Razão, proporcionalidade e regra de três
Em muitas situações do cotidiano precisamos comparar quantidades, analisar como duas grandezas variam e descobrir valores desconhecidos. Para isso, utilizamos razões, proporcionalidade direta e inversa, tabelas, constantes de proporcionalidade, sentenças algébricas e a regra de três simples.
O mais importante não é decorar procedimentos, mas compreender qual relação existe entre as grandezas.
Habilidade da BNCC
EF07MA17: resolver e elaborar problemas que envolvam variação de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa entre duas grandezas, utilizando sentença algébrica para expressar a relação entre elas.
Organização pedagógica
- Razão.
- Relações entre grandezas.
- Proporcionalidade direta.
- Constante de proporcionalidade.
- Proporcionalidade inversa.
- Comparando proporcionalidade direta, inversa e relações não proporcionais.
- Sentenças algébricas.
- Regra de três simples.
- Resolução de problemas envolvendo proporcionalidade.
- Interpretação de tabelas e síntese.
1. Razão
Uma razão é uma comparação entre duas quantidades por meio de uma divisão.
Em uma turma há 12 meninas e 8 meninos. A razão entre o número de meninas e o número de meninos pode ser escrita de duas formas:
ou:
Simplificando por 4:
Isso significa que, mantendo essa relação, para cada 3 meninas há 2 meninos.
A ordem dos termos é importante
A razão entre meninas e meninos é:
Já a razão entre meninos e meninas é:
Portanto, mudar a ordem dos termos muda o significado da razão.
Antecedente e consequente
Em uma razão:
com \(b\neq0\), \(a\) é o antecedente e \(b\) é o consequente.
Simplificando uma razão
Como 18 e 24 são divisíveis por 6:
Logo, a razão simplificada é \(\frac34\).
Razão entre grandezas de mesma unidade
Uma escola possui 240 estudantes, dos quais 90 participam de uma atividade esportiva. A razão entre participantes e total de estudantes é:
Isso significa que, nessa comparação, para cada grupo de 8 estudantes, 3 correspondem aos participantes da atividade.
Razão entre grandezas diferentes
Um automóvel percorre 180 km em 3 horas. A razão entre distância e tempo é:
Essa razão representa a velocidade média: 60 quilômetros por hora.
Preço por unidade
Uma caixa com 6 cadernos custa R 48,00:
Portanto, o preço é de R 8,00 por caderno.
Atenção: razão e fração podem ter a mesma escrita, mas não necessariamente o mesmo significado. Uma fração pode representar uma parte de um todo; uma razão compara duas quantidades ou grandezas.
Atividades — Razão
Pratique — Razão
1. Em uma turma há 18 meninas e 12 meninos. Determine e simplifique a razão meninas:meninos.
2. Na mesma turma, determine a razão meninos:total de estudantes.
3. Uma cesta contém 15 maçãs e 25 laranjas. Determine a razão simplificada maçãs:laranjas.
4. Simplifique as razões: a) \(20:30\); b) \(36:48\); c) \(45:60\).
5. Uma máquina produz 240 peças em 6 horas. Qual é a razão peças/horas e o que ela representa?
6. Um automóvel percorre 360 km em 4 horas. Qual é a razão distância/tempo?
7. Em uma biblioteca há 24 livros de Matemática e 36 de Ciências. Determine e simplifique a razão Matemática:Ciências.
8. Uma receita utiliza 300 g de farinha e 200 g de açúcar. Determine a razão farinha:açúcar na forma simplificada.
9. Em um mapa, 2 cm representam 10 km. Qual é a razão entre a medida no mapa, em centímetros, e a distância real, em quilômetros?
10. Uma embalagem com 8 unidades custa R 56,00. Determine a razão preço:quantidade e interprete o resultado.
2. Relações entre grandezas
Grandeza é tudo aquilo que pode ser medido, contado ou comparado: preço, quantidade, distância, tempo, massa, comprimento, número de pessoas, quantidade de combustível, entre outras.
