Geometria no plano cartesiano e geometria espacial
A Geometria também pode ser estudada por meio de coordenadas. No plano cartesiano, pontos e figuras são representados por pares ordenados, permitindo analisar posições, distâncias, pontos médios, perímetros e áreas. Na geometria espacial, estudamos figuras tridimensionais, suas vistas, planificações e volumes.
Habilidades da BNCC
EF09MA16: determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de perímetros e áreas de figuras planas construídas no plano.
EF09MA17: reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva.
EF09MA19: resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de expressões de cálculo, em situações cotidianas.
1. Retomando o plano cartesiano
O plano cartesiano é formado por dois eixos perpendiculares: o eixo \(x\) e o eixo \(y\). O ponto de encontro é a origem:
2. Localizando pontos
Em um ponto \((x,y)\), a primeira coordenada indica a posição horizontal e a segunda indica a posição vertical. Para localizar um ponto, partimos da origem \((0,0)\): primeiro nos deslocamos no eixo \(x\) e depois no eixo \(y\).
Os sinais das coordenadas indicam em qual quadrante o ponto está:
- 1º quadrante: \(x>0\) e \(y>0\);
- 2º quadrante: \(x<0\) e \(y>0\);
- 3º quadrante: \(x<0\) e \(y<0\);
- 4º quadrante: \(x>0\) e \(y<0\).
Exemplo resolvido 1. \(P=(5,-2)\) está 5 unidades à direita da origem e 2 unidades abaixo do eixo \(x\). Portanto, está no 4º quadrante.
Exemplo resolvido 2. \(A=(3,4)\) está 3 unidades à direita da origem e 4 unidades acima do eixo \(x\). Portanto, está no 1º quadrante.
Exemplo resolvido 3. \(B=(-4,3)\) está 4 unidades à esquerda da origem e 3 unidades acima do eixo \(x\). Portanto, está no 2º quadrante.
Exemplo resolvido 4. \(C=(-2,-5)\) está 2 unidades à esquerda da origem e 5 unidades abaixo do eixo \(x\). Portanto, está no 3º quadrante.
3. Quadrantes
| Quadrante | Sinal de x | Sinal de y |
|---|---|---|
| I | + | + |
| II | − | + |
| III | − | − |
| IV | + | − |
4. Pontos sobre os eixos
Se \(y=0\), o ponto pertence ao eixo \(x\). Se \(x=0\), pertence ao eixo \(y\). A origem pertence aos dois.
5. Segmentos horizontais
Um segmento é horizontal quando seus dois pontos possuem a mesma coordenada \(y\). Nesse caso, os pontos estão na mesma altura no plano cartesiano e apenas a coordenada \(x\) varia.
Para encontrar o comprimento do segmento, calculamos a distância entre as coordenadas \(x\):
Nessa fórmula, \(d\) representa a distância entre os dois pontos. As barras \(|\ |\) indicam o valor absoluto, garantindo que a distância seja sempre positiva.
Exemplo resolvido 2. Considere \(C=(-5,3)\) e \(D=(2,3)\).
Os dois pontos possuem \(y=3\), portanto o segmento \(CD\) é horizontal. Para sair de \(x=-5\) e chegar a \(x=2\), temos:
Portanto, a distância entre \(C\) e \(D\) é 7 unidades.
6. Segmentos verticais
Um segmento é vertical quando seus dois pontos possuem a mesma coordenada \(x\). Nesse caso, os pontos estão alinhados verticalmente e apenas a coordenada \(y\) varia.
Para calcular o comprimento do segmento, usamos:
Novamente, \(d\) representa a distância entre os dois pontos, e o valor absoluto garante que essa medida seja positiva.
Exemplo resolvido 3. Considere \(P=(-2,-4)\) e \(Q=(-2,5)\).
Como os dois pontos possuem \(x=-2\), o segmento \(PQ\) é vertical. Calculamos a diferença entre as coordenadas \(y\):
Portanto, a distância entre \(P\) e \(Q\) é 9 unidades.
7. Distância em uma mesma horizontal ou vertical
Quando dois pontos estão na mesma horizontal ou na mesma vertical, não precisamos utilizar a fórmula geral da distância entre dois pontos.
Primeiro observamos qual coordenada permanece igual:
- se os valores de \(y\) são iguais, o segmento é horizontal e calculamos a diferença entre as coordenadas \(x\);
- se os valores de \(x\) são iguais, o segmento é vertical e calculamos a diferença entre as coordenadas \(y\).
