Probabilidade, estatística e pesquisas

A Estatística e a Probabilidade ajudam a compreender informações, investigar situações e tomar decisões com base em dados e possibilidades. Nesta aula, os conceitos são apresentados de forma integrada: primeiro aprendemos a planejar e organizar uma pesquisa; depois, a representar e analisar os dados; por fim, estudamos situações de acaso e probabilidade.

Habilidades da BNCC

EF09MA20: reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e dependentes e calcular a probabilidade de sua ocorrência.

EF09MA21: analisar e identificar, em gráficos divulgados pela mídia, elementos que podem induzir a erros de leitura, como escalas inapropriadas, legendas não explicitadas corretamente e omissão de informações importantes.

EF09MA22: escolher e construir o gráfico mais adequado, com ou sem uso de planilhas eletrônicas, para apresentar determinado conjunto de dados, destacando aspectos como medidas de tendência central.

EF09MA23: planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados.

1. Estatística e pesquisa

O que é Estatística?

A Estatística é a área da Matemática que trabalha com dados. Ela fornece métodos para coletar, organizar, representar, analisar e interpretar informações, ajudando-nos a compreender situações e tomar decisões.

Os dados, sozinhos, nem sempre dizem muita coisa. É necessário organizá-los e interpretá-los.

Exemplo. Uma escola deseja saber quanto tempo os estudantes do 9º ano dedicam aos estudos fora da sala de aula. Não basta apenas perguntar a alguns alunos. É necessário decidir quem participará, coletar as respostas, organizar os dados, representá-los em tabelas ou gráficos e analisar o que eles revelam.

Assim, a Estatística não se resume a fazer contas ou construir gráficos. Seu objetivo principal é obter informações a partir dos dados.

População, amostra, censo e pesquisa amostral

Antes de realizar uma pesquisa, precisamos determinar quem queremos estudar.

A população é o conjunto completo de indivíduos ou elementos sobre os quais desejamos obter informações. A amostra é uma parte dessa população escolhida para participar da pesquisa.

Exemplo. Uma escola possui 1.200 estudantes e deseja conhecer seus hábitos de leitura.

Se os 1.200 estudantes participarem, temos uma pesquisa censitária, também chamada de censo. Se forem selecionados 240 estudantes, temos uma pesquisa amostral.

$ \text{População}=1200 \qquad \text{Amostra}=240 $

Uma pesquisa amostral costuma ser mais rápida e econômica, mas seus resultados dependem muito da maneira como a amostra é escolhida.

Representatividade e amostra tendenciosa

Não basta escolher qualquer grupo de pessoas. Uma boa amostra deve representar, tanto quanto possível, as características importantes da população.

Exemplo. Se uma escola quiser investigar os hábitos de estudo dos estudantes do 6º ao 9º ano e entrevistar somente alunos do 9º ano, a amostra pode ser tendenciosa, pois os hábitos desse grupo podem ser diferentes dos demais.

Ao analisar uma pesquisa, devemos perguntar: quem foi entrevistado? Como essas pessoas foram escolhidas? Elas representam adequadamente a população estudada?

Variáveis estatísticas

A característica investigada em uma pesquisa recebe o nome de variável estatística.

Variável qualitativa: descreve características ou categorias, como esporte preferido, meio de transporte ou cor escolhida.
Variável quantitativa: é expressa numericamente e representa uma quantidade, como idade, altura, número de irmãos ou tempo gasto para chegar à escola.

Variáveis quantitativas discretas e contínuas

As variáveis quantitativas ainda podem ser classificadas em discretas e contínuas.

Uma variável quantitativa discreta geralmente resulta de uma contagem e assume valores separados.

Exemplo. Número de irmãos: $0,1,2,3,\ldots$. Não faria sentido dizer que uma pessoa possui 2,6 irmãos.

Uma variável quantitativa contínua resulta normalmente de uma medição e pode assumir diferentes valores dentro de um intervalo.

