Triângulos, congruência e propriedades dos quadriláteros
Os triângulos estão entre as figuras mais importantes da Geometria. Por meio deles, podemos justificar propriedades de outras figuras, como os quadriláteros.
Nesta postagem, vamos retomar elementos e classificações dos triângulos, estudar os principais casos de congruência e usar a congruência de triângulos para compreender e demonstrar propriedades de paralelogramos, retângulos, losangos, quadrados e trapézios.
Habilidade da BNCC
EF08MA14: demonstrar propriedades de quadriláteros por meio da identificação da congruência de triângulos.
1. Retomando os triângulos
Um triângulo é um polígono de três lados, três vértices e três ângulos internos.
Classificação quanto aos lados
| Tipo | Característica |
|---|---|
| Equilátero | Três lados congruentes |
| Isósceles | Dois lados congruentes |
| Escaleno | Três lados com medidas diferentes |
Classificação quanto aos ângulos
| Tipo | Característica |
|---|---|
| Acutângulo | Três ângulos agudos |
| Retângulo | Um ângulo reto |
| Obtusângulo | Um ângulo obtuso |
Lembre-se: a soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo é \(180^\circ\).
2. Figuras congruentes
Duas figuras são congruentes quando possuem a mesma forma e o mesmo tamanho. Elas podem estar em posições diferentes, mas, se uma puder ser sobreposta exatamente à outra, são congruentes.
Para triângulos, isso significa que os lados correspondentes possuem medidas iguais e os ângulos correspondentes também possuem medidas iguais.
A ordem das letras é importante: ela indica as correspondências \(A\leftrightarrow D\), \(B\leftrightarrow E\) e \(C\leftrightarrow F\).
3. Casos de congruência de triângulos
Não precisamos comparar todos os lados e todos os ângulos para concluir que dois triângulos são congruentes. Existem condições suficientes, chamadas casos de congruência.
LLL — Lado, Lado, Lado
Se os três lados de um triângulo são congruentes aos três lados correspondentes de outro triângulo, os triângulos são congruentes.
LLL
Exemplo resolvido 1. Um triângulo possui lados 5 cm, 7 cm e 8 cm. Outro possui lados 8 cm, 5 cm e 7 cm. Podemos afirmar que são congruentes?
Sim. Os três lados de um correspondem aos três lados do outro.
Resposta: são congruentes pelo caso LLL.
LAL — Lado, Ângulo, Lado
Se dois lados e o ângulo compreendido entre eles são congruentes aos correspondentes de outro triângulo, os triângulos são congruentes.
LAL
Exemplo resolvido 2. Em dois triângulos, temos dois lados medindo 6 cm e 9 cm e, entre eles, um ângulo de \(50^\circ\). O que podemos concluir?
Resposta: os triângulos são congruentes pelo caso LAL.
ALA — Ângulo, Lado, Ângulo
Se dois ângulos e o lado compreendido entre eles são congruentes aos correspondentes de outro triângulo, os triângulos são congruentes.
ALA
Exemplo resolvido 3. Dois triângulos possuem um lado de 8 cm entre ângulos de \(40^\circ\) e \(65^\circ\). O que podemos concluir?
Resposta: os triângulos são congruentes pelo caso ALA.
LAAo — Lado, Ângulo, Ângulo oposto
Outro caso ocorre quando temos um lado, um ângulo adjacente a esse lado e o ângulo oposto ao lado, correspondentes e congruentes.
LAAo
Cuidado: apenas saber que dois triângulos têm os mesmos três ângulos não garante congruência. Eles podem ter a mesma forma, mas tamanhos diferentes.
▶Pratique 1 — Congruência de triângulos
1. Dois triângulos possuem lados 4 cm, 6 cm e 9 cm. Eles são congruentes? Indique o caso.
2. Em dois triângulos, dois lados correspondentes medem 5 cm e 8 cm e o ângulo entre eles mede 60°. Qual caso pode ser usado?
3. Dois triângulos têm um lado de 7 cm entre ângulos de 45° e 70°. Qual caso pode ser usado?
4. Explique por que AAA não é um caso de congruência.
5. Escreva o significado das siglas LLL, LAL e ALA.
6. Duas peças triangulares têm lados 12 cm, 15 cm e 18 cm. Podemos garantir que têm a mesma forma e o mesmo tamanho? Justifique.
7. Dois suportes triangulares têm dois lados iguais e o ângulo entre esses lados também igual. Qual caso garante a congruência?
8. Se \(\triangle ABC\cong\triangle DEF\), a quais vértices correspondem A, B e C?
9. Se \(\triangle PQR\cong\triangle XYZ\) e \(PQ=10\) cm, determine \(XY\).
10. Se dois triângulos congruentes possuem um ângulo correspondente de 82°, qual é a medida do outro ângulo correspondente?