Quando duas grandezas aparecem em uma mesma situação, podemos investigar como a mudança em uma delas se relaciona com a mudança na outra.
Quantidade e preço
Cada caderno custa R 8,00.
| Quantidade de cadernos | Preço |
|---|---|
| 1 | R 8,00 |
| 2 | R 16,00 |
| 3 | R 24,00 |
| 4 | R 32,00 |
| 5 | R 40,00 |
Dividindo o preço pela quantidade:
O resultado é sempre 8. Esse valor representa o preço de um caderno.
Tempo e distância
Um ciclista mantém velocidade constante de 12 km/h.
| Tempo | Distância |
|---|---|
| 1 h | 12 km |
| 2 h | 24 km |
| 3 h | 36 km |
| 4 h | 48 km |
| 5 h | 60 km |
A razão distância/tempo permanece constante.
Nem toda relação é proporcional
Uma corrida de táxi cobra R 6,00 de taxa inicial e R 4,00 por quilômetro.
| Distância | Preço |
|---|---|
| 1 km | R 10,00 |
| 2 km | R 14,00 |
| 3 km | R 18,00 |
| 4 km | R 22,00 |
As razões não são iguais. Portanto, apesar de o preço aumentar com a distância, as grandezas não são diretamente proporcionais.
3. Proporcionalidade direta
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando variam na mesma proporção.
Cada garrafa comporta 2 litros de água.
| Garrafas | Volume total |
|---|---|
| 1 | 2 L |
| 2 | 4 L |
| 3 | 6 L |
| 4 | 8 L |
| 5 | 10 L |
Se a quantidade de garrafas dobra, o volume dobra. Se triplica, o volume triplica.
Como reconhecer em uma tabela?
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| 2 | 6 |
| 4 | 12 |
| 6 | 18 |
| 8 | 24 |
A razão \(\frac{y}{x}\) permanece constante. Portanto, há proporcionalidade direta.
Dobrar, triplicar e reduzir
Se duas grandezas são diretamente proporcionais:
- se uma dobra, a outra dobra;
- se uma triplica, a outra triplica;
- se uma é dividida por 2, a outra também é dividida por 2.
Encontrando um valor desconhecido
4 kg de um produto custam R 28,00. Quanto custam 10 kg?
Primeiro encontramos o valor de 1 kg:
Então:
Logo, 10 kg custam R 70,00.
Cuidado: duas grandezas crescerem juntas não é suficiente para existir proporcionalidade direta. A razão \(\frac{y}{x}\) precisa permanecer constante.
4. Constante de proporcionalidade
Quando duas grandezas são diretamente proporcionais, existe um número que relaciona os valores correspondentes. Esse número é a constante de proporcionalidade.
Multiplicando por \(x\):
Exemplo
Cada ingresso custa R 12,00.
| Ingressos \(x\) | Preço \(y\) |
|---|---|
| 1 | 12 |
| 2 | 24 |
| 3 | 36 |
| 4 | 48 |
Logo:
Para 7 ingressos:
Encontrando \(k\) em uma tabela
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| 3 | 15 |
| 5 | 25 |
| 7 | 35 |
| 9 | 45 |
Portanto:
A constante possui significado
Em \(y=14x\), se \(x\) é a quantidade de litros de combustível e \(y\) a distância, \(k=14\) significa 14 km por litro.
Em \(y=9x\), se \(x\) é a massa em quilogramas e \(y\) o preço, \(k=9\) significa R 9,00 por quilograma.
Quando \(x=0\)
Em uma proporcionalidade direta:
Se \(x=0\):
Por isso, relações como \(y=4x+6\), que possuem um valor inicial fixo, não representam proporcionalidade direta.
5. Proporcionalidade inversa
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, ao multiplicarmos uma delas por determinado número, a outra é dividida por esse mesmo número.
