Radiciação e potências com expoentes racionais
A radiciação está diretamente relacionada à potenciação. Quando calculamos uma potência, conhecemos a base e o expoente e procuramos o resultado. Na radiciação, muitas vezes fazemos o caminho inverso: conhecemos o resultado de uma potência e procuramos o número que, elevado a determinado expoente, produz esse resultado.
Essa relação permite compreender a radiciação não como um conjunto isolado de regras, mas como uma continuação natural do estudo das potências.
Ao longo desta postagem, estudaremos o significado das raízes, as propriedades dos radicais, a simplificação e as operações envolvendo radicais. Depois, relacionaremos esses conhecimentos às potências com expoentes racionais.
Conhecimento de base: a radiciação, as propriedades dos radicais e sua relação com potências de expoentes racionais constituem conhecimentos utilizados em diferentes conteúdos do Ensino Médio, como notação científica, funções, geometria e resolução de expressões algébricas.
1. O que é radiciação?
Considere:
Se perguntarmos qual número não negativo elevado ao quadrado resulta em 25, a resposta é 5.
A potenciação e a radiciação aparecem aqui relacionadas:
Outro exemplo:
Podemos fazer algo semelhante com outras potências:
Uma primeira definição
De maneira geral:
significa que:
considerando as condições necessárias para que essa raiz exista no conjunto numérico em que estamos trabalhando.
\(\sqrt[3]{125}=5\), porque \(5^3=125\).
\(\sqrt[4]{16}=2\), porque \(2^4=16\).
2. Elementos de um radical
Observe:
Nessa expressão:
3 é o índice;
64 é o radicando;
\(\sqrt{\phantom{x}}\) é o símbolo radical;
4 é a raiz obtida.
Podemos representar a estrutura por:
Por que não aparece o índice 2?
Quando temos \(\sqrt{36}\), o índice é 2, embora não esteja escrito. Por convenção, o índice 2 é omitido.
Nos demais casos, o índice deve ser indicado:
3. Raiz quadrada
A raiz quadrada de um número real não negativo \(a\) é o número real não negativo que, elevado ao quadrado, resulta em \(a\).
porque:
Da mesma maneira:
Quadrados perfeitos
Alguns exemplos:
Números como 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100 são exemplos de quadrados perfeitos.
Interpretação geométrica
Imagine um quadrado cuja área seja \(49\text{ cm}^2\).
Então:
Como o comprimento do lado é não negativo:
Portanto, o quadrado possui lado de 7 cm.
4. Raiz cúbica
Na raiz cúbica, procuramos o número que, elevado à terceira potência, produz o radicando.
Cubos perfeitos
Interpretação geométrica
Se um cubo possui volume de \(125\text{ cm}^3\) e sua aresta mede \(a\), então:
Logo:
Portanto, a aresta do cubo mede 5 cm.
5. Raiz de índice \(n\)
De maneira geral:
estabelece uma relação com:
\(\sqrt[4]{16}=2\), porque \(2^4=16\).
\(\sqrt[5]{32}=2\), porque \(2^5=32\).
\(\sqrt[6]{64}=2\), porque \(2^6=64\).
Pratique
1. Calcule:
a) \(\sqrt{25}\)
b) \(\sqrt{121}\)
c) \(\sqrt[3]{8}\)
d) \(\sqrt[3]{216}\)
e) \(\sqrt[4]{81}\)
2. Complete:
a) \(\sqrt{144}=\square\), pois \(\square^2=144\).
b) \(\sqrt[3]{125}=\square\), pois \(\square^3=125\).
c) \(\sqrt[5]{32}=\square\), pois \(\square^5=32\).
3. Um quadrado possui área de \(169\text{ cm}^2\). Qual é a medida de seu lado?
4. Um cubo possui volume de \(343\text{ cm}^3\). Qual é a medida de sua aresta?
Ver respostas
1. a) 5 b) 11 c) 2 d) 6 e) 3
2.
a) \(\sqrt{144}=12\), pois \(12^2=144\).
b) \(\sqrt[3]{125}=5\), pois \(5^3=125\).
c) \(\sqrt[5]{32}=2\), pois \(2^5=32\).
3. \(l=\sqrt{169}=13\). O lado mede 13 cm.
