Razão e proporção
Razão e proporção são conceitos utilizados para comparar quantidades e estabelecer relações entre elas. Eles aparecem em muitas situações do cotidiano e também servem de base para outros conteúdos da Matemática, como proporcionalidade, regra de três, porcentagem, escalas e taxas.
Nesta postagem, vamos começar entendendo o significado de uma razão. Depois, veremos como identificar razões equivalentes, compreender uma proporção e utilizar suas propriedades na resolução de problemas.
1. O que é uma razão?
Imagine uma turma formada por 12 meninas e 8 meninos.
Podemos simplesmente informar essas duas quantidades, mas também podemos querer compará-las. Uma maneira de fazer isso é dividir uma quantidade pela outra.
A razão entre o número de meninas e o número de meninos é:
ou, na forma de fração,
Essa razão pode ser simplificada. Como 12 e 8 são divisíveis por 4, dividimos os dois termos por 4:
Portanto:
Isso significa que a relação entre o número de meninas e o número de meninos é de 3 para 2.
É importante perceber que 3 : 2 não significa que existam apenas 3 meninas e 2 meninos na turma. A razão está descrevendo a relação entre as quantidades. Para cada grupo de 3 meninas, temos proporcionalmente um grupo de 2 meninos.
A ordem dos termos importa
Agora vamos inverter a comparação.
A razão entre o número de meninos e meninas é:
Simplificando por 4:
Assim:
Observe:
As duas razões utilizam as mesmas quantidades, mas possuem significados diferentes porque a ordem da comparação foi alterada.
Também podemos comparar o número de meninas com o total de estudantes. Como existem 12 meninas e 8 meninos, primeiro calculamos o total:
A razão entre meninas e total de estudantes é:
Simplificando por 4:
Portanto, a razão entre o número de meninas e o total de estudantes é 3 para 5.
Definição de razão
De modo geral, dados dois números a e b, com b ≠ 0, chamamos de razão entre a e b o quociente de a por b.
Podemos representá-la como:
O primeiro termo, a, recebe o nome de antecedente. O segundo termo, b, recebe o nome de consequente.
O consequente não pode ser zero porque uma razão corresponde a uma divisão, e não existe divisão por zero.
Exemplo 1 — Simplificando uma razão
Determine a razão entre 18 e 30 e escreva-a na forma mais simples.
Inicialmente:
Precisamos encontrar um número que divida 18 e 30. Ambos são divisíveis por 6.
Logo:
Portanto, a razão simplificada entre 18 e 30 é 3 para 5.
Pratique
a) a razão entre bolas azuis e bolas vermelhas;
b) a razão entre bolas vermelhas e bolas azuis;
c) a razão entre bolas azuis e o total de bolas.
Ver respostas
Observe que a inversão da ordem alterou a razão.
2c. Primeiro calculamos o total:Assim, azuis : total = 15 : 25. Dividindo por 5:
2. Razão entre grandezas de mesma natureza
Quando comparamos grandezas de mesma natureza, como dois comprimentos ou duas massas, precisamos prestar atenção às unidades de medida.
Exemplo — Comparando comprimentos
Qual é a razão entre 2 metros e 50 centímetros?
Não devemos escrever imediatamente 2 : 50, porque as duas medidas estão expressas em unidades diferentes.
Sabemos que:
Então:
Agora as duas medidas estão em centímetros:
Podemos calcular a razão:
Dividindo os dois termos por 50:
Logo:
Isso significa que 2 metros correspondem a quatro vezes 50 centímetros.
Exemplo — Comparando massas
Determine a razão entre 1,5 kg e 500 g.
Primeiro precisamos utilizar a mesma unidade. Como:
temos:
Agora calculamos:
Dividindo os dois termos por 500:
Portanto:
Isso significa que 1,5 kg corresponde a três vezes 500 g.
Pratique
Ver respostas
Então:
Portanto, 3 m correspondem a quatro vezes 75 cm.
Então:
Dividindo os dois termos por 400:
Logo, 2.000 : 800 = 5 : 2.
3. Razão entre grandezas de naturezas diferentes
Uma razão também pode comparar grandezas diferentes. Nesse caso, o resultado geralmente possui uma unidade própria, que precisa ser interpretada.
Exemplo — Velocidade média
Imagine um automóvel que percorreu 180 km em 3 horas. Queremos saber quantos quilômetros, em média, correspondem a cada hora de viagem.
A razão entre distância e tempo é:
Efetuando a divisão:
Portanto:
O resultado não significa apenas “60”. A unidade km/h faz parte da resposta e indica que, nessa relação, correspondem 60 quilômetros a cada hora.
Exemplo — Densidade demográfica
Considere uma região com 24.000 habitantes distribuídos em uma área de 300 km².
Queremos determinar a quantidade média de habitantes por quilômetro quadrado.
Agora dividimos:
Portanto:
A interpretação é que essa região possui, em média, 80 habitantes para cada quilômetro quadrado de área. Isso não significa que cada quilômetro quadrado tenha exatamente 80 pessoas. Trata-se de uma razão que relaciona a população total com a área total.
Pratique
Ver respostas
84 ÷ 4 = 21
Portanto, a razão é 21 km/h. Isso significa 21 quilômetros para cada hora.
45.000 ÷ 500 = 90
Portanto, a densidade demográfica média é de 90 habitantes/km².