Exemplo 1 — mesma horizontal. \(A=(2,4)\) e \(B=(8,4)\).
Como \(y=4\) nos dois pontos:
Logo, \(A\) e \(B\) estão separados por 6 unidades.
Exemplo 2 — mesma vertical. \(C=(3,-2)\) e \(D=(3,5)\).
Como \(x=3\) nos dois pontos:
Logo, \(C\) e \(D\) estão separados por 7 unidades.
8. Distância entre dois pontos não alinhados
A distância inclinada é a hipotenusa do triângulo retângulo formado pelas diferenças horizontal e vertical.
9. Relação com o Teorema de Pitágoras
Exemplo resolvido 4. Entre \(A=(-2,1)\) e \(B=(4,9)\):
10. Ponto médio de um segmento horizontal
11. Ponto médio de um segmento vertical
12. Ponto médio de um segmento qualquer
Exemplo resolvido 5. Entre \(A=(-4,2)\) e \(B=(6,8)\):
13. Verificando um ponto médio
O ponto médio é o ponto que fica exatamente no meio de um segmento de reta, dividindo esse segmento em duas partes de mesmo comprimento. Assim, se \(M\) é o ponto médio do segmento \(AB\), então a distância de \(A\) até \(M\) é igual à distância de \(M\) até \(B\), isto é, \(AM=MB\).
Exemplo. Considere os pontos \(A=(2,4)\) e \(B=(8,10)\). O ponto médio é obtido calculando a média das coordenadas correspondentes:
Portanto, \(M=(5,7)\) está exatamente no meio do segmento \(AB\). Podemos verificar isso observando que \(AM\) e \(MB\) possuem o mesmo comprimento.
14. Construindo figuras no plano cartesiano
Uma figura pode ser construída no plano cartesiano marcando pontos que representam seus vértices e ligando esses pontos na ordem indicada. As coordenadas permitem identificar a posição de cada vértice e também determinar as medidas dos lados da figura.
Exemplo. Marque os pontos \(A=(1,1)\), \(B=(5,1)\), \(C=(5,4)\) e \(D=(1,4)\). Ligando \(A\) a \(B\), \(B\) a \(C\), \(C\) a \(D\) e \(D\) a \(A\), obtemos um retângulo. Os lados horizontais medem 4 unidades e os lados verticais medem 3 unidades.
15. Perímetro de uma figura no plano cartesiano
O perímetro é a medida do contorno de uma figura. Para calculá-lo, determinamos o comprimento de cada lado e somamos todas essas medidas. No plano cartesiano, as coordenadas dos vértices ajudam a encontrar o comprimento dos lados.
Exemplo. No retângulo de vértices \(A=(1,1)\), \(B=(5,1)\), \(C=(5,4)\) e \(D=(1,4)\), a base mede 4 unidades e a altura mede 3 unidades.
Logo, o perímetro do retângulo é 14 unidades.
16. Área de uma figura no plano cartesiano
A área indica a medida da superfície ocupada por uma figura. Depois de identificar as medidas necessárias a partir das coordenadas dos vértices, aplicamos a fórmula de área correspondente à figura.
Exemplo. No mesmo retângulo, a base mede 4 unidades e a altura mede 3 unidades. A área de um retângulo é calculada multiplicando a base pela altura:
Portanto, a área do retângulo é 12 unidades quadradas.
17. Triângulos no plano cartesiano
O plano cartesiano permite representar triângulos por meio das coordenadas de seus três vértices. A partir dessas coordenadas, podemos determinar as medidas da base e da altura e, então, calcular a área pela fórmula A = (b × h)/2.
Exemplo. considere A = (1, 1), B = (7, 1) e C = (1, 5). A base AB mede 6 unidades e a altura AC mede 4 unidades. Assim, A = (6 × 4)/2 = 12 unidades quadradas.
18. Distâncias inclinadas em polígonos
Quando um lado do polígono não é horizontal nem vertical, seu comprimento não pode ser obtido apenas pela diferença de uma coordenada. As diferenças horizontal e vertical formam os catetos de um triângulo retângulo, e o lado inclinado corresponde à hipotenusa.