4. Congruência como ferramenta de demonstração
Quando mostramos que dois triângulos são congruentes, podemos concluir que seus lados e ângulos correspondentes também são congruentes. Essa ideia é muito útil para justificar propriedades dos quadriláteros.
5. Quadriláteros e suas classificações
Quadriláteros são polígonos de quatro lados. A soma de seus ângulos internos é:
| Quadrilátero | Característica principal |
|---|---|
| Paralelogramo | Dois pares de lados opostos paralelos |
| Retângulo | Paralelogramo com quatro ângulos retos |
| Losango | Paralelogramo com quatro lados congruentes |
| Quadrado | Paralelogramo com quatro lados congruentes e quatro ângulos retos |
| Trapézio | Apenas um par de lados paralelos |
Relação entre as figuras: todo quadrado é também retângulo e losango. Nem todo retângulo é quadrado e nem todo losango é quadrado.
6. Propriedades dos paralelogramos
- os ângulos opostos são congruentes;
- os lados opostos são congruentes;
- as diagonais cortam-se ao meio.
Demonstração: lados opostos congruentes
Ao traçar a diagonal \(AC\), obtemos os triângulos \(ABC\) e \(CDA\). Como \(AB\parallel CD\) e \(BC\parallel AD\), aparecem dois pares de ângulos alternos internos congruentes. Além disso, \(AC\) é lado comum.
pelo caso ALA. Portanto:
Exemplo resolvido 4. Em um paralelogramo, \(AB=12\) cm e \(BC=7\) cm. Determine \(CD\) e \(AD\).
Demonstração: as diagonais cortam-se ao meio
Se as diagonais \(AC\) e \(BD\) se encontram em \(M\), a congruência dos triângulos formados permite concluir:
Logo, \(M\) é ponto médio das duas diagonais.
7. Retângulo, losango e quadrado
Retângulo
Todo retângulo possui as propriedades dos paralelogramos. Além disso, suas diagonais são congruentes.
Losango
No losango, os quatro lados são congruentes. Suas diagonais são perpendiculares e cada diagonal divide ao meio um par de ângulos opostos.
Quadrado
O quadrado reúne propriedades do retângulo e do losango: quatro lados congruentes, quatro ângulos retos, diagonais congruentes, diagonais perpendiculares e diagonais que se cortam ao meio.
▶Pratique 2 — Paralelogramos, retângulos, losangos e quadrados
1. Em um paralelogramo, um lado mede 9 cm. Quanto mede o lado oposto?
2. As diagonais de um paralelogramo se cruzam em M. Se \(AM=6\) cm, determine \(CM\).
3. Em um retângulo, uma diagonal mede 13 cm. Quanto mede a outra?
4. Quais propriedades um quadrado herda do retângulo?
5. Quais propriedades um quadrado herda do losango?
6. Uma moldura tem forma de paralelogramo. Dois lados consecutivos medem 18 cm e 11 cm. Determine seu perímetro.
7. Uma peça retangular possui uma diagonal de 25 cm. Qual é a medida da outra diagonal?
8. Em um losango, qual é o ângulo formado entre as diagonais?
9. Explique por que todo quadrado é um paralelogramo.
10. Explique como a congruência pode justificar que lados opostos de um paralelogramo são congruentes.
8. Trapézios
Trapézios são quadriláteros que possuem apenas um par de lados paralelos. Esses lados paralelos são chamados de bases.
| Tipo | Característica |
|---|---|
| Trapézio isósceles | Lados não paralelos congruentes |
| Trapézio retângulo | Possui dois ângulos retos |
| Trapézio escaleno | Lados não paralelos com medidas diferentes |
Em um trapézio isósceles, os ângulos adjacentes à mesma base são congruentes.
Exemplo resolvido 5. Em um trapézio isósceles, um dos ângulos da base maior mede \(68^\circ\). Quanto mede o outro ângulo da mesma base?
Resposta: \(68^\circ\).
9. Usando propriedades para resolver problemas
Exemplo resolvido 6. Em um paralelogramo, dois ângulos opostos medem \(3x+10^\circ\) e \(5x-30^\circ\). Determine \(x\).
Exemplo resolvido 7. Em um paralelogramo, dois ângulos consecutivos medem \(x+20^\circ\) e \(2x+10^\circ\). Determine \(x\).