Exemplo. Altura: $1{,}62\text{ m}$, $1{,}635\text{ m}$, $1{,}71\text{ m}$, dependendo da precisão utilizada.

Planejando uma pesquisa estatística

Uma pesquisa não deve começar simplesmente pela aplicação de um questionário. Antes da coleta dos dados, precisamos definir o que queremos descobrir e como a investigação será realizada.

Definir o problema ou pergunta da pesquisa.
Identificar a população.
Determinar se será utilizado um censo ou uma amostra.
Definir as variáveis que serão investigadas.
Escolher como os dados serão coletados.
Organizar os dados obtidos.
Construir tabelas e gráficos adequados.
Calcular medidas estatísticas quando forem úteis.
Interpretar os resultados.
Apresentar as conclusões.

Elaborando perguntas e coletando dados

As perguntas de uma pesquisa precisam ser claras, objetivas e não devem induzir o participante a determinada resposta.

Pergunta inadequada: “Você concorda que a excelente biblioteca da escola deveria receber mais investimentos?”

Forma mais neutra: “Você considera necessário aumentar os investimentos na biblioteca da escola?”

A coleta pode ocorrer por questionários, entrevistas, formulários digitais, observações, registros existentes ou medições. O método deve ser adequado ao objetivo da pesquisa.

2. Organização dos dados

Dados brutos e rol

Os valores obtidos diretamente durante a coleta são chamados de dados brutos.

Exemplo. Número de livros lidos por dez estudantes:

$4,\ 2,\ 1,\ 3,\ 2,\ 5,\ 1,\ 2,\ 4,\ 2$

Quando colocamos os valores em ordem crescente, obtemos o rol:

$1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 2,\ 2,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5$

Frequência absoluta

A frequência absoluta, representada por $f$, indica quantas vezes determinado valor ou categoria aparece no conjunto de dados.

$f(2)=4$

Isso significa que 4 dos 10 estudantes apresentaram o valor 2.

Frequência relativa e frequência percentual

A frequência absoluta informa uma quantidade. Em muitas situações queremos saber qual parte do total essa quantidade representa.

$f_r=\frac{f}{N}$

Nessa expressão, $f_r$ representa a frequência relativa, $f$ representa a frequência absoluta e $N$ representa o número total de observações.

No exemplo anterior, o número 2 apareceu 4 vezes entre 10 observações:

$f_r=\frac4{10}=0{,}4$

Em porcentagem:

$0{,}4\cdot100=40\%$

Portanto, 40% dos estudantes apresentaram o valor 2.

Tabela de distribuição de frequências

Número de livros	Frequência absoluta	Frequência relativa	Percentual
1	2	0,20	20%
2	4	0,40	40%
3	1	0,10	10%
4	2	0,20	20%
5	1	0,10	10%
Total	10	1,00	100%

3. Representação gráfica

Gráficos de barras e de colunas

Os gráficos de barras e de colunas são indicados principalmente para comparar categorias ou valores. No gráfico de barras, normalmente as barras aparecem horizontalmente; no gráfico de colunas, verticalmente.

A altura ou o comprimento de cada barra deve ser proporcional ao valor representado.

Gráfico de linhas

O gráfico de linhas é especialmente útil quando queremos acompanhar como uma quantidade varia ao longo do tempo.

Gráfico de setores

O gráfico de setores representa partes de um total. O círculo completo corresponde a $100\%=360^\circ$.

$ \text{ângulo do setor}=\frac{\text{frequência da categoria}}{\text{frequência total}}\cdot360^\circ $

Exemplo. Em uma pesquisa com 40 estudantes, 10 escolheram determinada opção.

$ \frac{10}{40}=25\% $

$ \frac{10}{40}\cdot360^\circ=90^\circ $

Histograma

O histograma é utilizado principalmente para representar dados quantitativos contínuos agrupados em intervalos.

No histograma, as barras ficam encostadas, pois representam intervalos contínuos.