4. Razões equivalentes
Duas razões diferentes podem representar a mesma relação. Considere:
Podemos simplificar a segunda razão dividindo o numerador e o denominador por 2:
Portanto:
Embora os números sejam diferentes, as duas razões representam a mesma relação. Por isso, são chamadas de razões equivalentes.
Exemplo — Identificando razões equivalentes
Vamos verificar se as razões
são equivalentes.
Primeiro, simplificamos 6/9 dividindo os dois termos por 3:
Agora simplificamos 10/15 dividindo os dois termos por 5:
As duas razões foram reduzidas à mesma forma. Portanto, 6/9 e 10/15 são razões equivalentes.
Pratique
Ver respostas
Simplificando 10/15 por 5:
Portanto, as razões são equivalentes.
Multiplicamos também o numerador por 4:
Logo:
O número procurado é 12.
5. O que é uma proporção?
Quando temos uma igualdade entre duas razões, temos uma proporção.
Por exemplo:
Essa igualdade é uma proporção porque as duas razões são equivalentes.
De maneira geral:
com b ≠ 0 e d ≠ 0.
Na proporção 23 = 46, temos:
3 e 4 → meios
Esses nomes serão importantes para compreender a propriedade fundamental das proporções.
Exemplo — Verificando se existe uma proporção
Verifique se:
Podemos simplificar a segunda razão. Como 15 e 24 são divisíveis por 3:
Então:
Logo, a igualdade forma uma proporção, pois representa uma igualdade entre razões equivalentes.
Pratique
Determine quais igualdades abaixo representam proporções:
Ver respostas
a) Sim. 9/12 pode ser simplificada por 3, resultando em 3/4.
b) Não. As razões 2/5 e 8/15 não são equivalentes.
c) Sim. 21/30 pode ser simplificada por 3, resultando em 7/10.
6. Propriedade fundamental das proporções
Considere novamente:
Os extremos são 2 e 6. Multiplicando:
Os meios são 3 e 4. Multiplicando:
Os dois produtos são iguais. Portanto, em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.
De maneira geral, se:
então:
Exemplo 1 — Determinando um termo desconhecido
Determine x:
Os extremos são 3 e 20. Os meios são 5 e x. Aplicamos a propriedade fundamental:
Como 5 está multiplicando x, dividimos os dois lados da igualdade por 5:
No lado direito, 5/5 = 1. Assim:
Verificando:
Como 12/20 simplifica para 3/5, o resultado x = 12 está correto.
Exemplo 2 — A incógnita em outra posição
Determine x:
Aplicando a propriedade fundamental:
Dividindo os dois lados por 14:
Conferindo:
Como 6/14 simplifica para 3/7, o resultado está correto.
Pratique
Ver respostas
Conferindo, 15/24 simplifica para 5/8. Portanto, o resultado está correto.
7. Montando uma proporção a partir de um problema
Saber resolver uma proporção já montada é importante, mas em muitas situações o maior desafio é construir corretamente a proporção a partir das informações do problema.
Exemplo — Receita
Uma receita utiliza 2 xícaras de farinha para produzir 12 biscoitos. Mantendo a mesma receita, quantas xícaras de farinha serão necessárias para produzir 30 biscoitos?
Primeiro organizamos as informações:
x xícaras → 30 biscoitos
Precisamos manter as grandezas correspondentes na mesma posição. Podemos escrever:
Nos dois lados, o numerador representa farinha e o denominador representa biscoitos.
Aplicando a propriedade fundamental:
Dividindo os dois lados por 12:
Portanto, para produzir 30 biscoitos, mantendo a mesma receita, serão necessárias 5 xícaras de farinha.
Por que a organização é importante?
Também poderíamos montar:
Essa organização também está correta, pois mantivemos biscoitos/farinha = biscoitos/farinha.
O que não devemos fazer é trocar a ordem de apenas uma das razões:
Nesse caso, o lado esquerdo representa farinha/biscoitos, enquanto o lado direito representa biscoitos/farinha. As grandezas correspondentes deixaram de ocupar as mesmas posições.
Pratique
Ver respostas
Organizamos:
x L de água → 8 L de concentrado
Então:
Portanto, serão necessários 12 litros de água.
8. Aplicações de razão e proporção
Exemplo 1 — Escala
Uma planta utiliza a escala 1 : 100. Isso significa que 1 unidade de comprimento no desenho corresponde a 100 unidades do mesmo comprimento na realidade.
Se uma parede mede 4 cm na planta, qual é seu comprimento real?
4 cm na planta → x cm na realidade
Montamos:
Aplicando a propriedade fundamental:
O comprimento real é inicialmente obtido em centímetros:
Como 100 cm = 1 m:
Portanto, a parede possui 4 metros de comprimento na realidade.
Exemplo 2 — Receita
Uma receita preparada para 6 pessoas utiliza 450 g de determinado ingrediente. Mantendo a mesma proporção, quanto será necessário para servir 10 pessoas?
x g → 10 pessoas
Montamos:
Aplicando a propriedade fundamental:
Dividindo por 6:
Portanto, serão necessários 750 g do ingrediente para manter a mesma proporção da receita para 10 pessoas.
9. Revisão e aprofundamento
a) a razão entre o número de estudantes que utilizam transporte escolar e o número dos que utilizam outros meios;
b) a razão entre o número de estudantes que utilizam transporte escolar e o total de estudantes da turma.
a) Determine a razão entre o número de habitantes e a área.
b) Interprete o resultado obtido.