Plano cartesiano e transformações geométricas
Você já utilizou um mapa para localizar um lugar ou observou uma grade em que cada posição pode ser identificada por duas informações?
Na Matemática, podemos utilizar um sistema semelhante para localizar pontos e representar figuras. Esse sistema é chamado de plano cartesiano.
Nele, cada ponto possui uma posição determinada por duas coordenadas. Além de localizar pontos, podemos representar polígonos e estudar transformações geométricas, como reflexões, rotações e translações.
Habilidades da BNCC
EF07MA19: realizar transformações de polígonos representados no plano cartesiano, decorrentes da multiplicação das coordenadas de seus vértices por um número inteiro.
EF07MA20: reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simétrico de figuras em relação aos eixos e à origem, além de compreender transformações obtidas por reflexão, rotação e translação.
1. Conhecendo o plano cartesiano
O plano cartesiano é formado por duas retas numéricas perpendiculares, chamadas de eixos coordenados.
A reta horizontal é chamada de eixo das abscissas, ou simplesmente eixo \(x\). A reta vertical é chamada de eixo das ordenadas, ou eixo \(y\).
Os dois eixos se encontram em um ponto chamado origem, representado por:
Orientação dos eixos
No eixo \(x\), à direita da origem ficam os números positivos e à esquerda ficam os números negativos. No eixo \(y\), acima da origem ficam os números positivos e abaixo ficam os números negativos.
| Movimento | Coordenada |
|---|---|
| Direita | \(x\) positivo |
| Esquerda | \(x\) negativo |
| Para cima | \(y\) positivo |
| Para baixo | \(y\) negativo |
2. Os quadrantes
Os eixos \(x\) e \(y\) dividem o plano cartesiano em quatro regiões chamadas quadrantes. Eles são numerados no sentido anti-horário, começando pela região superior direita.
| Quadrante | Sinal de \(x\) | Sinal de \(y\) |
|---|---|---|
| I | \(+\) | \(+\) |
| II | \(-\) | \(+\) |
| III | \(-\) | \(-\) |
| IV | \(+\) | \(-\) |
Exemplo
\(A(3,2)\): as duas coordenadas são positivas. Portanto, \(A\) está no I quadrante.
\(B(-4,3)\): \(x\) é negativo e \(y\) é positivo. Portanto, \(B\) está no II quadrante.
\(C(-2,-3)\): as duas coordenadas são negativas. Portanto, \(C\) está no III quadrante.
\(D(4,-2)\): \(x\) é positivo e \(y\) é negativo. Portanto, \(D\) está no IV quadrante.
E os pontos que estão sobre os eixos?
Um ponto localizado sobre um dos eixos não pertence a nenhum quadrante.
\(E(4,0)\) está sobre o eixo \(x\), pois sua coordenada \(y\) é zero. Já \(F(0,-3)\) está sobre o eixo \(y\), pois sua coordenada \(x\) é zero. O ponto \(O(0,0)\) é a origem.
3. Pares ordenados
A posição de um ponto no plano cartesiano é indicada por um par ordenado:
A primeira coordenada indica a posição no eixo \(x\). A segunda coordenada indica a posição no eixo \(y\).
Por isso:
Como localizar um ponto
Vamos localizar \(A(3,2)\).
1º passo: partimos da origem e deslocamos 3 unidades para a direita no eixo \(x\).
2º passo: a partir dessa posição, deslocamos 2 unidades para cima, seguindo a direção do eixo \(y\).
Assim chegamos ao ponto \(A(3,2)\).
Exemplo com coordenadas negativas
Para localizar \(B(-4,-2)\), partimos da origem, deslocamos 4 unidades para a esquerda e depois 2 unidades para baixo.
4. Lendo coordenadas no plano cartesiano
Também podemos realizar o processo contrário: observar um ponto já marcado e descobrir suas coordenadas.
Suponha que um ponto \(P\) esteja localizado 5 unidades à esquerda da origem e 3 unidades acima dela.
No eixo \(x\), temos \(x=-5\). No eixo \(y\), temos \(y=3\).
Pratique — Plano cartesiano e pares ordenados
1. Em qual quadrante está cada ponto? a) \(A(4,3)\); b) \(B(-2,5)\); c) \(C(-3,-4)\); d) \(D(6,-2)\).
2. Indique se cada ponto está em um quadrante, sobre um eixo ou na origem: a) \(A(5,0)\); b) \(B(0,4)\); c) \(C(0,0)\); d) \(D(-3,-2)\).
