Áreas, círculo, volumes e capacidade
Nesta postagem, vamos ampliar o estudo das grandezas e medidas. Trabalharemos com áreas de figuras planas, área do círculo, volume de blocos retangulares e a relação entre volume e capacidade.
Mais importante do que memorizar fórmulas é compreender de onde elas surgem, identificar as medidas necessárias e escolher corretamente a unidade de medida.
Habilidades da BNCC
EF08MA19: resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cálculo de área de quadriláteros, triângulos e círculos, em situações como determinar medida de terrenos.
EF08MA20: reconhecer a relação entre um litro e um decímetro cúbico e a relação entre litro e metro cúbico, para resolver problemas de cálculo de capacidade de recipientes.
EF08MA21: resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo do volume de recipiente cujo formato é o de um bloco retangular.
1. Área e superfície
A área indica a medida de uma superfície. Por isso, utilizamos unidades quadradas, como \(\text{cm}^2\), \(\text{m}^2\) e \(\text{km}^2\).
Não confunda: perímetro mede o comprimento do contorno; área mede a superfície ocupada pela figura.
2. Área do retângulo e do quadrado
Em um retângulo de base \(b\) e altura \(h\), a área é:
No quadrado, todos os lados têm a mesma medida \(l\):
Exemplo resolvido 1. Uma sala retangular mede 6 m de comprimento e 4 m de largura. Qual é sua área?
Resposta: 24 m².
3. Área do paralelogramo
Um paralelogramo pode ser reorganizado, sem alterar sua área, formando um retângulo de mesma base e mesma altura. Assim:
A altura deve ser perpendicular à base. A medida do lado inclinado não substitui a altura.
Exemplo resolvido 2. Um paralelogramo tem base de 9 cm e altura de 5 cm.
Resposta: 45 cm².
4. Área do triângulo
Dois triângulos congruentes podem formar um paralelogramo. Por isso, a área do triângulo corresponde à metade do produto da base pela altura:
Exemplo resolvido 3. Um terreno triangular possui base de 18 m e altura de 12 m.
Resposta: 108 m².
5. Área do trapézio
No trapézio, chamamos de \(B\) a base maior, \(b\) a base menor e \(h\) a altura. Sua área é:
Exemplo resolvido 4. Um trapézio tem bases de 14 cm e 8 cm e altura de 6 cm.
Resposta: 66 cm².
6. Área do losango
As diagonais de um losango dividem a figura em quatro triângulos. Se \(D\) representa a diagonal maior e \(d\) a diagonal menor:
Exemplo resolvido 5. Um losango possui diagonais de 16 cm e 10 cm.
Resposta: 80 cm².
▶Pratique 1 — Áreas de figuras planas
1. Calcule a área de um retângulo de 12 cm por 7 cm.
2. Calcule a área de um quadrado de lado 9 cm.
3. Um paralelogramo possui base 15 cm e altura 8 cm. Determine sua área.
4. Um triângulo possui base 20 cm e altura 13 cm. Determine sua área.
5. Um losango possui diagonais de 18 cm e 12 cm. Determine sua área.
6. Uma parede retangular mede 5 m por 2,8 m. Quantos metros quadrados serão pintados?
7. Um terreno triangular possui base de 30 m e altura de 18 m. Qual é sua área?
8. Um jardim em forma de trapézio possui bases de 20 m e 12 m e altura de 9 m. Qual é sua área?
9. Uma praça quadrada possui lado de 25 m. Qual é a área ocupada pela praça?
10. Uma placa em forma de paralelogramo possui base de 1,5 m e altura de 0,8 m. Qual é sua área?
7. Circunferência e círculo
A circunferência é a linha fechada formada pelos pontos que estão à mesma distância de um ponto chamado centro. O círculo é a região interna limitada pela circunferência.
O segmento que liga o centro a um ponto da circunferência é o raio \(r\). O diâmetro \(d\) passa pelo centro e liga dois pontos da circunferência:
8. Área do círculo
A área do círculo depende do quadrado do raio:
Quando o problema não indicar outro valor, podemos utilizar \(\pi\approx3{,}14\).
