frac12}\).
Exemplo resolvido 13. Calcule \(27^{\frac23}\).
Importante: o denominador do expoente fracionário indica o índice da raiz, e o numerador indica a potência.
Pratique 4 — Potências e raízes
1. Escreva como potência de expoente fracionário: a) \(\sqrt{7}\); b) \(\sqrt[3]{5}\); c) \(\sqrt[4]{11^3}\).
2. Escreva na forma de radical: a) \(9^{\frac12}\); b) \(8^{\frac13}\); c) \(16^{\frac34}\).
3. Calcule: a) \(25^{\frac12}\); b) \(64^{\frac13}\); c) \(16^{\frac34}\); d) \(81^{\frac12}\).
4. Verifique se \(\sqrt[3]{64}=64^{\frac13}\) e justifique pelo resultado.
5. Simplifique o valor de \(32^{\frac25}\).
6. A área de um quadrado é \(400\text{ m}^2\). Represente a medida de seu lado usando uma potência de expoente fracionário e calcule-a.
7. O volume de um cubo é \(729\text{ cm}^3\). Represente a aresta usando uma potência de expoente fracionário e determine seu valor.
8. Uma peça quadrada possui área de \(2\,500\text{ cm}^2\). Qual é o lado da peça? Registre o cálculo como radiciação e como potência de expoente fracionário.
9. Um reservatório cúbico tem volume de \(216\text{ dm}^3\). Qual é sua aresta? Escreva o cálculo nas duas formas.
10. Uma medida é representada por \(81^{\frac34}\). Reescreva usando radical e determine o valor.
Revisão e aprofundamento
1. Calcule \(2^4\cdot2^{-1}\).
2. Simplifique \(\frac{5^7}{5^3}\).
3. Determine o valor de \((3^2)^3\).
4. Calcule \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}\).
5. Escreva \(0,00000042\) em notação científica.
6. Escreva \(6,35\cdot10^7\) na forma decimal.
7. Calcule \((4\cdot10^5)(3\cdot10^{-2})\) e apresente o resultado em notação científica.
8. Calcule \(\frac{8\cdot10^9}{2\cdot10^3}\) e apresente o resultado em notação científica.
9. Determine entre quais números naturais consecutivos está \(\sqrt{150}\).
10. Calcule \(125^{\frac13}\).
11. Uma população de bactérias é multiplicada por 2 a cada ciclo. Partindo de 500 bactérias, quantas haverá após 6 ciclos?
12. A espessura de uma película é aproximadamente \(0,0000035\) metro. Escreva essa medida em notação científica.
13. Um equipamento processa \(2,4\cdot10^6\) dados por segundo. Quantos dados processará em \(5\cdot10^2\) segundos?
14. A distância aproximada entre duas cidades é de \(3,6\cdot10^5\) metros. Expresse essa distância em quilômetros.
15. Um terreno quadrado tem área de \(1\,024\text{ m}^2\). Determine a medida do lado usando radiciação.
16. Um cubo possui volume de \(1\,728\text{ cm}^3\). Qual é a medida de sua aresta?
17. Uma praça quadrada tem área de \(500\text{ m}^2\). Entre quais números naturais consecutivos está a medida de seu lado?
18. Uma medida é representada por \(81^{\frac34}\). Reescreva-a usando radical e determine seu valor.
19. Explique por que \(64^{\frac12}=8\) e \(64^{\frac13}=4\), relacionando os expoentes fracionários às raízes.
20. Compare \(10^{-3}\) e \(10^{-5}\). Qual é maior? Justifique usando suas formas decimais.
Gabarito do Pratique 1
1. a) \(64\); b) \(125\); c) \(81\); d) \(-32\).
2. a) \(1\); b) \(1\); c) \(\frac{1}{100}\); d) \(\frac{1}{16}\).
3. \((-5)^2=25\) e \(-5^2=-25\).
4. a) \(\frac{1}{9}\); b) \(\frac{1}{125}\); c) \(\frac{1}{10\,000}\).
5. a) \(5\); b) \(-3\); c) \(4\).
6. \(2^8=256\) unidades.
7. \(3^5=243\) sequências.
8. \(\left(\frac12\right)^4=\frac{1}{16}\).
9. \(6^3=216\text{ cm}^3\).
10. \(12^2=144\text{ cm}^2\).
Gabarito do Pratique 2
1. a) \(1\,000\,000\); b) \(0,0001\); c) \(100\); d) \(0,0000001\).