Escolhendo o gráfico adequado

O que queremos mostrar?	Representação adequada
Comparação entre categorias	Barras ou colunas
Evolução ao longo do tempo	Linhas
Partes de um total	Setores
Distribuição em intervalos	Histograma

▶ Pratique 1 — Pesquisa, organização e representação de dados

1. Uma escola possui 800 estudantes e deseja conhecer a opinião deles sobre a utilização da biblioteca. Para isso, selecionou 120 estudantes de diferentes anos escolares. Identifique: a) a população; b) a amostra; c) se a pesquisa é censitária ou amostral.

2. Uma escola quer saber qual atividade esportiva os estudantes preferem. Para realizar a pesquisa, entrevistou somente os alunos que participam da equipe de futsal. Explique por que essa amostra pode ser considerada tendenciosa.

3. Classifique cada variável em qualitativa ou quantitativa: a) esporte preferido; b) idade; c) número de irmãos; d) meio de transporte utilizado para chegar à escola; e) altura.

4. Classifique em discreta ou contínua: a) número de livros lidos; b) altura; c) número de pessoas em uma residência; d) tempo gasto para chegar à escola.

5. Organize em rol: $2,4,1,3,2,5,2,1,4,2$.

6. Determine a frequência absoluta do número 2 no conjunto anterior.

7. Em uma turma com 40 estudantes, 10 escolheram vôlei. Determine a frequência relativa e a frequência percentual.

8. Uma pesquisa obteve: ônibus 18, carro 8, bicicleta 6 e a pé 8. Qual gráfico é mais adequado para comparar as categorias? Justifique.

9. Uma empresa deseja mostrar a variação das vendas ao longo dos meses. Qual representação é mais adequada: setores, linhas ou histograma?

10. Em uma pesquisa com 60 estudantes, 15 escolheram determinada opção. Determine a porcentagem e o ângulo correspondente em um gráfico de setores.

4. Medidas estatísticas

Média aritmética

A média aritmética representa um conjunto de valores por meio de um único número. Para calculá-la, somamos todos os valores e dividimos pela quantidade de valores.

$ \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} $

Exemplo. Notas: $6,8,7,9$.

$ \bar{x}=\frac{6+8+7+9}{4}=7{,}5 $

Média ponderada

Quando determinados valores possuem pesos diferentes, utilizamos a média ponderada.

$ \bar{x}=\frac{x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n}{p_1+p_2+\cdots+p_n} $

Uma prova tem peso 2 e nota 8; um trabalho tem peso 1 e nota 5.

$ \bar{x}=\frac{8\cdot2+5\cdot1}{2+1}=7 $

Mediana

A mediana é o valor que ocupa a posição central depois que os dados são colocados em ordem.

$2,\ 4,\ 5,\ 7,\ 9 \quad \Rightarrow \quad Md=5$

Quando a quantidade de valores é par, calculamos a média dos dois valores centrais:

$2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10,\ 12 \quad \Rightarrow \quad Md=\frac{6+8}{2}=7$

Atenção: antes de determinar a mediana, coloque os dados em ordem.

Moda

A moda é o valor que aparece com maior frequência em um conjunto de dados.

$2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 5,\ 3,\ 6 \quad \Rightarrow \quad Mo=3$

A moda também pode ser uma categoria, como “ônibus” em uma pesquisa sobre o meio de transporte mais utilizado.

Mais de uma moda

Se dois valores apresentarem a mesma maior frequência, o conjunto é bimodal.

$1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5 \quad \Rightarrow \quad Mo=2\text{ e }4$

Se nenhum valor se repetir, o conjunto pode ser considerado amodal.

Amplitude

A amplitude indica a diferença entre o maior e o menor valor do conjunto.

$ A=x_{\max}-x_{\min} $

$4,\ 6,\ 7,\ 8,\ 12 \quad \Rightarrow \quad A=12-4=8$

Média, mediana e moda não dizem a mesma coisa

$2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 20$

Nesse conjunto, a média é 6, a mediana é 3 e as modas são 2 e 3. O valor 20 eleva bastante a média.