3. Escreva um par ordenado que represente um ponto localizado no: a) I quadrante; b) II quadrante; c) III quadrante; d) IV quadrante.
4. Um ponto \(P\) está 4 unidades à direita da origem e 3 unidades acima dela. Quais são suas coordenadas?
5. Um ponto \(Q\) está 5 unidades à esquerda da origem e 2 unidades abaixo dela. Determine suas coordenadas.
6. Determine em qual quadrante está cada ponto: \(A(-7,3)\), \(B(2,-6)\), \(C(5,4)\), \(D(-3,-8)\).
7. Explique por que os pontos \(A(2,5)\) e \(B(5,2)\) não ocupam a mesma posição no plano cartesiano.
8. Qual coordenada deve ser igual a zero para que um ponto pertença ao eixo \(x\)? E para que pertença ao eixo \(y\)?
9. O ponto \(A(a,4)\) pertence ao eixo \(y\). Qual deve ser o valor de \(a\)?
10. Um estudante afirmou que o ponto \((-3,4)\) está no IV quadrante porque possui uma coordenada negativa. A afirmação está correta? Explique.
5. Representação de polígonos no plano cartesiano
Os pontos do plano cartesiano também podem ser usados como vértices de figuras geométricas. Quando representamos vários pontos e os ligamos em determinada ordem, podemos formar polígonos.
Construindo um polígono a partir de seus vértices
Considere:
Localizamos os pontos e os ligamos na ordem:
A figura formada é um retângulo.
| Vértice | Coordenadas |
|---|---|
| \(A\) | \((1,1)\) |
| \(B\) | \((5,1)\) |
| \(C\) | \((5,4)\) |
| \(D\) | \((1,4)\) |
Construindo um triângulo
Considere \(A(-4,-1)\), \(B(2,-1)\) e \(C(-1,4)\). Localizamos os três pontos e fazemos:
Assim obtemos um triângulo. Os vértices podem estar em quadrantes diferentes sem impedir a formação do polígono.
Descobrindo as coordenadas dos vértices
Também podemos observar uma figura já representada no plano e identificar as coordenadas de seus vértices. Para isso, observamos primeiro a posição horizontal \(x\) e depois a posição vertical \(y\).
6. Multiplicação das coordenadas por um número inteiro
Vamos observar o que acontece com um polígono quando multiplicamos as coordenadas de todos os seus vértices por um mesmo número inteiro.
Considere o triângulo:
Vamos multiplicar todas as coordenadas por \(2\):
| Vértice original | Multiplicação | Novo vértice |
|---|---|---|
| \(A(1,1)\) | \((1\cdot2,1\cdot2)\) | \(A'(2,2)\) |
| \(B(3,1)\) | \((3\cdot2,1\cdot2)\) | \(B'(6,2)\) |
| \(C(2,3)\) | \((2\cdot2,3\cdot2)\) | \(C'(4,6)\) |
O símbolo \(A'\), lido como “A linha”, diferencia o ponto transformado do ponto original \(A\).
O que aconteceu com a figura?
Na figura original, a distância horizontal entre \(A(1,1)\) e \(B(3,1)\) é:
Na figura transformada, entre \(A'(2,2)\) e \(B'(6,2)\), temos:
A medida ficou duas vezes maior. Isso acontece porque todas as coordenadas foram multiplicadas por \(2\). A figura mantém sua forma, mas suas medidas ficam multiplicadas pelo mesmo fator.
E se multiplicarmos por um número inteiro negativo?
Considere \(P(2,1)\). Multiplicando as duas coordenadas por \(-2\):
O valor absoluto das coordenadas é multiplicado por \(2\) e seus sinais são trocados. O ponto transformado aparece do lado oposto da origem e mais afastado dela.
Se multiplicarmos por \(-1\) os vértices \(A(1,1)\), \(B(3,1)\) e \(C(2,3)\), teremos:
Nesse caso:
Mais adiante veremos que essa transformação está diretamente relacionada à simetria em relação à origem.
E se multiplicarmos por zero?
Se todas as coordenadas forem multiplicadas por zero, todos os vértices passam para \((0,0)\). Assim, todos coincidem na origem.
