Grandezas, áreas, volumes e comprimento da circunferência
Nesta postagem estudaremos medições e aproximações, cálculo de áreas de triângulos e quadriláteros, composição e decomposição de figuras, volume de blocos retangulares e a relação entre o comprimento de uma circunferência, seu diâmetro e o número π.
Habilidades da BNCC
EF07MA29: resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de grandezas em situações cotidianas ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada.
EF07MA30: resolver e elaborar problemas de cálculo do volume de blocos retangulares, envolvendo metro cúbico, decímetro cúbico e centímetro cúbico.
EF07MA31: estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros.
EF07MA32: resolver e elaborar problemas de cálculo de área de figuras planas que podem ser decompostas em quadrados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre áreas.
EF07MA33: estabelecer o número π como a razão entre a medida de uma circunferência e seu diâmetro, para compreender e resolver problemas.
1. Medindo grandezas
Uma grandeza é uma característica que pode ser medida. Alguns exemplos são comprimento, área, volume, capacidade, massa e tempo.
| Grandeza | Exemplos de unidades |
|---|---|
| Comprimento | mm, cm, m, km |
| Área | cm², m², km² |
| Volume | cm³, dm³, m³ |
| Capacidade | mL, L |
| Massa | g, kg |
| Tempo | s, min, h |
2. Medições exatas e aproximadas
Nem toda medição produz um valor exato. Instrumentos possuem limites de precisão e, por isso, muitas medidas são registradas por aproximação.
Exemplo
Se uma mesa mede 1,487 m e queremos registrar duas casas decimais, podemos escrever 1,49 m. O símbolo ≈ significa “aproximadamente igual a”.
Também é importante distinguir estimar de medir. Estimar é prever aproximadamente; medir é utilizar um instrumento para determinar uma medida.
3. Área de retângulos e quadrados
A área indica a medida de uma superfície. No retângulo abaixo, podemos contar 15 quadrados unitários.
A = b · h
Exemplo
Um terreno retangular mede 12 m por 8 m.
A = 12 · 8 = 96 m²
No quadrado, como os quatro lados têm a mesma medida:
A = l²
4. Área do paralelogramo
A área do paralelogramo também é obtida pela multiplicação da base pela altura.
A = b · h
A altura é a distância perpendicular entre as bases. O lado inclinado não substitui a altura.
5. Área do triângulo
Dois triângulos iguais podem formar um paralelogramo.
A = (b · h) / 2
Exemplo
Base 10 cm e altura 6 cm:
A = (10 · 6) / 2 = 30 cm²
Em alguns triângulos, a altura fica fora da figura e é necessário prolongar a reta que contém a base.
Pratique — Medições e áreas
1. Uma parede mede 5 m por 3 m. Qual é sua área?
2. Um terreno quadrado possui lado de 18 m. Determine sua área.
3. Uma mesa mede 1,5 m por 0,8 m. Determine sua área.
4. Um paralelogramo possui base de 12 cm e altura de 7 cm. Determine sua área.
5. Um paralelogramo possui base 15 cm, altura 8 cm e lado inclinado 10 cm. Qual medida deve ser usada com a base? Calcule a área.
6. Um triângulo possui base de 14 cm e altura de 9 cm. Determine sua área.
7. A área de um triângulo é 40 cm² e sua base mede 10 cm. Determine sua altura.
8. Uma placa mede 2,36 m por 1,42 m. Faça primeiro uma estimativa com números inteiros e depois calcule a área com as medidas apresentadas.
9. Explique por que o lado inclinado de um paralelogramo não deve ser usado como altura quando não é perpendicular à base.
10. Dois triângulos têm a mesma base e a mesma altura, mas formatos diferentes. O que podemos afirmar sobre suas áreas?
6. Área do trapézio
No trapézio, as bases paralelas serão representadas por B e b, e a altura por h.
A = ((B + b) · h) / 2
Exemplo
A = ((12 + 8) · 5) / 2 = 50 cm²
7. Área do losango
As diagonais serão representadas por D e d.
A = (D · d) / 2
Exemplo
A = (16 · 10) / 2 = 80 cm²
8. Composição e decomposição de figuras
Uma figura que não possui uma fórmula única pode ser decomposta em figuras conhecidas.
Também podemos decompor a mesma figura de maneiras diferentes.
Outra estratégia é calcular uma área maior e retirar uma parte.
9. Problemas envolvendo áreas
O cálculo de áreas aparece em situações como pisos, paredes, terrenos e revestimentos.