Por isso, calcular uma medida estatística não basta. Precisamos perguntar: essa medida representa bem o conjunto?

Influência de valores extremos

Considere os valores:

$2000,\ 2100,\ 2200,\ 2300,\ 11400$

A média é R$ 4.000, enquanto a mediana é R$ 2.200. Quatro dos cinco valores estão entre R$ 2.000 e R$ 2.300. Nesse caso, a mediana descreve melhor a posição central.

Mesma média, distribuições diferentes

Grupo A: $5,5,5,5,5$. Grupo B: $1,3,5,7,9$.

Nos dois grupos, a média é 5. Entretanto, a amplitude do grupo A é 0 e a do grupo B é 8. Ter a mesma média não significa possuir a mesma distribuição.

5. Leitura crítica de informações estatísticas

Interpretando tabelas e gráficos

Uma tabela ou gráfico deve ser lido observando título, categorias, unidades, valores, período, escala e fonte.

A leitura deve ir além de dizer apenas “subiu” ou “desceu”: é preciso perguntar quanto aumentou, em relação a quê e em qual período.

Escalas em gráficos

A escala determina como os valores são distribuídos ao longo de um eixo. Escalas diferentes podem representar os mesmos dados, mas produzir aparências visuais diferentes.

Eixo truncado

Um eixo truncado não começa no zero ou apresenta uma interrupção. Isso não é necessariamente errado, mas pode exagerar visualmente pequenas diferenças.

Proporções visuais inadequadas

Os elementos visuais precisam respeitar as proporções dos dados. Se um valor dobra, um pictograma que dobre simultaneamente largura e altura terá área quatro vezes maior e poderá exagerar a diferença.

Porcentagem sem valor absoluto

Passar de 1 para 2 e passar de 1.000 para 2.000 representam aumento de 100%, mas envolvem quantidades muito diferentes. Sempre que possível, analise porcentagens e valores absolutos conjuntamente.

Fonte e período dos dados

Uma informação estatística deve indicar de onde os dados vieram e quando foram coletados. Também é importante saber quantas pessoas participaram, como foram escolhidas e qual pergunta foi feita.

▶ Pratique 2 — Medidas estatísticas e leitura crítica

1. Calcule a média aritmética de $6,7,8,9,10$.

2. Uma prova tem peso 3 e um trabalho peso 2. Um estudante obteve 8 e 6. Calcule a média ponderada.

3. Determine a mediana de $3,5,7,8,10,12,15$.

4. Determine a mediana de $2,4,6,8,10,12$.

5. Determine a moda de $4,5,5,6,7,5,8,6$.

6. Determine a amplitude de $12,15,18,20,27$.

7. Considere $3,3,4,4,26$. Calcule média e mediana e explique qual representa melhor a posição central dos quatro primeiros valores.

8. Compare $A=\{5,5,5,5,5\}$ e $B=\{1,3,5,7,9\}$: determine média e amplitude.

9. Um gráfico compara 98 e 100, mas o eixo começa em 97. Explique por que a diferença pode parecer muito maior.

10. Uma notícia afirma que o número de ocorrências aumentou 100%. Explique por que também precisamos conhecer os valores absolutos.

6. Probabilidade

O que é Probabilidade?

A Probabilidade estuda situações em que existe incerteza sobre o resultado. Ela procura medir a chance de ocorrência de determinado evento.

$0\leq P(A)\leq1$

Em porcentagem, a probabilidade varia de 0% a 100%.

Experimento aleatório

Um experimento aleatório é uma situação cujo resultado não pode ser determinado com certeza antes de sua realização, embora conheçamos os resultados possíveis.

Exemplos: lançar uma moeda, lançar um dado, retirar uma carta, sortear um nome ou retirar uma bola de uma urna sem olhar.

Espaço amostral

O conjunto de todos os resultados possíveis é chamado de espaço amostral e costuma ser representado por $\Omega$.

$ \Omega=\{1,2,3,4,5,6\},\qquad n(\Omega)=6 $

Evento

Um evento é formado pelos resultados do espaço amostral que atendem a determinada condição.