Comparando diferentes multiplicadores
De modo geral:
| Valor de \(k\) | O que acontece |
|---|---|
| \(k>1\) | A figura aumenta e se afasta da origem. |
| \(k=1\) | A figura permanece igual. |
| \(k=0\) | Todos os vértices vão para a origem. |
| \(k=-1\) | A figura aparece em posição simétrica em relação à origem. |
| \(k<-1\) | A figura passa para o lado oposto da origem e suas medidas aumentam pelo fator \(|k|\). |
Atenção: ao multiplicar as coordenadas, precisamos multiplicar as duas coordenadas de cada vértice.
Por exemplo, se \(A(-2,3)\) tiver suas coordenadas multiplicadas por \(4\):
Pratique — Polígonos e multiplicação das coordenadas
1. Represente \(A(1,1)\), \(B(5,1)\), \(C(3,4)\) e ligue-os na ordem \(A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A\). Qual polígono foi formado?
2. Um quadrilátero possui vértices \(A(-3,2)\), \(B(2,2)\), \(C(2,-2)\), \(D(-3,-2)\). Indique em qual quadrante está cada vértice.
3. O triângulo possui vértices \(A(1,2)\), \(B(3,2)\), \(C(2,4)\). Multiplique todas as coordenadas por \(2\) e determine \(A'\), \(B'\) e \(C'\).
4. Multiplique por \(3\): a) \(A(2,-1)\); b) \(B(-3,2)\); c) \(C(-1,-4)\).
5. Um quadrado possui vértices \(A(1,1)\), \(B(3,1)\), \(C(3,3)\), \(D(1,3)\). Determine as coordenadas após multiplicar todas elas por \(-1\).
6. O ponto \(P(-2,4)\) teve suas coordenadas multiplicadas por \(-3\). Determine \(P'\).
7. Um estudante multiplicou \(A(-2,3)\) por \(2\) e escreveu \(A'(-4,3)\). O resultado está correto? Explique e apresente as coordenadas corretas.
8. Um triângulo possui vértices \(A(2,1)\), \(B(4,1)\), \(C(3,3)\). O que acontecerá com seus três vértices se todas as coordenadas forem multiplicadas por zero?
9. Uma figura foi transformada segundo \((x,y)\rightarrow(3x,3y)\). O ponto \(P(-2,5)\) pertence à figura original. Determine \(P'\).
10. Um polígono foi transformado segundo \((x,y)\rightarrow(-2x,-2y)\). Explique duas mudanças que podem ser observadas comparando a figura original com a transformada.
7. Simetria no plano cartesiano
Quando observamos algumas figuras, percebemos que uma parte pode corresponder à outra como se estivesse refletida em um espelho. Essa ideia está relacionada à simetria.
No plano cartesiano, podemos obter a imagem simétrica de um ponto ou de uma figura em relação ao eixo \(x\), ao eixo \(y\) ou à origem.
Simetria em relação ao eixo \(x\)
Considere \(A(3,2)\). Seu simétrico em relação ao eixo \(x\) fica à mesma distância do eixo, mas do lado oposto:
A coordenada \(x\) permanece igual e \(y\) troca de sinal:
Isso ocorre porque a posição horizontal não muda. O que muda é a posição vertical: o que estava acima passa para baixo e o que estava abaixo passa para cima.
8. Simetria em relação ao eixo \(y\)
Considere novamente \(A(3,2)\). Refletindo-o em relação ao eixo \(y\):
A coordenada \(x\) troca de sinal e \(y\) permanece igual:
A altura do ponto não muda. O que muda é sua posição horizontal: direita e esquerda são trocadas.
9. Simetria em relação à origem
Considere \(A(3,2)\). Seu simétrico em relação à origem estará do lado oposto, mantendo a mesma distância da origem:
As duas coordenadas trocam de sinal:
Comparando as três simetrias
| Simetria em relação a | Transformação |
|---|---|
| Eixo \(x\) | \((x,y)\rightarrow(x,-y)\) |
| Eixo \(y\) | \((x,y)\rightarrow(-x,y)\) |
| Origem | \((x,y)\rightarrow(-x,-y)\) |
10. Simetria de polígonos
As mesmas regras utilizadas para os pontos podem ser aplicadas aos vértices de um polígono.
Considere \(A(1,1)\), \(B(4,1)\), \(C(2,3)\). Refletindo em relação ao eixo \(y\):
O eixo \(y\) funciona como uma linha de espelho. Cada vértice e seu correspondente ficam à mesma distância do eixo, porém em lados opostos.