Trabalhadores e tempo
Considere um serviço que pode ser realizado por 2 trabalhadores em 12 dias, mantendo as mesmas condições.
| Trabalhadores | Dias |
|---|---|
| 2 | 12 |
| 3 | 8 |
| 4 | 6 |
| 6 | 4 |
| 8 | 3 |
O produto permanece constante:
Assim:
ou:
Velocidade e tempo
Um veículo percorre uma distância fixa de 240 km.
| Velocidade | Tempo |
|---|---|
| 40 km/h | 6 h |
| 60 km/h | 4 h |
| 80 km/h | 3 h |
| 120 km/h | 2 h |
Cuidado: uma grandeza aumentar enquanto a outra diminui não é suficiente para afirmar que são inversamente proporcionais. O produto \(xy\) precisa permanecer constante.
6. Comparando direta, inversa e não proporcional
| Proporcionalidade direta | Proporcionalidade inversa |
|---|---|
| Uma dobra → a outra dobra | Uma dobra → a outra cai pela metade |
| Uma triplica → a outra triplica | Uma triplica → a outra é dividida por 3 |
| \(\frac{y}{x}=k\) | \(xy=k\) |
| \(y=kx\) | \(y=\frac{k}{x}\) |
Exemplo de relação não proporcional
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| 1 | 4 |
| 2 | 7 |
| 3 | 10 |
| 4 | 13 |
A razão \(\frac{y}{x}\) não é constante e o produto \(xy\) também não é constante. Portanto, a relação não é proporcional.
Atividades — Proporcionalidade direta e inversa
Pratique — Proporcionalidade direta e inversa
1. Complete a tabela diretamente proporcional: \(2\to8\), \(3\to?\), \(5\to?\), \(?\to32\), \(10\to?\). Determine \(k\).
2. Analise: 2 caixas → 12 garrafas; 4 → 24; 6 → 36; 9 → 54. Determine a constante de proporcionalidade e explique seu significado.
3. Se \(y=7x\), determine \(y\) para \(x=4\) e \(x=9\), e determine \(x\) quando \(y=84\).
4. Uma padaria utiliza 600 g de farinha para 20 pães. Quantos gramas serão necessários para 50 pães?
5. Cada metro de tecido custa R 18,00. Quanto custam 7 m? Quantos metros podem ser comprados com R 216,00?
6. Complete a tabela inversamente proporcional: \(2\to24\), \(3\to?\), \(4\to?\), \(6\to?\), \(8\to?\). Determine \(k\).
7. 2 máquinas fazem um trabalho em 18 h; 3 em 12 h; 4 em 9 h; 6 em 6 h. Justifique o tipo de proporcionalidade e determine o tempo com 12 máquinas.
8. Classifique como direta, inversa ou não proporcional: a) quantidade e preço unitário fixo; b) trabalhadores e tempo; c) idade e altura; d) velocidade e tempo para uma distância fixa.
9. Uma relação é dada por \(xy=72\). Determine \(y\) para \(x=3,4,6,8\).
10. Explique por que o fato de uma grandeza aumentar enquanto a outra diminui não basta para garantir proporcionalidade inversa.
7. Sentenças algébricas e proporcionalidade
Direta
Se cada caneta custa R 4,00:
Descobrindo a sentença por uma tabela
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| 2 | 6 |
| 4 | 12 |
| 7 | 21 |
| 10 | 30 |
Logo:
Inversa
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| 2 | 30 |
| 3 | 20 |
| 4 | 15 |
| 5 | 12 |
| 6 | 10 |
Logo:
ou:
8. Regra de três simples
A regra de três simples é uma maneira de organizar problemas que envolvem duas grandezas relacionadas, quando conhecemos três valores e queremos determinar o quarto.
Antes de montar qualquer cálculo, precisamos identificar: as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais?
Regra de três simples direta
3 cadernos custam R 21,00. Quanto custarão 8 cadernos?
| Cadernos | Preço |
|---|---|
| 3 ↓ | 21 ↓ |
| 8 | \(x\) |
Ao aumentar a quantidade de cadernos, o preço total também aumenta na mesma proporção, pois o preço de cada caderno permanece o mesmo. Por exemplo, se a quantidade de cadernos dobrar, o preço total também dobrará. Portanto, quantidade de cadernos e preço são grandezas diretamente proporcionais.