Exemplo. No lançamento de um dado, seja $A$ o evento “obter um número par”.

$A=\{2,4,6\},\qquad n(A)=3$

Probabilidade em resultados equiprováveis

$ P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega)} $

Nessa fórmula, $P(A)$ representa a probabilidade do evento, $n(A)$ o número de resultados favoráveis e $n(\Omega)$ o total de resultados possíveis.

$P(\text{par})=\frac36=\frac12=50\%$

Evento certo e evento impossível

Um evento certo necessariamente ocorrerá e possui probabilidade 1. Um evento impossível não possui resultados favoráveis e tem probabilidade 0.

Evento complementar

O evento complementar de $A$ é formado pelos resultados que não pertencem a $A$.

$P(A^c)=1-P(A)$

A ideia do “e”

Quando duas condições precisam ocorrer ao mesmo tempo, procuramos os resultados comuns.

No dado: $A=\{2,4,6\}$ e $B=\{4,5,6\}$. “Par e maior que 3” corresponde a $\{4,6\}$.

$P=\frac26=\frac13$

A ideia do “ou”

Quando basta satisfazer pelo menos uma das condições, reunimos os resultados sem repetir os que aparecem nas duas.

$\{2,4,5,6\}\quad\Rightarrow\quad P=\frac46=\frac23$

Experimentos em etapas e árvore de possibilidades

Em experimentos com várias etapas, uma árvore de possibilidades ajuda a organizar os resultados.

Ao lançar uma moeda duas vezes:

$ \Omega=\{(C,C),(C,K),(K,C),(K,K)\} $

Assim, $P(\text{duas caras})=\frac14=25\%$.

Eventos independentes

Dois eventos são independentes quando a ocorrência do primeiro não altera a probabilidade do segundo.

Lançamos uma moeda e um dado. A moeda apresentar cara não altera as chances do dado.

$P(\text{cara e 6})=\frac12\cdot\frac16=\frac1{12}$

Eventos dependentes

Dois eventos são dependentes quando a ocorrência do primeiro altera a probabilidade do segundo.

Uma urna contém 3 bolas azuis e 2 vermelhas. Se retiramos uma azul sem reposição:

$P(\text{azul na 1ª})=\frac35$

$P(\text{azul na 2ª após azul})=\frac24$

Calculando eventos dependentes

Para retirar duas bolas azuis consecutivamente sem reposição:

$P=\frac35\cdot\frac24=\frac3{10}=30\%$

Observe: não usamos $\frac35$ novamente na segunda retirada porque a composição da urna mudou.

Retirada com reposição

Se a primeira bola é devolvida, a composição original da urna é restaurada.

$P(\text{duas azuis})=\frac35\cdot\frac35=\frac9{25}=36\%$

Com reposição e sem reposição

Situação	O primeiro resultado altera o segundo?	Eventos
Retira e devolve	Não	Independentes
Retira e não devolve	Sim	Dependentes

Probabilidade teórica

A probabilidade teórica é determinada a partir dos resultados possíveis do experimento. Em um dado equilibrado, $P(6)=\frac16$. Isso não significa que em exatamente seis lançamentos o número 6 aparecerá necessariamente uma vez.

Probabilidade experimental

Também podemos estimar probabilidades repetindo um experimento e observando seus resultados.

Em 100 lançamentos de uma moeda, ocorreram 54 caras:

$\frac{54}{100}=54\%$

Esse resultado experimental não precisa ser exatamente igual aos 50% da probabilidade teórica.

Muitas repetições

Em poucas repetições, os resultados podem ficar bastante afastados da probabilidade teórica. Com muitas repetições, a frequência relativa pode se aproximar da probabilidade teórica, embora existam oscilações.