Reflexão em relação ao eixo \(x\)
Para \(P(-3,1)\), \(Q(1,1)\), \(R(-1,4)\):
Reflexão em relação à origem
Para \(A(1,2)\), \(B(4,2)\), \(C(2,5)\):
Observe que multiplicar todas as coordenadas por \(-1\) produz a simetria em relação à origem.
E se o ponto estiver sobre o eixo de reflexão?
Considere \(A(4,0)\), que está sobre o eixo \(x\). Ao refletir em relação ao próprio eixo \(x\):
O ponto permanece na mesma posição porque sua distância até o eixo de reflexão é zero.
Pratique — Simetria e reflexão
1. Determine o simétrico em relação ao eixo \(x\): a) \(A(3,5)\); b) \(B(-4,2)\); c) \(C(2,-6)\); d) \(D(-5,-3)\).
2. Determine o simétrico em relação ao eixo \(y\): a) \(A(4,3)\); b) \(B(-2,6)\); c) \(C(5,-4)\); d) \(D(-7,-2)\).
3. Determine o simétrico em relação à origem: a) \(P(3,4)\); b) \(Q(-5,2)\); c) \(R(-2,-6)\); d) \(S(7,-3)\).
4. O ponto \(A(-4,5)\) foi refletido em relação ao eixo \(x\). Um estudante afirmou que sua imagem é \(A'(4,5)\). Ele está correto? Explique e determine as coordenadas corretas.
5. Um triângulo possui vértices \(A(1,1)\), \(B(5,1)\), \(C(3,4)\). Determine os vértices após uma reflexão em relação ao eixo \(y\).
6. Um quadrilátero possui vértices \(P(-4,2)\), \(Q(-1,2)\), \(R(-1,5)\), \(S(-4,5)\). Determine a imagem refletida em relação ao eixo \(x\).
7. O ponto \(P(6,-3)\) passou a \(P'(-6,-3)\). Em relação a qual eixo ocorreu a reflexão? Justifique.
8. O ponto \(M(-2,5)\) passou a \(M'(2,-5)\). A transformação corresponde à simetria em relação ao eixo \(x\), ao eixo \(y\) ou à origem?
9. Um ponto \(A(5,0)\) é refletido em relação ao eixo \(x\). Quais serão as coordenadas de \(A'\)? Explique por que não muda de posição.
10. Um triângulo possui vértices \(A(-1,2)\), \(B(-4,2)\), \(C(-2,5)\). Determine sua imagem simétrica em relação à origem.
11. Translação
A translação é uma transformação geométrica em que todos os pontos de uma figura são deslocados na mesma direção e pela mesma distância.
A figura desliza pelo plano sem girar e sem ser refletida. Sua forma, seu tamanho e sua orientação são preservados; apenas sua posição muda.
Deslocamento horizontal
Considere \(A(2,3)\). Deslocando 4 unidades para a direita:
A coordenada \(x\) aumenta 4 unidades e \(y\) permanece igual.
Deslocamento vertical
Considere \(B(-2,1)\). Deslocando 3 unidades para cima:
Deslocamento horizontal e vertical
Considere \(P(-1,2)\). Vamos deslocá-lo 5 unidades para a direita e 3 unidades para baixo:
12. Translação de polígonos
Quando transladamos um polígono, aplicamos o mesmo deslocamento a todos os seus vértices.
Considere \(A(1,1)\), \(B(4,1)\), \(C(2,3)\). Vamos deslocar o triângulo 3 unidades para a direita e 2 para cima:
| Vértice original | Cálculo | Vértice transladado |
|---|---|---|
| \(A(1,1)\) | \((1+3,1+2)\) | \(A'(4,3)\) |
| \(B(4,1)\) | \((4+3,1+2)\) | \(B'(7,3)\) |
| \(C(2,3)\) | \((2+3,3+2)\) | \(C'(5,5)\) |
Descobrindo uma translação pelas coordenadas
Considere:
Na coordenada \(x\): \(2-(-3)=5\), então houve deslocamento de 5 unidades para a direita. Na coordenada \(y\): \(6-2=4\), então houve deslocamento de 4 unidades para cima.
13. Rotação
A rotação é uma transformação geométrica em que uma figura realiza um giro em torno de um ponto fixo, chamado centro de rotação.