▶Pratique 3 — Propriedades dos quadriláteros
1. Em um paralelogramo, um ângulo mede 72°. Quanto mede o ângulo oposto?
2. Em um paralelogramo, um ângulo mede 110°. Quanto mede um ângulo consecutivo?
3. Em um paralelogramo, lados opostos medem \(3x+2\) e \(5x-12\). Determine \(x\).
4. As diagonais de um paralelogramo se cruzam em M. Se \(BM=9\) cm, determine \(DM\).
5. Um trapézio isósceles possui um ângulo da base igual a 65°. Determine o outro ângulo da mesma base.
6. Uma janela tem formato de retângulo e uma diagonal de 80 cm. Quanto mede a outra diagonal?
7. Um losango tem diagonais que se cruzam. Qual é o ângulo formado entre elas?
8. Uma placa quadrada possui diagonal de 20 cm. O que podemos afirmar sobre a outra diagonal?
9. Explique por que o quadrado pode ser considerado simultaneamente retângulo e losango.
10. Um quadrilátero tem dois pares de lados opostos paralelos. Como ele é classificado?
▶Revisão e aprofundamento — 20 questões
1. Defina triângulos congruentes.
2. Escreva o significado de LLL.
3. Escreva o significado de LAL.
4. Escreva o significado de ALA.
5. Explique por que AAA não garante congruência.
6. Se \(\triangle ABC\cong\triangle DEF\) e \(AB=9\) cm, determine \(DE\).
7. Qual é a soma dos ângulos internos de um quadrilátero?
8. Cite três propriedades dos paralelogramos.
9. Cite uma propriedade do retângulo relacionada às diagonais.
10. Cite uma propriedade do losango relacionada às diagonais.
11. Em um paralelogramo, \(AB=16\) cm e \(BC=10\) cm. Determine \(CD\) e \(AD\).
12. As diagonais se cruzam em M. Se \(AM=7,5\) cm, determine \(CM\).
13. Um retângulo tem diagonal de 18 cm. Determine a outra diagonal.
14. Em um paralelogramo, um ângulo mede 125°. Determine o ângulo oposto e um consecutivo.
15. Em um paralelogramo, ângulos opostos medem \(4x+6^\circ\) e \(6x-28^\circ\). Determine \(x\).
16. Um trapézio isósceles possui um ângulo da base de 74°. Quanto mede o outro ângulo da mesma base?
17. Explique por que todo quadrado é um paralelogramo.
18. Explique como a diagonal de um paralelogramo permite utilizar congruência em uma demonstração.
19. Dois triângulos têm lados correspondentes 6 m, 8 m e 10 m. Qual caso garante que são congruentes?
20. Um estudante afirma: “Todo losango é quadrado”. Explique por que a afirmação não é verdadeira.
▶Gabarito do Pratique 1
1. Sim, pelo caso LLL.
2. LAL.
3. ALA.
4. Porque os mesmos ângulos podem ocorrer em triângulos de tamanhos diferentes.
5. LLL: lado-lado-lado; LAL: lado-ângulo-lado; ALA: ângulo-lado-ângulo.
6. Sim, pelo caso LLL.
7. LAL.
8. A↔D, B↔E, C↔F.
9. 10 cm.
10. 82°.
▶Gabarito do Pratique 2
1. 9 cm.
2. 6 cm.
3. 13 cm.
4. Quatro ângulos retos e diagonais congruentes, além das propriedades dos paralelogramos.
5. Quatro lados congruentes e diagonais perpendiculares.
6. 58 cm.
7. 25 cm.
8. 90°.
9. Porque possui dois pares de lados opostos paralelos.
10. Traçando uma diagonal, usamos dois pares de ângulos alternos internos e o lado comum para aplicar ALA.
▶Gabarito do Pratique 3
1. 72°.
2. 70°.
3. \(x=7\).
4. 9 cm.
5. 65°.
6. 80 cm.
7. 90°.
8. Também mede 20 cm.
9. Porque tem quatro ângulos retos e quatro lados congruentes.
10. Paralelogramo.
▶Gabarito da revisão e do aprofundamento
1. Triângulos com mesma forma e mesmo tamanho.
2. Lado-lado-lado.
3. Lado-ângulo-lado.
4. Ângulo-lado-ângulo.
5. Porque os mesmos ângulos podem ocorrer em triângulos de tamanhos diferentes.
6. 9 cm.
7. 360°.
8. Ângulos opostos congruentes; lados opostos congruentes; diagonais cortam-se ao meio.
9. As diagonais são congruentes.
10. As diagonais são perpendiculares.
11. CD=16 cm e AD=10 cm.
12. 7,5 cm.
13. 18 cm.
14. 125° e 55°.
15. \(x=17\).
16. 74°.
17. Porque possui dois pares de lados opostos paralelos.
18. A diagonal cria dois triângulos e permite usar relações de paralelismo e lado comum para aplicar congruência.
19. LLL.
20. Um losango não precisa ter quatro ângulos retos.
Para lembrar
Os casos de congruência permitem concluir que dois triângulos têm a mesma forma e o mesmo tamanho sem comparar todos os seus elementos.
A congruência de triângulos é uma ferramenta importante para justificar propriedades dos quadriláteros.
Nos paralelogramos, lados opostos são congruentes, ângulos opostos são congruentes e as diagonais cortam-se ao meio.