Por isso, representamos as duas grandezas com setas no mesmo sentido.
Aplicando a propriedade fundamental das proporções:
Portanto, 8 cadernos custam R 56,00.
Verificação pela constante:
Cada caderno custa R 7,00. Então:
Por que podemos multiplicar em cruz?
Em toda proporção:
vale:
A chamada multiplicação cruzada é consequência da propriedade fundamental das proporções.
Outro exemplo direto
Um veículo percorre 180 km com 15 L de combustível. Mantendo o mesmo consumo, quantos quilômetros percorrerá com 25 L?
| Combustível | Distância |
|---|---|
| 15 ↓ | 180 ↓ |
| 25 | \(x\) |
Ao aumentar a quantidade de combustível, a distância que pode ser percorrida também aumenta na mesma proporção, pois o consumo médio do veículo permanece constante. Portanto, combustível e distância são grandezas diretamente proporcionais.
Por isso, as setas ficam no mesmo sentido.
Regra de três simples inversa
6 trabalhadores realizam determinado serviço em 10 dias. Em quantos dias 12 trabalhadores, nas mesmas condições, realizariam o mesmo serviço?
| Trabalhadores | Dias |
|---|---|
| 6 ↓ | 10 ↑ |
| 12 | \(x\) |
Ao aumentar o número de trabalhadores, o tempo necessário para realizar o mesmo serviço diminui na mesma proporção, considerando que todos trabalham no mesmo ritmo e nas mesmas condições. Por exemplo, se dobrarmos o número de trabalhadores, o tempo necessário será reduzido à metade. Portanto, número de trabalhadores e número de dias são grandezas inversamente proporcionais.
Por isso, representamos as duas grandezas com setas em sentidos contrários.
Se mantivéssemos as duas razões na ordem em que aparecem na tabela, teríamos:
Como as grandezas são inversamente proporcionais, precisamos inverter uma das razões. Vamos manter a razão dos trabalhadores, \(\frac6{12}\), e inverter a razão dos dias, que passa de \(\frac{10}{x}\) para \(\frac{x}{10}\).
Fazemos essa inversão porque, quando o número de trabalhadores aumenta, o número de dias diminui na mesma proporção.
Portanto, 12 trabalhadores realizariam o serviço em 5 dias.
Verificação:
O produto permaneceu constante.
Outro exemplo inverso
Um percurso é realizado em 4 horas a 60 km/h. Mantendo a mesma distância, quanto tempo seria necessário a 80 km/h?
| Velocidade | Tempo |
|---|---|
| 60 ↓ | 4 ↑ |
| 80 | \(x\) |
Ao aumentar a velocidade média, o tempo necessário para percorrer a mesma distância diminui na mesma proporção. Portanto, velocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionais.
Por isso, as setas ficam em sentidos contrários.
Na ordem da tabela, as razões seriam \(\frac{60}{80}\) e \(\frac4x\). Como velocidade e tempo são inversamente proporcionais, mantemos a razão das velocidades e invertemos a razão dos tempos, de \(\frac4x\) para \(\frac{x}{4}\).
Roteiro para regra de três: identifique as grandezas, organize os valores, determine se a relação é direta ou inversa, observe o sentido das setas, monte a proporção, resolva e verifique se a resposta faz sentido.
Atividades — Sentenças algébricas e regra de três simples
Pratique — Sentenças algébricas e regra de três simples
1. Escreva a sentença algébrica de uma relação diretamente proporcional com \(k=5\).
2. Escreva a sentença algébrica de uma relação inversamente proporcional com \(k=60\).
3. Se \(y=2,5x\), determine \(y\) para \(x=8\) e \(x\) quando \(y=30\).
4. Se \(y=\frac{48}{x}\), determine \(y\) para \(x=6,8,12\).
5. Uma tabela apresenta \(2\to6\), \(4\to12\), \(7\to21\), \(10\to30\). Determine a sentença algébrica.
6. 5 kg de um produto custam R 45,00. Quanto custam 8 kg? Indique as setas e justifique a proporcionalidade.