Exemplo resolvido 6. Calcule a área de um círculo de raio 5 cm, considerando \(\pi=3{,}14\).
Resposta: 78,5 cm².
Exemplo resolvido 7. Uma praça circular possui diâmetro de 20 m. Qual é sua área, considerando \(\pi=3{,}14\)?
Primeiro encontramos o raio:
Agora calculamos a área:
Resposta: 314 m².
9. Figuras compostas
Algumas superfícies são formadas pela união ou retirada de figuras conhecidas. Nesses casos, podemos decompor a figura em partes, calcular separadamente suas áreas e depois somar ou subtrair os resultados.
Exemplo resolvido 8. Uma região é formada por um retângulo de 10 m por 6 m e por um semicírculo de raio 3 m ligado a um de seus lados. Qual é a área total, considerando \(\pi=3{,}14\)?
Área do retângulo:
Área do semicírculo:
Área total:
▶Pratique 2 — Círculo e cálculo de áreas
1. Calcule a área de um círculo de raio 4 cm, usando \(\pi=3{,}14\).
2. Calcule a área de um círculo de raio 10 cm, usando \(\pi=3{,}14\).
3. Um círculo tem diâmetro 18 cm. Determine seu raio.
4. Determine a área de um círculo de diâmetro 12 cm, usando \(\pi=3{,}14\).
5. Escreva a expressão usada para calcular a área de um círculo de raio \(r\).
6. Um jardim circular possui raio de 7 m. Qual é sua área, usando \(\pi=3{,}14\)?
7. Uma mesa circular possui diâmetro de 1,2 m. Qual é a área do tampo, usando \(\pi=3{,}14\)?
8. Uma região é formada por um retângulo de área 80 m² e um semicírculo de área 25 m². Qual é a área total?
9. Uma piscina circular tem raio de 5 m. Quantos metros quadrados de superfície ela ocupa, usando \(\pi=3{,}14\)?
10. Um canteiro circular tem área de 78,5 m². Considerando \(\pi=3{,}14\), determine seu raio.
10. Volume
O volume mede o espaço ocupado por um corpo. As unidades de volume são cúbicas, como \(\text{cm}^3\), \(\text{dm}^3\) e \(\text{m}^3\).
Um cubo de aresta 1 cm ocupa um volume de \(1\text{ cm}^3\).
11. Volume do bloco retangular
Para um bloco retangular de comprimento \(c\), largura \(l\) e altura \(h\):
Exemplo resolvido 9. Uma caixa mede 40 cm de comprimento, 30 cm de largura e 20 cm de altura. Qual é seu volume?
Resposta: 24 000 cm³.
12. Capacidade e sua relação com o volume
A capacidade indica quanto um recipiente pode conter. Uma relação fundamental é:
Como \(1\text{ m}=10\text{ dm}\), temos:
Também:
| Volume | Capacidade correspondente |
|---|---|
| \(1\text{ cm}^3\) | 1 mL |
| \(1\text{ dm}^3\) | 1 L |
| \(1\text{ m}^3\) | 1000 L |
Exemplo resolvido 10. Um aquário retangular mede 60 cm de comprimento, 30 cm de largura e 40 cm de altura. Qual é sua capacidade máxima em litros?
Como \(1000\text{ cm}^3=1\text{ L}\):
Resposta: 72 L.
Exemplo resolvido 11. Uma caixa-d'água possui volume interno de \(2{,}5\text{ m}^3\). Qual é sua capacidade em litros?
Resposta: 2 500 L.
▶Pratique 3 — Volume e capacidade
1. Calcule o volume de um bloco de 8 cm por 5 cm por 4 cm.
2. Calcule o volume de um cubo de aresta 6 cm.
3. Converta \(3\text{ dm}^3\) em litros.
4. Converta \(2\text{ m}^3\) em litros.
5. Converta 4500 cm³ em litros.
6. Uma caixa mede 50 cm por 20 cm por 30 cm. Qual é seu volume?
7. Um aquário mede 80 cm por 40 cm por 50 cm. Qual é sua capacidade máxima em litros?
8. Uma caixa-d'água tem capacidade de 1500 L. Qual é seu volume em metros cúbicos?
9. Um recipiente retangular mede 2 dm por 3 dm por 5 dm. Quantos litros ele comporta?
10. Uma piscina retangular mede 5 m de comprimento, 3 m de largura e 1,5 m de profundidade. Qual é seu volume em metros cúbicos e sua capacidade em litros?