Exemplo. entre A = (1, 2) e B = (4, 6), a variação horizontal é 3 e a vertical é 4. Pelo Teorema de Pitágoras, AB² = 3² + 4² = 25; portanto, AB = 5 unidades.
▶ Pratique 1 — Geometria no plano cartesiano
1. Indique o quadrante de \(A=(5,3)\), \(B=(-2,6)\), \(C=(-4,-7)\) e \(D=(3,-5)\).
2. Determine a distância entre \((2,4)\) e \((9,4)\).
3. Determine a distância entre \((-3,-2)\) e \((-3,7)\).
4. Determine a distância entre \(A=(1,2)\) e \(B=(7,10)\).
5. Determine o ponto médio entre \((2,6)\) e \((10,6)\).
6. Duas estações estão nos pontos \(A=(-2,1)\) e \(B=(4,9)\). Determine a distância.
7. Um terreno retangular tem vértices \((1,1)\), \((8,1)\), \((8,5)\) e \((1,5)\). Determine o perímetro.
8. Determine a área do terreno da questão anterior.
9. Um triângulo tem vértices \((0,0)\), \((8,0)\) e \((0,6)\). Determine área e perímetro.
10. Determine o ponto médio entre \(A=(2,3)\) e \(B=(8,11)\).
19. Simetria no plano cartesiano
A simetria produz uma figura com a mesma forma e as mesmas medidas da original, mas em outra posição. Podemos imaginar uma reflexão como a imagem formada em um espelho colocado sobre um eixo ou sobre a origem.
Exemplo. o ponto P = (3, 2), refletido em relação ao eixo x, passa para P' = (3, -2). A distância até o eixo x permanece a mesma.
20. Simetria em relação ao eixo x
Na reflexão em relação ao eixo x, a coordenada horizontal permanece igual e a coordenada vertical troca de sinal. Por isso, (x, y) transforma-se em (x, -y).
Exemplo. A = (-4, 3) transforma-se em A' = (-4, -3).
21. Simetria em relação ao eixo y
Na reflexão em relação ao eixo y, a coordenada vertical permanece igual e a coordenada horizontal troca de sinal. Assim, (x, y) transforma-se em (-x, y).
Exemplo. B = (5, -2) transforma-se em B' = (-5, -2).
22. Simetria em relação à origem
Na simetria em relação à origem, o ponto passa para o lado oposto do plano, mantendo a mesma distância da origem. As duas coordenadas trocam de sinal: (x, y) transforma-se em (-x, -y).
Exemplo. C = (4, -3) transforma-se em C' = (-4, 3).
23. Simetria de uma figura
Para obter a figura simétrica de um polígono, aplicamos a mesma regra de reflexão a todos os seus vértices e depois ligamos os novos pontos na mesma ordem.
Exemplo. um triângulo com A = (1, 1), B = (4, 1) e C = (2, 3), refletido no eixo y, terá A' = (-1, 1), B' = (-4, 1) e C' = (-2, 3).
24. Translação no plano cartesiano
A translação é um deslocamento da figura sem girá-la nem alterar seu tamanho. Todos os pontos se movem a mesma quantidade na horizontal e na vertical.
Exemplo. deslocando P = (2, 3) quatro unidades para a direita e duas para cima, obtemos P' = (6, 5).
25. Figuras espaciais
As figuras espaciais são objetos tridimensionais: possuem comprimento, largura e altura. Diferentemente das figuras planas, ocupam espaço e, por isso, podemos estudar seu volume.
Exemplo. uma caixa de sapatos pode ser representada por um paralelepípedo, pois possui três dimensões: comprimento, largura e altura.
26. Poliedros e corpos redondos
Poliedros são sólidos formados somente por faces planas poligonais. Corpos redondos possuem pelo menos uma superfície curva.
Exemplo. o cubo é um poliedro, pois suas seis faces são quadrados. O cilindro é um corpo redondo, pois possui uma superfície lateral curva.
27. Faces, arestas e vértices
Faces são as superfícies planas do poliedro; arestas são os segmentos onde duas faces se encontram; vértices são os pontos onde as arestas se encontram.
Exemplo. um cubo possui 6 faces, 12 arestas e 8 vértices.
28. Relação de Euler
Nos poliedros convexos, o número de vértices (V), arestas (A) e faces (F) está relacionado por V - A + F = 2. Essa relação permite descobrir um desses elementos quando conhecemos os outros dois.
