Probabilidade e estatística
A probabilidade e a estatística ajudam a compreender situações de incerteza, organizar dados, analisar informações e comunicar resultados.
Habilidades da BNCC
EF07MA34: planejar e realizar experimentos aleatórios ou simulações que envolvam cálculo de probabilidades ou estimativas por meio de frequência de ocorrências.
EF07MA35: compreender, em contextos significativos, o significado de média estatística como indicador da tendência de uma pesquisa, calcular seu valor e relacioná-lo, intuitivamente, com a amplitude do conjunto de dados.
EF07MA36: planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária ou de utilizar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com apoio de planilhas eletrônicas.
EF07MA37: interpretar e analisar dados apresentados em gráfico de setores divulgados pela mídia e compreender quando sua utilização é adequada.
1. Experimentos aleatórios
Um experimento aleatório é uma situação cujo resultado não pode ser determinado com certeza antes de sua realização.
2. Espaço amostral
O espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento.
3. Eventos
Um evento é um resultado ou conjunto de resultados do espaço amostral que atende a determinada condição.
Em um dado, o evento “obter número par” é {2, 4, 6}.
4. Probabilidade em resultados igualmente possíveis
Probabilidade = resultados favoráveis / resultados possíveis
Exemplo
No lançamento de um dado, a probabilidade de obter número par é 3/6 = 1/2 = 50%.
5. Escala de probabilidade
6. Probabilidade teórica e resultados observados
Uma moeda equilibrada tem probabilidade teórica de 50% para cara, mas em poucos lançamentos a frequência observada pode ser diferente.
7. Frequência absoluta
A frequência absoluta indica quantas vezes determinado resultado ocorreu.
8. Frequência relativa
frequência relativa = frequência absoluta / total de observações
| Resultado | Frequência absoluta | Frequência relativa |
|---|---|---|
| Cara | 11 | 55% |
| Coroa | 9 | 45% |
| Total | 20 | 100% |
9. Estimando probabilidades pela frequência
Quando repetimos um experimento muitas vezes, a frequência relativa pode ser utilizada para estimar a probabilidade de um resultado.
Pratique — Experimentos aleatórios e probabilidade
1. Escreva o espaço amostral do lançamento de um dado comum.
2. Uma moeda é lançada uma vez. Qual é a probabilidade de obter cara?
3. Ao lançar um dado, qual é a probabilidade de obter um número ímpar?
4. Ao lançar um dado, qual é a probabilidade de obter um número maior que 4?
5. Uma caixa contém 5 fichas vermelhas e 3 azuis. Qual é a probabilidade de retirar uma ficha azul?
6. Uma moeda foi lançada 40 vezes: 23 caras e 17 coroas. Determine as frequências relativas.
7. Uma roleta foi girada 200 vezes e caiu na região verde 76 vezes. Estime a probabilidade.
8. Uma moeda foi lançada duas vezes e deu cara nas duas. A probabilidade de cara passou a ser 100%? Explique.
9. Classifique o evento “obter número menor que 7” em um dado comum.
10. Em 500 repetições, um resultado ocorreu 145 vezes. Estime sua probabilidade em decimal e percentual.
10. Média aritmética
Média = soma dos valores / quantidade de valores
Exemplo
Para 2, 4, 3, 5 e 1: média = 15/5 = 3.
11. A média como indicador
Dois conjuntos podem ter a mesma média e comportamentos diferentes.
12. Amplitude
Amplitude = maior valor − menor valor
No jogador A, amplitude = 8 − 6 = 2. No jogador B, amplitude = 12 − 2 = 10.
Pratique — Média e amplitude
1. Calcule a média de 6, 8, 7, 9 e 10.
2. Determine a amplitude de 12, 18, 15, 20 e 14.
3. As notas foram 7, 8, 6 e 9. Determine a média.
4. Temperaturas 26°C, 29°C, 28°C, 30°C e 27°C. Determine média e amplitude.
5. Pontuações 8, 12, 10, 6 e 14. Determine média e amplitude.
6. Menor valor 18 e maior 47. Qual é a amplitude?
7. Dois conjuntos têm média 10 e amplitudes 2 e 15. O que podemos concluir?
8. Vendas de 20, 30, 25 e 25 unidades. Determine a média.
9. Tempos de 12, 15, 10, 18 e 20 minutos. Determine média e amplitude.
10. É possível ter mesma média e amplitudes diferentes? Explique.
