MATEMÁTICAFC

Notação científica e ordem de grandeza

A Matemática frequentemente trabalha com números muito grandes ou muito pequenos. A distância entre astros, a quantidade de células de um organismo, a massa de partículas e as dimensões microscópicas são exemplos de situações em que escrever todos os algarismos pode tornar os cálculos e a leitura dos valores pouco práticos.

A notação científica permite representar esses números de maneira compacta, utilizando potências de 10. Além de facilitar a escrita, ela ajuda na comparação de valores, na realização de cálculos, na interpretação de medidas e na análise da ordem de grandeza.

Habilidade da BNCC

EM13MAT313 — Utilizar, quando necessário, a notação científica para expressar uma medida, compreendendo as noções de algarismos significativos e algarismos duvidosos, e reconhecendo que toda medida é inevitavelmente acompanhada de erro.

1. O que é notação científica?

Um número escrito em notação científica possui a forma:

\(a\times10^n\)

em que:

\(1\leq |a|<10\)

e \(n\) é um número inteiro.

Por exemplo:

\(3,2\times10^5\)

está escrito em notação científica porque o valor absoluto do primeiro fator, 3,2, está entre 1 e 10.

Já

\(32\times10^4\)

representa o mesmo tipo de expressão com potência de 10, mas não está na forma padronizada da notação científica, pois 32 é maior que 10.

2. Números maiores que 10

Observe:

\(450\,000=4,5\times100\,000=4,5\times10^5\)

Na prática, deslocamos a vírgula até obter um número entre 1 e 10. A quantidade de casas deslocadas determina o expoente.

\(7\,230\,000=7,23\times10^6\)

Quando representamos dessa maneira números maiores ou iguais a 10, o expoente da potência de 10 é positivo.

Pratique

1. Escreva \(82\,000\) em notação científica.
2. Escreva \(5\,600\,000\) em notação científica.
3. Escreva \(907\,000\,000\) em notação científica.

Ver respostas

1. \(8,2\times10^4\)

2. \(5,6\times10^6\)

3. \(9,07\times10^8\)

3. Números entre 0 e 1

A notação científica também é muito útil para representar números extremamente pequenos.

Considere:

\(0,00042\)

Deslocando a vírgula quatro posições para a direita, obtemos 4,2. Para preservar o valor original:

\(0,00042=4,2\times10^{-4}\)

Outro exemplo:

\(0,00000075=7,5\times10^{-7}\)

Quando o número está entre 0 e 1, utilizamos um expoente negativo. Isso está relacionado às potências negativas estudadas anteriormente:

\(10^{-3}=\frac{1}{1000}=0,001\)

4. Da notação científica para a forma decimal

Também podemos realizar o processo inverso.

\(6,3\times10^4=63\,000\)

Como o expoente é positivo, deslocamos a vírgula quatro posições para a direita.

Agora observe:

\(2,8\times10^{-5}=0,000028\)

O expoente negativo indica uma potência de 10 menor que 1.

Pratique

Transforme em representação decimal:

1. \(3,7\times10^5\)
2. \(8,2\times10^{-3}\)
3. \(1,05\times10^7\)
4. \(6\times10^{-6}\)

Ver respostas

1. 370 000

2. 0,0082

3. 10 500 000

4. 0,000006

5. Comparação de números em notação científica

A notação científica facilita a comparação de números muito grandes ou muito pequenos.

\(A=3,8\times10^7\)

\(B=9,2\times10^6\)

Como \(10^7>10^6\), temos:

\(A>B\)

Quando os expoentes são iguais, comparamos os primeiros fatores:

\(4,7\times10^8<6,1\times10^8\)

6. Multiplicação em notação científica

Considere:

\((2\times10^3)(4\times10^5)\)

Multiplicamos os primeiros fatores e utilizamos a propriedade das potências de mesma base:

\(2\cdot4=8\)

\(10^3\cdot10^5=10^8\)

Portanto:

\((2\times10^3)(4\times10^5)=8\times10^8\)

Agora considere:

\((6\times10^4)(5\times10^3)=30\times10^7\)

Como 30 não está entre 1 e 10, ajustamos a representação:

\(30\times10^7=3\times10^8\)

7. Divisão em notação científica

Considere:

\(\frac{8\times10^7}{2\times10^3}\)

Dividimos os primeiros fatores:

\(\frac{8}{2}=4\)

e subtraímos os expoentes:

\(10^{7-3}=10^4\)

Logo:

\(\frac{8\times10^7}{2\times10^3}=4\times10^4\)

8. Adição e subtração

Na adição e na subtração, precisamos primeiro escrever os números utilizando a mesma potência de 10.