Exemplo. em um cubo, V = 8 e F = 6. Então 8 - A + 6 = 2, de onde A = 12 arestas.
29. Prismas
Um prisma é um poliedro que possui duas bases congruentes e paralelas. As faces laterais ligam os lados correspondentes dessas bases.
Exemplo. um prisma triangular possui duas bases triangulares iguais e três faces laterais.
30. Elementos de um prisma
Em um prisma identificamos duas bases, faces laterais, arestas, vértices e altura. A altura é a distância perpendicular entre os planos das duas bases.
Exemplo. em um prisma reto de base retangular, as duas bases são retângulos paralelos e a altura corresponde à distância entre elas.
31. Pirâmides
Uma pirâmide possui apenas uma base. Suas faces laterais são triângulos que se encontram em um único vértice, chamado ápice.
Exemplo. uma pirâmide de base quadrada possui 1 base quadrada e 4 faces laterais triangulares.
32. Comparando prismas e pirâmides
A principal diferença está nas bases: o prisma possui duas bases congruentes e paralelas, enquanto a pirâmide possui apenas uma base e suas faces laterais convergem para o ápice.
| Característica | Prisma | Pirâmide |
|---|---|---|
| Número de bases | 2 | 1 |
| Bases paralelas | Sim | Não se aplica |
| Faces laterais | Retangulares no prisma reto | Triangulares |
| Vértice superior comum | Não | Sim |
Exemplo. um prisma quadrangular tem duas bases quadrangulares; uma pirâmide quadrangular tem uma única base quadrangular e quatro faces triangulares.
33. Vistas ortogonais
As vistas ortogonais representam um objeto tridimensional observado diretamente de diferentes posições. Elas ajudam a identificar dimensões que podem ficar escondidas em uma representação em perspectiva.
Exemplo. uma construção com cubos pode ser observada de frente, de cima e de lado, produzindo respectivamente as vistas frontal, superior e lateral.
34. Vista frontal
A vista frontal mostra como o objeto aparece quando observado de frente. Em geral, evidencia sua largura e sua altura, sem mostrar diretamente a profundidade.
Exemplo. uma caixa com 8 cm de largura, 5 cm de altura e 3 cm de profundidade aparece, na vista frontal, como um retângulo de 8 cm por 5 cm.
35. Vista superior
A vista superior mostra o objeto como se fosse observado de cima. Ela evidencia a largura e a profundidade, mas não mostra diretamente a altura.
Exemplo. a mesma caixa de 8 cm × 5 cm × 3 cm aparece, de cima, como um retângulo de 8 cm por 3 cm.
36. Vista lateral
A vista lateral representa o objeto observado por um de seus lados. Normalmente evidencia a profundidade e a altura.
Exemplo. a caixa de 8 cm × 5 cm × 3 cm aparece lateralmente como um retângulo de 3 cm por 5 cm.
37. Interpretando vistas de construções com cubos
Em construções formadas por cubos, uma vista mostra apenas a projeção observada daquela direção. Alguns cubos podem ficar escondidos atrás de outros, por isso uma única vista nem sempre permite saber quantos cubos existem.
Exemplo. duas colunas de cubos alinhadas uma atrás da outra podem aparecer como uma única coluna na vista frontal.
38. Representação em perspectiva
A perspectiva é uma forma de desenhar objetos tridimensionais em uma superfície plana, procurando transmitir a ideia de profundidade. Nela, podemos visualizar simultaneamente mais de uma face do sólido.
Exemplo. ao desenhar um cubo em perspectiva, normalmente vemos a face frontal, uma face lateral e a face superior.
39. Planificação de sólidos
A planificação é a representação de todas as faces de um sólido abertas sobre um plano. Quando dobradas corretamente, essas faces recompõem o sólido original.
Exemplo. uma das planificações do cubo é formada por 6 quadrados ligados de modo que possam ser dobrados para formar suas seis faces.
40. Planificação de um prisma
A planificação de um prisma contém as duas bases congruentes e todas as faces laterais. A forma das bases depende do tipo de prisma.
Exemplo. um prisma triangular é planificado em 2 triângulos, que são as bases, e 3 retângulos, que são as faces laterais.
41. Planificação de uma pirâmide
A planificação de uma pirâmide apresenta a base e os triângulos que formam suas faces laterais.