4. \(a=\sqrt[3]{343}=7\). A aresta mede 7 cm.
6. Radicais e números reais
Quando trabalhamos no conjunto dos números reais, nem toda raiz possui resultado real. Precisamos observar principalmente o índice do radical e o sinal do radicando.
Índice par
Quando o índice é par, o radicando deve ser maior ou igual a zero para que a raiz seja um número real.
Entretanto:
Não existe número real que, elevado ao quadrado, resulte em \(-16\). Da mesma forma, \(\sqrt[4]{-81}\) não representa um número real.
Para \(n\) par, \(\sqrt[n]{a}\) possui valor real somente quando:
Índice ímpar
Quando o índice é ímpar, podemos ter radicandos positivos, negativos ou iguais a zero.
porque:
Também:
Índice par: o radicando deve ser não negativo.
Índice ímpar: o radicando pode ser positivo, negativo ou zero.
7. Raiz quadrada principal e o sinal
Considere:
Por definição, o símbolo da raiz quadrada indica a raiz quadrada principal, isto é, a raiz não negativa.
Não escrevemos \(\sqrt{25}=\pm5\).
Entretanto, na equação:
existem duas soluções:
Portanto:
\(\sqrt{25}=5\), mas \(x^2=25\Rightarrow x=\pm5\).
O símbolo \(\pm\) aparece na resolução da equação, e não no valor da raiz quadrada principal.
8. Raiz de uma potência e o módulo
Observe:
Isso poderia sugerir que \(\sqrt{a^2}=a\), mas essa igualdade não é verdadeira para todo número real \(a\).
Considere \(a=-5\):
Por isso:
\(\sqrt{12^2}=|12|=12\)
E quando o índice é ímpar?
Para raízes cúbicas:
9. Propriedades dos radicais
As propriedades dos radicais permitem transformar e simplificar expressões, sempre respeitando as condições de existência no conjunto dos números reais.
Raiz de um produto
Outro exemplo:
A propriedade também pode ser utilizada no sentido inverso:
Raiz de um quociente
com \(b\neq0\) e respeitadas as condições de existência.
\[ \sqrt[3]{\frac{8}{125}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{125}} = \frac25 \]
Raiz de raiz
observadas as condições de existência.
10. Simplificação de radicais
Considere:
Como:
temos:
Outro exemplo:
E:
Simplificação utilizando fatoração
Considere:
Assim:
Radicais com outros índices
A ideia é procurar no radicando fatores que sejam potências perfeitas compatíveis com o índice do radical.
11. Introdução de fatores no radical
Também podemos realizar o processo inverso:
Para raízes cúbicas:
Pratique
1. Determine quais expressões representam números reais:
a) \(\sqrt{49}\)
b) \(\sqrt{-49}\)
c) \(\sqrt[3]{-125}\)
d) \(\sqrt[4]{16}\)
e) \(\sqrt[4]{-16}\)
2. Calcule:
a) \(\sqrt{(-7)^2}\)
b) \(\sqrt[3]{(-3)^3}\)
c) \(\sqrt{9\cdot16}\)
d) \(\sqrt{\frac{81}{25}}\)
3. Simplifique:
a) \(\sqrt{32}\)
b) \(\sqrt{75}\)
c) \(\sqrt{200}\)
d) \(\sqrt[3]{16}\)
4. Escreva utilizando apenas um radical:
a) \(2\sqrt3\)
b) \(4\sqrt5\)
c) \(3\sqrt[3]{2}\)
Ver respostas
1.
a) Real: \(\sqrt{49}=7\).
b) Não representa número real.
c) Real: \(\sqrt[3]{-125}=-5\).
d) Real: \(\sqrt[4]{16}=2\).
e) Não representa número real.
2.
a) \(7\)
b) \(-3\)
c) \(12\)
d) \(\frac95\)
3.
a) \(4\sqrt2\)
b) \(5\sqrt3\)
c) \(10\sqrt2\)
d) \(2\sqrt[3]{2}\)
4.
a) \(\sqrt{12}\)
b) \(\sqrt{80}\)
c) \(\sqrt[3]{54}\)
12. Radicais semelhantes
Dois ou mais radicais são semelhantes quando possuem o mesmo índice e o mesmo radicando, depois de realizadas as simplificações possíveis.