Para descrever uma rotação, precisamos observar o centro, o ângulo e o sentido do giro. O giro pode ocorrer no sentido horário ou anti-horário.
Rotação de \(90^\circ\) no sentido anti-horário
Considere \(A(3,1)\). Após um giro de \(90^\circ\) no sentido anti-horário em torno da origem:
Para \(P(-2,4)\):
O antigo \(y=4\) passa para a primeira coordenada com sinal contrário, e o antigo \(x=-2\) passa para a segunda coordenada.
Rotação de \(90^\circ\) no sentido horário
Para \(A(3,1)\):
Rotação de \(180^\circ\)
Considere \(A(3,2)\). Após uma rotação de \(180^\circ\) em torno da origem:
Essa é a mesma regra da simetria em relação à origem. Assim, uma rotação de \(180^\circ\) em torno da origem leva cada ponto à mesma posição obtida por sua simetria em relação à origem.
14. Rotação de polígonos
As regras de rotação podem ser aplicadas a todos os vértices de um polígono.
Considere \(A(1,1)\), \(B(4,1)\), \(C(2,3)\). Vamos realizar uma rotação de \(90^\circ\) no sentido anti-horário em torno da origem:
| Vértice original | Aplicação da regra | Vértice após a rotação |
|---|---|---|
| \(A(1,1)\) | \((-1,1)\) | \(A'(-1,1)\) |
| \(B(4,1)\) | \((-1,4)\) | \(B'(-1,4)\) |
| \(C(2,3)\) | \((-3,2)\) | \(C'(-3,2)\) |
Comparando reflexão, translação e rotação
| Transformação | O que acontece |
|---|---|
| Reflexão | A figura é refletida em relação a uma reta. |
| Translação | A figura é deslocada sem girar e sem ser refletida. |
| Rotação | A figura gira em torno de um ponto. |
Nas três transformações, as medidas dos lados e dos ângulos são preservadas. Portanto, a figura transformada mantém a mesma forma e o mesmo tamanho da figura original.
Pratique — Translação e rotação
1. O ponto \(A(2,3)\) é transladado 5 unidades para a direita. Determine \(A'\).
2. O ponto \(B(-4,2)\) é transladado 3 unidades para a esquerda e 5 unidades para cima. Determine suas novas coordenadas.
3. A transformação é \((x,y)\rightarrow(x+4,y-2)\). Determine a imagem de: a) \(A(1,3)\); b) \(B(-2,5)\); c) \(C(-5,-1)\).
4. O ponto \(P(-3,2)\) foi transformado em \(P'(2,-4)\) por uma translação. Determine o deslocamento horizontal e vertical.
5. Um triângulo possui \(A(1,1)\), \(B(3,1)\), \(C(2,4)\). Translade-o 4 unidades para a esquerda e 2 para cima.
6. Determine a imagem de \(A(4,2)\) após uma rotação de \(90^\circ\) no sentido anti-horário em torno da origem.
7. Determine a imagem de \(B(-3,5)\) após uma rotação de \(90^\circ\) no sentido horário em torno da origem.
8. O ponto \(C(-4,-2)\) sofre uma rotação de \(180^\circ\) em torno da origem. Determine \(C'\).
9. Um triângulo possui \(A(1,2)\), \(B(4,2)\), \(C(2,5)\). Determine os vértices após uma rotação de \(90^\circ\) no sentido anti-horário.
10. Um estudante afirmou que reflexão, translação e rotação sempre alteram o tamanho da figura. A afirmação está correta? Explique.
15. Revisão e aprofundamento
Revisão e aprofundamento
1. Determine o quadrante: a) \(A(5,3)\); b) \(B(-4,6)\); c) \(C(-2,-7)\); d) \(D(8,-3)\).
2. Observe \(P(4,0)\), \(Q(0,-5)\), \(R(0,0)\). Indique a posição de cada um no plano.
3. Um triângulo possui \(A(-2,1)\), \(B(3,1)\), \(C(1,4)\). Multiplique todas as coordenadas por \(2\).
4. Para \(P(-3,5)\), determine sua imagem: a) em relação ao eixo \(x\); b) em relação ao eixo \(y\); c) em relação à origem.