Exemplo. uma pirâmide quadrangular possui uma planificação formada por 1 quadrado e 4 triângulos.
42. Cilindro
O cilindro é um corpo redondo que possui duas bases circulares congruentes e paralelas e uma superfície lateral curva. A distância entre as bases corresponde à altura.
Exemplo. uma lata de alimentos pode ser aproximada por um cilindro. Se o raio da base é 4 cm e a altura é 12 cm, essas são as medidas usadas em seus cálculos.
43. Planificação do cilindro
Ao abrir a superfície de um cilindro, obtemos dois círculos, correspondentes às bases, e um retângulo, correspondente à superfície lateral. O comprimento desse retângulo é igual ao comprimento da circunferência da base, 2πr.
Exemplo. para r = 3 cm e h = 8 cm, a parte lateral forma um retângulo de altura 8 cm e comprimento 6π cm.
44. Volume
O volume mede o espaço ocupado por um sólido. Como envolve três dimensões, sua unidade é cúbica, como cm³, dm³ ou m³.
Exemplo. um bloco com volume de 120 cm³ ocupa um espaço equivalente a 120 cubinhos de 1 cm³.
45. Volume de um paralelepípedo
O volume de um paralelepípedo retângulo é obtido multiplicando comprimento, largura e altura: V = c × l × h.
Exemplo. uma caixa de 10 cm × 4 cm × 3 cm possui V = 10 × 4 × 3 = 120 cm³.
46. Volume de um cubo
No cubo, comprimento, largura e altura possuem a mesma medida, chamada aresta. Por isso, V = a³.
Exemplo. se a aresta mede 5 cm, V = 5³ = 125 cm³.
47. Volume de um prisma
O volume de qualquer prisma é obtido multiplicando a área da base pela altura do prisma: V = Ab × h.
Exemplo. se a área da base é 24 cm² e a altura é 10 cm, V = 24 × 10 = 240 cm³.
48. Prisma de base triangular
Quando a base do prisma é um triângulo, primeiro calculamos a área desse triângulo e depois multiplicamos pela altura ou comprimento do prisma.
Exemplo. base triangular com b = 8 cm e altura do triângulo hb = 5 cm: Ab = (8 × 5)/2 = 20 cm². Se o prisma mede 12 cm de altura, V = 20 × 12 = 240 cm³.
49. Volume do cilindro
O volume do cilindro é a área da base circular multiplicada pela altura. Como a área do círculo é πr², temos V = πr²h.
Exemplo. para r = 3 cm e h = 10 cm, V = π × 3² × 10 = 90π cm³.
50. Comparando prismas e cilindros
Prismas e cilindros seguem a mesma ideia para o cálculo do volume: área da base multiplicada pela altura. O que muda é a forma da base e, portanto, a maneira de calcular sua área.
Exemplo. se um prisma e um cilindro possuem área da base igual a 20 cm² e altura de 8 cm, ambos têm volume de 160 cm³.
▶ Pratique 2 — Geometria espacial, vistas e volumes
1. Um cubo possui 6 faces e 8 vértices. Pela relação de Euler, determine as arestas.
2. Um poliedro convexo possui 12 vértices e 8 faces. Determine as arestas.
3. Quantas faces, vértices e arestas possui um prisma triangular?
4. Uma pirâmide possui base pentagonal. Determine o número total de faces.
5. Explique a diferença entre vista frontal e vista superior.
6. Uma caixa mede 12 cm × 5 cm × 4 cm. Determine o volume.
7. Um prisma possui área da base de 35 m² e altura de 4 m. Determine o volume.
8. Um prisma triangular tem base triangular de base 10 cm e altura 6 cm; comprimento 20 cm. Determine o volume.
9. Um cilindro possui raio 4 cm e altura 15 cm. Determine o volume em função de \(\pi\).
10. Uma coluna cilíndrica possui raio 2 m e altura 5 m. Determine o volume usando \(\pi\approx3{,}14\).
51. Volume e capacidade
Volume e capacidade estão relacionados. O volume mede o espaço ocupado ou disponível, enquanto a capacidade indica quanto um recipiente pode conter. Algumas equivalências são fundamentais: 1 dm³ = 1 L, 1 cm³ = 1 mL e 1 m³ = 1000 L.
Exemplo. um recipiente com volume interno de 12 dm³ possui capacidade de 12 litros.