▶ Pratique 3 — Probabilidade

1. No lançamento de um dado comum, escreva o espaço amostral.

2. No lançamento de um dado, considere $A=$ obter número maior que 4. Escreva os resultados favoráveis e calcule $P(A)$.

3. Qual é a probabilidade de obter um número ímpar no lançamento de um dado?

4. No lançamento de uma moeda equilibrada, qual é a probabilidade de não obter cara?

5. Uma moeda é lançada duas vezes. Escreva todos os resultados possíveis e determine a probabilidade de obter duas coroas.

6. Uma moeda e um dado são lançados. Qual é a probabilidade de obter cara e o número 5?

7. Uma urna contém 4 bolas azuis e 3 vermelhas. Uma bola é retirada e não é devolvida. Os eventos das duas retiradas são independentes ou dependentes? Explique.

8. Na urna anterior, determine a probabilidade de retirar duas bolas azuis consecutivamente, sem reposição.

9. Agora suponha que a primeira bola seja devolvida antes da segunda retirada. Determine a probabilidade de retirar duas bolas azuis.

10. Uma moeda equilibrada foi lançada 100 vezes e apresentou cara 57 vezes. Determine a frequência relativa experimental e compare-a com a probabilidade teórica.

7. Desenvolvendo uma pesquisa completa

Da pergunta à conclusão

Considere a investigação: quanto tempo os estudantes do 9º ano utilizam diariamente para estudar fora do horário das aulas?

População: todos os estudantes do 9º ano da escola.
Amostra: estudantes selecionados para responder à pesquisa.
Variável: tempo diário de estudo.
Tipo de variável: quantitativa.

Organizando os resultados

$20,\ 30,\ 30,\ 40,\ 40,\ 40,\ 50,\ 50,\ 60,\ 70$

Tempo (min)	Frequência
20	1
30	2
40	3
50	2
60	1
70	1
Total	10

Calculando as medidas

$ \bar{x}=\frac{430}{10}=43\text{ min} $

$ Md=40\text{ min} $

$ Mo=40\text{ min} $

$ A=70-20=50\text{ min} $

Interpretando, e não apenas calculando

Os estudantes pesquisados dedicam, em média, 43 minutos por dia aos estudos fora das aulas. Metade apresentou tempo de estudo de até 40 minutos e metade de pelo menos 40 minutos. O tempo mais frequente foi 40 minutos. Os valores variaram de 20 a 70 minutos.

Construindo o relatório

Tema da pesquisa.
Objetivo.
População e amostra.
Procedimentos de coleta.
Resultados.
Análise.
Conclusão.

8. Avaliação e comunicação de uma pesquisa

A amostra realmente representa a população?

Uma amostra maior não é automaticamente melhor. Também importa como ela foi selecionada.

Amostragem aleatória

Uma forma de reduzir escolhas pessoais é utilizar seleção aleatória.

Exemplo: numerar 200 estudantes do 9º ano e sortear 40 participantes.

Amostragem proporcional

Quando a população possui grupos diferentes, a amostra pode manter proporções semelhantes.

Se há 120 estudantes no 9º A e 80 no 9º B, o total é 200. Em uma amostra de 50 estudantes, podemos selecionar aproximadamente 30 do 9º A e 20 do 9º B.

Perguntas e alternativas de resposta

Uma boa pergunta deve ser clara, objetiva, compreensível e neutra. As alternativas também precisam cobrir todas as possibilidades relevantes e evitar sobreposição.

Dados absolutos e relativos

Dados absolutos apresentam quantidades; dados relativos mostram essas quantidades em relação a um total.

40 faltas entre 800 estudantes correspondem a 5%. Já 30 faltas entre 300 estudantes correspondem a 10%. A segunda escola teve menos faltas em número absoluto, mas maior proporção de faltosos.

Comparações precisam utilizar a mesma referência

Antes de comparar, verifique se os dados usam as mesmas unidades, períodos e populações de referência.

Conclusões devem respeitar os dados

Se pesquisamos estudantes do 9º ano de uma escola, não devemos generalizar automaticamente o resultado para todos os adolescentes brasileiros.