5. Complete: a) eixo \(x\): \((x,y)\rightarrow(\_\_,\_\_)\); b) eixo \(y\): \((x,y)\rightarrow(\_\_,\_\_)\); c) origem: \((x,y)\rightarrow(\_\_,\_\_)\).
6. O ponto \(A(-2,4)\) sofre a translação \((x,y)\rightarrow(x+5,y-3)\). Determine \(A'\).
7. Determine a imagem de \(P(3,5)\) após uma rotação de \(90^\circ\) no sentido anti-horário.
8. Determine a imagem de \(Q(-4,2)\) após uma rotação de \(90^\circ\) no sentido horário.
9. Determine a imagem de \(R(-3,-6)\) após uma rotação de \(180^\circ\).
10. Identifique a transformação: a) \((x,y)\rightarrow(x,-y)\); b) \((x,y)\rightarrow(x+4,y+2)\); c) \((x,y)\rightarrow(-y,x)\); d) \((x,y)\rightarrow(-x,-y)\).
11. Em um jogo digital, um personagem está em \(P(-2,3)\) e se desloca 6 unidades para a direita e 4 para baixo. Determine a nova posição.
12. Em um mapa, uma praça está em \(P(3,4)\). Outro local será construído na posição simétrica em relação ao eixo \(y\). Quais serão suas coordenadas?
13. Um desenho possui um vértice \(A(-5,2)\). Ao refletir em relação ao eixo \(x\), quais serão as coordenadas de \(A'\)? Explique qual coordenada mudou e por quê.
14. Um programa aplica \((x,y)\rightarrow(2x,2y)\). Para \(P(-3,2)\): a) determine \(P'\); b) explique o que ocorre com as medidas da figura.
15. Um triângulo possui \(A(1,1)\), \(B(4,1)\), \(C(2,3)\). Ele é transladado 5 unidades para a esquerda e 3 para cima. Determine os novos vértices.
16. Em uma animação, \(P(4,1)\) realiza um giro de \(90^\circ\) no sentido anti-horário em torno da origem. a) Determine a nova posição; b) indique a regra utilizada.
17. Um quadrilátero possui \(A(2,1)\), \(B(5,1)\), \(C(5,3)\), \(D(2,3)\). Reflita-o em relação ao eixo \(y\).
18. \(P(-3,4)\) passa para \(P'(3,-4)\). Um estudante afirmou que ocorreu reflexão em relação ao eixo \(x\). Está correto? Identifique a transformação e justifique.
19. Um triângulo possui \(A(1,2)\), \(B(3,2)\), \(C(2,5)\). Todas as coordenadas são multiplicadas por \(-2\). a) Determine os novos vértices; b) o que ocorre com o tamanho? c) o que ocorre com a posição em relação à origem?
20. Uma figura mantém forma e medidas, muda de posição, não gira e não é refletida. Qual transformação foi realizada? Explique.
Gabaritos
Gabarito — Plano cartesiano e pares ordenados
1. a) I; b) II; c) III; d) IV.
2. a) eixo \(x\); b) eixo \(y\); c) origem; d) III quadrante.
3. Respostas possíveis: a) \((2,3)\); b) \((-2,3)\); c) \((-2,-3)\); d) \((2,-3)\).
4. \(P(4,3)\).
5. \(Q(-5,-2)\).
6. \(A\): II; \(B\): IV; \(C\): I; \(D\): III.
7. A ordem das coordenadas é importante: em \((2,5)\), \(x=2\) e \(y=5\); em \((5,2)\), \(x=5\) e \(y=2\).
8. Para o eixo \(x\), \(y=0\). Para o eixo \(y\), \(x=0\).
9. \(a=0\).
10. Não. \((-3,4)\) está no II quadrante.
Gabarito — Polígonos e multiplicação das coordenadas
1. Triângulo.
2. \(A\): II; \(B\): I; \(C\): IV; \(D\): III.
3. \(A'(2,4)\), \(B'(6,4)\), \(C'(4,8)\).
4. a) \(A'(6,-3)\); b) \(B'(-9,6)\); c) \(C'(-3,-12)\).
5. \(A'(-1,-1)\), \(B'(-3,-1)\), \(C'(-3,-3)\), \(D'(-1,-3)\).
6. \(P'(6,-12)\).
7. Não. O correto é \(A'(-4,6)\).
8. Todos os vértices passam para \((0,0)\).
9. \(P'(-6,15)\).