52. Convertendo decímetros cúbicos em litros
Como 1 dm³ corresponde exatamente a 1 L, o valor numérico não muda na conversão entre essas duas unidades.
Exemplo. 18 dm³ = 18 L.
53. Convertendo centímetros cúbicos em mililitros
Como 1 cm³ corresponde a 1 mL, basta manter o mesmo valor numérico ao fazer a conversão.
Exemplo. 750 cm³ = 750 mL.
54. Relação entre litro e metro cúbico
Um metro cúbico corresponde a 1000 litros. Assim, para converter m³ em litros, multiplicamos por 1000.
Exemplo. 2,5 m³ = 2,5 × 1000 = 2500 L.
55. Problemas com caixas e reservatórios
Em caixas e reservatórios com formato de paralelepípedo, primeiro calculamos o volume multiplicando as três dimensões. Depois, quando necessário, convertemos o resultado para litros.
Exemplo. um reservatório de 2 m × 1,5 m × 1 m possui V = 2 × 1,5 × 1 = 3 m³. Como 1 m³ = 1000 L, sua capacidade é 3000 L.
56. Problemas com cilindros
Reservatórios, tubos e recipientes cilíndricos podem ter seu volume calculado por V = πr²h. É importante identificar corretamente o raio da base e a altura.
Exemplo. um reservatório cilíndrico com r = 2 m e h = 5 m possui V = π × 2² × 5 = 20π m³, aproximadamente 62,8 m³ se π ≈ 3,14.
57. Volume quando falta uma dimensão
Quando conhecemos o volume e parte das dimensões, podemos usar a fórmula do volume como uma equação para descobrir a medida desconhecida.
Exemplo. um prisma possui volume de 360 cm³ e área da base de 45 cm². Como 360 = 45h, temos h = 8 cm.
58. Determinando a área da base pelo volume
Se conhecemos o volume e a altura de um prisma, podemos determinar a área da base isolando Ab na fórmula V = Ab × h. Assim, Ab = V/h.
Exemplo. V = 540 cm³ e h = 12 cm. Logo, Ab = 540/12 = 45 cm².
59. Determinando a altura de um cilindro
Quando o volume e o raio são conhecidos, substituímos esses valores em V = πr²h e resolvemos a equação para encontrar h.
Exemplo. se V = 200π cm³ e r = 5 cm, então 200π = 25πh. Dividindo por 25π, obtemos h = 8 cm.
60. Determinando o raio de um cilindro
Quando conhecemos o volume e a altura, usamos V = πr²h para encontrar r² e, em seguida, calculamos a raiz quadrada para obter o raio.
Exemplo. se V = 144π cm³ e h = 9 cm, então 144π = 9πr². Assim, r² = 16 e r = 4 cm.
61. Comparando volumes
Para comparar volumes, todas as medidas devem estar em unidades compatíveis. Depois calculamos os volumes e verificamos qual é maior ou quantas vezes um é maior que o outro.
Exemplo. uma caixa tem 120 cm³ e outra 180 cm³. A segunda possui 60 cm³ a mais e seu volume é 1,5 vez o da primeira.
62. Aumentando uma dimensão
Quando apenas uma dimensão de um prisma ou cilindro é alterada e as demais permanecem iguais, o volume varia na mesma proporção dessa dimensão.
Exemplo. um prisma com área da base de 30 cm² e altura de 4 cm tem volume 120 cm³. Se apenas a altura dobra para 8 cm, o volume passa para 240 cm³.
63. Alterando o raio de um cilindro
No cilindro, o raio aparece elevado ao quadrado na fórmula V = πr²h. Por isso, alterações no raio provocam uma mudança quadrática no volume.
Exemplo. se o raio passa de 3 cm para 6 cm, ele dobra. Mantendo a mesma altura, o volume fica 2² = 4 vezes maior.
64. Escalas em sólidos geométricos
Quando todas as dimensões lineares de sólidos semelhantes são multiplicadas por um mesmo fator k, seus volumes são multiplicados por k³.
Exemplo. se todas as dimensões de um cubo são duplicadas, k = 2 e o novo volume será 2³ = 8 vezes o volume original.
65. Sólidos formados por cubos
Uma construção feita com cubos de mesmo tamanho pode ter seu volume determinado pela quantidade de cubos, desde que conheçamos o volume de cada um.