\(3,2\times10^5+4,5\times10^4\)

Podemos escrever:

\(4,5\times10^4=0,45\times10^5\)

Então:

\(3,2\times10^5+0,45\times10^5=3,65\times10^5\)

Atenção: na adição e na subtração não somamos nem subtraímos diretamente os expoentes. Primeiro precisamos igualar as potências de 10.

Pratique

Calcule:

1. \((3\times10^4)(2\times10^3)\)
2. \(\dfrac{9\times10^8}{3\times10^2}\)
3. \(4,2\times10^6+1,8\times10^6\)
4. \(5\times10^5+2\times10^4\)

Ver respostas

1. \(6\times10^7\)

2. \(3\times10^6\)

3. \(6\times10^6\)

4. \(5,2\times10^5\)

9. Notação científica e medidas

A notação científica é especialmente importante quando trabalhamos com medidas em escalas muito grandes ou muito pequenas.

Uma bactéria pode apresentar comprimento da ordem de:

\(2\times10^{-6}\text{ m}\)

Uma distância astronômica pode ser da ordem de:

\(1,5\times10^{11}\text{ m}\)

A representação permite perceber rapidamente que estamos trabalhando com escalas muito diferentes.

Entretanto, uma medida possui outra característica importante: ela depende do instrumento utilizado e da precisão da medição.

10. Algarismos significativos

Os algarismos significativos são os algarismos que fornecem informações relevantes sobre o valor e a precisão de uma medida.

Considere:

\(2,35\text{ m}\)

Essa medida possui três algarismos significativos: 2, 3 e 5.

Agora considere:

\(0,00452\text{ m}\)

Os zeros iniciais apenas posicionam a vírgula. Assim, os algarismos significativos são 4, 5 e 2.

A notação científica evidencia isso:

\(0,00452=4,52\times10^{-3}\)

11. Zeros e algarismos significativos

Nem todo zero desempenha o mesmo papel.

Em:

\(0,0034\)

os zeros anteriores ao 3 não são significativos.

Já em uma medida registrada como:

\(3,040\)

os zeros podem fornecer informações sobre a precisão com que o resultado foi registrado.

Compare:

\(1,20\times10^3\)

e

\(1,2\times10^3\)

As duas expressões representam numericamente 1200. Entretanto, quando correspondem a resultados de medições, a primeira registra três algarismos significativos, enquanto a segunda registra dois.

12. Algarismo duvidoso

Em uma medição, o último algarismo registrado está sujeito à incerteza da leitura e é denominado, nesse contexto, algarismo duvidoso.

Imagine, por exemplo, uma medida registrada como:

\(12,4\text{ cm}\)

O último algarismo representa o limite da precisão com que a leitura foi registrada.

Isso não significa necessariamente que alguém tenha cometido um erro ao medir. Significa que todo processo de medição possui limitações relacionadas ao instrumento, ao procedimento e à precisão da leitura.

13. Medição e erro

Nenhum instrumento de medida possui precisão infinita.

Se medirmos o comprimento de um objeto utilizando instrumentos com diferentes resoluções, os resultados poderão apresentar quantidades diferentes de casas decimais.

Por isso, uma medida deve ser interpretada considerando a precisão do instrumento e as condições em que foi obtida.

Nesse contexto, o termo erro de medição não significa necessariamente uma ação incorreta de quem mede. Ele está relacionado à diferença que pode existir entre o resultado obtido e o valor da grandeza medida, dentro das limitações do processo de medição.

14. Aproximações e arredondamentos

Em muitas situações não precisamos conservar todos os algarismos de um número.

Considere:

\(3,14159265\ldots\)

Com três casas decimais:

\(3,142\)

No arredondamento usual, observamos o primeiro algarismo que será eliminado. Se ele for menor que 5, mantemos o algarismo anterior. Se for maior ou igual a 5, acrescentamos uma unidade ao algarismo anterior.

\(7,263\approx7,26\)

\(7,268\approx7,27\)

15. O que é ordem de grandeza?

A ordem de grandeza fornece uma estimativa da escala de um número por meio de uma potência de 10.

Uma distância da ordem de \(10^3\) metros está na escala dos milhares de metros, enquanto uma dimensão da ordem de \(10^{-6}\) metro está na escala dos milionésimos de metro.