2. a) \(4,5\cdot10^5\); b) \(7,2\cdot10^6\); c) \(3,8\cdot10^{-4}\); d) \(5,6\cdot10^{-6}\).
3. a) \(320\,000\); b) \(0,0081\); c) \(60\,700\).
4. a) \(8\cdot10^8\); b) \(2\cdot10^6\).
5. \(3,2\cdot10^5\), pois o primeiro fator precisa ter módulo maior ou igual a 1 e menor que 10.
6. \(1,25\cdot10^6\).
7. \(1,2\cdot10^{-5}\) m.
8. \(9\cdot10^8\) operações.
9. \(3,5\cdot10^{-4}\) g.
10. \(3\) vezes.
Gabarito do Pratique 3
1. a) \(8\); b) \(11\); c) \(6\); d) \(2\).
2. a) \(15\); b) \(7\); c) \(169\).
3. a) entre \(5\) e \(6\); b) entre \(8\) e \(9\); c) entre \(11\) e \(12\).
4. \(\sqrt{25}\): exata; \(\sqrt{40}\): não exata; \(\sqrt{169}\): exata; \(\sqrt{200}\): não exata.
5. \(5\), pois \(95+5=100\).
6. \(\sqrt{196}=14\) m.
7. \(\sqrt[3]{512}=8\) cm.
8. Entre \(17\) e \(18\) metros, pois \(17^2=289\) e \(18^2=324\).
9. \(25\) cm.
10. \(10\) cm.
Gabarito do Pratique 4
1. a) \(7^{\frac12}\); b) \(5^{\frac13}\); c) \(11^{\frac34}\).
2. a) \(\sqrt9\); b) \(\sqrt[3]8\); c) \(\sqrt[4]{16^3}\).
3. a) \(5\); b) \(4\); c) \(8\); d) \(9\).
4. Sim. \(\sqrt[3]{64}=4\) e \(64^{\frac13}=4\).
5. \(32^{\frac25}=(\sqrt[5]{32})^2=2^2=4\).
6. \(400^{\frac12}=\sqrt{400}=20\) m.
7. \(729^{\frac13}=\sqrt[3]{729}=9\) cm.
8. \(\sqrt{2500}=2500^{\frac12}=50\) cm.
9. \(\sqrt[3]{216}=216^{\frac13}=6\) dm.
10. \(81^{\frac34}=\sqrt[4]{81^3}=27\).
Gabarito da revisão e do aprofundamento
1. \(2^{4-1}=2^3=8\).
2. \(5^{7-3}=5^4=625\).
3. \(3^{2\cdot3}=3^6=729\).
4. \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}\).
5. \(4,2\cdot10^{-7}\).
6. \(63\,500\,000\).
7. \(12\cdot10^3=1,2\cdot10^4\).
8. \(4\cdot10^6\).
9. Entre \(12\) e \(13\), pois \(12^2=144\) e \(13^2=169\).
10. \(125^{\frac13}=\sqrt[3]{125}=5\).
11. \(500\cdot2^6=32\,000\) bactérias.
12. \(3,5\cdot10^{-6}\) m.
13. \((2,4\cdot10^6)(5\cdot10^2)=12\cdot10^8=1,2\cdot10^9\) dados.
14. \(3,6\cdot10^5\text{ m}=3,6\cdot10^2\text{ km}=360\text{ km}\).
15. \(\sqrt{1024}=32\) m.
16. \(\sqrt[3]{1728}=12\) cm.
17. Entre \(22\) e \(23\) m, pois \(22^2=484\) e \(23^2=529\).
18. \(81^{\frac34}=\sqrt[4]{81^3}=27\).
19. \(64^{\frac12}=\sqrt{64}=8\) e \(64^{\frac13}=\sqrt[3]{64}=4\). O denominador do expoente fracionário indica o índice da raiz.
20. \(10^{-3}=0,001\) e \(10^{-5}=0,00001\). Portanto, \(10^{-3}>10^{-5}\).
Para lembrar
Potências de expoente inteiro incluem expoentes positivos, zero e negativos.
A notação científica escreve um número na forma \(a\cdot10^n\), com \(1\leq|a|<10\).
Radiciação e potenciação são operações relacionadas: \(\sqrt[n]{a}=b\) quando \(b^n=a\).
Uma raiz pode ser escrita como potência de expoente fracionário: \(\sqrt[n]{a}=a^{\frac1n}\).