13. Pesquisa estatística
14. População e amostra
15. Pesquisa censitária
É censitária quando os dados são coletados de todos os elementos da população estudada.
16. Pesquisa amostral
É amostral quando apenas uma parte da população participa da pesquisa.
17. Quando utilizar pesquisa censitária ou amostral?
| Situação | Estratégia possível |
|---|---|
| 25 estudantes de uma turma | Censitária |
| Milhares de moradores | Amostral |
| Pequena equipe | Censitária |
| Milhões de consumidores | Amostral |
18. Coleta de dados
Questionários, entrevistas, observações, medições, formulários digitais e registros existentes são formas possíveis de coleta.
19. Organizando os dados
| Meio de transporte | Frequência absoluta | Frequência relativa |
|---|---|---|
| A pé | 8 | 20% |
| Bicicleta | 4 | 10% |
| Motocicleta | 6 | 15% |
| Carro | 10 | 25% |
| Ônibus | 12 | 30% |
| Total | 40 | 100% |
20. Gráfico de setores
21. Porcentagem e ângulo no gráfico de setores
25% de 360° = 90°
30% de 360° = 108°
22. Interpretando gráficos de setores
Em 200 estudantes, 40% correspondem a 80 estudantes; 15% correspondem a 30 estudantes.
23. Quando o gráfico de setores é adequado?
Ele é útil quando queremos mostrar como um total está dividido entre categorias. Para acompanhar evolução ao longo do tempo, outros gráficos podem ser mais adequados.
24. Analisando criticamente um gráfico
25. Planejando uma pesquisa estatística
Pratique — Pesquisa, tabelas e gráficos de setores
1. Uma escola possui 600 estudantes e todos responderam. A pesquisa é censitária ou amostral?
2. Uma cidade possui 80.000 habitantes e 1.200 foram entrevistados. Identifique população e amostra.
3. Por que entrevistar uma única turma pode não representar toda a escola?
4. Em 100 pessoas, 35 escolheram A. Determine a frequência relativa.
5. Uma categoria corresponde a 20% do gráfico de setores. Determine o ângulo.
6. Um setor mede 144°. Qual porcentagem representa?
7. Em 200 estudantes, 30% escolheram uma atividade. Quantos estudantes?
8. Frequências 12, 18, 25 e 5. Determine total e frequência relativa da categoria de 18 respostas.
9. Dê um exemplo em que gráfico de setores é adequado e outro em que outro gráfico seria melhor.
10. Uma escola com 2.000 estudantes quer fazer pesquisa amostral. Explique um cuidado na seleção.
26. Relacionando frequência e probabilidade
27. Simulações de experimentos aleatórios
28. Tecnologia na organização e análise de dados
29. Situações-problema integrando os conteúdos
Jogo com dado
Ganhar ao obter 5 ou 6: probabilidade = 2/6 = 1/3. Em 120 lançamentos, esperamos cerca de 40 ocorrências.
Pesquisa sobre leitura
Para 200 estudantes com frequências 20, 50, 70, 40 e 20 nas quantidades 0, 1, 2, 3 e 4 livros, a média é 390/200 = 1,95 livro e a amplitude é 4.
30. Interpretando informações antes de concluir
Uma porcentagem só deve ser interpretada junto com informações sobre tamanho da amostra, forma de seleção dos participantes e pergunta realizada.