9. Tecnologia nas pesquisas estatísticas

Planilhas eletrônicas

Planilhas podem facilitar o registro, a ordenação, a construção de tabelas, o cálculo de frequências, medidas estatísticas e gráficos. A ferramenta digital não substitui a interpretação matemática.

Construindo gráficos com tecnologia

O programa pode construir gráficos rapidamente, mas o estudante ainda precisa decidir quais dados representar, qual gráfico utilizar, quais títulos e unidades indicar e se a escala é adequada.

Cuidado com gráficos produzidos automaticamente

Um gráfico gerado por computador não é automaticamente um bom gráfico. Devemos verificar se representa os dados corretamente e se algum recurso visual pode induzir a interpretações equivocadas.

Simulação de experimentos aleatórios

Recursos digitais também podem simular muitos lançamentos de moedas e dados, sorteios ou retiradas aleatórias, permitindo comparar a probabilidade teórica com a frequência relativa experimental.

10. Integrando Probabilidade e Estatística

Probabilidade e frequência relativa

Considere uma moeda equilibrada. Teoricamente, $P(\text{cara})=50\%$. Se em 20 lançamentos obtivermos 12 caras, a frequência relativa experimental será:

$ \frac{12}{20}=60\% $

Probabilidade teórica e frequência relativa observada não precisam coincidir exatamente.

Repetindo o experimento

Lançamentos	Caras	Frequência relativa
10	7	70%
50	27	54%
100	52	52%
1.000	503	50,3%

Os valores são apenas um exemplo possível. Com muitas repetições, a frequência relativa pode se aproximar da probabilidade teórica, embora possa oscilar.

Síntese

Estatística permite coletar, organizar, representar, analisar e interpretar dados. Pesquisa estatística utiliza essas ferramentas para investigar questões sobre uma população ou amostra. Probabilidade estuda situações envolvendo acaso e incerteza.

Para lembrar: não basta calcular. É preciso interpretar os resultados, avaliar a qualidade da pesquisa e verificar se as conclusões são realmente sustentadas pelos dados.

▶ Revisão e aprofundamento — 20 questões

1. Uma escola possui 1.500 estudantes e selecionou 150 para investigar o tempo diário de uso da internet. Identifique população, amostra, tipo de pesquisa e classificação da variável.

2. Uma escola quer saber o esporte preferido dos 900 estudantes, mas entrevistou 100 alunos de um campeonato de futebol. Explique o problema e proponha uma seleção melhor.

3. Os livros lidos por 12 estudantes foram $1,2,2,3,4,2,5,3,2,4,3,5$. Organize em rol, determine a frequência absoluta do 2, a relativa e a porcentagem.

4. Os tempos para chegar à escola foram $15,20,20,25,60$ minutos. Calcule média, mediana, moda e amplitude e explique a influência do 60.

5. As vendas passaram de 980 para 1.020 unidades e o gráfico começa em 970. Determine aumento absoluto, percentual aproximado e explique o efeito visual.

6. Em uma pesquisa com 200 estudantes: ônibus 80, carro 50, a pé 40 e bicicleta 30. Determine a porcentagem do ônibus, o ângulo no gráfico de setores, a moda e diga se barras seriam adequadas.

7. Uma notícia afirma aumento de 200% quando o valor inicial era 2. Determine o valor final e explique por que valores absolutos importam.

8. Uma urna possui 5 bolas azuis e 3 vermelhas. Duas bolas são retiradas sem reposição. Determine as probabilidades envolvidas e classifique os eventos.

9. Uma moeda é lançada duas vezes. Construa o espaço amostral e determine as probabilidades de duas caras e de exatamente uma cara.

10. Uma moeda foi lançada 200 vezes e apresentou 108 caras. Determine a frequência relativa e compare com a probabilidade teórica.