7. Uma torneira despeja 36 L em 4 min. Quantos litros serão despejados em 15 min?
8. Um veículo percorre 210 km com 14 L de combustível. Quantos quilômetros percorrerá com 20 L?
9. 8 trabalhadores realizam um serviço em 15 dias. Em quantos dias 12 trabalhadores realizarão o mesmo serviço?
10. Um percurso é realizado em 6 h a 80 km/h. Quanto tempo levaria a 96 km/h, mantendo a mesma distância?
9. Regra de três composta
A regra de três composta é utilizada em situações que envolvem três ou mais grandezas relacionadas. Nela, cada grandeza deve ser comparada com a grandeza que contém a incógnita.
Importante: não compare apenas colunas vizinhas. A classificação como direta ou inversa depende da relação de cada grandeza com aquela que queremos determinar.
Exemplo 1 — Trabalhadores, horas por dia e dias
6 trabalhadores, trabalhando 7 horas por dia, realizam determinado serviço em 10 dias. Quantos dias serão necessários para 8 trabalhadores realizarem o mesmo serviço, trabalhando 5 horas por dia?
| Trabalhadores | Horas por dia | Dias |
|---|---|---|
| 6 ↑ | 7 ↑ | 10 ↓ |
| 8 | 5 | \(x\) |
A incógnita está na coluna dias. Por isso, cada uma das outras grandezas deve ser comparada com o número de dias.
Trabalhadores e dias: mantendo a quantidade de horas trabalhadas por dia, se aumentarmos o número de trabalhadores, serão necessários menos dias para concluir o mesmo serviço. Se o número de trabalhadores for multiplicado por determinado fator, o número de dias será dividido por esse mesmo fator. Portanto, trabalhadores e dias são grandezas inversamente proporcionais.
Horas por dia e dias: mantendo o número de trabalhadores, se diminuirmos a quantidade de horas trabalhadas por dia, serão necessários mais dias para concluir o mesmo serviço. Portanto, horas trabalhadas por dia e dias também são grandezas inversamente proporcionais.
As setas mostram essas duas relações inversas: as colunas Trabalhadores e Horas por dia estão em sentido contrário à coluna Dias.
Antes de inverter, as razões correspondentes são:
Como Trabalhadores é inversamente proporcional a Dias, invertemos:
Como Horas por dia também é inversamente proporcional a Dias, invertemos:
Agora montamos a proporção:
Simplificando:
Aplicando a propriedade fundamental das proporções:
O cálculo indica 10,5 dias. Isso significa que, ao final do 10º dia, o serviço ainda não estará concluído, pois será necessário trabalhar uma parte do dia seguinte.
Portanto, o serviço será concluído no 11º dia.
Exemplo 2 — Máquinas, horas e produção
4 máquinas, funcionando 6 horas por dia, produzem 1.200 peças. Quantas peças serão produzidas por 6 máquinas funcionando 8 horas por dia, mantendo o mesmo ritmo?
| Máquinas | Horas por dia | Peças |
|---|---|---|
| 4 ↓ | 6 ↓ | 1.200 ↓ |
| 6 | 8 | \(x\) |
Máquinas e peças: mais máquinas produzem mais peças, na mesma proporção, mantendo o tempo de funcionamento. Logo, são diretamente proporcionais.
Horas e peças: mais horas de funcionamento produzem mais peças, na mesma proporção, mantendo o número de máquinas. Logo, são diretamente proporcionais.
Tomamos a coluna das peças como referência e colocamos sua seta para baixo. Como máquinas e horas são diretamente proporcionais à quantidade de peças, as três setas ficam no mesmo sentido.
Neste caso, nenhuma razão é invertida, pois as duas relações são diretas:
Portanto, serão produzidas 2.400 peças.