Para determinar a potência de 10 mais próxima, precisamos observar também o primeiro fator da notação científica.

16. Determinação da ordem de grandeza

Considere um número positivo escrito como:

\(N=a\times10^n,\qquad 1\leq a<10\)

Para determinar a potência de 10 mais próxima, comparamos \(a\) com:

\(\sqrt{10}\approx3,16\)

Valor de a	Ordem de grandeza
1 ≤ a < 3,16	\(10^n\)
3,16 ≤ a < 10	\(10^{n+1}\)

Exemplo 1

\(2,4\times10^6\)

Como \(2,4<3,16\), sua ordem de grandeza é:

\(10^6\)

Exemplo 2

\(7,8\times10^6\)

Como \(7,8>3,16\), sua ordem de grandeza é:

\(10^7\)

17. Estimativas por ordem de grandeza

A ordem de grandeza permite fazer comparações rápidas.

Considere:

\(A=4,8\times10^8\)

e

\(B=2,1\times10^5\)

As respectivas ordens de grandeza são:

\(10^9\quad\text{e}\quad10^5\)

Assim, mesmo antes de realizar um cálculo exato, conseguimos perceber que as duas quantidades pertencem a escalas bastante diferentes.

18. Erros comuns

1. Deixar o primeiro fator maior ou igual a 10

\(45\times10^6\)

não está na forma padronizada. O correto é:

\(4,5\times10^7\)

2. Confundir o sinal do expoente

\(0,00032=3,2\times10^{-4}\)

e não \(3,2\times10^4\).

3. Somar expoentes em uma adição

Em \(2\times10^3+3\times10^4\), não podemos simplesmente somar os expoentes. Precisamos primeiro escrever as parcelas com a mesma potência de 10.

4. Ignorar a precisão de uma medida

Os registros \(2,0\text{ m}\) e \(2,000\text{ m}\) representam o mesmo valor numérico, mas podem comunicar precisões diferentes quando resultam de medições.

5. Confundir notação científica com ordem de grandeza

\(6,2\times10^7\) é uma representação em notação científica. Pelo critério da potência de 10 mais próxima, sua ordem de grandeza é \(10^8\).

19. Síntese

Conceito	Ideia principal
Notação científica	Representa um número na forma \(a\times10^n\), com \(1\leq |a|<10\).
Algarismos significativos	Expressam os algarismos relevantes no registro de uma medida.
Algarismo duvidoso	É o último algarismo registrado, sujeito à incerteza da medição.
Ordem de grandeza	Indica aproximadamente a potência de 10 correspondente à escala do número.

20. Aplicações

Uma célula possui aproximadamente \(8\times10^{-6}\) m de comprimento. Se 1000 células fossem colocadas lado a lado, teríamos:

\(10^3\cdot8\times10^{-6}=8\times10^{-3}\text{ m}\)

Como:

\(8\times10^{-3}\text{ m}=0,008\text{ m}=8\text{ mm}\)

esse conjunto de 1000 células teria aproximadamente 8 mm de comprimento.

Pratique

1. Um equipamento registra uma dimensão de \(4,25\times10^{-7}\) m. Quantos algarismos significativos aparecem nessa medida?
2. Determine a ordem de grandeza de \(2,8\times10^9\).
3. Determine a ordem de grandeza de \(6,4\times10^9\).
4. Explique por que \(5,00\times10^{-3}\) e \(5\times10^{-3}\), embora representem o mesmo número, podem comunicar informações diferentes em uma medição.

Ver respostas

1. 3 algarismos significativos.

2. \(10^9\).

3. \(10^{10}\).

4. A primeira escrita registra três algarismos significativos, enquanto a segunda registra apenas um. Em um contexto de medição, isso pode comunicar diferentes níveis de precisão.

21. Atividades de aprofundamento

Questão 1

A distância média entre a Terra e o Sol é aproximadamente 149 600 000 km. A representação desse valor em notação científica é:

A) \(1,496\times10^6\) km

B) \(1,496\times10^7\) km

C) \(1,496\times10^8\) km

D) \(14,96\times10^8\) km

E) \(149,6\times10^6\) km

Questão 2

Uma estrutura microscópica possui comprimento aproximado de 0,00000032 m. Em notação científica, esse comprimento é:

A) \(3,2\times10^{-5}\) m

B) \(3,2\times10^{-6}\) m

C) \(3,2\times10^{-7}\) m

D) \(32\times10^{-7}\) m

E) \(0,32\times10^{-6}\) m

Questão 3

Um equipamento registra uma distância de \(7,25\times10^{-4}\) m.