▶Revisão e aprofundamento — 20 questões
1. Calcule a área de um retângulo de 15 cm por 8 cm.
2. Calcule a área de um triângulo de base 18 cm e altura 10 cm.
3. Calcule a área de um trapézio de bases 16 cm e 10 cm e altura 7 cm.
4. Calcule a área de um losango cujas diagonais medem 20 cm e 14 cm.
5. Calcule a área de um círculo de raio 6 cm, usando \(\pi=3{,}14\).
6. Determine o raio de um círculo de diâmetro 26 cm.
7. Calcule o volume de um bloco de 12 cm por 5 cm por 7 cm.
8. Converta \(4{,}2\text{ m}^3\) em litros.
9. Converta 8500 cm³ em litros.
10. Escreva as relações entre cm³ e mL, dm³ e L, m³ e L.
11. Um piso retangular mede 9 m por 7 m. Qual é sua área?
12. Um terreno triangular possui base de 42 m e altura de 25 m. Qual é sua área?
13. Uma praça circular possui raio de 12 m. Determine sua área, usando \(\pi=3{,}14\).
14. Uma mesa circular possui diâmetro de 1,4 m. Qual é a área de seu tampo, usando \(\pi=3{,}14\)?
15. Uma caixa mede 60 cm por 40 cm por 25 cm. Determine seu volume.
16. Um aquário mede 50 cm por 40 cm por 30 cm. Quantos litros ele comporta?
17. Uma caixa-d'água possui \(3{,}2\text{ m}^3\) de volume. Quantos litros ela comporta?
18. Uma piscina mede 8 m por 4 m e tem profundidade uniforme de 1,5 m. Determine seu volume e sua capacidade em litros.
19. Um jardim é formado por um retângulo de 12 m por 8 m e um semicírculo de raio 4 m. Calcule a área total, usando \(\pi=3{,}14\).
20. Uma embalagem em forma de bloco retangular possui volume de 12 000 cm³. Quantos litros cabem nessa embalagem?
▶Gabarito do Pratique 1
1. 84 cm². 2. 81 cm². 3. 120 cm². 4. 130 cm². 5. 108 cm².
6. 14 m². 7. 270 m². 8. 144 m². 9. 625 m². 10. 1,2 m².
▶Gabarito do Pratique 2
1. 50,24 cm². 2. 314 cm². 3. 9 cm. 4. 113,04 cm². 5. \(A=\pi r^2\).
6. 153,86 m². 7. 1,1304 m². 8. 105 m². 9. 78,5 m². 10. 5 m.
▶Gabarito do Pratique 3
1. 160 cm³. 2. 216 cm³. 3. 3 L. 4. 2000 L. 5. 4,5 L.
6. 30 000 cm³. 7. 160 L. 8. 1,5 m³. 9. 30 L. 10. 22,5 m³ e 22 500 L.
▶Gabarito da revisão e do aprofundamento
1. 120 cm². 2. 90 cm². 3. 91 cm². 4. 140 cm². 5. 113,04 cm².
6. 13 cm. 7. 420 cm³. 8. 4200 L. 9. 8,5 L. 10. \(1\text{ cm}^3=1\text{ mL}\), \(1\text{ dm}^3=1\text{ L}\), \(1\text{ m}^3=1000\text{ L}\).
11. 63 m². 12. 525 m². 13. 452,16 m². 14. 1,5386 m². 15. 60 000 cm³.
16. 60 L. 17. 3200 L. 18. 48 m³ e 48 000 L. 19. 121,12 m². 20. 12 L.
Para lembrar
Área é medida em unidades quadradas; volume, em unidades cúbicas.
No círculo, \(A=\pi r^2\).
No bloco retangular, \(V=c\cdot l\cdot h\).
\(1\text{ cm}^3=1\text{ mL}\), \(1\text{ dm}^3=1\text{ L}\) e \(1\text{ m}^3=1000\text{ L}\).