Exemplo 3 — Trabalhadores, horas por dia e dias
12 trabalhadores, trabalhando 6 horas por dia durante 15 dias, realizam determinado serviço. Quantos trabalhadores serão necessários para realizar o mesmo serviço em 10 dias, trabalhando 9 horas por dia?
| Trabalhadores | Horas por dia | Dias |
|---|---|---|
| 12 ↓ | 6 ↑ | 15 ↑ |
| \(x\) | 9 | 10 |
Horas por dia e trabalhadores: se cada trabalhador trabalha mais horas por dia, são necessários menos trabalhadores para o mesmo serviço. Portanto, são inversamente proporcionais.
Dias e trabalhadores: se há menos dias disponíveis, são necessários mais trabalhadores. Portanto, também são inversamente proporcionais.
Tomamos a coluna dos trabalhadores, onde está a incógnita, como referência e colocamos sua seta para baixo. Como horas por dia e dias são inversamente proporcionais ao número de trabalhadores, suas setas ficam para cima.
Na ordem da tabela, teríamos as razões:
Como horas por dia e dias são inversamente proporcionais aos trabalhadores, invertemos essas duas razões:
A razão dos trabalhadores, \(\frac{12}{x}\), permanece como está porque é a razão de referência.
Verificação pelo total de trabalho:
Como resolver uma regra de três composta
- Identifique todas as grandezas.
- Organize os valores em uma tabela.
- Localize a grandeza que contém \(x\) e use sua seta como referência.
- Compare cada outra grandeza com a grandeza da incógnita.
- Se a relação for direta, coloque a seta no mesmo sentido e mantenha a razão na ordem da tabela.
- Se a relação for inversa, coloque a seta em sentido contrário e inverta aquela razão.
- Mostre explicitamente qual razão foi invertida e como ela ficou.
- Monte a igualdade.
- Resolva a equação.
- Verifique se o resultado faz sentido.
Atividades — Regra de três composta
Pratique — Regra de três composta
1. 5 máquinas, funcionando 8 horas por dia, produzem 2.000 peças. Quantas peças serão produzidas por 8 máquinas funcionando 10 horas por dia?
2. 6 trabalhadores, trabalhando 8 horas por dia, realizam uma obra em 15 dias. Em quantos dias 10 trabalhadores, trabalhando 6 horas por dia, realizarão a mesma obra?
3. 4 caminhões transportam determinada carga realizando 6 viagens cada um. Quantas viagens cada caminhão deverá realizar se forem utilizados 8 caminhões?
4. 12 trabalhadores, trabalhando 6 horas por dia, concluem uma tarefa em 20 dias. Quantos trabalhadores serão necessários para concluí-la em 15 dias, trabalhando 8 horas por dia?
5. 3 impressoras, funcionando 5 horas, imprimem 4.500 páginas. Quantas páginas serão impressas por 5 impressoras funcionando 8 horas?
6. 8 máquinas produzem 4.800 peças em 6 horas. Quantas máquinas serão necessárias para produzir 8.000 peças em 5 horas?
7. 10 trabalhadores realizam um serviço em 18 dias, trabalhando 8 horas por dia. Se forem 12 trabalhadores trabalhando 6 horas por dia, quantos dias serão necessários?
8. 6 torneiras iguais enchem 4 reservatórios em 8 horas. Quanto tempo 8 torneiras levarão para encher 6 reservatórios?
9. 4 máquinas produzem 3.000 peças em 5 horas. Quantas máquinas são necessárias para produzir 4.500 peças em 6 horas?
10. Explique por que cada grandeza deve ser comparada com a grandeza que contém a incógnita.
10. Resolução de problemas envolvendo proporcionalidade
Receita
Para 6 pessoas são utilizados 450 g de arroz. Mantendo a mesma quantidade por pessoa, quantos gramas serão necessários para 10 pessoas?
| Pessoas | Arroz |
|---|---|
| 6 ↓ | 450 ↓ |
| 10 | \(x\) |
Ao aumentar o número de pessoas, a quantidade de arroz necessária também aumenta na mesma proporção, pois a quantidade de arroz por pessoa permanece constante. Portanto, pessoas e quantidade de arroz são grandezas diretamente proporcionais.
Por isso, as setas ficam no mesmo sentido.
Serão necessários 750 g de arroz.