Na representação decimal, essa medida corresponde a:

A) 0,0000725 m

B) 0,000725 m

C) 0,00725 m

D) 0,0725 m

E) 7 250 m

Questão 4

Uma cultura de microrganismos possui \(2,5\times10^4\) células. Após determinado período, essa quantidade torna-se \(3\times10^2\) vezes maior.

A nova quantidade de células será:

A) \(7,5\times10^5\)

B) \(7,5\times10^6\)

C) \(7,5\times10^7\)

D) \(5,5\times10^6\)

E) \(6,0\times10^8\)

Questão 5

Dois arquivos digitais ocupam, respectivamente, \(3,6\times10^6\) bytes e \(8\times10^5\) bytes.

O espaço total ocupado pelos dois arquivos é:

A) \(4,4\times10^5\) bytes

B) \(4,4\times10^6\) bytes

C) \(11,6\times10^6\) bytes

D) \(3,68\times10^6\) bytes

E) \(8,36\times10^6\) bytes

Questão 6

Duas partículas apresentam massas aproximadas de \(4,8\times10^{-9}\) g e \(7,2\times10^{-11}\) g.

Comparando essas massas, é correto afirmar que:

A) a segunda é maior porque 7,2 é maior que 4,8.

B) as duas possuem o mesmo valor porque os expoentes são negativos.

C) a primeira massa é maior que a segunda.

D) a segunda massa é aproximadamente 100 vezes maior que a primeira.

E) não é possível compará-las sem convertê-las para a forma decimal.

Questão 7

Um instrumento forneceu a medida \(0,00470\) m.

Considerando a forma como a medida foi registrada, quantos algarismos significativos ela apresenta?

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

Questão 8

Dois instrumentos foram utilizados para medir o mesmo comprimento. Os resultados registrados foram:

Instrumento I: \(2,5\) m

Instrumento II: \(2,500\) m

Considerando apenas a maneira como os resultados foram registrados:

A) o instrumento I necessariamente apresentou uma medição incorreta.

B) o instrumento II indica um comprimento maior.

C) os valores numéricos são diferentes.

D) os registros representam o mesmo valor numérico, mas comunicam diferentes níveis de precisão.

E) os zeros do segundo registro devem ser eliminados porque não possuem significado.

Questão 9

Uma determinada quantidade é representada por \(6,8\times10^{12}\).

Adotando como ordem de grandeza a potência de 10 mais próxima, sua ordem de grandeza é:

A) \(10^{10}\)

B) \(10^{11}\)

C) \(10^{12}\)

D) \(10^{13}\)

E) \(10^{14}\)

Questão 10

Uma estimativa indica que determinada região possui \(2,4\times10^6\) habitantes e que, em média, cada habitante utiliza aproximadamente \(1,5\times10^2\) litros de água por dia.

Considerando essa estimativa, o consumo diário total é aproximadamente:

A) \(3,6\times10^7\) litros

B) \(3,6\times10^8\) litros

C) \(3,9\times10^8\) litros

D) \(3,6\times10^9\) litros

E) \(36\times10^9\) litros

Gabarito comentado

1. C. \(149\,600\,000=1,496\times10^8\).

2. C. Para obter 3,2, deslocamos a vírgula sete posições para a direita: \(0,00000032=3,2\times10^{-7}\).

3. B. \(7,25\times10^{-4}=0,000725\).

4. B. \((2,5\times10^4)(3\times10^2)=7,5\times10^6\).

5. B. Como \(8\times10^5=0,8\times10^6\), temos \(3,6\times10^6+0,8\times10^6=4,4\times10^6\).

6. C. \(4,8\times10^{-9}>7,2\times10^{-11}\).

7. B. Os zeros anteriores ao 4 apenas posicionam a vírgula. Os algarismos significativos são 4, 7 e 0.

8. D. Os registros correspondem ao mesmo valor numérico, mas \(2,500\) apresenta quatro algarismos significativos, enquanto \(2,5\) apresenta dois.

9. D. Como \(6,8>\sqrt{10}\), a ordem de grandeza é \(10^{13}\).

10. B. \((2,4\times10^6)(1,5\times10^2)=3,6\times10^8\). Portanto, o consumo estimado é de aproximadamente 360 milhões de litros por dia.

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