\(4\sqrt[3]{7}\) e \(9\sqrt[3]{7}\) também são semelhantes.
Já \(\sqrt2\) e \(\sqrt3\) não são semelhantes.
Às vezes é necessário simplificar primeiro:
Depois da simplificação, percebemos que os radicais são semelhantes.
13. Adição e subtração de radicais
Quando é necessário simplificar primeiro
Quando os radicais não são semelhantes
A expressão:
não pode ser reduzida por adição.
14. Multiplicação de radicais
\[ \sqrt3\cdot\sqrt6=\sqrt{18}=3\sqrt2 \]
Quando existem coeficientes:
Para raízes cúbicas:
15. Divisão de radicais
desde que o denominador esteja definido e seja diferente de zero.
\[ \frac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{27} = 3 \]
16. Potências envolvendo radicais
De maneira geral, respeitadas as condições de existência:
Outro exemplo:
17. Racionalização de denominadores
A racionalização é um procedimento que permite obter uma expressão equivalente sem radical no denominador.
Considere:
Multiplicamos numerador e denominador por \(\sqrt2\):
Portanto:
Outro exemplo:
Quando o denominador possui um coeficiente
Denominadores com dois termos
Considere:
O conjugado de \(\sqrt3+1\) é \(\sqrt3-1\).
No denominador:
Portanto:
Pratique
1. Efetue:
a) \(3\sqrt2+7\sqrt2\)
b) \(9\sqrt5-4\sqrt5\)
c) \(\sqrt{12}+\sqrt{27}\)
d) \(\sqrt{50}-\sqrt8\)
2. Calcule:
a) \(\sqrt3\cdot\sqrt{12}\)
b) \(2\sqrt5\cdot3\sqrt{10}\)
c) \(\frac{\sqrt{72}}{\sqrt2}\)
d) \(\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{16}\)
3. Racionalize:
a) \(\frac1{\sqrt3}\)
b) \(\frac4{\sqrt7}\)
c) \(\frac3{2\sqrt5}\)
Ver respostas
1.
a) \(10\sqrt2\)
b) \(5\sqrt5\)
c) \(5\sqrt3\)
d) \(3\sqrt2\)
2.
a) \(6\)
b) \(30\sqrt2\)
c) \(6\)
d) \(4\)
3.
a) \(\frac{\sqrt3}{3}\)
b) \(\frac{4\sqrt7}{7}\)
c) \(\frac{3\sqrt5}{10}\)
18. Potências com expoentes racionais
Agora chegamos à ligação central entre radiciação e potenciação.
Da mesma maneira:
De modo geral:
respeitando as condições para que a expressão represente um número real.
\((-8)^{\frac13}=-2\), pois \(\sqrt[3]{-8}=-2\).
19. Expoente racional \(\frac{m}{n}\)
Podemos ampliar a relação anterior:
O denominador do expoente indica o índice da raiz, enquanto o numerador indica a potência.
Por exemplo:
Também:
Simplificar o expoente também é importante
20. Expoentes racionais negativos
Sabemos que:
para \(a\neq0\). Portanto:
\[ 16^{-\frac34} = \frac1{16^{\frac34}} = \frac18 \]
\[ 27^{-\frac13} = \frac1{\sqrt[3]{27}} = \frac13 \]
21. Transformação entre radical e potência
Assim:
Quando o radicando está elevado a uma potência:
respeitadas as condições de existência.
\(\sqrt[4]{7^3}=7^{\frac34}\)
\(x^{\frac25}=\sqrt[5]{x^2}\)
\(y^{\frac73}=\sqrt[3]{y^7}\)
22. Cuidados com bases negativas
Quando a base é negativa, devemos observar o denominador do expoente racional em sua forma irredutível.
Já:
23. Propriedades das potências continuam válidas
Quando as expressões estão definidas no conjunto dos números reais, as propriedades estudadas anteriormente continuam sendo utilizadas com expoentes racionais.
Produto de potências de mesma base
Quociente de potências de mesma base
com \(a\neq0\).