Produção
Uma máquina produz 360 peças em 4 horas. Quantas peças produzirá em 7 horas, mantendo o mesmo ritmo?
| Tempo | Peças |
|---|---|
| 4 ↓ | 360 ↓ |
| 7 | \(x\) |
Ao aumentar o tempo de funcionamento, a quantidade de peças produzidas também aumenta na mesma proporção, pois o ritmo de produção permanece constante. Portanto, tempo e produção são grandezas diretamente proporcionais.
Por isso, as setas ficam no mesmo sentido.
Pessoas e tempo
5 pessoas realizam uma tarefa em 12 horas. Em quanto tempo 15 pessoas realizariam a mesma tarefa?
| Pessoas | Tempo |
|---|---|
| 5 ↓ | 12 ↑ |
| 15 | \(x\) |
Ao aumentar o número de pessoas, o tempo necessário para realizar a mesma tarefa diminui na mesma proporção, considerando que todos trabalham no mesmo ritmo. Portanto, número de pessoas e tempo são grandezas inversamente proporcionais.
Por isso, as setas ficam em sentidos contrários.
Na ordem da tabela, as razões seriam \(\frac5{15}\) e \(\frac{12}{x}\). Como a relação é inversa, mantemos a razão das pessoas e invertemos a razão do tempo, de \(\frac{12}{x}\) para \(\frac{x}{12}\).
Nem todo problema é regra de três
Uma empresa de entregas cobra R 8,00 de taxa fixa mais R 3,00 por quilômetro.
A relação é:
Como existe uma taxa fixa, a relação não possui a forma \(y=kx\). Portanto, não é uma proporcionalidade direta e não deve ser tratada automaticamente por regra de três.
10. Interpretando tabelas e síntese
Tabela diretamente proporcional
| Caixas | Livros |
|---|---|
| 2 | 16 |
| 3 | 24 |
| 5 | 40 |
| 8 | 64 |
Logo, \(k=8\) e:
Tabela inversamente proporcional
| Pessoas | Tempo |
|---|---|
| 2 | 24 |
| 3 | 16 |
| 4 | 12 |
| 6 | 8 |
| 8 | 6 |
Logo:
Tabela não proporcional
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| 1 | 7 |
| 2 | 10 |
| 3 | 13 |
| 4 | 16 |
A razão \(\frac{y}{x}\) não permanece constante e o produto \(xy\) também não. Portanto, a relação não é proporcional.
Como identificar?
Direta:
Inversa:
Não proporcional: nenhum dos dois testes permanece constante.
Revisão e aprofundamento
Revisão e aprofundamento — 20 questões
1. Simplifique as razões: a) \(20:30\); b) \(36:48\); c) \(45:60\).
2. Uma turma tem 14 meninos e 21 meninas. Determine as razões meninos:meninas, meninas:total e meninos:total.
3. Um carro percorre 360 km em 4 h. Qual é a razão distância/tempo?
4. Verifique se a tabela \(2\to10,4\to20,7\to35,9\to45\) é diretamente proporcional. Determine \(k\).
5. Verifique se a tabela \(2\to24,3\to16,4\to12,6\to8\) é inversamente proporcional. Determine \(k\).
6. Complete uma tabela direta com \(k=6\): \(x=1,3,5,8,12\).
7. Complete uma tabela inversa com \(k=48\): \(x=2,3,4,6,8\).
8. Escreva uma sentença algébrica para uma relação direta em que cada unidade de \(x\) corresponde a 7 unidades de \(y\).
9. Escreva uma sentença algébrica para uma relação inversa cujo produto constante é 90.
10. Explique como distinguir uma relação direta de uma inversa usando cálculos.
11. 4 camisetas custam R 120,00. Quanto custam 7 camisetas?
12. Uma máquina produz 450 peças em 6 h. Quantas peças em 10 h?
13. 8 trabalhadores fazem um serviço em 15 dias. Em quantos dias 12 trabalhadores fariam o mesmo serviço?