11. Classifique: número de irmãos, altura, esporte preferido e massa corporal.

12. Calcule a média aritmética de $5,7,8,9,11$.

13. Uma avaliação tem peso 2 e outra peso 3. As notas foram 6 e 8. Calcule a média ponderada.

14. Determine a mediana de $3,5,6,8,9,11,14$.

15. Determine a moda e a amplitude de $2,4,4,5,7,4,10$.

16. Em um dado comum, determine a probabilidade de obter um número maior que 2.

17. No lançamento de um dado, $A=$ obter número par. Escreva $A$ e seu complementar.

18. Uma moeda e um dado são lançados simultaneamente. Determine a probabilidade de obter coroa e um número par.

19. Uma urna possui 6 bolas verdes e 4 amarelas. Uma bola é retirada, observada e devolvida antes da segunda retirada. Determine a probabilidade de retirar duas verdes.

20. Uma turma possui 30 estudantes, dos quais 12 escolheram determinada opção. Determine a frequência relativa e a porcentagem.

▶ Gabarito do Pratique 1

1. População: 800 estudantes; amostra: 120; pesquisa amostral.

2. A amostra é tendenciosa porque inclui apenas participantes da equipe de futsal.

3. a) qualitativa; b) quantitativa; c) quantitativa; d) qualitativa; e) quantitativa.

4. a) discreta; b) contínua; c) discreta; d) contínua.

5. $1,1,2,2,2,2,3,4,4,5$.

6. $f(2)=4$.

7. $f_r=\frac{10}{40}=0{,}25=25\%$.

8. Gráfico de barras ou colunas.

9. Gráfico de linhas.

10. 25% e $90^\circ$.

▶ Gabarito do Pratique 2

1. Média = 8.

2. Média ponderada = 7,2.

3. Mediana = 8.

4. Mediana = 7.

5. Moda = 5.

6. Amplitude = 15.

7. Média = 8; mediana = 4. O valor 26 eleva bastante a média.

8. Ambos têm média 5; amplitudes 0 e 8.

9. O eixo truncado amplia visualmente uma diferença pequena.

10. É necessário conhecer os valores absolutos antes e depois.

▶ Gabarito do Pratique 3

1. $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$.

2. $A=\{5,6\}$; $P(A)=\frac13$.

3. $\frac12=50\%$.

4. $\frac12=50\%$.

5. Quatro resultados possíveis; $P(\text{duas coroas})=\frac14$.

6. $\frac1{12}$.

7. Dependentes.

8. $\frac47\cdot\frac36=\frac27$.

9. $\frac47\cdot\frac47=\frac{16}{49}$.

10. Frequência experimental = 57%; teórica = 50%.

▶ Gabarito da revisão e do aprofundamento

1. População: 1.500; amostra: 150; pesquisa amostral; variável quantitativa contínua.

2. A amostra é tendenciosa; uma alternativa é selecionar aleatoriamente estudantes de diferentes turmas.

3. Rol: $1,2,2,2,2,3,3,3,4,4,5,5$; $f(2)=4$; $f_r=\frac13\approx33{,}3\%$.

4. Média = 28; mediana = 20; moda = 20; amplitude = 45. O valor 60 eleva bastante a média.

5. Aumento absoluto = 40; percentual $\approx4{,}1\%$; o eixo truncado exagera visualmente a diferença.

6. Ônibus = 40%; setor = $144^\circ$; moda = ônibus; barras também são adequadas.

7. Valor final = 6.

8. $\frac58$, depois $\frac47$; duas azuis = $\frac5{14}$; eventos dependentes.

9. $\Omega=\{(C,C),(C,K),(K,C),(K,K)\}$; duas caras = $\frac14$; exatamente uma cara = $\frac12$.

10. Frequência relativa = 54%; probabilidade teórica = 50%.

11. Discreta; contínua; qualitativa; contínua.

12. Média = 8.

13. Média ponderada = 7,2.

14. Mediana = 8.

15. Moda = 4; amplitude = 8.

16. $\frac46=\frac23$.

17. $A=\{2,4,6\}$; $A^c=\{1,3,5\}$.

18. $\frac14=25\%$.

19. $\frac35\cdot\frac35=\frac9{25}=36\%$.

20. $f_r=\frac{12}{30}=0{,}4=40\%$.

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