10. As medidas ficam duas vezes maiores e a figura passa para o lado oposto em relação à origem.
Gabarito — Simetria e reflexão
1. a) \(A'(3,-5)\); b) \(B'(-4,-2)\); c) \(C'(2,6)\); d) \(D'(-5,3)\).
2. a) \(A'(-4,3)\); b) \(B'(2,6)\); c) \(C'(-5,-4)\); d) \(D'(7,-2)\).
3. a) \(P'(-3,-4)\); b) \(Q'(5,-2)\); c) \(R'(2,6)\); d) \(S'(-7,3)\).
4. Não. \(A'(-4,-5)\).
5. \(A'(-1,1)\), \(B'(-5,1)\), \(C'(-3,4)\).
6. \(P'(-4,-2)\), \(Q'(-1,-2)\), \(R'(-1,-5)\), \(S'(-4,-5)\).
7. Reflexão em relação ao eixo \(y\).
8. Simetria em relação à origem.
9. \(A'(5,0)\); o ponto está sobre o eixo de reflexão.
10. \(A'(1,-2)\), \(B'(4,-2)\), \(C'(2,-5)\).
Gabarito — Translação e rotação
1. \(A'(7,3)\).
2. \(B'(-7,7)\).
3. a) \(A'(5,1)\); b) \(B'(2,3)\); c) \(C'(-1,-3)\).
4. 5 unidades para a direita e 6 para baixo.
5. \(A'(-3,3)\), \(B'(-1,3)\), \(C'(-2,6)\).
6. \(A'(-2,4)\).
7. \(B'(5,3)\).
8. \(C'(4,2)\).
9. \(A'(-2,1)\), \(B'(-2,4)\), \(C'(-5,2)\).
10. Não. Reflexão, translação e rotação preservam forma e medidas.
Gabarito — Revisão e aprofundamento
1. a) I; b) II; c) III; d) IV.
2. \(P\) está no eixo \(x\), \(Q\) no eixo \(y\), \(R\) é a origem.
3. \(A'(-4,2)\), \(B'(6,2)\), \(C'(2,8)\).
4. a) \((-3,-5)\); b) \((3,5)\); c) \((3,-5)\).
5. a) \((x,-y)\); b) \((-x,y)\); c) \((-x,-y)\).
6. \(A'(3,1)\).
7. \(P'(-5,3)\).
8. \(Q'(2,4)\).
9. \(R'(3,6)\).
10. a) reflexão no eixo \(x\); b) translação 4 à direita e 2 para cima; c) rotação de \(90^\circ\) anti-horária; d) simetria em relação à origem ou rotação de \(180^\circ\).
11. \(P'(4,-1)\).
12. \(P'(-3,4)\).
13. \(A'(-5,-2)\). \(x\) permanece igual e \(y\) troca de sinal.
14. a) \(P'(-6,4)\); b) as medidas ficam duas vezes maiores.
15. \(A'(-4,4)\), \(B'(-1,4)\), \(C'(-3,6)\).
16. a) \(P'(-1,4)\); b) \((x,y)\rightarrow(-y,x)\).
17. \(A'(-2,1)\), \(B'(-5,1)\), \(C'(-5,3)\), \(D'(-2,3)\).
18. Não. Ocorreu simetria em relação à origem, equivalente à rotação de \(180^\circ\).
19. a) \(A'(-2,-4)\), \(B'(-6,-4)\), \(C'(-4,-10)\); b) as medidas ficam duas vezes maiores; c) a figura passa para a posição correspondente do lado oposto em relação à origem.
20. Translação.
Para lembrar
- Um ponto do plano cartesiano é representado por um par ordenado \((x,y)\).
- A primeira coordenada corresponde ao eixo \(x\) e a segunda ao eixo \(y\).
- Os vértices de um polígono podem ser representados por pares ordenados.
- Ao multiplicar as coordenadas por um inteiro \(k\), aplicamos \((x,y)\rightarrow(kx,ky)\).
- Na reflexão em relação ao eixo \(x\), somente \(y\) troca de sinal.
- Na reflexão em relação ao eixo \(y\), somente \(x\) troca de sinal.
- Na simetria em relação à origem, as duas coordenadas trocam de sinal.
- Na translação, todos os pontos recebem o mesmo deslocamento.
- Na rotação, a figura gira em torno de um ponto determinado.
- Reflexões, rotações e translações preservam a forma e o tamanho da figura.