Exemplo — Parede com porta
Parede: 5 m × 3 m = 15 m².
Porta: 0,8 m × 2,1 m = 1,68 m².
Área a pintar = 15 − 1,68 = 13,32 m²
Pratique — Áreas e decomposição de figuras
1. Trapézio com bases 14 cm e 8 cm e altura 6 cm. Determine a área.
2. Losango com diagonais 18 cm e 12 cm. Determine a área.
3. Dois retângulos, 7 cm × 4 cm e 3 cm × 2 cm, não se sobrepõem. Determine a área total.
4. De um terreno de 15 m × 10 m foi retirada uma região de 5 m × 4 m. Determine a área restante.
5. Parede de 6 m × 2,8 m com janela de 1,5 m × 1,2 m. Determine a área sem a janela.
6. Duas decomposições diferentes podem produzir a mesma área? Explique.
7. Jardim formado por retângulo 8 m × 5 m e triângulo de base 4 m e altura 3 m. Determine a área total.
8. Placa quadrada de lado 10 cm com uma região triangular retirada, base 4 cm e altura 5 cm. Determine a área restante.
9. Trapézio com bases 20 m e 14 m e altura 12 m. Determine a área.
10. Uma figura foi dividida em regiões de 18 cm², 24 cm² e 15 cm². Determine a área total.
10. Volume
O volume está relacionado ao espaço ocupado por um corpo.
As unidades de volume são cúbicas, como cm³, dm³ e m³.
11. Volume de blocos retangulares
V = c · l · h
Exemplo
V = 5 · 3 · 2 = 30 cm³
Volume e capacidade
1 dm³ = 1 L
1 cm³ = 1 mL
1 m³ = 1000 L
Pratique — Volume de blocos retangulares
1. Determine o volume de um bloco de 6 cm × 4 cm × 3 cm.
2. Uma caixa mede 10 cm × 8 cm × 5 cm. Determine seu volume.
3. Um bloco possui base de 7 cm × 4 cm e altura 6 cm. Determine o volume.
4. Um cubo possui aresta de 5 cm. Determine seu volume.
5. Um bloco possui volume 240 cm³, comprimento 10 cm e largura 6 cm. Determine a altura.
6. Quantos cubos de 1 cm³ cabem em uma caixa de 8 cm × 5 cm × 3 cm?
7. Um recipiente possui volume interno de 2 dm³. Qual é sua capacidade em litros?
8. Um recipiente possui capacidade de 750 mL. Quantos cm³ isso representa?
9. Caixa-d'água de 2 m × 2 m × 1,5 m. Determine volume e capacidade.
10. Explique por que a unidade de volume é elevada ao cubo.
12. Circunferência: raio e diâmetro
d = 2r
r = d / 2
13. Investigando o número π
A razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro é aproximadamente constante.
| Objeto | Diâmetro | Comprimento | C ÷ d |
|---|---|---|---|
| A | 10 cm | 31,4 cm | 3,14 |
| B | 15 cm | 47,1 cm | 3,14 |
| C | 20 cm | 62,8 cm | 3,14 |
π ≈ 3,14
3,14 é uma aproximação de π. O número π possui infinitas casas decimais e não é exatamente igual a 3,14.
14. Comprimento da circunferência
C = π · d
C = 2 · π · r
Exemplo
C ≈ 3,14 · 10 = 31,4 cm
15. Comprimento da circunferência em situações do cotidiano
Uma roda com diâmetro de 70 cm percorre, em uma volta completa, aproximadamente o comprimento de sua circunferência.