Exemplo. uma construção com 14 cubos de volume 1 cm³ cada possui volume total de 14 cm³.
66. Cubos escondidos
Em desenhos em perspectiva, nem todos os cubos de uma construção ficam visíveis. Alguns podem estar atrás de outros ou servir de apoio para cubos colocados acima.
Exemplo. se vemos um cubo na segunda camada, deve existir pelo menos um cubo abaixo dele, mesmo que esse cubo inferior esteja oculto no desenho.
67. Vista superior e quantidade de colunas
A vista superior mostra quais posições da base estão ocupadas. Cada posição visível corresponde a uma coluna com pelo menos um cubo, mas essa vista sozinha não informa quantos cubos existem em altura.
Exemplo. quatro quadrados na vista superior indicam quatro posições ocupadas, mas cada coluna pode ter 1, 2, 3 ou mais cubos.
68. Combinando vistas ortogonais
A combinação das vistas frontal, superior e lateral fornece mais informações sobre a largura, a altura, a profundidade e a distribuição dos blocos de uma construção.
Exemplo. a vista superior pode indicar três posições ocupadas, enquanto a frontal mostra que uma das colunas tem altura 3. Juntas, as vistas ajudam a reconstruir o sólido.
69. Perspectiva e vistas ortogonais
A perspectiva facilita a visualização do sólido como objeto tridimensional. As vistas ortogonais mostram projeções separadas e permitem analisar suas dimensões com mais precisão.
Exemplo. um bloco desenhado em perspectiva mostra profundidade; suas vistas frontal, superior e lateral mostram separadamente largura × altura, largura × profundidade e profundidade × altura.
70. Síntese da geometria espacial
Os cálculos de volume dependem da forma do sólido. Em prismas usamos V = Abh; em cilindros, V = πr²h; e no cubo, V = a³. Antes de escolher a fórmula, devemos identificar o sólido e suas medidas.
Exemplo. um cubo de aresta 4 cm possui V = 4³ = 64 cm³; um prisma de base 16 cm² e altura 4 cm também possui V = 16 × 4 = 64 cm³.
▶ Pratique 3 — Volumes, capacidade e aplicações
1. Uma caixa mede 10 cm × 8 cm × 6 cm. Determine o volume.
2. Um cubo possui aresta de 7 cm. Determine o volume.
3. Um prisma possui área da base de 42 cm² e altura de 9 cm. Determine o volume.
4. Um cilindro possui raio de 5 cm e altura de 12 cm. Determine o volume em função de \(\pi\).
5. Um prisma possui volume de 560 cm³ e área da base de 70 cm². Determine a altura.
6. Uma caixa-d'água mede 2 m × 1,5 m × 1,2 m. Determine a capacidade em litros.
7. Um reservatório cilíndrico possui raio de 1,5 m e altura de 4 m. Determine o volume usando \(\pi\approx3{,}14\).
8. Um cilindro de raio 3 cm é substituído por outro de raio 6 cm, com a mesma altura. Quantas vezes maior é o volume?
9. Uma maquete cúbica tem todas as dimensões multiplicadas por 4. Quantas vezes maior fica o volume?
10. Uma construção tem 5 cubos na primeira camada, 4 na segunda e 2 na terceira. Determine o volume total.
71. Revisão do plano cartesiano
Um ponto no plano cartesiano é representado por um par ordenado (x, y). A primeira coordenada indica o deslocamento horizontal e a segunda, o deslocamento vertical.
Exemplo. P = (-3, 4) está 3 unidades à esquerda da origem e 4 unidades acima do eixo x.
72. Revisão das transformações
Nas simetrias, as coordenadas mudam de acordo com o eixo ou ponto usado como referência: no eixo x, troca-se o sinal de y; no eixo y, troca-se o sinal de x; na origem, trocam-se os sinais de x e y.
Exemplo. para P = (2, -5): em relação ao eixo x, P' = (2, 5); em relação ao eixo y, P' = (-2, -5); em relação à origem, P' = (-2, 5).
73. Revisão de poliedros
Nos poliedros convexos, a Relação de Euler conecta vértices, arestas e faces: V - A + F = 2. Ela pode ser usada para conferir ou descobrir a quantidade de um desses elementos.
Exemplo. se um poliedro possui V = 10 e F = 7, então 10 - A + 7 = 2, portanto A = 15.