31. Revisão dos principais conceitos
| Conceito | Significado |
|---|---|
| Experimento aleatório | Resultado não previsível com certeza |
| Espaço amostral | Todos os resultados possíveis |
| Evento | Resultado ou conjunto de resultados de interesse |
| Frequência absoluta | Número de ocorrências |
| Frequência relativa | Proporção em relação ao total |
| Média | Soma dos dados dividida pela quantidade |
| Amplitude | Maior valor menos menor valor |
| População | Conjunto completo estudado |
| Amostra | Parte da população |
Revisão e aprofundamento — 20 questões
1. Uma moeda é lançada uma vez. Escreva o espaço amostral.
2. Um dado é lançado. Qual a probabilidade de obter número menor que 3?
3. Qual a probabilidade de obter múltiplo de 3?
4. Caixa com 4 azuis, 5 verdes e 1 amarela. Probabilidade de amarela?
5. Em 80 lançamentos, houve 46 caras. Determine a frequência relativa.
6. Em 250 repetições, um resultado ocorreu 65 vezes. Estime a probabilidade.
7. Explique a diferença entre probabilidade teórica e frequência relativa.
8. Média de 12, 15, 10, 18 e 20.
9. Amplitude de 23, 31, 28, 35 e 26.
10. Média e amplitude de 5, 7, 8, 9 e 11.
11. Dois conjuntos têm mesma média e amplitudes 3 e 18. Qual varia mais?
12. Escola com 900 estudantes; 180 pesquisados. Identifique população e amostra.
13. Todos os 32 estudantes de uma turma foram consultados. É censitária ou amostral?
14. Por que a amostra deve ser escolhida cuidadosamente?
15. Em 400 pessoas, 120 escolheram uma opção. Qual frequência relativa?
16. 35% de um gráfico de setores corresponde a quantos graus?
17. Um setor de 72° representa qual porcentagem?
18. Em 300 estudantes, 40% A, 35% B e o restante C. Quantos escolheram C?
19. Em 500 giros, azul ocorreu 215 vezes. Estime a probabilidade.
20. Uma pesquisa afirma 85% de aprovação, mas ouviu apenas 20 pessoas de um bairro com milhares. Que cuidado devemos ter?
Gabaritos
Gabarito — Experimentos aleatórios e probabilidade
1. {1,2,3,4,5,6}.
2. 1/2 = 50%.
3. 3/6 = 50%.
4. 2/6 = 1/3 ≈ 33,3%.
5. 3/8 = 37,5%.
6. Cara 57,5%; coroa 42,5%.
7. 38%.
8. Não; a probabilidade teórica continua 50%.
9. Evento certo.
10. 29%.
Gabarito — Média e amplitude
1. 8.
2. 8.
3. 7,5.
4. Média 28°C; amplitude 4°C.
5. Média 10; amplitude 8.
6. 29.
7. O segundo varia mais.
8. 25 unidades.
9. Média 15 min; amplitude 10 min.
10. Sim.
Gabarito — Pesquisa, tabelas e gráficos de setores
1. Censitária.
2. População 80.000; amostra 1.200.
3. Uma turma pode não representar toda a escola.
4. 35%.
5. 72°.
6. 40%.
7. 60 estudantes.
8. Total 60; frequência relativa 30%.
9. Resposta pessoal coerente.
10. A amostra deve representar adequadamente a população.
Gabarito — Revisão e aprofundamento
1. {cara, coroa}. 2. 1/3 ≈ 33,3%. 3. 1/3 ≈ 33,3%. 4. 10%. 5. 57,5%.
6. 26%. 7. Teórica vem do modelo; frequência relativa vem das observações. 8. 15. 9. 12. 10. Média 8; amplitude 6.
11. O de amplitude 18. 12. População 900; amostra 180. 13. Censitária. 14. Para evitar conclusões pouco representativas. 15. 30%.
16. 126°. 17. 20%. 18. 75 estudantes. 19. 43%. 20. A amostra é pequena e pode não representar a população.
Para lembrar
- Experimento aleatório: resultado não conhecido com certeza antes de ocorrer.
- Espaço amostral: conjunto de todos os resultados possíveis.
- Probabilidade: resultados favoráveis / resultados possíveis.
- Frequência absoluta: número de ocorrências.
- Frequência relativa: frequência absoluta / total.
- Média: soma dos valores / quantidade de valores.
- Amplitude: maior valor − menor valor.
- Pesquisa censitária: toda a população.
- Pesquisa amostral: parte da população.
- Gráfico de setores: 100% = 360°.