Potência de uma potência
24. Propriedades que não existem e erros comuns
Erro 1 — distribuir a raiz em uma soma
Por exemplo:
enquanto:
Erro 2 — distribuir a raiz em uma subtração
Erro 3 — somar radicandos
Não podemos escrever:
Os radicais não são semelhantes.
Erro 4 — esquecer de simplificar antes de adicionar
Erro 5 — escrever \(\sqrt{a^2}=a\) para qualquer real
A relação correta é:
Erro 6 — colocar \(\pm\) no valor de uma raiz quadrada
Já a equação:
possui as soluções:
Erro 7 — interpretar o expoente racional de maneira invertida
O denominador 3 indica a raiz e o numerador 2 indica a potência.
25. Síntese: potenciação, radiciação e expoentes racionais
| Situação | Representação |
|---|---|
| Raiz como potência | \(\sqrt[n]{a}=a^{1/n}\) |
| Potência racional | \(a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}\) |
| Outra forma | \(a^{m/n}=(\sqrt[n]{a})^m\) |
| Expoente racional negativo | \(a^{-m/n}=1/a^{m/n}\) |
| Raiz quadrada de um quadrado | \(\sqrt{a^2}=|a|\) |
| Potência de uma raiz | \((\sqrt[n]{a})^n=a\), quando definida |
Por exemplo:
Já:
26. Aplicações em situações-problema
Exemplo 1 — Área de um terreno quadrado
Um terreno quadrado possui área de \(450\text{ m}^2\). Qual é a medida exata de seu lado?
Logo:
O lado mede:
Exemplo 2 — Volume de um reservatório cúbico
Um reservatório em formato de cubo possui volume de \(1000\text{ m}^3\).
Logo:
A aresta mede 10 m.
Exemplo 3 — Grandeza expressa por uma potência racional
Uma determinada grandeza é dada por:
Então:
Pratique
1. Escreva na forma de potência com expoente racional:
a) \(\sqrt[3]{5}\)
b) \(\sqrt[4]{7^3}\)
c) \(\sqrt{x}\)
2. Escreva utilizando radical:
a) \(3^{\frac12}\)
b) \(5^{\frac23}\)
c) \(x^{\frac35}\)
3. Calcule:
a) \(27^{\frac13}\)
b) \(16^{\frac34}\)
c) \(32^{\frac25}\)
d) \(64^{-\frac12}\)
e) \(125^{-\frac13}\)
4. Determine, no conjunto dos números reais:
a) \((-27)^{\frac13}\)
b) \((-27)^{\frac23}\)
c) \((-25)^{\frac12}\)
Ver respostas
1.
a) \(5^{\frac13}\)
b) \(7^{\frac34}\)
c) \(x^{\frac12}\), considerando \(x\geq0\).
2.
a) \(\sqrt3\)
b) \(\sqrt[3]{5^2}\)
c) \(\sqrt[5]{x^3}\), quando definida nos reais.
3.
a) \(3\)
b) \(8\)
c) \(4\)
d) \(\frac18\)
e) \(\frac15\)
4.
a) \(-3\)
b) \(9\)
c) Não representa um número real.
27. Atividades de aprofundamento
Gabarito comentado
1. D.
\(\sqrt{288}=\sqrt{144\cdot2}=12\sqrt2\).
2. C.
\(\sqrt{75}+\sqrt{12}=5\sqrt3+2\sqrt3=7\sqrt3\).
3. D.
\(81^{\frac34}=(\sqrt[4]{81})^3=3^3=27\).
4. D.
A raiz quadrada principal é não negativa. Portanto,
\(\sqrt{x^2}=|x|\).
5. C.
\(\sqrt[3]{216}=6\).
6. B.
\(\frac4{\sqrt2}=\frac{4\sqrt2}{2}=2\sqrt2\).
7. E.
Uma raiz de índice par com radicando negativo não representa número real.
8. B.
\(32^{-\frac25}=\frac1{32^{\frac25}}=\frac1{(\sqrt[5]{32})^2}=\frac14\).
9. C.
\(\sqrt{9+16}=5\), enquanto
\(\sqrt9+\sqrt{16}=3+4=7\).
10. B.
\(\frac{2^{\frac52}}{2^{\frac12}}
=2^{\frac52-\frac12}
=2^2
=4\).