74. Revisão de volumes
Para resolver problemas de volume, primeiro identificamos o sólido, depois a área da base e a altura ou as dimensões necessárias. Também devemos observar atentamente as unidades.
Exemplo. um cilindro de raio 2 cm e altura 6 cm possui V = π × 2² × 6 = 24π cm³; um prisma com área da base 4π cm² e altura 6 cm possui o mesmo volume.
▶ Revisão e aprofundamento — 20 questões
1. Determine o quadrante de \(A=(-5,7)\).
2. Determine a distância entre \((3,-2)\) e \((11,-2)\).
3. Determine a distância entre \((-4,1)\) e \((-4,10)\).
4. Determine a distância entre \(A=(1,1)\) e \(B=(7,9)\).
5. Determine o ponto médio entre \((-6,2)\) e \((4,8)\).
6. Um terreno retangular tem vértices \((2,1)\), \((10,1)\), \((10,6)\) e \((2,6)\). Determine perímetro e área.
7. Um triângulo tem vértices \((0,0)\), \((6,0)\) e \((0,8)\). Determine perímetro e área.
8. Determine o simétrico de \((4,-7)\) em relação ao eixo \(x\).
9. Determine o simétrico de \((-3,5)\) em relação ao eixo \(y\).
10. O ponto \((2,4)\) é transladado 5 unidades para a direita e 3 para baixo. Determine suas novas coordenadas.
11. Um poliedro convexo possui 14 vértices e 9 faces. Determine as arestas.
12. Explique a diferença entre prisma e pirâmide.
13. Uma caixa mede 15 cm × 8 cm × 6 cm. Determine o volume.
14. Um cubo possui aresta de 9 cm. Determine o volume.
15. Um prisma possui área da base de 32 cm² e altura de 14 cm. Determine o volume.
16. Um cilindro possui raio de 4 cm e altura de 10 cm. Determine o volume em função de \(\pi\) e aproximadamente.
17. Um cilindro possui volume de \(300\pi\) cm³ e raio 5 cm. Determine a altura.
18. Um reservatório possui volume de 4,2 m³. Determine a capacidade em litros.
19. Um cubo tem todas as arestas triplicadas. Quantas vezes maior fica o volume?
20. Explique por que a vista frontal, isoladamente, pode não determinar a quantidade total de cubos de uma construção.
▶ Gabarito do Pratique 1
1. I, II, III e IV, respectivamente.
2. 7 unidades.
3. 9 unidades.
4. 10 unidades.
5. \(M=(6,6)\).
6. 10 unidades.
7. 22 unidades.
8. 28 unidades².
9. Perímetro 24 unidades; área 24 unidades².
10. \(M=(5,7)\).
▶ Gabarito do Pratique 2
1. 12 arestas.
2. 18 arestas.
3. 5 faces, 6 vértices e 9 arestas.
4. 6 faces.
5. Frontal: largura e altura; superior: largura e profundidade.
6. 240 cm³.
7. 140 m³.
8. 600 cm³.
9. \(240\pi\) cm³.
10. 62,8 m³.
▶ Gabarito do Pratique 3
1. 480 cm³.
2. 343 cm³.
3. 378 cm³.
4. \(300\pi\) cm³.
5. 8 cm.
6. 3600 L.
7. 28,26 m³.
8. 4 vezes.
9. 64 vezes.
10. 11 unidades³.
▶ Gabarito da revisão e do aprofundamento
1. 2º quadrante.
2. 8 unidades.
3. 9 unidades.
4. 10 unidades.
5. \(M=(-1,5)\).
6. Perímetro 26 unidades; área 40 unidades².
7. Perímetro 24 unidades; área 24 unidades².
8. \((4,7)\).
9. \((3,5)\).
10. \((7,1)\).
11. 21 arestas.
12. Prisma: duas bases congruentes e paralelas. Pirâmide: uma base e faces laterais triangulares.
13. 720 cm³.
14. 729 cm³.
15. 448 cm³.
16. \(160\pi\) cm³, aproximadamente 502,4 cm³.
17. 12 cm.
18. 4200 L.
19. 27 vezes.
20. Porque cubos podem ficar ocultos atrás de outros na projeção frontal.
Para lembrar: no plano cartesiano, interprete geometricamente as diferenças entre coordenadas. Na geometria espacial, observe com atenção as dimensões, as vistas e as unidades utilizadas no cálculo do volume.