14. Um veículo faz um percurso em 5 h a 72 km/h. Quanto tempo levaria a 90 km/h?
15. Uma torneira despeja 18 L em 3 min. Quantos litros em 8 min?
16. 4 bombas esvaziam um reservatório em 6 h. Quanto tempo com 8 bombas?
17. Uma confecção utiliza 18 m de tecido para 12 camisetas. Quantos metros para 30 camisetas? Determine também \(k\).
18. 12 trabalhadores fariam um serviço em 20 dias. Quantos trabalhadores são necessários para concluir em 15 dias?
19. Um transporte cobra R 10,00 de taxa inicial mais R 4,00 por km. Explique por que distância e preço não são diretamente proporcionais.
20. Crie: a) uma situação de proporcionalidade direta; b) uma de proporcionalidade inversa; c) uma situação de regra de três composta com três grandezas. Explique as relações envolvidas.
Gabaritos
Gabarito — Razão
1. \(18:12=3:2\).
2. \(12:30=2:5\).
3. \(15:25=3:5\).
4. a) \(2:3\); b) \(3:4\); c) \(3:4\).
5. 40 peças por hora.
6. 90 km/h.
7. \(24:36=2:3\).
8. \(300:200=3:2\).
9. \(2:10=1:5\).
10. \(56:8=7\); representa R 7,00 por unidade.
Gabarito — Proporcionalidade direta e inversa
1. 12, 20, 8, 40; \(k=4\); \(y=4x\).
2. \(k=6\); representa 6 garrafas por caixa.
3. 28; 63; 12.
4. 1.500 g.
5. R 126,00; 12 m.
6. 16, 12, 8, 6; \(k=48\).
7. Inversa; 3 h.
8. a) direta; b) inversa; c) não proporcional; d) inversa.
9. 24, 18, 12 e 9.
10. Porque o produto dos valores correspondentes precisa permanecer constante: \(xy=k\).
Gabarito — Sentenças algébricas e regra de três simples
1. \(y=5x\).
2. \(xy=60\) ou \(y=\frac{60}{x}\).
3. 20 e 12.
4. 8, 6 e 4.
5. \(y=3x\).
6. R 72,00; proporcionalidade direta.
7. 135 L; proporcionalidade direta.
8. 300 km; proporcionalidade direta.
9. 10 dias; proporcionalidade inversa.
10. 5 h; proporcionalidade inversa.
Gabarito — Regra de três composta
1. 4.000 peças.
2. 12 dias.
3. 3 viagens.
4. 12 trabalhadores.
5. 12.000 páginas.
6. 16 máquinas.
7. 20 dias.
8. 9 horas.
9. 5 máquinas.
10. Porque a classificação direta ou inversa depende da relação de cada grandeza com aquela que queremos determinar.
Gabarito da revisão e aprofundamento
1. a) \(2:3\); b) \(3:4\); c) \(3:4\).
2. \(2:3\); \(3:5\); \(2:5\).
3. 90 km/h.
4. Sim; \(k=5\).
5. Sim; \(k=48\).
6. 6, 18, 30, 48, 72.
7. 24, 16, 12, 8, 6.
8. \(y=7x\).
9. \(xy=90\) ou \(y=\frac{90}{x}\).
10. Direta: \(\frac{y}{x}=k\). Inversa: \(xy=k\).
11. R 210,00.
12. 750 peças.
13. 10 dias.
14. 4 h.
15. 48 L.
16. 3 h.
17. 45 m; \(k=1,5\).
18. 16 trabalhadores.
19. Porque existe taxa inicial fixa de R 10,00; a relação é \(y=4x+10\), não \(y=kx\).
20. Resposta pessoal, desde que as situações e sentenças estejam coerentes.
Para lembrar
Razão: \(a:b=\frac{a}{b}\).
Proporção: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\).
Propriedade fundamental: \(a\cdot d=b\cdot c\).
Direta: \(\frac{y}{x}=k\) e \(y=kx\).
Inversa: \(xy=k\) e \(y=\frac{k}{x}\).
Importante: não utilize regra de três automaticamente. Primeiro verifique se existe proporcionalidade e identifique se ela é direta ou inversa.