C ≈ 3,14 · 70 = 219,8 cm = 2,198 m
Pratique — Circunferência e número π
1. Circunferência com raio 5 cm. Determine o diâmetro.
2. Circunferência com diâmetro 18 cm. Determine o raio.
3. Determine o comprimento de uma circunferência de diâmetro 20 cm.
4. Determine o comprimento aproximado de uma circunferência de raio 8 cm.
5. Tampa circular de diâmetro 12 cm. Determine o comprimento da borda.
6. Roda de raio 25 cm. Qual distância percorre em uma volta?
7. Uma roda possui comprimento aproximado de 188,4 cm. Determine seu diâmetro.
8. Roda de bicicleta de diâmetro 60 cm. Determine a distância em 10 voltas.
9. Objeto circular com comprimento 94,2 cm. Determine o raio.
10. Explique por que usamos ≈ quando substituímos π por 3,14.
16. Situações-problema integrando os conteúdos
Exemplo — Terreno composto
A = 12 · 8 + (6 · 4) / 2 = 108 m²
Exemplo — Pista circular
C ≈ 2 · 3,14 · 20 = 125,6 m
Revisão e aprofundamento — 20 questões
1. Sala de 7 m × 5 m. Determine a área.
2. Terreno quadrado de lado 16 m. Determine a área.
3. Paralelogramo com base 18 cm, altura 7 cm e lado inclinado 9 cm. Determine a área e indique a medida não utilizada.
4. Triângulo com base 15 cm e altura 8 cm. Determine a área.
5. Área de triângulo 54 cm² e base 12 cm. Determine a altura.
6. Trapézio com bases 16 cm e 10 cm e altura 7 cm. Determine a área.
7. Losango com diagonais 20 cm e 14 cm. Determine a área.
8. Dois retângulos de 8 cm × 5 cm e 4 cm × 3 cm. Determine a área total.
9. Placa 12 cm × 10 cm com região 5 cm × 4 cm retirada. Determine a área restante.
10. Parede 8 m × 3 m com duas janelas de 1,5 m × 1,2 m. Determine a área a pintar.
11. Caixa 12 cm × 8 cm × 5 cm. Determine o volume.
12. Cubo de aresta 6 cm. Determine o volume.
13. Volume 360 cm³, comprimento 12 cm e largura 5 cm. Determine a altura.
14. Recipiente de 4 dm³. Determine a capacidade em litros.
15. Caixa-d'água 2 m × 1,5 m × 2 m. Determine volume e capacidade.
16. Circunferência de raio 9 cm. Determine o diâmetro.
17. Com π ≈ 3,14, determine o comprimento de uma circunferência de diâmetro 30 cm.
18. Roda de raio 40 cm. Determine a distância aproximada em uma volta.
19. Roda de diâmetro 50 cm. Determine a distância em 20 voltas.
20. Para os pares (C,d) = (62,8;20), (94,2;30) e (125,6;40), calcule C ÷ d e descreva a regularidade.
Gabaritos
Gabarito — Medições e áreas
1. 15 m².
2. 324 m².
3. 1,2 m².
4. 84 cm².
5. Altura 8 cm; área 120 cm².
6. 63 cm².
7. 8 cm.
8. Estimativa 2 m²; área calculada 3,3512 m².
9. A altura deve ser perpendicular à base.
10. Têm a mesma área.
Gabarito — Áreas e decomposição de figuras
1. 66 cm².
2. 108 cm².
3. 34 cm².
4. 130 m².
5. 15 m².
6. Sim.
7. 46 m².
8. 90 cm².
9. 204 m².
10. 57 cm².
Gabarito — Volume de blocos retangulares
1. 72 cm³.
2. 400 cm³.
3. 168 cm³.
4. 125 cm³.
5. 4 cm.
6. 120 cubos.
7. 2 L.
8. 750 cm³.
9. 6 m³ e 6000 L.
10. Porque o volume envolve três dimensões.
Gabarito — Circunferência e número π
1. 10 cm.
2. 9 cm.
3. 62,8 cm.
4. 50,24 cm.
5. 37,68 cm.
6. 157 cm.
7. 60 cm.
8. 18,84 m.
9. 15 cm.
10. Porque 3,14 é uma aproximação de π.
Gabarito — Revisão geral
1. 35 m². 2. 256 m². 3. 126 cm²; o lado inclinado não é utilizado. 4. 60 cm². 5. 9 cm.
6. 91 cm². 7. 140 cm². 8. 52 cm². 9. 100 cm². 10. 20,4 m².
11. 480 cm³. 12. 216 cm³. 13. 6 cm. 14. 4 L. 15. 6 m³ e 6000 L.
16. 18 cm. 17. 94,2 cm. 18. 251,2 cm (2,512 m). 19. 31,4 m. 20. Em todos os casos, C ÷ d = 3,14 aproximadamente.
Para lembrar
- Retângulo e paralelogramo: A = b · h.
- Triângulo: A = (b · h) / 2.
- Trapézio: A = ((B + b) · h) / 2.
- Losango: A = (D · d) / 2.
- Bloco retangular: V = c · l · h.
- 1 dm³ = 1 L, 1 cm³ = 1 mL e 1 m³ = 1000 L.
- π ≈ 3,14.
- Comprimento da circunferência: C = π · d = 2 · π · r.